2024年北京市朝阳区高三年级下册质量检测一数学试卷含详解

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一

数学

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项.

L已知全集UHL"，，｝,A=咋＜2｝,则犷=（）

A.{1}B.{1,2}C.{3,4}D.{2,3,叫

2.复数」一在复平面内对应的点位于（）

3+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在△力弘中，若G奸2Ain/1,则8为

Jic冗〃乃2万

A.§B.-C.§或彳

4.已知QER,贝厂0v“vl”是“函数/（力=（1-4）/在R上单调递增”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知直线X—百），+6=0和I员iV+y=/G＞。）相交于4,8两点.若|A3|=6,则r=（）

A2B.273C.4D.3c

6.己知等比数列｛〃“｝的前〃项和为S“，且4=1，。3+4=4,则、6=（）

A.9B.16C.21D.25

22

7.已知双曲线C：£=1（。＞0,人＞0）的右焦点为忆过点尸作垂直于x轴的直线/,/,N分别是/与双曲

线。及其渐近线在第一象限内的交点,若M是线段RV的中点，则C的渐近线方程为（）

B.尸±冬

A.y=±x

D.二士朱

C.1其

8.在一A8C中，AB=AC=2,8。=26，点P在线段8C上.当取得最小值时，PA=（）

A.2B.—C.-D.-

2244

9.在棱长为1正方体A3c。-ASGA中，E,F,G分别为棱AA，BC,CG的中点，动点”在平面

EFG内,且OH=1.则下列说法正确的是（）

A.存在点“，使得直线。”与直线尸G相交

B.存在点“，使得直线DH_L平面EFG

C.直线4"与平面EFG所成角的大小为g

D.平面EFG被正方体所截得的截面面积为西

2

10.已知〃个大于2实数玉,工2,…，玉，对任意七（7=1,2,…,〃），存在满足升<七，且则使得

%+々+…+Z-1W15x〃成立的最大正整数〃为（）

A.14B.16C.21D.23

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.在（1-6『展开式中，x的系数为（用数字作答）

12.已知抛物线寸=20，（〃>0）的焦点为产，准线方程为丁=-1,则〃=：设O为原点，点

1/（线,九）在抛物线上，若则%=.

13.己知函数〃力=」；"'I"；'若实数4,〃,C（4<〃<C）满足/（〃）=/（"）=/©，则4+Z?二；

a-^-b+c的取值范围是________.

14.已知函数4x）=：sin2x.若曲线），=/（另在点A（X1J（%））处的切线与其在点网W,/伍））处的切线相互

垂直，则凡一々的一个取值为.

5

15.设4,8为两个非空有限集合,定义J（A8）=1其中⑶表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、

|AJ即

「四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参

加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为S-S3,.已知，=｛物理，化学，生物｝,$2=｛地

理，物理，化学｝,S3=｛思想政治，历史，地理｝,给出下列四个结论：

①若/（S2，Sj=l,则邑=｛思想政治，历史，生物｝;

②若J（S],S2）=J（*S4）,则邑=1地理，物理，化学｝;

③若§4=｛思想政治，物理，生物｝,则./（号同卜/⑸同卜/⑸同）；

④若J（S，S4）>/（S2，S4）="S3，S4）,则若=｛思想政治，地理，化学｝•

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数/（/）=+A>OM>O,O<0<?的最小正周期为兀.

（1）若A=l，*0）=当,求夕的值；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为己知，确定/（/）的解析式，并求函数

〃（x）=/'（X）-28s2x的单调递增区间.

条件①：/（"的最大值为2；

条件②：/（N）的图象关于点（得，0；中心对称；

I12）

条件③：/（X）的图象经过点.

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

17.如图，在三楂锥。一ABC中，侧面DAC_L底面ABC,AD=DC,AB=BC.

（I）求证：AC1BD；

（2）已知AB=&，AC=2,AD=C，尸是线段B。上一点，当时，求二面角尸一AC-3的余

弦值.

18.为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市

高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平

均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下

表所示.

序评委甲评评委乙评初评得

号分分分

1678274.5

2808683

3617668.5

4788481

5708577.5

6818382

7848685

8687471

9667771.5

10648273

（1）从这10篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的概率；

（2）从这10篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过5的篇数记为

X,求X的分布列及数学期望：

（3）对于序号为i（i=l,2,…,10）的论文，设评委甲的评分为X,,评委乙的评分为毛，分别记甲、乙两位评委对

/—■一\

1।v_vV.—Y

这1。篇论文评分的平均数为又，Y，标准差为》，S乙，以7———+」一作为序号为i的论文的标准化得

21照$乙）

分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种排名结果是否相

同？（结论不要求证明）

19.已知椭圆£：1+£=1（。>8>0）的离心率为白，A,8分别是E的左、右顶点，P是上上异于A,B的

点，A4P8的面积的最大值为20.

(1)求E的方程：

(2)设O为原点，点N在直线x=2上，N,P分别在x轴的两侧，且ZM™与5p的面积相等.

(i)求证：直线ON与直线AP的斜行之积为定值：

(ii)是否存在点P使得4A08且△N3P,若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

20.已知函数/(x)=(l-ox)e*(a£R).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若关于”的不等式〃x)>a(l-x)无整数解，求”的取值范围.

21.若有穷自然数数列A：%/，…，%(〃22)满足如下两个性质，则称A纥数列：

①&>max+&T，七+。人一2,…，《-i+4}(%=2,3,•••,〃)，其中，max{%,9,•♦•,4}表示为,.々,…,&，这$

个数中最大的数；

②&Vmin{4+4_],/+。-2,…,必—i+q}+l(〃=2,3,・、〃)，其中，min{xpx2,---,xj,这

S个数中最小的数.

(1)判断A：2,4,6,7,10是否为区数列，说明理由；

(2)若A：01M2,…，。6是£数列,且《，。2，。3成等比数列，求。6；

(3)正明：对任意4数列A：4(〃之2),存在实数上,使得以=伏刃(攵=1,2,…川.(国表示不

超过X的最大整数)

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一

数学

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项.

1.已知全集八{123,4},A={x叫x<2},则姆=()

A.{1}B.{1,2}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】D

【分析】求出集合A，再利用补集的定义求解即得.

【详解】全集U={1,2,3,4},则4={1},

所以句/={2,3,4}.

故选：D

2.复数一!一在复:平面内对应的点位于()

3+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法运算，化解复数，并结合复数的几何意义，即可求解.

ii(3-i)l+3i(13、

【详解】复数!'.〈所以复数对应的点为77,右，为第一象限的点.

3+1(3+1)(J3-1)1()11010J

故选：A

3.在△4T中，若石折2Ain4则4为

A.-B.-c.丁或D.-7或

363366

【答案】C

【详解】\/3sinA=2sinBsinA»sinB=，则8=&或8选C.

233

4.已知则是“函数f(x)=(l-a)Y在R上单调递增”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】分a=l,«>1,av1讨论函数/(x)的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确定答案.

【详解】对于函数/(“=。一々)％3

当。=1时，/(力=0,为常数函数，

当时，1—avO,函数〃x)=(l-在R上单调递减，

当av1时，1一4>0,函数/(x)=(l-a)d在R上单调递增，

所以“Ovavl”是“函数〃司=(1一。)/在R上单调递增”的充分而不必要条件.

故选：A.

5.已知直线x—JJy+6=0和圆产+丁=，&>0)相交于4,8两点.若|人却=6,则厂=()

A.2B.2>/3C.4D.3a

【答案】D

【分析】借助点到直线的距离公式与垂径定理计算即可得.

【详解】圆寸+/=，任>0)的圆心为：(0,0),半径为，

L|6|

则圆心到直线x-6)，+6=0的距离为cl=-J=U=3,

VI+3

由垂径定理可得「=(/+'增、3+3?=3万

故选：D.

6.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，且q+%=L%+4=4,则§6=()

A.9B.16C.21D.25

【答案】C

【分析】根据等比数列的性质求。5+4,即可求解§6.

【详解】由等比数列的性质可知，幺叁=幺士包，即检士”=3,得见+4=16,

%+。4。2+441

=•+4)+(6+%)+(6+4)=21.

故选：C

22

7.已知双曲线C：_=1(。>0/>0)的右焦点为忆过点尸作垂直于x轴的直线/,N分别是/与双曲

线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段&V的中点，则C的渐近线方程为()

J2

A.y=±xB.y=±—.r

2

c.y=±——xD.y=±——X

.3.5

【答案】C

【分析】设双曲线的右焦点尸(c,0),求出点M和N的坐标，利用中点坐标公式列式计算得b关系，进而可得渐

近线方程.

【详解】设双曲线的右焦点厂(c,0),过第一象限的渐近线方程为y二2X，

当x=c,时，y=—,即又MG—,

aV\a)

因为M是线段QV的中点，所以2=」"，得c、二»,

a2a

8.在..ABC中，AB=AC=2,8c=26，点。在线段5。上.当必・尸8取得最小值时，PA=()

A.正B.—C.-D.-

2244

【答案】B

【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表小数量积，并求最小值，求得附的坐标，即可求解.

【详解】如图，以3c所在直线为工轴，以8。的垂直平分线建立):轴，建立平面直角坐标系，

由A8=AC=2,BC=26则0A=,22—（百了=1，

所以A（0』），B（-V3,0）,C（G,O）,设尸（x,0）,

则PA=(-x,l),PB=(-V3-X,0),

2

故选：B

9.在校长为1的正方体ABCD—%与G。中，E，F，G分别为棱A4,BC,CG的中点，动点，在平面

EFG内,且.则下列说法正确的是（）

A.存在点“，使得直线与直线FG相交

B.存在点H,使得直线DH±平面EFG

C.直线片“与平面EFG所成角的大小为g

D.平面七FG被正方体所截得的截面面积为辿

【答案】C

【分析】连接。/，DG，取尸G中点M,连接。M,点。到线段尸G的最短距离大于1，即可判断A;建立空

EF-nG

间直角坐标系，点。到平面EFG的距离为即可判断B：由1.平面石厂G,连接交EG

同2

TT

于点0,Rt“＞片”与RtZXOO”全等，所以/BiHO=/DHO=q,即可判断C；平面瓦'G被正方体所截得的

截面图形为正六边形，且边长为立，可求截面面积.

2

连接OF，DG,所以石=|OG|=乎，|FG|二乎，取AG的中点M,连接ZW,

所以10M卜平>1,点。到线段尸G的最短距离大于1，所以不存在点〃，使得直线与直线8相交，故

A不正确;

[1、

以。为坐标原点，分别以OA,DC,。。所在直线为工轴,》轴，z轴建立空间直角坐标系，则£：1,0,-,

I2.)

呜,1,0),0(0,0,0),

所以EF=[-;,1,一；],EG=(-1,1,O)

DE=1,0,一,

I/乙)I2J

-1x+y-|z=0

EFn=0

设平面EFG的法向量为〃=(x,y,z),所以，,即《

EGn=0-x+y=()

令x=l,则y=l,z=l，所以

DEn3J3

所以点。到平面石FG的距离为一^=」产=32<1,而。"=1,所以不存在点，，使得直线3〃_L平面

同262

EFG,故B不正确；

因为=(1,1,1),所以。片平面耳心，连接。耳交EG于点。，所以。为。用的中点，

D0=B、0=J,

12

所以ZB\HO为直线B】H与平面EFG所成角，

因为DH=1,在RtzXOOH中，sinZD//(9=—=—，

DH2

所以ND"O=],因为RSO4"与RtAO。”全等，所以NBiHO=NDHO=m,故C正确;

延长GF交的延长线于N,连接EN交AB于尸，连接夕尸，取AG的中点K,。闭的中点，，

连接KG,EJ,KJ,KG//EP,EJ//GF,KJ//PF,

平面EFG被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为变，

2

所以截面面枳为6X,XY2XX5=逆，故D不正确.

2244

故选：C.

10.已知〃个大于2的实数%,为，…，乙，对任意乙（，=1,2,…，存在K之2满足》《茗，月..=力，则使得

%+&+…+萄.1<15%成立的最大正整数〃为（）

A.14B.16C.21D.23

【答案】D

【分析】构造函数/（x）=W"N2）,结合函数单调性可得e<%W4,则有152%+%+•♦•+'J”3

44

即可得解.

In答_Iny

【详解】由苍"=yj，且必22,3>2,故y/n七二七Iny,即

x

，yt

令〃制=皿(/2),r(x)=lz^,

yCX

故当x«2,e)时,/(x)>0,当x«e,+8)时,/f(x)<0,

即/"）在（2,e）上单调递增，在（e,+8）上单调递减,

由色土二电上，即/（均）=/（另），故土,e，2<>;<e,

xi

ln4

又八2）=等==/（4）,故七二4,即^<七二4,

4

若办+4+…+K15x“，则有］…，

44

即，《竺+1,由e*2.72,故竺+1^22.06+1=23.07.

ee

故最大正整数〃为23.

故选：D.

InV

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数/（工）=——的性质，结合其单调性得到2《y<e,从而得到

.V

e<x,<4,则有］5N.十七十…十七一N（”—1）「,即可得解.

44

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.在（1-五）6的展开式中，x的系数为（用数字作答）

【答案】15

【分析】集合二项式展开式的通项公式即可求出结果.

【详解】由二项式的展开式的通项公式，得.，令则厂=2,所以系数为

C；（-if=15,

故答案为：15.

12.已知抛物线丁二20，（〃>0）的焦点为产，准线方程为y=-l,则〃=：设。为原点，点

财伍，益）在抛物线上，若|。闸=归根，则）'。".

【答案】①.2②.g##0.5

【分析】借助抛物线的性质及其定义计算即可得.

【详解】由抛物线准线方程为），二-1,故p=2,

则f=4y,尸（0,1）,由"（/，儿）在抛物线上，

故忻闸=），0+5=%+1,

由|oM=WM，可得九：+乂=（%+1）2,

即其=2），。+1=4为，即%=：.

故答案为：2;y.

13.已知函数=若实数满足f（a）=/（0）=/（c），则。+8=_________

5-x,x>2

a+b+c的取值范围是.

【答案】①.2②.[6,7）

【分析】结合分段函数与绝对值函数的性质，可得0<a<lvb<2<4<c<5,且x«0,2）时，/（力关于x=l

对称，即可得解.

【详解】由〃"=把一"""：，故/（五）在（5）、（2,+8）上单调递减，

5—x,x>2

在（1,2）上单调递增，且有41）=0,/（2）=1,/（0）=1,/（4）=1,/（5）=0,

由/（。）=/（8）=/（c），则0<a<1<8<2<4<c<5,

由x«0,2）时，/（x）=|x-l|,则/（x）关于X=1对称，故。+〃=2,

则。+力+c=2+cc（6,7）.

故答案为：2；[6,7）.

14.已知函数/（工）=；5m2底若曲线），=/（同在点/1（%,/（玉））处的切线与其在点8（£,/（工2））处的切线相互

垂直，则百一马的一个取值为.

【答案】、（答案不唯一）

2

【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知，COS2X,COS2A-2=-1,再根据函数的取值，即可求解.

【详解】/r（x）=cos2x,由题意可知，/'（%）/'（1）=一1,

coslx,-1兀

g|Jcos•cos2X=-1,所以,得斗=用兀，X,=-+k,n,k.,keZ,

2cos2x,=-1~22

cos2X[=-1兀

或，

八.，得%1=—+2田，心=心兀，kKeZ,

cos2x2=12

所以X—£=------(4-22)兀，%一工2=-----*~(内-”4)兀，攵|,攵2，太3，“4CZ,

22

所以百一W的一个取值为5・

故答案为：色（答案不唯一）

2

15.设A,8为两个非空有限集合，定义J（A8）=1-卜一j其中⑶表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、

丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参

加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为加，S?,S3,S4.已知$=｛物理，化学，生物｝,S2=｛地

理，物理，化学｝,S'=｛思想政治，历史，地理｝,给出下列四个结论:

①若/区同）=1,则邑=｛思想政治，历史，生物｝;

②若J（S“S2）=J（S，S4）,则$4=〔地理，物理，化学｝;

③若§4=｛思想政治，物理，生物｝,则、/（3,54）＜/（邑,54）=・/（邑,54）；

④若J（S”S4）＞，（S2，S4）=J（S3，S4）,则S‘=｛思想政治,地理，化学｝.

其中所有正确结论的序号是-

【答案】①③

【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到⑸S/必为偶数，讨论

WUS/=6和国JS4|=4两种情况下的求解即可；对于④：通过举例Sj=（物理，地理，历史｝来说明.

资人所以口

【详解】对于①:§41=0，所以S2ns4=0,

又S2=｛地理，物理，化学｝,所以S=｛思想政治，历史，生物｝,①正确：

对于②:""）=个同），即需=髓=冷，

所以2惶「S/=|SJS4|,所以⑸US/必为偶数，又3«|S|S4|＜6,

当|yjS/=6时，|S「SJ=|0|=O,不符合2|S|rS4|=|S（S/，

所以|S|US/=4,且同「Sj=2,此时S4情况较多，比如其=｛物理，地理，生物｝,②错误;

对于③：若Sj=｛思想政治，物理，生物｝,则

2114I4

J（SPS4）=1—-=-,J（S2,S4）=l--=-,J（S3,54）=l--=-.

•/•JJ—J—J

所以,（LSJv）⑸同卜/氏母），③正确；

对于④：当S4二｛物理，地理，历史｝时，

14?191

J（S„54）=l--=-,J（S2,S4）=l--=-,J（S3,S4）=l--=-,

JJ14I乙

满足./（印吊〉］⑸㈤人/⑸母），但不是邑二｛思想政治，地理，化学｝,④错误.

故选：①③

【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定

义题H难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数/(x)=Asin(ox+>“A>0,3>0,0<°<mJ的最小正周期为兀.

(1)若A=l，f(0)=与,求。的值；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定/(工)的解析式，并求函数

%(1)=/(x)-2cos2x的单调递增区间.

条件①：/")的最大值为2；

条件②：/("的图象关于点H，o］中心对称；

条件③：/")的图象经过点

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)甲=匚

4

(2)/(x)=2sin(2x+F,单调递增区间一4+质,互+E,keZ,

V6J63

【分析】(1)根据条件，代入/(0)=孝，即可求解.；

(2)根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，利用三角恒等变换，代入函数单调递增区

间，即可求解.

【小问1详解】

因为A=l，/(0)=—,则sin。=巫，且则0=：；

【小问2详解】

因为函数/(X)的最小正周期为兀，则69=2,

若选①②，则A=2,且/=2sin：=0,

「八7rLl5兀5兀4兀ri57rit

且0<@<一，则一<—+(p<—,则——十°=兀，则。=一，

266366

所以〃x)=2sin2x+g］；

7T=2

若选择①③，则A=2,且/'-j^J=2sin已+可=6+(

则sin~P~~2r

八Tt.7T71271rl兀兀r,兀

()<(/)<-,则m一v—+e<—,则一+夕=一,则夕=一,

2663636

所以/(x)=2sin2工+专)；

7T

若选择②③，由②可知，(P=一，

6

由③可知，/f—l=Asinf-+->l=A--=>/3,则A=2,

[\2)(66；2

所以/(x)=2sin2x+j

/?(%)=2sin2x+--2cos2x=>/3sin2x-cos2x,

=2sin2.x—,

7T7T7T

令——+2ATT$2X——<—+2A-7T,keZ,

262

得---FkitWxK—Fkit,keZ,

63

所以函数〃（五）的单调递增区间是++E,kwZ,

'JJ

17.如图，在三楂锥。一ABC中，侧面DAC_L底面ABC,AD=DC,AB=BC.

（2）已知人3=逐，AC=2,AD=6,尸是线段BO上一点，当时，求二面角厂一AC-8的余

弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）借助线面垂直的判定定理与性质定理即可得：

（2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得.

【小问1详解】

取AC中点M，连接DM、BM，

由AD=£>C,AB=BC，故ACJLDM、AC±BM,

又DM、BMu平面DBM，DM=Mf

则4C_L平面O8W,又8Ou平面O8W,故ACSB。；

【小问2详解】

由侧面DAC_L底面ABC,且AC_L8M,以0匚平面。断，

4C=平面D4Cc平面A8C，故平面D4C,

又DMu平面D4C，板BM-LDM,

即有8M、DM、AC两两垂直，

故可以V为原点，建立如图所示空间直角坐标系M-ABD，

由A8=6，AC=2,AD=O，AD=DC,AB—BC»

则DM=gAC=l,8M=J(扃—F=2,

即“(0,0,0)、£>(0,0,1)、3(0,2,0)、A(l,0,0)、C(-l,0,0),

OB=((),2,-1)、AD=(-l,0,l),4C=(-2,0,0),

令。尸=403=(0,22,-2),则AF=AD+DF=(-1,22,1-2),

由Ab_L8O,故2x2X+(-1)x(1—4)=0,解得;1=：,

~J

故

令平面FAC法向量为m=(x,y,z),

-2x=0

则有•24八，令丁=2,则有〃z=(O,2,-1),

-x+—y+—z=0

5-5

由z轴_L平面ABC,故平面ABC的法向量可为〃=(0,0,1),

百।--m，n—1—\/5

则cosw,n=7-T7-：=-----~=——)

帆同V4+1-Vr15

故二面角/一AC—笈的余弦值为好.

5

18.为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市

高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平

均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下

表所示.

序评委甲评评委乙评初评得

号分分分

\678274.5

2808683

36176685

4788481

5708577.5

6818382

7848685

8687471

9667771.5

10648273

(1)从这10篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的概率；

(2)从这10篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过5的篇数记为

X，求X的分布列及数学期望；

(3)对于序号为i(i=l,2,…,10)的论文，设评委甲的评分为Xj,评委乙的评分为X，分别记甲、乙两位评委对

/——\

Ix_xY'-Y

这1。篇论文评分的平均数为5，y,标准差为厢，S乙，以7———+」一作为序号为i的论文的标准化得

41s甲S乙，

分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种排名结果是否相

同？（结论不要求证明）

【答案】⑴1

5

/、3

（2）分布列见解析，E（X）=-

（3）相同

【分析】（1）直接利用古典概型的公式求解即可；

（2）X的可能取值为0，1，2,利用超几何分布分别求出概率，然后再求期望即可；

（3）L算序号为2的论文和序号为3的论文的标准化得分的排名即可.

【小问I详解】

设事件A为从这10篇论文中随机抽取1篇，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5,

又在这10篇论文中，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的有2篇，

,、2）

所以「（小近m

【小问2详解】

由已知X的可能取值为0,1，2,

P（X=。）噜气尸（X。等4,尸-2）二警£

所以X的分布列为

X012

771

P

15I??5

7713

所以X的数学期望为E（X）=0x西+1X西+2X同=不；

【小问3详解】

根据数据序号为2的论文初评得分排名为第2，

-7767+80+61+78+70+81+84+68+66+64T八

由已知Xt-------------------------------------=71.9,

10

82+864-76+84+85+83+86+74+77+82_

/=-o1.2）,

10

明显序号为7的论文甲乙两评委评分均最高，故初评得分排名为第1,标准化得分排名仍然为第1,

现在就看初评得分排名为第3的序号为6的论文其标准化得分排名是否会发生变化，

1(X2-/1匕一歹］—歹|乂一歹］1

2(s甲

根据表中数据观察可得评委甲的评分波动大，故S甲〉S乙，

一311fX.-X}\~Y}\(X.-X匕一歹'八

所以-------即------------——+-------------——+———>0,

s乙$甲21s甲s乙121s甲$乙,

所以序号为2的论文标准化得分排名为第2，

所以序号为2的论文的两种排名结果相同.

19.已知椭圆E：±+"=1(。>〃>0)的离心率为半，A，8分别是E的左、右顶点，尸是F上异于A,8的

点，4/4的面积的最大值为2

(1)求E的方程；

(2)设O为原点，点N在直线x=2上，N,尸分别在x轴的两侧，且△APB与△7V8尸的面积相等.

(i)求证：直线ON与直线AP的斜行之积为定值；

(ii)是否存在点P使得AAPB四△NBP,若存在，求出点。的坐标，若不存在，说明理由.

【答案】(1)—+^-=1

42

(2)(i)证明见解析；(ii)不存在点P

【分析】(1)利用待定系数法，列方程组，即可求解；

(2)(i)首先利用坐标表示S八依和S.MP，利用面积相等，以及点P在椭圆上的条件，即可化简斜率乘积的公式，

即可证明：(ii)由条件44尸B义ZXNBP,确定边长和角度的关系，再结合数形结合，即可判断是否存在点Q满

足条件.

【小问1详解】

当点尸是短轴端点时，ZW归的面积最大，面积的最大值为1-2。力=2夜，