2024年高考数学一轮复习第7章第6讲：空间向量的概念与运算（附答案解析）

2024年高考数学一轮复习第7章第6讲：空间向量的概念与

运算学生版

【考试要求】i.r解空间向量的概念，/解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正

交分解及其坐标表示2掌握空词向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其

坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量,

能用向量力法证明立体几何中有关线面位置关系的一些而单定理.

■落实主干知识

【知识梳理】

i.空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

相等向量方向蛔且模型签的向量

相反向量长度相等而方向相反的向量

表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相的i

共线向量(或平行向量)

或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量〃，WK0),的充要条件是存在实数心使。=劝.

(2)共面向量定理：如果两个向量。，力不共线，那么向量p与向量纵8共面的充要条件是存

在唯二的有序实数对(x,y)，使p=.ia+.vb.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,

z),使得p=xa+)力+zc,{“，b,c}叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积及运算律

(1)数量积

非零向量d〃的数量积a./»=|a|网ccs(a,h).

(2)空间向量的坐标表示及其应用

设。=31，。2，。3)，b=(bi，bz，Z?3).

向量表示坐标表示

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数量积d'ba也]+a2b?+空1”

共线a=，.励WO,2£R)。2=入卜2,

垂直。仍=O(aKO,bWO)a也i+他―+a版3=0

模闷y裙+元+曷

a・baibi+a2b2+a3b3

夹角余弦值cos〈a,b)—I,曲(aH0,bW0)cosa,质尻+仪+员

4.空间位置关系的向量表示

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量。的有向线段所在直线与直线/平行或重合，则称此

向量a为直线/的方向向量.

(2)平而的法向量：直线LLa,取直线/的方向向量。，则向量Q为平面a的法向量.

(3)空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

h//h〃1=ZW2(AER)

直线h»h的方向向量分别为〃।,“2

/11/2"I_L〃20〃「〃2=O

直线/的方向向量为小平面a的法l//aH±/rt<=>WW=0

向量为m,Ida/J_Qn/im<=>n=Am(X£R)

a//fin//m<=>n=z/n(A£R)

平面％4的法向量分别为〃，机

aL[i;i±m<=>/»m=0

【常用结论】

1.三点共线：在平面中A,B.。三点共线今届=x5h+y而其中x+)=l),O为平面内任

意一点.

2.四点共面：在空间中产，A,B,C四点共面台或+,34+二不7(其中x+y+z=l),

O为空间中任意一点.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)空间中任意两个非零向量a.力共面.(J)

(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(X)

(3)若A,B,C,。是空间中任意四点，则有/S+反:+诙+区1=0.(V)

(4)若直线a的方向向量和平面a的法向量平行，则a〃a.(X)

【教材改编题】

1.如图，在平行六面体4BCD—4BCQ中，AC与8。的交点为点M,设油=a,AD=b,

第2页共39页

丽=。，则下列向量中与"而相等的向量是()

2.如图所示，在正方体ABCO-A山iGG中，棱长为a,M,N分别为A归和AC上的点,

4M=42=半，则MN与平面BBiGC的位置关系是()

A.相交

C.垂直D.不能确定

答案B

解析分别以GS,C.D),GC所在直线为x,)，，z轴，建立空间直角坐标系.因为4例=

〃)，所以疝V=(一,，。，豺,

又G(OOO),。(0,40),所以33|=(0,",o),所以拓V•石石=0,所以加

因为3d是平面AAlGC的一个法向量，且MM3平面〃氏GC,所以〃平面月8iGC.

3.设直线/”6的方向向量分别为。=(一2,2,1),6=(3,-2,m),若/山2,则/〃=.

答案10

解析V71±Z2»：.aLb,

.ab=-6-44-/7:=0,/.w=10.

第3页共39页

■探究核心题型

题型一空间向量的线性运算

例I(1)在空间四边形八8c。中，油=(-3,5,2),CD=(-7,-1,-4),点£F分别为线

段BC,4。的中点，则崩的坐标为()

A.(2,3,3)B.(—2,—3,—3)

C.(5,-2,1)D.(—5,2,—1)

答案B

解析因为点E,F分别为线段BC,A。的中点，设。为坐标原点，

所以济=而一dfe,d>=|(on-db),OE=^OB-\-OC).

■1»■»I■»,■1—»・

所以后尸=手。八+0£>)一手。8+。0=5(84+。。)=5乂[(3,-5,-2)+(—7,—1,-4)]

=；X(—4,—6,—6)=(—2,—3,—3).

(2)(2023•北京日坛中学模拟)在三棱柱ABC中，。是四边形的中心，且肉=

a,AB=b,AC=c,则羸等于(

A.；a+S+；c

D.

答案D

解析M)=MA-\-XB-\-BD

=-AAi+前+宏丽+庆7)

,・6►1,・61►-►

=一M+八8+济4+犯。一钻)

1,一♦1—♦1—*

=—g4Ai

第4页共39页

=一3c.

思维升华用已知向量表示某一向量的三个关键点

(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.

(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

跟踪训练I⑴已知。=(2,3,—4),》=(—4,—3,—2),b=^x-2a,贝Ux等丁,()

A.(0,3,-6)B.(0,6,—20)

C.(0.6»—6)D.(6,6,-6)

答案B

解析由力=$一2"，得x=4a+28=(8,12,—16)+(—8,-6.-4)=(0,6,-20).

(2)如图，在长方体ABCO-ABIGOI中，O为AC的中点.

①化简历3一卡^一歹7)=

②用石，AD,而表示芯，则诟=.

答案①/②|祐+抽+4了

解析①而5—3"抽=再&V(懿+病)=45—历=储6+万1=京

②因为无=；危=；(矗+病)，

,一・»,1■■».,一■1.1»i.

所以OG=OC+CG=；7(A8+HO)+AA|=5A8+5AQ+AA1.

乙乙乙

题型二空间向量基本定理及其应用

例2(I)下列命题正确的是()

A.若。与方共线，人与c共线，则。与c共线

B.向量〃，人c共面，即它们所在的直线共面

C.若空间向量a,b,c不共面，则a,b,c都不为0

D.若a,b,c共面，则存在哇一的实数对(x,y),使得。=H>+yc

答案C

第5页共39页

解析若。=0,则满足〃与b共线，）与c共线，但是〃与c不一定共线，故A错误；

因为向量是可以移动的量，所以向量。，b,c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错

误：

假设mb,c至少有一个为0,则空间向量a,b,c共面，故假设不成立，故C正确；

假设力=0,若a,c共线，则存在无数个实数对（.%y）,使得。=W+yc,若a,c不共线，则不

存在实数对（x,y）,使得a=H+yc,故D错误.

（2）（多选）下列说法中正确的是（）

A.⑷一囿=|。+切是a,力共线的充要条件

B.若油，而共线，则A8〃CO

C.A,B,C三点不共线，对空间任意一点O,若。＞=拼后+）5方+:沆，则P,A,B,C

DO

四点共面

D.若P,A,B,。为空间四点，且有萩=7/+〃元'（丽，元不共线），则2+4=1是A,B,

。三点共线的充要条件

答案CD

解析由⑷一步|=|a+"，可知向量”，，的方向相反，此时向量出力共线，反之，当向量。，

力同向时，不能得到⑷一族|=|。+"，所以A不正确；

若彳h,而共线，则A8〃C。或A,B,C,D四点共线，所以B不正确；

由4,B,C三点不共线，对空间任意一点O,若决=/工+£历+彳沆，因为曰+/+/=1，

可得尸，八，B,。四点共面，所以C正确；

若P,A,B,C为空间四点，且有顼=/.两+〃正（而，正不共线），

当2+"=1时，即"=1一人可得无一元=7（两一元），即己=北及

所以A,B,C三点共线，反之也成立，即2+"=1是A,B,C三点共线的充要条件，所以

D正确.

思维升华应用共线（面）向量定理、证明点共线（面）的方法比较

三点（P,A,8）共线空间四点（M,P,A,8）共面

PA=kPBMP=xMA+yMB

对空间任一点aOP=OA-YtAB对空间任一点O,OP=OM+.vMA+）•后方

对空间任一点0,OP=xd\-\-(\-x)OB对空间任一点0,OP=xOM-k-yd/\-\-(\-x-yyOB

跟踪训练2（1）己知空间中A,B,C,。四点共面，且其中任意三点均不共线，设。为空间中

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任意一点，若丽=6丽一4而一i元，则2等于()

A.2B.-2C.1D.-1

答案B

解析砺=6万1一4瓦+7瓦;，即丽一两=6丽一4而+:元，

整理得历=6百一3户后+"已

由A,B,C,。四点共面，且其中任意三点均不共线，

可得6—3+2=1,解得2=-2.

(2)(2023・金华模拟)已知正方体的楼长为L巨满足泳=*扇+)及〕+(1一%

~y)DDi,贝ij|曲的最小值是()

A.§B.吃-C.D.’

答案C

解析因为加=*法+)'灰7+(1—4一)，)鬲，由空间向量的共而定理可知，点E,A,C,Di

四点共面，即点E在平面ACA上，所以|丽的最小值即为点O到平面AC。的距离乩由正

方体的棱长为1,可得△AC。是边长为m的等边三角形，则5掺皿=；X(也)2乂4片=坐,

5A4CD=1X1XI由等体积法得Vf)_ACDi=匕…e,所以《X坐XJ=1X3X1,解得d=乎,

所以I无I的最小值为坐

题型三空间向量数量积及其应用

例3⑴已知点O为空间直角坐标系的原点，向量后=(1,2,3),劣=(2,1,2),。?=(1,1,2),

且点。在直线OP上运动，当宓•丽取得最小值时，曲的坐标是.

答案G<443,38；A

解析•.•亦=(1,1,2),点Q在直线OP上运动，

设为=2而=(九x,22),

又・・6=(1,2,3),加=(2,1,2),

：.QA=OA-dQ=(l-^2"3-2x),

QB=OB-dQ=(2-；.,1-2,2-22),

则画0方=(1一#(2—乃+(2一人)(1一2)+(3—27)(2—功=6/一呦+10,

第7页共39页

4—>—>

当时，QVQ8取得最小值，

此时曲的坐标为传，；，1).

(2)如图，已知平行六而体A3CO-4&GOi中，底面A8c。是边长为1的正方形，A4=2,

N/M8=NA|A3=12O°.

B

①求线段AG的长；

②求异面直线AG与A0所成角的余弦值:

③求证：AAilBD.

①解设油=a,AD=b,AAi=c,

则同=网=1,|c|=2,ab=O,

ca=c"=2XlXcos1200=-l.

因为AG=A8+AO+AAi=“+》+c,

所以|而|=|a+〃+c|=、(a+1+c)

=、|aF+l8|2+|c|2+2a/+2〃c+2〃・c

='1+1+4+0—2—2=6,

所以线段AG的长为小.

②解因为然=a+)+c,短)=b—c,

所以记•赢5=(a+/>+c)・(Z>-c)

=ab-ac+b2-c2

=0+1+1—4=一2,

\Ad)\=\b-c\=q(b—c)2

=、/向2+|C『-2"C

=、1+4+2=市,

设异面直线AG与4。所成的角为仇

—»・A

则cos8=|cosMCi,A]D)|=

宿而

第8页共39页

|-2|V14

=^2^7=7

即异面直线AG与4。所成角的余弦值为华.

③证明由①知启=c,BD=b—a,

所以AAr8O=c・3—a）=cZ>—c0=—1+I=0,

即标•访=0,

所以AA

思维升华空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接

计算：二是利用坐标运算.

跟踪训练3（1）（2023・益阳模拟）在正三棱锥?一八8c中，。是△八8。的中心，PA=AB=2,

则由.成等于（）

5近¥8

-C-

3

A.9B.D.3

答案D

解析•・/-48c为正三核锥，。为△A8C的中心，

A

4B

，PO_L平面ABC,

POLAO,POOA=Ot

―2-2s

|710|=y|/W|-sin60°=学，

故由谡=历.(由+晶)=|丽2=|殖2一|历|2=4一4=4

JJ

(2)(2022•营口模拟)已知A(—1,2,1)，8(—154),C(1,3,4).

①求〈法，反?)；

②求危在矗上的投影向量.

解①因为4(-1,2,1),解一1.5,4),0(134),

所以后=(0,3,3),BC=(2,-2.0).

因为B•正=0X2+3X(-2)+3X0=-6,

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|嘉|=3•，|的=2也,

6

所以cos(赢，BC)ABBC_~__1

丽就36X2啦

故(AB,BC}=空.

②因为启=(2,1,3),病=(0,3,3),

所以n•嬴=0+1X3+3X3=12.

因为油|=3娘，|/\C|=V14,

ACAB_12_2A/7

所以cos(AC,AB)=^^=Vi4X3V2=

*>

所以危在油上的投影向量为萌Icos(Ac,/W)半■="ix¥x斐=常屯=(02.2).

\AB\3^2-

题型四向量法证明平行、垂且

例4如图所示，在长方体AACD—4&G4中，AAX=AD=\,笈为CO的中点.

(1)求证：BiELADi,

(2)在棱44上是否存在一点P，使得。P〃平面SAE?若存在，求AP的长：若不存在，说

明理由.

(1)证明以A为原点，矗，病，启的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示

的空间直角坐标系.设AB=a,

则40。0),0(0,1,0),Di(0,l,l),

故A£)i=(0,1,1),&E=(-2,,,

因为靛•丽=-Mxo+ixi+(—i)xi=o,

第10页共39页

所以靛_L而，即BiELAOi.

⑵解存在满足要求的点P,

假设在棱加i上存在一点P（0。zo）,

使得OP〃平面即4£,此时方＞=（0,-1,zo）.

设平面8NE的法向量为〃=（x,y,z）.

篇i=（a,0,】），京=（/I,0）.

因为〃_L平面84E,所以〃_L彳瓦，nlAE,

ax+z=0.

取x=l,则y=一看z=­a,

故〃=(1,一*一，

要使D"〃平面3展“，只需方九

则?一azo=O,解得期=].

所以存在点P,满足。P〃平面8NE,此时八。=今

思维升华（1）利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系（尽可能利用垂直条

件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素）.

（2）向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关

定理.

跟踪训练4如图，在直三棱柱ABC-ABG中，N/SC=90。，BC=2,CC|=4,点E在线

段3以上，且E8i=l,D,凡G分别为CG，Cifii,GA的中点.

⑴求证:平面A归Q_L平面ABD：

⑵求证：平面EGF〃平面A8D.

证明以8为坐标原点，BA,BC,8囱所在直线分别为x轴、），轴、z轴建立如图所示的空

第II页共39页

间直角坐标系，则5(0,0,0),D(0,2,2),9(0,0,4),E(0,0,3),F(0,l,4).

设BA=a,则A(a,0.0),G6，1,4).

(1)因为函=5,0,0),而=(022),助=(0,2,-2),

所以瓦万屈=0,而办位)=0.

所以诉51丽,BTDIBD,

即BiDLBA,BiDLBD.

又BACBD=B,BA,BOU平面A8O,所以3|O_L平面A3D.

因为SOU平面A%。，所以平面平面ABD.

(2)方法一因为席=(去1,1),赤=(0,1,1),瓦方=(0.2,-2),

所以瓦万•比=0,Bd)EF=0.

所以B\DLEF.

因为EGnE/=£EG,七口=平面EGE所以BQ_L平面EGF.

又由(I)知BQ,平面ABD,

所以平面EG"〃平面ABD.

方法二因为无'=(-10,0),

所以游•=一］»,：.GF//BAt

又GR1平面八30,4BU平面人8£),

所以G”〃平面A3D,同理夕〃平面A3。，

又GFCEF=F,GF,EFU平面EGF,

所以平面EGF〃平面HAD

课时精练

0基础保分练

第12页共39页

I.已知直线/的一个方向向量为机=82,—5）,平面a的一个法向量为〃=（3,-1.2）,若

l//a,则x等于（）

A.-6B.6C.-4D.4

2.（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的有（）

A.若向量a,力与空间任意向量都不能构成基底，则。〃b

B.若非零向量a,b,c满足a_L/»,/;±c,则有a〃c

C.若公,OB,历是空间的一组基底，且应）=：而+3/+¥元;，则八，8,C,。四点共

面

D.若向量。+儿b+c,c+a是空间的一组基底，则。，力，c也是空间的一组基底

3.如图，在长方体ABCO-AIBIGOI中，设AO=1,则3万・疝等于（）

C.3D书

4.已知平面a内有一个点A（2,-1,2）,a的一个法向量为〃=（3,1,2）,则下列点P中，在平

面a内的是（）

3

B3-

A.（1»—12

33

-3-

C（1,-3.22

5.如图在一个120。的二面角的棱上有两点4,B,线段AC,BZ）分别在这个二面角的两个半

平面内，且均与棱A8垂直，若AC=l,BD=2,则C。的长为（）

A.2B.3C.2小D.4

6.（多选）（2023•浙江省文成中学模拟）已知空间向量a=（2,-2,1）,1=（3。4）,则下列说法正

确的是（）

A.向量c=（—8,5,6）与a,力垂直

B.向量d=（l,—4,—2）与a,。共面

C.若〃与力分别是异面直线力与上的方向向量，则其所成角的余弦值为方2

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D.向量。在向量b上的投影向量为(6,0,8)

7.已知直线/的方向向量是m=(l,。+2从«-1)(«,bCR),平面a的一个法向量是n=

(233).若/_La,则a+b=.

8.已知丫为矩形A8C。所在平面外•点，且磔=V8=VC=V7),VP=|vC,VM=^VB,VN

=|市.则%与平面PMN的位置关系是.

9.已知0=(1,-3,2),6=(-2,1,1),A(—3,-1.4),5(-2,-2,2).

(1)求口+"

(2)在直线A8上是否存在一点£使得丽_Lb?(O为原点)

10.如图，四棱锥尸一/WC。的底面为正方形，侧棱附，底面A3CQ,且%=A。=2,E,

F,〃分别是线段布，PD,48的中点.求证：

第14页共39页

D

Bk

(1)P8〃平面EFH；

(2)PZ)_L平面

巳综合提升练

11.如图，在长方体ABC。-AIBIGOI中，AB=y[3AD=y[3AA।=^3,点P为线段AC上的动

第15页共39页

点，则卜列结论不止确的是（）

A.当沅=2入声时，Bi，P,D三点共线

B.当成_L彳泊时，成_1_9

C.当戏一3x了时，。产〃平面3£>Ci

D.当祝=5彳市时，4C_L平面。］4/）

12.（多选）（2023•梅州模拟）如图，在正方体A8CD—ABG。中，A4i=3,点M,N分别在

棱/W和8%上运动（不含端点）.若DTMLMN,则下列命题正确的是（）

A.MNIAiM

B.MN_L平而QiMC

C.线段所V长度的最大值步3

D.三棱锥G-4Q|M体积不变

13.在正三棱柱A8C—A出。中，侧棱长为2,底面边长为1,M为8c的中点，CJV=A7VC,

且则2的值为.

14.（2022•杭州模拟）在棱长为1的正方体ABCD-4181cd中,E,F分别为4。，Mi的中

点，WJcosZEAF=,EF=.

笠拓展冲刺练

15.已知梯形CEP。如图（1）所示，其中PO=8,CE=6,A为线段P。的中点，四边形A8CD

为正方形，现沿48进行折苗使得平面以8E_L平面A8CD,得到如图⑵所示的几何体.已

知当点厂满足赤=小稔（0<2<1）时，平面。EF_L平而PCE,则；I的值为（）

⑵

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1234

A-2B3C5D5

16.如图，在三棱锥〃一八8C中，丽•赢=丽京=矗京=0,|萩『=|危|?=4|矗匕

(1)求证：AB_L平面EC;

⑵若M为线段PC上的点，设殴1=人当/为何值时，直线PC_L平面M48?

\PC\

2024年高考数学一轮复习第7章第6讲：空间向量的概念与

运算教师版

【考试要求】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正

交分解及其坐标表示2掌握空诃向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其

坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直3理解直线的方向向量及平面的法向量,

能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

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■落实主干知识

【知识梳理】

1.空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量长度相笺而方向函的向量

表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相生红

共线向量(或平行向量)

或重合的向量

共面向量平行于同•个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量。，加〃关0),的充要条件是存在实数九使。=劝.

(2)共面向量定理：如果两个向量小力不共线，那么向量p与向量。，力共面的充要条件是存

在唯_的有序实数对(X,y),使p=xa+.v力.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量〃，b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(X,)，，

z),使得p=xa+y/>+zc,{a,b,c)叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积及运算律

(1)数量积

非零向量。，。的数量积。•力=|a||b|cos〈a,b).

(2)空间向量的坐标表示及其应用

设〃=(“”。2，"3)，b=(b\»戾,by).

向量表示坐标表示

数量积a'b包—+生岳+。3岳

共线0=询后0,2GR)0=26”42=久〃2，〃3=》b3

垂直a〃=0(aX0,吐0)+。2-〃协3=0

模7亩+届+白3

_____a1/%+〃如+小岳

夹角余弦值cos<fl,/>>力二°)C0S45+a2+a对山+质+员

4.空间位置关系的向量表示

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线，平行或重合，则称此

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向量。为直线/的方向向量.

(2)平面的法向量：直线LLa,取直线/的方向向量m则向量Q为平而a的法向量.

(3)空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

l\//h〃1=ZH2(A£R)

直线，|，/2的方向向量分别为〃1，〃2

/山2力］=0

直线/的方向向量为〃，平面。的法l//aH±m<=>w-/n=0

向量为tn,IQal-Lan/；ni<->n=Am(XWR)

a//fin//m<=>n=xm(A£R)

平面原4的法向量分别为“，机

alfiH±m<=>wm=0

【常用结论】

1.三点共线：在平面中A,B.。三点共线台晶=x5h+y54其中x+y=l),O为平面内任

1-

思一点.

2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面O办=不苏+用方十z次7(共中工+y+z=l),

O为空间中任意•点.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在拈号中打“J”或“X”)

(1)空间中任意两个非零向量a.6共面.(V)

(2)空间中模板等的两个向量方向相同或相反.(X)

(3)若4,B,C,。是空间中任意四点，则有赢+比+日)+属=0.(J)

(4)若直线a的方向向量和平面a的法向量平行，则〃〃a.(X)

【教材改编题】

1.如图，在平行六面体ABCD-A/IGDI中，AC与8。的交点为点M,设油=a,AD=b,

丽=小则下列向量中与3而相等的向量是()

A.一呼+于+c

C.—^a—^b—c

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答案C

解析

2.如图所示，在正方体43CQ-ABCiDi中，棱长为a,M,N分别为48和4c上的点,

AM=AN=^，则MN与平面88CC的位置关系是()

A.相交

C.垂直D.不能确定

答案B

解析分别以G8i,G。1，GC所在直线为x,)，，z轴，建立空间直角坐标系.因为4M=

a),所以2加=(_*0,示/),

又G(0,0。)，。|(0,a.0),所以3^1=(0,",o),所以向A・3元=0,所以而V_L3sl.

因为加51是平面881cle的一个法向量，且MNQ平面ABiGC,所以MN〃平面BBlGC

3.设直线/”3的方向向量分别为。=(-2,2,1),6=(3,-2,相，若1山2,则机=1

答案10

解析V/(±Z2,：.a±b,

二〃力=-6—4+/〃=0,/.m=10.

■探究核心题型

题型一空间向量的线性运算

例I(I)在空间四边形A8C。中，,方=(-352),CD=(-7,-1,一4),点E,产分别为线

段8C,4/)的中点，则际的坐标为()

A.(2,3,3)B.(―2»—3,—3)

C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)

答案B

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解析因为点E,"分别为线段5C,A。的中点，设0为坐标原点,

—♦■»—♦—♦1—>—♦->1■»—»

所以EF=OF—OE,。尸=](0A+。。)，0E=^0B+0O.

•'»I—►—►I—♦—►I—♦—►

所以八+O£))—E(O8+OC)=E(8/1+CD)=ZX[(3,-5,-2)+(—7,-I,-4)]

=^X(—4,—6,—6)=(-2,—3,—3).

(2)(2023•北京日坛中学模拟)在三棱柱48iG—ABC中，。是四边形B囱GC的中心，且启=

a,AB=b,AC=c,则砸等于(

解析不方=而?+超+防

'・»—>1-6-

=一44+A8+京8S+B。

=-AAi+赢+3丽+/启一丽

=丽

I,1,1

=­5。+初+乎.

思维升华用已知向量表示某一向量的三个关键点

(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.

(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

跟踪训练1(1)已知。=(2,3,—4),力=(—4,—3,—2),b=Jx—2«，则x等于()

A.(0,3,—6)B.(0.6,-20)

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C.(0,6,-6)D.(66-6)

答案B

解析由力=%—2。，得x=4a+28=(8.12,—16)+(—8,-6.-4)=(0,6,-20).

(2)如图，在长方体ABCO—ABiGOi中，。为AC的中点.

①化简4。一5八8一济。=

②用4瓦俞，丽表示5苕，则。苕=

答案①而②|矗+领）+丽

②因为3t=/正?=1（牯+而）.

所以诟=公+五=今后+石）+丽=）亚+%1）+讶.

题型二空间向量基本定理及其应用

例2（1）下列命题正确的是（）

A.若〃与方共线，8与c共线，则。与c共线

B.向量“，h,c共面，即它们所在的直线共面

C.若空间向量mb,c不共面，则出b,c都不为0

D.若a,b,c共面，则存在哇一的实数对（x,y）,使得a=.x力+yc

答案C

解析若方=0,则满足。与力共线，〃与c共线，但是。与c不一定共线，故A错误；

因为向量是可以移动的量，所以向量。，瓦c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错

误；

假设a,b,c至少有一个为0,则空间向量。，b,c共面，故假设不成立，故C正确；

假设8=0,若4C共线，则存在无数个实数对（X,>'）>使得。=A力+声，若。，。不共线，则不

存在实数对（x,y）,使得a=H+yc,故D错误.

（2）（多选）下列说法中正确的是（）

A.同一步|=|°+”是a,b共线的充要条件

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B.若崩,而共线，则A8〃CD

C.A,B,C三点不共线，对空间任意一点0,若而1+3励+上沆，则P,A,B,C

四点共面

D.若P,A,B,C为空间四点，且有萩=7而+〃丽"（丽，正不共线），则2+"=1是A,B,

。三点共线的充要条件

答案CD

解析出同一出|=|0+〃|,可知向量匹〃的方向相反，此时向量匹力共线,，反之，当向量4,

力同向时，不能得到⑷一|力|=|。+）|,所以A不正确；

若赢，而共线，则A8〃C。或4,B,C,。四点共线，所以B不正确；

由A,B,C三点不共线，对空间任意一点0,若5»=弓苏+!为+!沆，因为:+!+:=1，

可得P,A,B,C四点共面，所以C正确；

若P,A,B,C为空间四点，且有瓦=）.而+〃布（而，正不共线），

当义十〃一1时，即〃一1一九可得—以户方一67）,即可一高友

所以A,B,C三点共线，反之也成立，即2+4=1是A,B,C三点共线的充要条件，所以

D正确.

思维升华应用共线（面）向量定理、证明点共线（面）的方法比较

三点（P,A,5）共线空间四点（勿，P,A,3）共面

R\=APBMP=xMA-\-yMB

对空间任一点O,OP=OA+tAB对空间任一点O,OP=OM-\-xMA-\-yMB

对空间任一点0,OP=xOA-¥{\~x)OB对空间任一点0,OP=xOM+yOA+(\-x-y)OB

跟踪训练2（1）已知空间中A,B,C,。四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中

任意一点,若丽=6或一4而一7而*,则2等于（）

A.2B.-2C.1D.-1

答案B

解析BD=6E\-4PB+APC.即西）一丽=6万i-4而+）.无.

整理得丽=6丽一3而+）"

由A,B,C,。四点共面，且其中任意三点均不共线，

可得6—3+2=1,解得2=-2.

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(2)(2023・金华模拟)已知正方体ABC。-4BC1G的棱长为1,且满足"七=.比%+)，。。+(【一工

->)55),则|用的最小值是()

1c应「2

A.gB.-^-C—.亚-^-D.y

答案C

解析因为方方=%而+)、比+(1—4一.丫)万万，由空间向量的共面定理可知，点E,A,C,Di

四点共面，即点E在平面4CQ上，所以|曲的最小值即为点。到平面八C。的距离乩由正

方体的棱长为1,可得△AC。是边长为也的等边三角形，则S^AS=9(陋/Xsin尹孚,

S.MCD=1X1X1=/,由等体积法得VD_ACDi=%.ACD，所以;X坐xd=gX3X1,解得d=堂,

所以I而的最小值为坐.

题型三空间向量数量积及其应用

例3(1)已知点。为空间直角坐标系的原点，向量近=(1,2,3),面=(2,1,2),而=(1,1,2),

且点。在直线OP上运动，当忠•应取得最小值时，曲的坐标是.

口案G/434,38；、

解析•・•丽=(1C,2),点0在直线OP上运动,

设丽=2办=(九x,22.),

又,.♦—=(123),丽=(2,1,2),

：.QA=a\-OQ=(\-^2-z,3-2A),

QB=OB-OQ=(2-^1-2,2-2；),

则宓•而=(1一团(2—乃+(2—』)(1一»+(3—2；)(2—2/1)=6乃一164+10,

4ff

当入=1时，QVQ3取得最小值，

此时丽的坐标为停，方,

(2)如图，已知平行六面体88。。-4囱。|。|中，底面ABCO是边长为1的正方形，AA}=2,

/AiA8=N4AD=l200.

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a

①求线段AG的长；

②求异面直线ACx与4。所成角的余弦值：

③求证：AAiYBD.

①解设AI)=h,AA\=c,

则⑷=|例=1,|c|=2,ab=0,

ca=cb=2X1Xcos1200=—1.

因为AG=AB+A£)+AA|=a+〃+c,

所以|ACi|=|a+1+c|=\(a+b+c)2

=、|aF+1。『+|。产+2。力+2力。+2ac

=、1+1+4+0—2—2=w,

所以线段AG的长为41

②解因为记=a+b+c,