2024年高考数学一轮复习43利用导数求极值最值(精练)(原卷版+解析)

4.3利用导数求极值最值（精练）（提升版）

题组一无参函数的极值（点）

1.（2022・山东・巨野县实验中学）已知函数，=/（x）的定义域为（〃"）），导函数），=/'"）在内的图像如图

所示，则函数在（a切内的极小值有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2022•天津实验中学）下列函数中存在极值点的是（）

A.y=-B.y=x-ex

x

C.y=2D.y=x3

3.（2022•福建省连城县第一中学）函数/（x）=g/+inx-2x的极值点的个数是（）

A.0B.1C.2D.无数个

4.（2022・全国•哈师大附中）己知小是函数〃x）=g.L2sinxcosA•的一个极值点，则lai%的值是（）

5.（2022•辽宁・鞍山市华育高级中学）已知函数/（司的导函数/'（力的图像如图所示，则下列判断止确的是

A.在区间(TJ)上，/(x)是增函数B.在区间(-3,-2)上，〃力是减函数

C.-2为/(力的极小值点D.2为/(%)的极大值点

6.(2022・湖北•南漳县第一中学)函数)，=x+,(x<。)的极大值为()

X

A.-2B.2C.D.不存在

7(2022•天津河北)设f(x)是函数/(x)的导函数,若函数/(X)的图象如图所示，则卜列说法错误的是

()

A.当I<xv4时，/r(x)>0B.当x<l或x>4时，/(x)<0

C.当x=l或x=4时，/'("=0D.函数f(x)在x=4处取得极小值

题组二已知极值(点)求参数

1.(2022•山东潍坊)已知函数/(X)=F-3X的图像与直线丁=，"有3个不同的交点，则实数小的取值范围

是()

A.I,-2,-Ko)B.(-2,2)C.(-8,2)D.(-2)1J(2,-KO)

2.(2022•重庆•万州纯阳中学校)若函数〃工)=丁+2&+奴-1在(0,1)上存在唯一极值点，则实数。的取

值范围为()

3.(2022•四川省成都市新都一中)已知/.(力=-；.，+(1-〃?)/-]+2没有极值，则实数〃?的取值范围为

()

A.|0,2)B.(-^,0)kJ(l,+=o)

C.|0,2]D.(-co,0]u[2,+cc)

4.(2022・湖北)函数〃幻=；/+ar、2x+5在％e(l,2)内存在极值点，则()

A.--<«<—B.--<«<—C.n<--D.a<-->—

22222222

5.(2022•河南)已知函数/(x)="ni-ad有两个极值点，则实数〃的取值范围是(

A.oc,0)B.fo,—J

c.(OJ)D.(0,+x))

6.(2022・安徽,蒙城第一中学)已知，〃为常数，函数/(耳=#11%-2,姓二有两个极值点，其中一个极值点飞满

足与＞1，则/(%)的取值范围是()

A.(y)，。)B.(O,y)C.jD.f—

7(2022•陕西•长安一中)已知在.J8C中，三个内角A,B,C的对边分别为“，方，。，若函数

./"(工)=3/+加2+(/+。2-。。1+3无极值点，则角8的最大值是()

A.mB.卫C.工D.工

5432

8.(2022・四川・绵阳中学实验学校)若函数〃"=丁-依2_加+/在x=l处有极值10,则〃-/)=()

A.6B.-15C.-6或15D.6或-”

9.(2022请海・大通回族土族自治县教学研究室二模(理))设函数/("=心始工+85乩则下列不是函数/(“

极大值点的是()

A.土B.苧C./D.-史

2222

10.12022•全国•高三专题练习)己知，和，+3是函数/(刈=/+加+6+。的零点，且1+3也是函数/⑴的

极小值点，则/(%)的极大值为()

44

A.1B.4C.-D.一

39

11.12022•广西•高三阶段练习(理))已知函数/(同=电詈在其定义域的一个子区间(e,e)上有极值，则

实数。的取值范用是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,2)

12.(2022•安徽•合肥市第八中学)己知函数/")="-•)(%-8)。,在X=〃处取极小值，且/("的极大值为

4,则力=()

A.-1B.2C.-3D.4

13.(2022•河北承德)已知x=-l是函数/(.1)=〃*3+2/+3^的极值点，则/(x)的极大值为.

14.（2022・北京・101中学）设不士是函数/（%）=V-2公2+4%的两个极值点，若为＜2＜与，则实数”的取

值范围是,

15.（2022•浙江宇波）已知函数/*）=£+«：+1门｝

若x=l是函数"刈的唯一极值点，则实数k的取值

范围是,

题组三无参函数的最值

1.（2022•海南华侨中学）已知函数+下列说法正确的是（）

A.函数在（1,2）上递增B.函数无极小值

C.函数只有一个极大值?1QD.函数在［0,3］上最大值为3

2.(2022•湖北•模拟预测)/(.v)=|ln(ax)-2|+at,/("的最小值为

3.（2022♦江苏・南京市江宁高级中学模拟预测）若函数〃刈=2/-62_］（〃£用在（＜,0）内有且只有一个

零点，则/（“在上的最大值与最小值的和为.

4.（2022・全国•高三专题练习）若实数a、b、c、d满足上产=个=］,则（“-4+（＞-dp的最小值

为.

5.（2022•四川省成都市新都一中）函数〃x）=x-2hix在区间［1目上的最大值为.

6.（2022•天津实验中学）函数/（x）=；V-4x+4在区间［0,3］上的最小值为.

7.（2022・四川・威远中学校）对任意awR,存在〃«0,收），使得e“-ln〃=】，则方-。的最小值为.

8.（2022•河南开封）已知/（4）是奇函数，当xw（0,2）时,f（x）=\nx-x,则当xw（-2,0）时，/（x）的最小值

为.

题组四已知最值求参数

1.（2022•江西萍乡•三模）已知定义在R上的函数/⑶，对任意eR,当x尸工时，都有四二3>0,

若存在XW,使不等式/（X8sx）2/（a-sinx）成立，则实数。的最大值为（）

A.-4B.1C.4D.6

2.（2022•辽宁・鞍山市华育高级中学）已知"x）=lnx,g（x）=e\若〃s）=g"）,则当$-£取得最小值时,

g（f）所在区间是（）

4匿）B.（*）C.（In2,l）卜（同

3.（2022•河南•模拟预测（理））己知函数/（*=2优'-6"至多有2个不同的零点，则实数〃的最大值为

（）.

A.0B.1C.2D.e

4.（2022•辽宁•辽师大附中）设函数4（x）=，+2（l-幻"5为正整数），则Z,。）在［0,1］上的最大值为（）

A.0B.£C.（1--—）n+2D.用与2

2n+2〃+2〃+2

5.（2022•河南安阳）已知函数/（x）=-3（lnx）2+aj若xe［l,e［时，/。）在x=l处取得最大值，则实数〃

的取值范围是（）

A.卜85B.（-cc,0］C.（0,捺）D-（7-e）

6.（2022•江西）设两个实数小〃满足：/>0,a>l,f-l

?,则正整数〃的最大值为（）.（参考

数据：ln4.5al.51)

A.7B.8C.9D.10

题组五最值极值的综合运用

1.(2022・浙江•宁波市李惠利中学)(多选)对于函数/(.r)=5g,下列选项正确的是(〉

A.函数极小值为j极大值为千

B.函数/(x)单调递减区间为(Yo,-e]u[e,+8),单调递增区为[-e,0)u(0,e]

C.函数/(x)最小值为为-e,最大值e

D.函数/(x)存在两个零点1和-1

2

2.(2022•福建泉州)(多选)函数/*)=加-(“+3)/+标在处取得极大值，则a的值可以是()

A.-1B.0C.3D.4

3.(2022•黑龙江•哈尔滨市第六中学校)(多选)已知函数/(x)=f-加-2-下列命题正确的是()

A.若＜=1是函数“X)的极值点，则

B.若x=l是函数“X)的极值点，则在1W0,2]上的最小值为

C.若/(%)在(1,2)上单调递减，则

D.若■inxNf(x)在xe[l,2]上恒成立,则aNT

4.(2022•河南•三模)已知函数/(x)=lnx+£-x.

⑴讨论/(x)极值点的个数：

472-2-

(2)证明：e"+>/(“•

5.(2022・湖南•临澧县第一中学二模)已知函数〃x)=lnx+g-x.

⑴当〃=-2时，若/(X)在(0.而)上存在垠大值，求小的取值范围:

(2)讨论/(”极值点的个数.

6.(2022•江西•上饶市第一中学模拟预测)已知函数f(x)=ex-a(x-l)(awR).

⑴当。=」时，求函数丁=/卜)的极值:

⑵若函数g(x)=/(©+ln.Le在(1,+8)无零点，求实数。的取值范围.

7.(2022•北京市十一学校高三阶段练习)已知函数/(力=(工-1卜尔-1心2+(〃-1)

⑴当”=1时，求曲线)，=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)判断函数/(力的极值点的个数，并说明理由.

8.(2022•四川省峨眉第二中学校)已知acR,函数/(x)=ar—1—In》.

⑴讨论/(x)的单调性；

⑵当。=1时，若对Dxe(0,go)J(x)士加-2恒成立，求实数。的最大值.

9(2022•江苏•华罗庚中学三模)已知函数〃x)=⑪-2e'+3(awR),g(x)=lnx+.W(e为自然对数的底

25

数,e<y).

(1)求函数/(力的单调区间；

(2)若〃=T,/Z(A)=/(A)+J?(A),当xe时，/心)e(〃4〃),(〃&〃wZ),求〃一，”的最小值.

10.(2022•天津市新华中学)已知函数/(刈=0?+”2_。\.,其中旦。工。

⑴当4=1时,求函数“X)的极值：

⑵求函数8(町=犯-3加.1的单调区间：

xa

⑶若存在ac(e，T]，使函数Mx)=/(x)+r(x),xw[—1,同(〃>—1)在x=—l处取得最小值，试求6的最大

值.

4.3利用导数求极值最值（精练）（提升版）

题组一无参函数的极值（点）

1.（2022・山东・巨野县实验中学）已知函数y=/（x）的定义域为（”㈤，导函数丁=f（x）在（“与

内的图像如图所示，则函数），=/"）在（外勿内的极小值有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】由导函数/'（力在区间内的图像可知，

函数rW在（“/）内的图像与x轴有四个公共点，

在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，

在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，

所以函数/"）在开区间（《与内的极小值有1个，故选：A.

2.（2022•天津实验中学）下列函数中存在极值点的是（）

A.>'=-B.y=A-ex

x

C.y=2D.y=x3

【答案】B

【解析】对选项A,y=-4<o,故没有极值点；

,V

对选项B,y'=\-e,则极值点为x=0,故正确；

对选项C,y=o,故没有极值点；

对选项D,V=3/NO,故没有极值点：故选：B

3.（2022•福建省连城县第一中学）函数/（xxjY+lnx-Zx的极值点的个数是（）

A.0B.1C.2D.无数个

【答案】A

【解析】由题，/，（力=%+，—2=回工20,故无极值点故选：A

-VX

4.（2022・全国•哈师大附中）已知不是函数〃x）=；x—2sinxcosx的一个极值点，则tan、。的

值是（）

A.1B.!C.-D.—

277

【答案】D

【解析】/f（x）=--2COS2A,.".COS2X=­/.2cos2-1=-,

3606

22

cos?,%=—,sin'x0=1-cosx^=—,tan.rn=」=—故选：D

1212cos*7

5.（2022•辽宁・鞍山市华育高级中学）已知函数/"）的导函数/（%）的图像如图所示，则下

列判断正确的是（）

A.在区间（T】）上,/（x）是增函数B.在区间（-3,-2）上，/（X）是减函数

C.-2为〃力的极小值点D.2为“X）的极大值点

【答案】D

【解析】由导函数r（力的图像可知,

在区间（-1,0）上为单调递减，在区间（0,1）上为单调递增，则选项A不正确：

在区间（-3,-2）上，/'&）>（）,则/（3）是增函数，则选项B不正确；

由图像可知/'（-2）=0,且（-3,-2）为单调递增区间，（-2.0）为单调递减区间，则—2为/"）

的极大值点，则选项C小正确；由图像可知/'（2）=0,且（1,2）为单调递增区间，（2,3）为单

调递减区间，则2为/（%）的极大值点，则选项D正确：故选：D.

6.（2022・湖北•南漳县第一中学）函数），=x+’（x<0）的极大值为（）

5

A.-2B.2C.D.不存在

2

【答案】A

【解析】令y'=0得x=—l或x=l（舍）.

由于x<0,当）/>0时，%<-I,当y'<o时，T<x<0,

所以函数在(T>,-1)上单调递增，在(-1.0)上单调递减.

故函数在x=-l处取得极大值)，=-2.故选：A

7(2022•天津河北)设f(x)是函数/(x)的导函数,若函数/(x)的图象如图所示，则下

列说法错误的是()

A.当1<尤<4时，/'(x)>0B.当x<l或x>4时，f(x)<0

C.当x=l或x=4时，/'(x)=0D.函数/(x)在x=4处取得极小值

【答案】D

【解析】A.由图象知：当l<x<4时，函数/(x)递增，所以/(力>0,故正确：

B.由图象知：当x<l或x>4时，函数/(1)递增，所以广(同<0,故正确；

C.由图象知：当x=l或x=4时，函数/(X)分别取得极小值和极大值/'(耳=0,故正确;

D.由图象知：函数/(x)在x=4处取得极大值，故错误：故选：D

题组二已知极值(点)求参数

1.(2022•山东潍坊)已知函数/。)=酎-31的图像与直线y=m有3个不同的交点,则实数

，〃的取值范围是()

A.(-2,+co)B.(-22)C.(一8,2)D.-2)J(2,+co)

【答案】B

【解析】对函数f(x)=d-3x求导得:ff(x)=3x12-3=3(x+l)(x-l),

当x<—l或/>1时，/'"）>（）,当T<x<l时，即/（X）住上单调

递增，在（-11）上单调递减，

M在*=一1处取得极大值1）=2,在*=1处取得极小值/（I）=-2,

在同一坐标系内作出函数/U）=x3-3x的图像和直线丁=m,如图，

观察图象知，当-2<〃?<2时，函数/*）=/-3x的图像与直线），=机有3个不同的交点，

所以实数加的取值范围是（-2,2）.故选：B

2.（2022•重庆•万州纯阳中学校）若函数/（6=/+2芯+以_1在@1）上存在唯一极值点，

则实数a的取值范围为（）

A.B.1之,0）C.（0,1）D.（-1,0）

【答案】B

【解析】由题意知：/。）=31+4仆+0,若函数=父+2解+⑪_］在（o,l）上存在唯

一极值点，

则r（0）-r（l）<0,即a（3+5a）vO,解得aw（一|,0）.故选：B.

3.（2022•四川省成都市新都一中）己知/（.1）=-%3+（］一,〃）人2_八+2没有极值，则实数，”的

取值范围为（）

A.(0,2)B.(-co,0)u(l,+»)

C.[0,2]D.(-OO,0]U[2,-KC)

【答案】C

【解析】/'(力=-/+(2-方?卜-1；

'・•/(x)在K上没有极值，「.△=(2-2W)2-4<0,即4m2-8"?=4/w(w-2)<0,

解得：0W,〃W2,即实数〃，佗取值范围为[0.2].故选：C.

4.(2022・湖北)函数/(X)=：X1OV2-2K+5在1e(l,2)内存在极值点，则()

A.——<a<—B.——W—C.a<——或"一D.a<>——或“2—

22222222

【答案】A

【解析】由题意知:/'(x)=f+2数一2在xw(l,2)内存在变号零点，即f+2奴-2=0在

xw(l,2)内有解，贝|J.=_；+L易得y=—；+，在(1,2)内单调递减，值域为「:，生，故

2x2x\L1)

I1

—<a<—.故选:A.

22

5.(2022•河南)己知函数/⑴二日1-加杓两个极值点，则实数。的取值范围是()

A.(y.o)(°，)

C.(0,1)D.(0,+8)

【答案】B

【解析】由题意r(x)=lnx+l—2at=lnx—2公+1=0有两个不等实根，2〃=皿里，

x

...,、InA+1，/、l-(ln.¥+l)In.v

设-------，g(X)=------2----=----2-»

Xx~x~

当Ovxvl时,gf(x)>0,g(>)递增,当x>l时，g'(x)<0,g(x)递减,

X=1时，以1)=1为极大值也是最大值，

x>l时，ln,v>0,所以g(x)=^^>0,

X

X=0时，g(e7)=金2=o,g)与X轴只有一个交点，

X

所以当0<为<1,即0<“<9寸，直线广物与W。)的图象有两个交点，即2a=虹也有两

2x

个不等实根.

故选：B.

6.(2022•安徽•蒙城第一中学)已知〃，为常数，函数/("=外0-2的2有两个极值点，其中

一个极值点与满足%>1，则f(N))的取值范围是()

A.(e,0)B.(0,4OP)C.卜8,-g)D.卜会田

【答案】D

［解析］f(x)^\nx-4mx+1,由函数f(x)=x\nx-2mx2有两个极值点,

则等价于广(力=。有两个解，即)，=Inx与)，=4/心-1有两个交点，

所以如陶+1=4〃/.

直线,，=4尔-1过点(0,-1)

由y=lnx在点尸(1,0)处的切线为y=x-l,显然直线产x-1过点(0，-1)

当0<4〃?vl时，直线丁=4加”1与曲线y=lnx交于不同两点(如下图)，且苦

令g(x)="n：_I>1)，则g'(x)=殍>。(丫>1),

所以g(x)=*」(x>］)单调递增，g(x)>^l)=_g,即〃

故选：D.

7(2022•陕西•长安一中)已知在./8C中，三个内角A,B,C的对边分别为〃，b,J

若函数〃力=3丁+区2+«)/-戊卜+3无极值点，则角8的最大值是()

【答案】C

【解析】因为/(》)=,丫‘+加+(4+C2-ac^X+3,所以f'(x)=x2+2hx+a2+c2-ac,

3

若/(X)无极值点，即r(x)=()无变号零点，又二次函数y=w+次+开口向上，

所以/'(刈20恒成立，等价为判别式△«(),BPA=4^-4(«2+r-«eX.O,^a2+c2-b2>ac,

所以因为〃e(O,/r),所以3的最大值为g：故选：C.

8.(2022・四川•绵阳中学实验学校)若函数/(x)=F-/-云-/在犬=1处有极值I。，则

a-b=()

A.6B.-15C.-6或15D.6或一15

【答案】B

【解析】***f(x)=^-ax2-bx+a2,f\x)=3x2-2ax-b

乂x=l时/Xx）有极值10

3-2a-b=0a=-4a=3

解得或，

\-a-b+a2=0b=\\b=-3

当。=3,力=-3时，fXx)=3A2-6.v+3=3(x-1)2>0

此时"X）在％=1处无极值，不符合题意

经检验，a=-4,b=\\时满足题意:.a—b=T5故选：B

9.（2022•青海•大通回族土族日治县教学研究室二模（理））设函数/（x）=xsinx+cosx,则

下列不是函数极大值点的是（)

5〃n3乃

A.7B-TD.——

--I2

【答案】D

［解析】由题可褥/'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcQsx,

令r(x)=。，得x=0或x=+keZ、

则当XW时，r（x）＞。，

山（5乃3不

当xw丁'-万时,ra)<o,

3乃5江）丛.5兀3乃

所以函数/（X）在■y，wj上单1周递增，在

2T,-Tg。，

（^，芳）上单调递减，故不是函数/（”）极大值点的是-夸.故选：D.

10.（2022・全国♦高三专题练习）己知“肘+3是函数/⑺=/+江+瓜+仁的零点，且f+3也

是函数“X）的极小值点，则/（X）的极大值为（）

44

A.1B.4C.-D.-

39

【答案】B

【解析】因函数f（x）在f+3处取得极小值0,乂/是函数“X）的另一零点，因此函数〃x）

只有两个零点，

从而有/（X）=（XT）（XT-3）2.求导得：r（x）=3（A-/-l）（x-r-3）,

当x<r+l或x>/+3时，r(x)>0,当/+lvx<，+3时，尸(x)<0,

于是，/(X)在x=/+3处取得极小值，在x=1+l处取得极大值/«+1)=4,

所以/(X)的极大值为4.故选：B

11.(2022・广西•高三阶段练习(理))已知函数=在其定义域的一个子区间(e,e)

上有极值，则实数。的取值范围是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,2)

【答案】A

【解析】r(x)=In：-a,令四勺=0,即]Tn”-a=(),解得.旧管，且0<x<e~,

/X.v)>0：x>e'-a,户")〈0,在(0，e~)上单调递增，在(”,内)上单调递减，

"(X)有极大值/(ei)J：；："二尸,...e<e-ve2,.,.一1<4<0,故选：A.

12.(2022•安徽•合肥市第八中学)已知函数〃x)=(v-a)(x-b)e'在x=〃处取极小值，且

〃x)的极大值为4,则〃=()

A.-1B.2C.-3D.4

【答案】B

【解析】/(x)=(x-a)(x-Z>)ex=(^-ax-bx+ab)^,所以

/,(x)=(2.v-a-Z?)e,+(x2-av-bx+«/?)ev=e1^x2+(2-a-b)x+ab-a-b^

因为函数〃"=(x-a)(x-〃)6'在x=〃处取极小值，所以

/"(4)=&'[42+(2_4_/“4+而_4_8]=©"([—力)=0,所以4=力，/(x)=(x—afe",

f,(x)=eK^x2+(2-2«)x+tr-2z/^|=e1(x-6/)|^x-(a-2)J,

令r(x)=。，得—。或x=a—2,当a—2)时，f(x)>0,所以〃x)在(9，a-2)

单调递增，当％w(a—2,a)时，f(x)<0f所以在(a—2,a)单调递增，当xe(a,+8)

时，r(A)>0,所以/(x)在m+。)单调递增，所以/(%)在N-2处有极大值为

/(«-2)=4ea-2=4,解得a=2,所以〃=2.故选：B

13.(2022•河北承德)已知x=-l是函数/(x)=〃*+2/+3x的极值点，则/("的极大值

为.

【答案】0

【解析】因为/'(x)=3/加+4x+3,所以/(-1)=痴-4+3=0,得〃T，

所以r(x)=f+4x+3=(x+l)(x+3),所以当—3<x<—I时，/'(x)<0,f(x)单调递减,

当xv-3或x>-I时，/(x)>0,/(x)单调递增，所以“=-3是"外的极大值点，则

〃-3)=0.

故答案为：0

14.(2022・北京-101中学)设出百是函数/(工)=丁—2o?+/x的两个极值点，若苍<2<天，

则实数。的取值范围是.

【答案】2<a<6

【解析】/'(x)=3/-40¥+a12=(3x-a)(x-a),

因为知8是函数/(x)=*'-2@2+a%的两个极值点，旦NV2〈.G，

所以知七是方一元二次方程/,(x)=0的两个实根，且内<2<占，

所以八2)<0,即(6-幻(2-〃)<0,解得2<〃<6.故答案为：2<〃<6

15.(2022•浙江宁波)已知函数/a)=W+《-+ln；］,若x=l是函数/⑶的唯一极值点,

则实数k的取值范围是.

【答案】k>-\

【解析】/⑴=三+噌+In，的定义域为(0,+8)

.(x-l)e\11、(cx+k)(x-1)

••/(X)=---；—+〃(一一7+-；=-----；----

X-x~Xx~

.x=l是函数/⑶的唯一极值点

.•.x=l是导函数/'(x)=0的唯一根

(I)e、+A=0在(0，包)无变号零点

令g(x)=e、+&,则gr(x)=e，>0,即g(x)在(0,E)上单调递增

此时g(《)min=1+4之°：.k>~\

(II)当g(x)=e'+A在(0,十功有解x=］时，此时e+&=0,解得"=-e

此时在(0,1)和(1,KO)上均单调递增，不符合题意

故答案为：k>-\

题组三无参函数的最值

1.(2022•海南华侨中学)己知函数/(司=:丁-：/—2x+l,下列说法正确的是()

A.函数在(1,2)上递增B.函数无极小值

14

C.函数只有一个极大值二D.函数在［0,3］二最大值为3

【答案】C

【解析】因为〃x)=:x3-；F-2.r+l定义域为R,

所以/'(X)=X2_X_2=(X+I)(X_2),

所以当x>2或工<一1时r(x)>0,当T<x<2时

所以在(T2)上单调递减，在和(2,+8)上单调递增，

所以/(同在x=-l处取得极大值，在工=2处取得极小值，

Ia7

即/(X)极大伙=/(-1)=不，户㈤极岫=〃2)=-§.

又/(。)=1，/(3)=-g,故函数在[0,3]上最大值为I；

故选：C

2.(2022・湖北•模拟预测)/(x)=|ln(ru-)-2|+at,/(”的最小值为.

【答案】3

【解析】令依一r4。，g)，则y-|lnf-2|十fM'e

2

当壮e?时,y=hU+-2单调增,ymin=e

当0</</时，令g(i)=_]n/+f+2,/«)=_；+]=_•

Ov/<1时g'(f)<(),g(f)递减

r>l时g'(f)>0,g(r)递增

・・・gU「g0)=3

综上」(x*=3

故答案为：3.

3.(2022・江苏・南京市江宁高级中学模拟预测)若函数/(9=2/-底-1(〃仁2在(口,0)内

有且只有一个零点，则/(X)在卜1』上的最大值与最小值的和为.

【答案】3

【解析】当xvO时，由〃x)=0可得a=2x—/■，令g(x)=2jr—5，其中x<0,

则gQ2+々=2(丁),为/")=()，可得x=-1,列表如下：

X(—1)-1(TO)

+0——

g(x)增极大值一3减

如下图所示:

因为/(x)=2f-加-l(aeR)在(y\0)内有且只有一个零点，则〃=一3,

所以，/(x)=+3x2-1,则f(x)=6父+6.v=6A(X+1),

当T<x<0时，/'(x)<0,此时函数〃x)单调递减,

当0<x<l时，/(力>0,此时函数/(x)单调递增，

则当.止卜川时，/(力巾=/(0)=-1,

又因为〃-1)=0,『(1)=4,所以，/(X)M=4,

因此，“X)在［-单］上的最大值与最小值的和为7+4=3.

故答案为：3.

4.(2022・全国・高三专题练习)若实数〃、/八和1满足£^吆=，^=1,则(4-。2+0-4)2

的最小值为

2(ln2-l)?

【答案】

5

.a2-2Ina3c—4

【解析】:

~iT

・♦•点P(d〃)是曲线/(”)=丁-211红＞0)上的点，Q(c,d)是直线y=3x-4上的点,

.•.|p(2|2=(«-c)2+(/?-f/)2.

•••f(x)=2x--=2(K1)(XT)(X>o).

.1.X

由/q”)>0得，x>l：由V0得0<xvl.

•••当X=1时，/(X)取得极小值为1.如图，

耍使|打才最小，当且仅当过曲线y=v-2lnx上的点尸(〃⑼且与线y=3x-4平行时.

r

V/(x)|=2a--t直线y=3x-4的斜率无=3,A2a--=3,

'"xnaa

，。=2或4=一;(由丁a>0,故舍去)..，./?=22-21n2=4-21n2.

设点尸(2,4-21n2)到直线y=3x-4的距离为止

|6-(4-21n2)-4|2_2|ln2-l)2

则=一画—=——'

•・.|PQ「>di=2(ln2-l£,(。一蛾的最小值为2(E；T)2.

故答案为：2(E21)

5

5.(2022•四川省成都市新都一中)函数〃