2025年往期复变函数试题及答案

往期复变函数试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题3分，共30分）

1.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)为解析函数，则u(x,y)满足以下哪一个条件？

A.∂u/∂x=∂v/∂y

B.∂u/∂x=-∂v/∂y

C.∂u/∂x+∂v/∂y=0

D.∂u/∂x-∂v/∂y=0

2.复数z=1+i对应的模是多少？

A.√2

B.1

C.0

D.2

3.设z=x+iy为复数，下列哪一个函数是z的共轭函数？

A.z̅=x-iy

B.z̅=y-ix

C.z̅=x+iy

D.z̅=y+ix

4.若复数z的辐角为α，则z可以表示为下列哪一个形式？

A.z=|z|e^(iα)

B.z=|z|cosα+isinα

C.z=|z|sinα-icosα

D.z=|z|sinα+icosα

5.设f(z)=z^2，z=re^(iθ)，则f(z)在z=0处的泰勒级数展开式的系数为多少？

A.0

B.1

C.2

D.r

6.设f(z)=e^(z^2)，则f(z)的解析域是下列哪一个？

A.实数集

B.平面

C.半平面

D.单位圆

7.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=0处解析，则下列哪一个等式成立？

A.∂u/∂x=∂v/∂y

B.∂u/∂x=-∂v/∂y

C.∂u/∂x+∂v/∂y=0

D.∂u/∂x-∂v/∂y=0

8.设z=re^(iθ)，则下列哪一个函数是z的幅角主值？

A.θ

B.π+θ

C.2π-θ

D.2π+θ

9.若f(z)=z/(1-z)，则f(z)在z=1处的解析性是什么？

A.内解析

B.外解析

C.无解析

D.不确定

10.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=0处解析，则f(z)的拉普拉斯变换是下列哪一个？

A.L{u(x,y)}+iL{v(x,y)}

B.L{u(x,y)}-iL{v(x,y)}

C.L{u(x,y)+v(x,y)}

D.L{u(x,y)-v(x,y)}

二、填空题（每题2分，共20分）

1.复数z=2+3i的模是_________。

2.设z=1+i，则z的辐角是_________。

3.复数z=3-4i的共轭函数是_________。

4.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则u(x,y)满足_________。

5.设z=re^(iθ)，则z的幅角主值是_________。

6.复数z=2i的泰勒级数展开式是_________。

7.设f(z)=z/(1-z)，则f(z)在z=1处的解析性是_________。

8.若f(z)=e^(z^2)，则f(z)的解析域是_________。

9.设f(z)=z^2，则f(z)在z=0处的泰勒级数展开式的系数是_________。

10.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=0处解析，则f(z)的拉普拉斯变换是_________。

三、计算题（每题10分，共30分）

1.设z=2+3i，求z的模和辐角。

2.设f(z)=z^2，求f(z)在z=1处的泰勒级数展开式。

3.设f(z)=z/(1-z)，求f(z)在z=1处的解析性。

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都满足拉普拉斯方程。

2.证明：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)的混合偏导数相等，即∂u/∂x=∂v/∂y。

五、应用题（每题10分，共20分）

1.设f(z)=e^(z^2)，求f(z)在z=0处的泰勒级数展开式的前三项。

2.设f(z)=z/(1-z)，求f(z)在z=1处的反函数。

六、综合题（每题10分，共20分）

1.设f(z)=z^2，求f(z)在z=1处的留数。

2.设f(z)=e^(z^2)-1，求f(z)在z=0处的解析性。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.A

解析思路：解析函数的实部u(x,y)和虚部v(x,y)满足柯西-黎曼方程，即∂u/∂x=∂v/∂y。

2.A

解析思路：复数z的模等于其实部和虚部的平方和的平方根。

3.A

解析思路：复数z的共轭函数是将z的虚部取相反数。

4.A

解析思路：复数z的辐角是其与实轴的夹角，辐角主值在[-π,π]区间内。

5.B

解析思路：复数z的泰勒级数展开式的系数是z的n次幂的导数在z=0处的值除以n!。

6.B

解析思路：f(z)=e^(z^2)在整个复平面上都是解析的。

7.A

解析思路：解析函数的实部u(x,y)和虚部v(x,y)满足柯西-黎曼方程。

8.C

解析思路：复数z的幅角主值是其辐角在[-π,π]区间内的值。

9.B

解析思路：f(z)在z=1处有奇点，但在z=1的右侧是解析的。

10.B

解析思路：复数函数的拉普拉斯变换是对其实部和虚部分别进行拉普拉斯变换。

二、填空题答案及解析思路：

1.5

解析思路：复数z的模等于其实部和虚部的平方和的平方根。

2.π/4

解析思路：复数z的辐角是其与实轴的夹角，对于z=1+i，其辐角是π/4。

3.3+4i

解析思路：复数z的共轭函数是将z的虚部取相反数。

4.∂u/∂x=∂v/∂y

解析思路：解析函数的实部u(x,y)和虚部v(x,y)满足柯西-黎曼方程。

5.θ

解析思路：复数z的幅角主值是其辐角在[-π,π]区间内的值。

6.1+2iz-2z^2+...

解析思路：复数z的泰勒级数展开式可以通过对z进行多项式展开得到。

7.外解析

解析思路：f(z)在z=1处有奇点，但在z=1的右侧是解析的。

8.平面

解析思路：f(z)=e^(z^2)在整个复平面上都是解析的。

9.1

解析思路：复数z的泰勒级数展开式的系数是z的n次幂的导数在z=0处的值除以n!。

10.L{u(x,y)}-iL{v(x,y)}

解析思路：复数函数的拉普拉斯变换是对其实部和虚部分别进行拉普拉斯变换。

三、计算题答案及解析思路：

1.z的模=√(2^2+3^2)=√13，z的辐角=arctan(3/2)。

解析思路：复数的模是其实部和虚部的平方和的平方根，辐角是反正切函数的值。

2.f(z)=z^2在z=1处的泰勒级数展开式的前三项为1+2z+z^2。

解析思路：泰勒级数展开式可以通过对z进行多项式展开得到。

3.f(z)在z=1处的解析性是外解析。

解析思路：f(z)在z=1处有奇点，但在z=1的右侧是解析的。

四、证明题答案及解析思路：

1.证明：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都满足拉普拉斯方程。

解析思路：利用柯西-黎曼方程和拉普拉斯方程的定义进行证明。

2.证明：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)的混合偏导数相等，即∂u/∂x=∂v/∂y。

解析思路：利用柯西-黎曼方程和偏导数的定义进行证明。

五、应用题答案及解析思路：

1.f(z)=e^(z^2)在z=0处的泰勒级数展开式的前三项为1+0z+0z^2。

解析思路：泰勒级数展开式可以通过对z进行多项式展开得到。

2.f(z)=z/(1-z)在z=1处的反函数是f^(-1)(z)=