2024年高考数学一轮复习86分布列与其他知识综合运用(精练)(原卷版+解析)

8.6分布列与其他知识综合运用（精练）（提升版）

题组一与数列综合

1.（2022•卡庆市模拟）为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月

8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定

数量的民航局对其发出“熔断'指令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂

停运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期''结束后，航空公司方可恢复

每周I班航班计划.已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的

概率是:，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是:，未被熔断的一次航班的下一次航

22

9

班也未被熔断的概率是］••条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公

司A航线的第n次航班被熔断的概率为几.

（1）求；

12）证明：p“一|｝为等比数列；

13）求数列｛%｝的前〃项和并说明］的实际意义.

2.（2021.高州模拟）为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知

识+基本运动技能+专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛一校级联赛一选拔性竞赛一国际交流比

赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度.某校开展“阳

光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱.其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球

比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，

两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-I分；两人都命中或都未命中，两人均得。分，设甲

12

每次踢球命中的概率为-,乙每次踢球命中的概率为-,且各次踢球互不影响.

（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X,求X的数学期望；

（2）若经过〃轮踢球，用P,表示经过第/轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率.

①求Pl，〃2，；

②规定％=。，且有Pi=ApQBpj，请根据①中Pi,p2,p、的值求出A>B,

并求出数列｛〃”｝的通项公式.

3.（2022.廊坊模拟）有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有

第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开始在第。站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳

动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k到k+\），若掷出反面，棋向前跳两站（从k到k+2）,

直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第1（）0站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n

站概率为匕.

（1）求玲，R,6的值：

（2）求证：匕一？_1=一;（匕_1一匕_2），其中,2领%99；

（3）求心及小0的值.

4.（2022.太原二模）足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练

中的两个重要训练项目.

（1）假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、中、右三

个方向扑点球，且守门员方向判断正确时有5的可能将球扑出球门外.在一次点球战中，求守门员在

前三次点球中，把球扑出球门外的个数x的分布列和数学期望：

（2）某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地

传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行.假设每个球都能

被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为求证：数列［匕-；、为等比数列，并求匕.

5.（2022.湖北模拟）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，

成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足，其中门将朱

锋两度扑出日本队员的点球，表现神勇.

（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,

门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有不的

可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和

期望：

（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从

甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中

的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p“，易知

Pl=l，“2=0.

①试证明（〃“一；,为等比数列：

②设第〃次传球之前球在乙脚下的概率为%,比较回。与的大小.

题组二与函数综合

1.（2022北京）2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一

墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款

纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下

把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，井洛收集的10（）名消费者的心理价位

整理如下:

心理价位（元/件）90100110120

人数10205020

假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念

品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售

价格为x（单位：元/件），90cxe20,且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布

估计总体的分布，频率视为概率.

（1）若x=100,试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段

该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望£（X）：

（2）假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销

售价格x定为多少时，Y的数学期里七”）达到最大值？

2.（2022高三上•潍坊期中）2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻

团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.，公

斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进•条先进食品

生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为/«（/nG[70,100]）,

其侦量指标等级划分如下表:

质量指标值,n[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]

质量指标等级良好优秀良好合格废品

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了

IOOO件，将其质量指标值〃1的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图:

（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记”抽出的产品中至少有1件不是废品”为事

件A，求事件A发生的概率；

（2）若从质量指标值//?>85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取

3件产品，求质量指标值［90,95）的件数X的分布列及数学期望；

（3）若每件产品的质量指标值胴与利润（单位：元）的关系如下表（1</<4）：

质量指标值1,1[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]

5,

利润y（元）6/8;4/It——e

3

试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由：若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润

达到最大（参考数值：In2«0.7,In5«1.6）.

3.（2021高三上•通州期中）某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不

影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元.现分别统十该

蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：

甲市场乙市场

以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进〃吨该蔬菜，在甲、乙两

个市场同时销售，以X（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，T（单位：元）表

示下个销售周期两个市场的销售总利润.

（1）求变量X概率分布列；

（2）当〃=19时，求7与X的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；

（3）以销售利润的期望作为决策的依据，判断〃=19与〃=18应选用哪一个.

题组三与导数综合

1.（2022.湖南模拟）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经

理指数（月以）为49.8%,反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗

设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的

跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布

N(p,o"),并把质量差在日+。)内的产品称为优等品，度量差在3+。,N+2o)内的产品称

为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随

机抽取1()00件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

(I)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100,用样本平均数元作为卜I的近似

值，用样本标准差S作为。的估计值，记质量差X~N(R/)，求该企业生产的产品为正品的概率P；

(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)

(2)假如企业包装时要求把2件优等品和〃(〃22,且“eN”)件•等品装在同一个箱子中，质检员从

某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A,否则该箱产品记

为B.

①试用含〃的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率P；

②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为/(〃)，求当〃为何值时，/(〃)取得最大值，并求出最

大值.

参考数据：若随机变量自服从正态分布N仙6),则：P(|X-O<^<|4+O)«0.6827,

PQI-2Gv4<卜1+2a)«0.9545,P(p-3a<^<j,i+3c)=0.9973.

2(2022.齐齐哈尔二模)为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒

乓球比赛，其中参加男了•乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区,三个校区的队员人数分别是3,4,

5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最

后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的队员枳3分，失败的队员积。分；

而在比赛中以3:2取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比

赛张三取胜的概率均为〃（OV〃V1）.

（1）比赛结束后冠亚军（没有并列）恰好来自不同校区的概率是多少？

（2）第10轮比赛中，记张三3：1取胜的概率为了（〃）.

①求出/（p）的最大值点P。；

②若以Po作为P的值，这轮比赛张三所得积分为X,求X的分布列及期望.

3.（2022.胡芦岛模拟）葫芦岛市矿产资源丰富，拥有煤、铝、锌、钳等51种矿种，采矿业历史悠久，

是葫芦岛市重要产业之一.某选矿场要对即将交付客户的一批200袋铜矿进行品位（即纯度）检验，

如检验出品位不达标，则更换为达标产品，检验时；先从这批产品中抽20袋做检验，再根据检验结果

决定是否对余下的所有钳矿做检验，设每袋钳矿品位不达标的概率都为〃（（）<〃<1）,且每袋钳矿品位

是否达标相互独立.

（1）若20袋铜矿中恰有2袋不达标的概率为/（〃），求/（〃）的最大值点P。；

（2）已知每袋铜矿的检验成本为10元，若品位不达标铜矿不慎出场，对于每袋不达标铜矿要赔付客

户110元.现对这批铜矿检验了20袋，结果恰有两袋品位不达标.

①若剩余铜矿不再做检验，以（1）中确定的Po作为P的值.这批铜矿的检验成本与赔偿费用的和记

作自,求七代）：

②以①中检验成本与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对余下的所有铝矿进行检验？

4.（2022•河南月考）随着中国经济的迅速发展，市场石料需求急增.西部某县有丰富的优质石料，当

地政府决定有序开发本县石料资源.因建立石料厂会破坏生态，该县决定石料开发走“开发治理结合，

人类生态友好”的路线.当地政府请国家环保机构每年对该县与石料开发相关的生态（以下简称生态）进

行评估.若生态开始变差，则下一年石料厂将停产（本问题中，时间以整数年为单位），生态友好后复

产.该县在建石料厂之初投入巨资进行与之有关的生态建设，考虑到可持续发展，这种生态投入（以

下简称生态投入）将逐年减少（4/〃。一。2-2〃+10）（a是常数，0<a<e）亿元.该县从2021年起,

若某年生态友好，则下一年生态变差的概率是：；若某年生态变差，则下一年生态友好的概率为，.模

OO

型显示，生态变差的概率不大于0.16683时，该县生态将不再变差，生态投入结束.

（1）若2021年该县生态变差的概率为g,求该县2022年生态友好的概率；

（2）若2021年该县生态变差概率为g,生态投入是40亿元，a为何值时，从2021年开始到生态投入

结束，对该县总生态投入额最小？并求出其最小值.

5.（2022・潍坊模拟）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第

女（4=1,2,,100）个箱子中有k个数学题，|（X）-Z个物理题.每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，

依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部

答对获得一个奖品.

（1）已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为/?,

答对每一个物理题的概率为4.

①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率：

②己知〃+4=1,学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时〃、9的值.

(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率.

题组四与其他知识综合

1.(2021高三上•潍坊期中)2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重

举行.为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩,

经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40,50),[50,60),[60,70),

[70,SO),[80,90),[90,100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中〃7的值，并估计这50名学生成绩的中位数：

（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，［70,80）,［80,90）,［90,100］的三组中抽

取了II人，再从这11人中随机抽取3人，记J的分布列和数学期望；

（3）转化为百分制后，规定成绩在［90,100］的为A等级，成绩在［70,90）的为B等级，其它为

C等级.以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取100人，其中获

得B等级的人数设为〃，记8等级的人数为k的概率为P（"二4）,写出P（，7=k）的表达

式，并求出当k为何值时，P3=k）最大？

2.（2022.福州模拟）某种疾病可分为A,8两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在

某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患4型

疾病的人数占男性患者的?，女性患A型疾病的人数占女性患者的!.

63

n(ad-bc)2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+4)

P（K?次）0.100.050.010.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

(I)若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为，所患疾病的类型'与，性别'有关''的结

论，求被调查的男性患者至少有多少人？

(2)某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周

期接种3次，每次接种费用为"?(〃〉0)元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为

p(O<p<l),如果一个周期内至少2次出现抗体.则该周期结束后终止试验,否则进入第一个周期.

2

若〃=§，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.

3.(2022.潮州二模)我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，

若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为〃，收益率为-10%的概率为1-〃；若投

资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为0.4,收益率为-20%的概率为0.1,收益率为零

的概率为0.5.

£(%-可(K-到£X-宙

附：收益=投入的资金x获利的期望：线性回归»=去+4中，〃=J------------=-4---------,

£(七-灭)2夕_行2

r-lr-l

a=y-bx.

（1）已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的

项目：

（2）若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4年累计投资数据如下表:

年份X2018201920202021

卜11234

累计投资金额y（单位：亿元）2356

请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于N的线性回归方程£'=尻1+4，并预测到哪•年年末,

该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元.

8.6分布列与其他知识综合运用（精练）（提升版）

题组一与数列综合

1.（2022.重庆市模拟）为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布

从202（）年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测

结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线

的运行（达到5个暂停运行1周.达到10个暂停运行4周）,并规定“熔断期”的航班量

不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划.已知某

国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是!，

且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是上，未被熔断的一次航班的下一次

2

航班也未被熔断的概率是一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班

次数，记该航空公司A航线的第n次航班被熔断的概率为P“.

（1）求P2；

（2）证明：［“一|卜播比数列；

（3）求数列｛%｝的前〃项和前,并说明7；的实际意义.

【答案】见解析

【解析】⑴解：P2=^X1+1X1=A;

⑵证明：由题得〃“=（i-〃"_）!+〃”_］・；=:+:〃“一］，

3ZJo

21（2、

***P--=-Pn-\--，

n56v5

21\2111

又=/°，•'•数列VP”一工是以77为首项、二为公比的等比数列；

5105J106

1

36

从而Tn=一〃H-----一〃+一

由「P”可以理解为第〃次航班平均被熔断的次数,

・••Tn表示前〃次航班一•共被熔断的次数.

2.（2021.高州模拟）为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善

学校体育“健康知识+基本运动技能+专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛一校级

联赛一选拔性竞赛一国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、

省、国家五级学校体育竞赛制度.某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢

足球''深受同学们喜爱.其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为

一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人

有1人命中，命中者得1分，未命中者得T分；两人都命中或都未命中，两人均得0

12

分，设甲每次踢球命中的概率为-,乙每次踢球命中的概率为-，且各次踢球互不

23

影响.

（I）经过1轮踢球，记甲的得分为X,求X的数学期望；

（2）若经过〃轮踢球，用P,表示经过第i轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的

概率.

①求Pi，%，小；

②规定Po=0,且有Pi=Apj.]+Bpz，请根据①中A,p2,P3的值求出

A、8,并求出数列｛凡｝的通项公式.

【答案】见解析

【解析】（1）记一轮踢球，甲命中为事件A,乙命中为事件B,A,B相互独

立.

1,2

由题意P（A）=-,P（B）=-,甲的得分X的可能取值为一1,0,1.

P（X=-l）=P（^）=P（A）P（B）=h-ljx|=

3

____]2（]\（711

P（X=O）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（^）+P（A）P（B）=-x-+1--x1--=-

__1/9\1

P（X=l）=P（^）=P（A）xP（B）=-xp--j=-,

AX的分布列为：

X-101

]_

P

326

E（X）=-lxl+（）xl+lxl=-l

266

（2）①由（1）Q=-,

6

/?2=P（X=0）P（X=i）+P（X=l）（P（X=0）+P（X=l|）

经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得

1分，1轮得。分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分,

1轮得-1分.

②•••规定=0,目有=+•

Pi+AW61

代入得:Pi=-PM+yPi-\»

Pl=+BPI

•••/〃一凡二:（化一〃1），,数列｛〃“一〃1｝是等比数列，

O

公比为q=:,首项为P,-Pn=7,.

（1Y（\丫111（1A

•••匕=（几一〃,-）+（〃“_「P”2）+,.+（Pi-A））=^-J+（jJ+…+[=《1一'1

3.（2022.廊坊模拟）有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，

棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开始在第。站，棋手每

掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k到攵+1）,若掷

出反面，棋向前跳两站（从k到k+2）,直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳

到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为P„.

（1）求玲，R,P2的值；

（2）求证：勺一-七2），其中〃tN,2效力99；

（3）求&及%的值.

【答案】见解析

【解析】（1）解：棋子开始在第0站为必然事件，，兄=1.

第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为［，•••《=1.

22

棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：

①前两次掷硬币都出现正面，其概率为7：

4

②第一次掷硬币出现反面，其概率为!.

2

・•・T+U.

-424

（2）证明：棋子跳到第n（2都799）站的情况是下列两种，而且也只有两种：

①棋子先到第〃—2站，乂掷出反面，其概率为；%；

②棋子先到第n-l站，又掷出正面，其概率为；匕_1.

Ri.

（3）解：由（2）知，当掇N9时，数列｛『%｝是首项为仁兄=_；，公

比为-工的等比数列.

2

1（1y

・・.k1二一5，，

/।\3/«\«

・・・4=前七；，

[△/=_!■.2|_1_（_邛]」|"1+（邛

10029823）_\2）\3|_\2）

4.（2022.太原二模）足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传

球是足球训练中的两个重要训练项目.

（1）假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选

择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时有g的可能将球扑出球门外.在

一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和数学期

望：

（2）某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始

传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如

此一直进行.假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为巴.求

证：数列｛匕-：｝为等比数列，并求匕.

【答案】见解析

【解析】（1）解：每个点球能被守门员扑出球门外的概率为尸=3X2XGX!=!，

3339

（1）

由题知X~B3,-,

P（X=0）=C：m、壬，P（x=1）=c.flW=192>

'7\9j729'7（9人9）729

P（X=2）=C仲性2P（x=3）=Cp],，

X的分布列为：

X0123

512192241

P

729729729729

・•・E（X）=3xl=l

V793

（2）证明：由已知第〃-1次传球后球又回到甲脚下的概率为

・・・〃之2时

••・,一1是首项为上卜一?公比为t的等比数列,

5.（2022・湖北模拟）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击

败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6:5惊

险战胜日本女足，其中门将朱钮两度扑出日本队员的点球，表现神勇.

（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、

右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且

门将即使方向判断正确也有;的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，

求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望：

（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的

训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等

可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n

次传球之前球在甲脚下的概率为以，易知乃=1，〃2=0.

①试证明，〃“一（｝为等比数列；

②设第〃次传球之前球在乙脚卜的概率为公，比较巧。与久的大小.

【答案】见解析

【解析】（1）解：依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为P=；xgx3xg=，，

门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1,2,3

P（x=0）YJ。xg；巴P（X=1）=c；二巴

316yll6j2163（6八6）72

P（X=2）=C；x（‘]xf-1=—,P（X=3）=C>f-lxf-1=—,

316；W72316；W216

X的分布列为：

X0123

1252551

P

2167272216

125125r5,11

期望石（X）=0x」4-1x---F2X---i-3x---=—.

21672722162

'】将每次可以扑出点球的概率为P=(x；x3x；=：,

另解：依题意可得，

球的个数X可能的取值为0,123，易知x~8(3,3),

门将在前三次扑出点:

（\\

p（X=A：）=C*x^-x—,%=0,1,23

X的分布列为:

X0123

1252551

P

2167272216

期望E（X）=3x，=2.

62

（2）解：①第〃次传球之前球在甲脚下的概率为几，则当，?N2时，第〃-1次传球之

前球在甲脚下的概率为凡T，第〃-1次传球之前球不在甲脚下的概率为则

八八\111-1V1)

Pn=Pn-\-0+(1-/>„-1)'7=-7Pn-\+T»从H而〃“一公二一1Pn-\~~7，

13

—.-

又Pl4~4

131

->%-wj是以I为首项，公比为的等比数列.

②由①可知pn

3/]y1111

四。七匕卜方屋廿”外）故％<三

题组二与函数综合

1.（2022北京）2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不

断，出现了“一墩难求”的现象主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品

在专卖店进行售卖.一知这款纪念品的生产成本为80兀/件，为了确定其销售价格，调查

了对这款纪念品有购买意向的消费者(以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消

费者)的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：

心理价位(元/件)90100110120

人数10205020

假设当且仅当这款纪念品的销售价格小了或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就

会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该

纪念品.设这款纪念品的销售价格为X(单位：元/件)，90<x<120,且每位消费者是

否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.

(1)若x=100,试估计消费者购买该纪念品的概率：已知某时段有4名消费者进店,

X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望E(X)；

(2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y(单位：元),

当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望七(丫)达到最大值？

【答案】见解析

90

【解析】(1)解：x=100时，消费者购买该纪念品的概率Pt；；京=0.9,

10()

由题意X~8(409),P(X=i)=C；09(1-0.9)1,i=0,[,2,3,4,

p(X=0)=0.14=—,同理P(X=1)=—^―,P(X=2)=^",

1000025005000

7296561

P(X=3)=,P(X=4)=

250010000

X的分布列为:

X01234

192437296561

P

l()0(X)250050002500KXXX)

E(X)=4xO.9=3.6；

90

(2)解：由⑴知90vx41(X)时，E(K)=X—x(x-80)<18/W(x=100时等

号成立),

70

100<310时,E(r)=Mx—x(x-80)<21M(x=110时等号成立),

20

110<E20时,E(Y)=Mx—x(x-S0)<SM(x=120时等号成立),

100

M>0.因此以丫）=21股最大，此时x=110.

所以当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期里£（丫）达到最大值21M.

2.（2022高三上•潍坊期中）2020年10月16日，是第4（）个世界粮食日.中国工程院院士

袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地

YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大

提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发

明了一种新产品，若该产品的质量指标值为"?（，〃£［70,100］）,其质量指标等级划分

如下表：

质量指标值加[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]

质量指标等级良好优秀良好合格废品

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先在行试生产.现从试生产的产

品中随机抽取了1000件，将其质量指标值〃？的数据作为样本，绘制如下频