2024年高考数学一轮复习74、导数的应用

函数的杀手一导数的应用

知识点归纳：

I、利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.

(1)求r(X).

(2)确定f(X)在(a,b)内符号.

(3)若r(x)>0在(〃，b)上恒成立，则/(X)在(a,b)上是用函数；若广(x)<0在(a,h)上恒

成立，则/(x)在(小b)上是减函数.

2、用导数求多项式函数单调区间的般步骤.

(1)求r(X).

(2)f(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间：

f(X)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。

3、极大值：一般地，设函数人幻在点与附近有定义，如果对与附近的所有的点，都有/*)</(/)，就说/(%)

是函数的一个极大值，记作y极.=/(%)，%是极大值点.

4、极小值：一般地，设函数在与附近有定义，如I果对X。附近的所有的点，都有/(x)V/(%)就说/(%)

是函数/(好的一个极小值，记作丫槌小值=/(%),与是极小值点.

5、极大值与极小值统称为极值

(i)极值是一个局部概念，由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意

味着它在函数的整个的定义域内最大或毂小。

(ii)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

(iii)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值。

(iv)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点

可能在区间的内部，也可能在区间的端点o

6、判别大须)是极大、极小值的方法

若与满足f\x0)=0,且在/的两侧/(x)的导数异号，则/是/(x)的极值点，/(.%)是极值，并且如果f\x)

在与两侧满足“左正右负”，则/是的极大值点，/(%)是极大值；如果/(处在与两侧满足“左负右正”,

则/是/(x)的极小值点，/(.%)是极小值.

7、求函数凡。的极值的步骤

(1)确定函数的定义区间，求导数/'(幻.

⑵求方程(x)=0的根

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格渝查/在方程根左右的值

的符号，如果左正右负，那么儿V）在这个根处取得极大位；如果左负右正，那么人幻在这个根处取得极小色；如

果左右不改变符号即都为正或都为负，则4T）在这个根处无极值.

8、函数的最大值和最小值：

（1）在闭区间上连续的函数/（幻在司上必有最大值与最小值。

（2）在开区间（外〃）内连续的函数/（幻不一定有最大值与最小值.

（3）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的：函数的极值是比好极值点附近函数值得出的

（4）函数/（幻在闭区间卜力］上连续，是/（©在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件

（5）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.

9、利用导数求函数的最值步骤

⑴求/"）在3,6）内的极值;

⑵将/㈤的各极值与/3）、/（〃）比较得出函数/（X）在㈤上的最值。

典型例迤讲解,

一、利用导函数图像确定原函数图象

例1、已知函数y=.4'（x）的图象如右图所示（其中尸（x）是函数/（x）的导函数），下面四个图象中y=/（x）的图

y«r（x）

例2、设尸（幻是函数f（x）的导函数，尸尸（刈的图象如图所示,则y=f（x）的图象最有

可能的是

例3、函数y=xsinx+8sx,xe(-;r,;r)的单调区间是

A、(―.T,--)和(0,—)B、(,0)和(0,—)C、(一4,---)和(一，乃)D、(---,0)和(一,TT)

22222222

例4、已知。>0,函数/(幻=一1+依在。，一)上是单调减函数，则〃的最大值为

A、1B,2C、3D、4

三、利用导数求极值

例5、求列函数的极值：

7r

(1)J=(A-1)2(X-2)2：(2)y=-2

x+1

例6、已知函数f(x)=axy+bx2-3%在x=±1处取得极值.

(1)讨论/(I)和f(一1)是函数/(X)的极大值还是极小值；

(2)过点40,16)作曲线y=/。)的切线，求此切线方程.

四、利用导数求最值

例7、若函数〃幻=-丁+2/+3,则/(x)

A、最大值为4,最小值为-4B、最大值为4,无最小值

C、最小值为-4,无最大值D、既无最大值，也无最小值

例8、设曲线y=eT(xN0)在点M(t,c-')处的切线/与x轴y轴所围成的三角表面积为S(t)

(I)求切线/的方程：

(H)求S(t)的最大值.

五、导函数的综合应用

例9、设函数/Cr)=f/+2/x+f-l(xwR,r>0).

(I)求/㈤的最小值力0)；

(II)若力(f)c-2f+m对fw(0,2)恒成立,求实数的取值范围.

例10、设函数,f(x)=In(x+a)+x2

(I)若当*=一1时，/(丫)取得极值，求〃的值，并讨论了(丫)的单调性：

(II)若/(©存在极值，求。的取值范围，并证明所有极值之和大于In：.

例11、设函数/(x)=ln(2x+3)+x2

(I)讨论/(x)的单调性;

(II)求/(x)在区间的最大值和最小值.

_44_

练习：

1.若由线)，=/的一条切线/与直线x+4y—8=0垂直，则/的方程为

A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0

2.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f(x)^0,则必有(C)

A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)<2f(1)

C.f(0)+f(2)>2f(1)D.f(0)+f(2)>2f(1)

3.过点(一1,0)作抛物线y=.d+x+l的切线，则其中一条切线为

(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=0(C)x+y+l=0(D)x-j+1=0

4.曲线y=4X-X3在点(-1,-3)处的切线方程是

(A；y=7x+4(B)y=7x+2(C)y=x-4(D)y=x-2

5.函数f。)的定义域为开区间3,b),导函数/'(x)在(a,b)内的

图象如图所示，则函数f(x)在开区间(〃力)内有极小值点()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

6./(A)=/一3/+2在区间［―1,1］上的最大值是

(A)-2(B)0(02(D)4

7.已知直线工一)，-1=0与抛物线)，=ay相切，则々=.

8.曲线)，=,和),=/在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.

x

9.设函数/(_¥)=f+历？+CX(X£R)，己知g(x)=/(x)—/'(X)是奇函数。

(I)求/?、C的值。

(II)求g(x)的单调区间与极值。

10.已知/⑴是二次函数，不等式/。)<0的解集是(0,5),且/(外在区间［-1,4］上的最大值是12。

(【)求/(幻的解析式；

(II)是否存在实数使得方程"制+=37=0在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在,

x

求出〃1的取值范围；若不存在，说明理由。

11.已知函数凡t)=—X2+Sx,g(x)=6\nx+m

(I)求段)在区间［8+1］上的最大值人⑴；

(II)是否存在实数小，使得)可")的图象与产g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出，〃的取值范

围；，若不存在，说明理由。

2

12.(匚西卷)已知函数f(x)=x3+ax?+bx+c在x=——与x=1时都取得极值

3

(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间

(2)若对xe(-1,2),不等式f(x)«2恒成立，求c的取值范围。

13.已知函数/(X)二一

1-X

(I)设。＞0,讨论y=/(x)的单调性；

(II)若对任意XE(0,1)恒有求a的取值范围。

14.设函数f(x)=2d-+其中。21.

(I)求，乂)的单调区间;

(II)讨论f(x)的极值.

例题答案：

例1、答案：C例2、答案：C例3、答案：A例4、答案：C

例5、解：(1)v/(x)=(x-1)2(X-2)2,.\f^x)=(x-l)(5x-7)(x-2)2

令ra)=o，得驻点$=1,/==2

J

7

XSJ)I(r2)2(2,+oo)

+0-0+0+

fM/极大X极小//

7\()2

/(1)=0是函数的极大值：/(-)=-一丝是函数的极小值.

53125

(2)f(x)=—2,(幻=20+1)[2：.2x=2(1-幻0:工)

x2+l(l+x2)2(l+x2)2

令/(工)=。，得驻点x1=-l,x2=1

X(-00,-1)-1(-14)1(L+00)

fW-0+0-

fMX极大/极小

.•.当X=-1时，/彼小=-3：当x=l时，/饯人=-1值.

2

例6、解：(1)f(x)=3ax+2bx-3f依题意,尸⑴=/'(-1)=0,即

3a+2/?-3=0,

解得。=1,b=0.

13"28-3=0.

/.f(x)=x3-3x,f\x)=3x2-3=3(x+l)(x-1).

令/(E)=0,得x=—l,x=\.

若X£(-8,-1)U(1,+8)，则/'(X)>0,故

尸⑼在(一8,一1)上是增函数，/［幻在(1,+8)上是增函数.

若X£(—1,1),则/'(X)V0,故/*)在(一1,1)上是减函数.

所以，/(-1)=2是极大值：/(1)=-2是极小值.

(2)曲线方程为y=/-3x,点,4((),16)不在曲线上.

设切点为M(%,yQ),则点M的坐标满足y0=xj-3x0.

因-因。)=3(其-1),故切线的方程为y-汽=3(其-l)(x-x0)

注意到点A(0,16)在切线上，有

16—(XQ-3X0)=3(XQ-1)(0—X0)

化简得片=-8,解得小=-2・

所以，切点为M(—2,-2),切线方程为9工一)，+16=0

例7、答案：B

例8、解：(I)因为/'Ci)=(eT)'=-eT,所以切线/的斜率为一e",

故切线/的方程为y-e-l=-e-f(x-z).即e—++1)=0.

(II)令y=0得x=t+l,又令x=0得y=e~l(t+1)

所以s(t)="!■(/+(，+i)+1尸"|

22

从而S'(f)=geT(l-f)(l+f).

•.•当fe(0,1)时，S'(1)>0,

2

当ZW(l,+oo)吐5'⑺<0,所以S⑴的最大值为S(l)=-

e

例9、解：(I)v/(x)=/(x+/)2-P+r-l(xGR,/>0),

.•・当工=-/时，/(x)取最小值f(T)=-r3+z-l,

即/?(1)=一/+”1.

(II)令g(t)=/:(/)-(-2/+m)=-t3+3/-1-〃?，

由g'⑺=-3产+3=0得，=1,/=-1(不合题意，舍去).

当f变化时/(1),g")的变化情况如下表:

t(0,1)1(1，2)

g'⑺+0—

极大值

g(l)递增递减

g(/)在(0,2)内有最大值g(l)=I-一

何)V-2/+加在(0,2)内恒成立等价于g(/)<0在(0,2)内恒成立,

即等价于1-6<0,

所以m的取值范围为〃z>I.

13

例10、解：(I)f(x)=——+2x,依题意有/'(-1)=0,故。=三.

x+a2

,2x2+3x+l_(2x4-1)(X4-1)./(x)的定义域为卜5+83

从而f(x)=----------,当一一<工<一1时r(A-)>o；

32

x+-x+-

22

(3Hl)11

从而，/(x)分别在区间一一,-1,一不，+8单调增加，在区间一1,一一单调减少.

V2/\.2/\2)

(II)/(X)的定义域为(一&+8),r(x)=2r+2av+1

x+a

方程2/+2"+1=0的判别式△=4/一8.

（i）若△＜（）,即一夜＜。＜血，在/3）的定义域内r（x）＞0,故/（幻的极值.

(ii)若△=0,则。一&或a=-y/l.

(r

若a=6,XG(—£+8),/(X)=^~2.

x+V2

当x=-孝时，/（幻=0,当xw

-42,-——,+°°时，r（x）＞0,所以/（幻无极值.

2

若a=-6,xe（"+8）,尸（幻=巫兽＞。，/（幻也无极值.

X-y/2

（iii）若△＞（）,即或。＜一夜，则2/+2依+1=0有两个不同的实根*

2

-a+\/a2-2

x，二Z

■2

当。＜-近时，K＜-〃，x2＜-«,从而广（x）有/（x）的定义域内没有零点，故/"）无极值.

当拉时，x,＞-a,%＞一。，/'（幻在/（x）的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知/5）在

X=4=々取得极值・

综上，/（X）存在极值时，〃的取值范围为（、■+8）.

的极值之和为

22

/(•±)+/(工2)=+a)+x；+ln(x2+tz)+x2=ln—+tz-l>l-ln2=ln-|

例11、解：/*）的定义域为（一"I，+8

2.4x2+6x+22(2x+l)(x+1)

(I)f(x)=----Fzx=----------=-------------

2x+32x+32x+3

31I

当一彳＜工＜一1时，/z（x）＞o；当一1cx＜-彳时，ra）＜o；当时，ra）＞o.

---1,+81单调增加，在区间—1,1单调减少.

从而，/（幻分别在区间

IN7I22

3I|A1

(II)由(I)知f(x)在区间二3的I最小值为f-1=ln2+-.

L44JI2J4

又/㈢T

In—+------In----------=In—+

216216722

311f1A17

所以尸幻在区间-1，；的最大值为=+

练习答案：

1.解：与直线工+4)，-8=()垂直的直线/为4工一)，+〃?=0,即)，=/在某一点的导数为4,而)，'=4/，所

以y=l在(1,1)处导数为4,此点的切线为44一)，一3=0,故选A

2.解：依题意，当xNl时，f(x)>0,函数f(x)在(1,+8)上是增函数：当x<l时，f(x)<0,f(x)在

(-co,1)上是减函数，故f(x)当x=l时取得最小值，即有f(0)>f(1),f(2)>f(1),故选C

3.解：y'=2x+l,设切点坐标为(X。，)'。)，则切线的斜率为2%+1,且为=汇+%+1

于是切线方程为)，一片一厮-1=(2.%+1)(%-4),因为点(一1,0)在切线上，可解得

%=0或一4,代入可验正D正确。选D

4.解：曲线)，=44一-3,导数),,二4一%2,在点(一［,-3)处的切线的斜率为&=1,所以切线方程是>=4一2,

选D.

5.解析：函数/(©的定义域为开区间(a,b),导函数/'(x)在(。1)内的图象如图所示，函数/(x)在开区间(外份

内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有I个，选A.

6.解：fM=3x2-6x=3x(x-2),令/'(x)=0可得x=0或2(2舍去)，当一1女<0时，/'(x)>0,当0<xWl

时，/(x)<0,所以当x=0时，/(x)取得最大值为2。选C

7.解析：直线工一)，一1二()与抛物线y=依2相切，将y=x-l代入抛物线方程得依2-工+1=0,・••

△=1—4。=0,«=—0

4

8.解析：曲线)，=■!■和y=/在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x—l,它们与x

釉所围成的三角形的面积是巳3.

9.解析：(I)•.,/(x)=x3+hx2+cx,(x)=3x2+2bx+co从而

g(x)=/(A)-f(x)=x3+bx2+ex-(3x2+2bx+c)=x3+0-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数,所以

g(0)=0得c=0,由奇函数定义得力=3：

(II)由(I)知g(x)=.--6x,从而g'(x)=3x?-6,由此可知，

(-oo,-V2)和(&,内)是函数g(x)是单调递增区间：

是函数g(©是单调递减区间；

g(x)在x=-0时，取得极大值，极大值为4衣，且。)在工=五时，取得极小值，极小值为Y&。

10.解：(I)/(A)=-x2+8x=-(x-4)2+16.

当f+lv4,即r<3时,/(%)在［力+1］上单调递增,

/?«)=/(r+i)=-(r+i)2+8(r+i)=-/2+6/+7;

当/W4W/+1,即3W/W4时，/：(/)=/(4)=16;

当/>4时，/")在卜/+1］上单诡递减，/z(r)=/(r)=-r+8r.

—t~+6,+7,z<3,

综上，h(t)=<16,3</<4,

-r+8r,r>4

(ID函数)，=/3)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数

。5)=仪］)一/(工)的图象与入轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

°(x)=x2-8x+61nx+m、

2

.人Y、9262x-8x+62(x-l)(x-3)n

..。(幻=2x-8+—=-----------------=---------------------(x>0),

XXX

当xe(0,l)时，(幻>0,。@)是增函数；

当xw(0,3)时，。'")<0.。(外是减函数;

当xw(3,+oo)时,。'(幻>0,。*)是增函数;

当工=1,或x=3时，"(x)=0.

"⑶娘大值=。⑴=川-7,。(工)娘小值=0(3)=，〃+61n3-15.

••・当x充分接近。时，当x充分大时，。(幻>0.

••・要使。(幻的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

始）最大值="一7>0,

即7</〃<15-6M3.

"（X）量小使=〃?+6hi3-15<0,

所以存在实数根，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为

（7,15-61113）.

11.解：(I)•・•/(幻是二次函数，且/(工)<0的解集是(0,5),

/.可设/(x)=ax(x-5)[a>0).

.・・/*)在区间［T,4］上的最大值是/(-1)=6«.

ci=2,

由已知，得6。=12,

/(x)=2x(x-5)=2x2-10x(xGR).

37

(II)方程/(幻+—=0等价于方程2/-10/+37=0.

x

设h(x)=2x3-\Ox2+37,则》(%)=6f-20x=2x(3x-10).

当xw(U,—)时，h\x)<O.h(x)是减*数；

3

当xw(¥，+8)时,〃'(x)>0,〃(x)是增函数。

3

v/?(3)=1>OJ?(—)=--<0,6(4)=5>0,

-、27

.•.方程力。)=0在区间(3,3),(3,4)内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,+8)内没有实数根，

33

所以存在惟一的自然数〃7=3,使得方程/(x)+337-=0在区间内有且只有两个不同的实数根。

x

12.解：(1)/(x)=f+aj^+bx+c,『(x)=3*+2ax+b

21241

由/(——)————a+b=O,「(7)=3+2〃77)=0得a=——,b——2

3932

f(x)=3x2—X—2=(3X+2)(X-I),函数/(x)的单调区间如下表：

22

X(-co,——)-i)1(1»+8)

333

r(X)+0—0+

f(x)T极大值极小值T