2025年衡水数学高一试题及答案

衡水数学高一试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共50分）

1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，则$f(x)$的对称中心为（）

A.$(1,0)$B.$(0,2)$C.$(2,0)$D.$(0,2)$

2.若$a+b=0$，$a^2+b^2=2$，则$ab$的值为（）

A.$-2$B.$2$C.$1$D.$0$

3.在$\triangleABC$中，$a^2+b^2=25$，$c^2=16$，则$\angleC$的大小为（）

A.$45^\circ$B.$30^\circ$C.$60^\circ$D.$90^\circ$

4.若$|x-2|=3$，则$x$的取值范围是（）

A.$x\geq2$B.$x\leq2$C.$x\geq5$D.$x\leq-1$

5.已知函数$y=\sqrt{x^2-4x+4}$，则函数的定义域为（）

A.$x\leq2$B.$x\geq2$C.$x\geq0$D.$x\leq0$

二、填空题（每题5分，共50分）

6.若$a$、$b$是方程$x^2-2ax+2a-3=0$的两个实数根，则$a+b=$_______。

7.在$\triangleABC$中，若$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\sinA=$_______。

8.已知函数$f(x)=2x-3$，则$f(-2)=\_\_\_\_\_\_。

9.若$|x-1|=2$，则$x$的取值范围为$\_\_\_\_\_\_。

10.已知函数$y=\sqrt{x^2-4x+4}$，则函数的定义域为$\_\_\_\_\_\_。

三、解答题（每题15分，共45分）

11.（1）求函数$f(x)=x^2-4x+4$的对称轴。

（2）求函数$f(x)=x^2-4x+4$的顶点坐标。

12.（1）已知函数$f(x)=2x-3$，求$f(-1)$。

（2）已知函数$f(x)=2x-3$，求函数的值域。

13.（1）已知$a$、$b$是方程$x^2-2ax+2a-3=0$的两个实数根，求$a+b$。

（2）已知$a$、$b$是方程$x^2-2ax+2a-3=0$的两个实数根，求$ab$。

四、解答题（每题15分，共45分）

14.（1）已知$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosA>0$，求$\sin^2A+\cos^2A$的值。

（2）已知$\sinA=\frac{4}{5}$，$\cosA<0$，求$\tanA$的值。

15.（1）若$a=2$，$b=3$，$c=4$，求$\triangleABC$的面积。

（2）若$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，求$\sinA+\sinB+\sinC$的值。

16.（1）已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象经过点$(-2,1)$和$(3,0)$，且顶点坐标为$(1,2)$，求函数的表达式。

（2）已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象经过点$(0,1)$和$(2,-3)$，且顶点坐标为$(-1,4)$，求函数的表达式。

五、应用题（每题20分，共40分）

17.一辆汽车从甲地出发，以60km/h的速度行驶，经过2小时到达乙地。然后以80km/h的速度返回甲地。求汽车往返一次的平均速度。

18.一个长方形的长为10cm，宽为8cm，将其切割成两个长方形，要求切割后的两个长方形的面积相等。求切割后的两个长方形的尺寸。

六、证明题（每题20分，共40分）

19.证明：若$a+b=0$，$a^2+b^2=2$，则$ab=1$。

20.证明：若$a$、$b$、$c$是方程$x^2-2ax+2a-3=0$的两个实数根，则$a+b+c=2a-3$。

试卷答案如下：

一、选择题

1.A

解析思路：对称中心为函数图像上所有对称点的中点，由于$f(x)$是一个三次函数，其对称中心可以通过求导找到函数的极值点，进而得到对称中心。

2.A

解析思路：由$a+b=0$，得到$a=-b$，代入$a^2+b^2=2$中，得到$2b^2=2$，解得$b=\pm1$，因此$a=-b=\mp1$，所以$ab=(-1)\times1=-1$。

3.D

解析思路：由余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，代入$a=3$，$b=4$，$c=5$，得到$25=9+16-2\times3\times4\cosC$，解得$\cosC=\frac{1}{2}$，因此$\angleC=90^\circ$。

4.D

解析思路：由绝对值的定义，$|x-1|=3$可以转化为两个方程$x-1=3$或$x-1=-3$，解得$x=4$或$x=-2$，因此$x$的取值范围为$x\leq-1$。

5.B

解析思路：函数的定义域是使得函数有意义的所有$x$的集合，由于根号下的表达式必须大于等于0，所以$x^2-4x+4\geq0$，解得$x\geq2$。

二、填空题

6.2

解析思路：由韦达定理，$a+b=2a$，代入$a^2+b^2=2a^2-2ab+2a-3=2$，解得$a+b=2$。

7.$\frac{3}{5}$

解析思路：由正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，代入$a=3$，$b=4$，$c=5$，得到$\sinA=\frac{3}{5}$。

8.-7

解析思路：将$x=-2$代入$f(x)=2x-3$，得到$f(-2)=2\times(-2)-3=-7$。

9.$x\leq2$或$x\geq5$

解析思路：由绝对值的定义，$|x-1|=2$可以转化为两个方程$x-1=2$或$x-1=-2$，解得$x=3$或$x=-1$，因此$x$的取值范围为$x\leq2$或$x\geq5$。

10.$x\geq2$

解析思路：函数的定义域是使得函数有意义的所有$x$的集合，由于根号下的表达式必须大于等于0，所以$x^2-4x+4\geq0$，解得$x\geq2$。

三、解答题

11.（1）对称轴为$x=2$。

解析思路：对称轴是函数图像上所有对称点的中点所在的直线，由于$f(x)$是一个二次函数，其对称轴可以通过求导找到函数的极值点，进而得到对称轴。

（2）顶点坐标为$(2,0)$。

解析思路：顶点坐标是函数图像的最高点或最低点，对于二次函数，顶点坐标可以通过求导找到函数的极值点，进而得到顶点坐标。

12.（1）$f(-1)=-5$。

解析思路：将$x=-1$代入$f(x)=2x-3$，得到$f(-1)=2\times(-1)-3=-5$。

（2）值域为$(-\infty,-1]$。

解析思路：由于$f(x)$是一个一次函数，其值域是所有可能的输出值，由于斜率为正，值域为$(-\infty,-1]$。

13.（1）$a+b=2a$。

解析思路：由韦达定理，$a+b=2a$，代入$a^2+b^2=2a^2-2ab+2a-3=2$，解得$a+b=2$。

（2）$ab=2a-3$。

解析思路：由韦达定理，$ab=2a-3$，代入$a^2+b^2=2a^2-2ab+2a-3=2$，解得$ab=2a-3$。

四、解答题

14.（1）$\sin^2A+\cos^2A=1$。

解析思路：由三角恒等式$\sin^2A+\cos^2A=1$，直接得到结果。

（2）$\tanA=-2$。

解析思路：由$\sinA=\frac{4}{5}$，$\cosA<0$，得到$\cosA=-\sqrt{1-\sin^2A}=-\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=-\frac{3}{5}$，因此$\tanA=\frac{\sinA}{\cosA}=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-2$。

15.（1）$\triangleABC$的面积为6。

解析思路：由海伦公式$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\frac{a+b+c}{2}$，代入$a=3$，$b=4$，$c=5$，得到$S=\sqrt{6\times1\times2\times1}=6$。

（2）$\sinA+\sinB+\sinC=1$。

解析思路：由正弦定理，$\sinA+\sinB+\sinC=\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}=\frac{a+b+c}{2R}=\frac{3+4+5}{2R}=1$，其中$R$是$\triangleABC$的外接圆半径。

16.（1）函数的表达式为$f(x)=x^2-4x+4$。

解析思路：由于顶点坐标为$(1,2)$，所以对称轴为$x=1$，因此函数可以表示为$f(x)=(x-1)^2+2$，展开得到$f(x)=x^2-4x+4$。

（2）函数的表达式为$f(x)=x^2-4x+4$。

解析思路：由于顶点坐标为$(-1,4)$，所以对称轴为$x=-1$，因此函数可以表示为$f(x)=(x+1)^2+4$，展开得到$f(x)=x^2-4x+4$。

五、应用题

17.汽车往返一次的平均速度为$\frac{8}{3}$km/h。

解析思路：往返一次的总路程为$2\times60\times2=240$km，总时间为$2+2=4$小时，因此平均速度为$\frac{240}{4}=\frac{8}{3}$km/h。

18.切割后的两个长方形的尺寸为$6cm\times8cm$和$4cm\times8cm$。

解析思路：将长方形切割成两个面积相等的长方形，可以将长方形沿着长边切割成两个等面积的长方形，每个长方形的尺寸为$6cm\times8cm$和$4cm\times8cm$。

六、证明题

19.证明：若$a+b=0$，$a^2+b^2=2$，则$ab=1$。

证明思