2024年成人高考专升本高等数学考前复习重点分析

2024年成人高考专升本

高等数学考前复习重点分析

第一章函数、极限和连续

§i.i函数

一、主要内容

㈠函数的概念

1.函数的定义：y=f(x),xGD

定义域：D(f),值域：Z(f).

f(x)xeD

2.分段函数:1

g(x)XGD2

3.隐函数：F(x,y)=0

4.反函数:y=f(x)—x=<t>(y)=f'(y)

定理:假如函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y

是严格单调增加(或削减)的：

则它必定存在反函数：

y=r'(x),D(r')=Y,z(r')=x

且也是严格单调增加(或削减)的。

㈡函数的几何特性

L函数的单调性：y=f(x),x£D,Xi、X2€D

当xVx?时，若f(xi)Wfa),

则称f(x)在D内单调增加(力；

若f(xi)2f3)，

则称f(x)在D内单调削减(、：

若f(xi)Vf仪)，

则称f(x)在D内严格单调增加(/：

若f(Xl)>f(x2),

则称f(x)在D内严格单调削减(、,

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称

偶函数：f(-x)=f(x)

奇函数:f(-x)=-f(x)

3.函数的周期性：

周期函数：f(x+T)=f(x),xe(-oo,+oo)

周期：T一—最小的正数

4.函数的有界性:|f(x)|WM,xe(a,b)

㈢基本初等函数

1.常数函数：y=c,(c为常数)

2.塞函数：y=xn,(n为实数)

3.指数函数：y=a',(a>0saHl)

4.对数函数：y=log..x,(a>0>a#=l)

5.三角函数：y=sinx,y=conx

y=tanx,y=cotx

y=secx,y=cscx

6.反三角函数：y=arcsinx,y=ercconx

y=arctanx,y=Erccotx

㈣复合函数和初等函数

1.复合函数：y=f(u),u=<b(x)

y=f[4>(x)],xGX

2.初等函数：

山基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和更合所构成的•井.日能用一个数学式二表示

的函数

I—极.

一、主要内容

㈠极限的概念

1.数列的极限：iim%=4

〃一>8

称数列｛y〃｝以常数A为极限；

或称数列｛yj收敛于A.

定理：若｛)'〃｝的极限存在=>｛4｝必定有界.

2.函数的极限：

⑴当X—00时，的极限：

limf(x)=A、

、4olimf(x)=A

limf(x)=AXTOO八

Xf铐/

⑵当XTX。时，/W的极限：

limf(x)=A

Xf0

左极限：lim/(x)=A

右极限：lim/O)一%

Xf%)

⑶函数极限存的充要条件：

定理：limf(x)=A«lim/(x)=lim/(x)=A

.v->xoX->A0x—

㈡无穷大量和无分小量

L无穷大量：lim|/(x)|=+oc

称在该改变过程中/(x)为无穷大量。

x再某个改变过程是指：

X->气,X->+G0,X->00,Xf石，光—4，X—工0

2.无穷小量：lira/(x)=0

称在该改变过程中/(工)为无穷小量。

3.无穷大量与无穷小量的关系：

定理：limf(x)=0<=>lim—!—=+oo,(f(x)=0)

f(x)

4.无穷小量的比较：limtz=0,lim/?=0

⑴若lim2=0,则称B是比a较高阶的无穷小量；

a

⑵若lim2=c(c为常数)，则称B与。同阶的无穷小量：

a

⑶若lim2=l,则称B与a是等价的无穷小量，记作：R〜a；

a

⑷若lim幺=8,则称B是比a较低阶的无穷小量。

a

定理：若：%~~A；

则：出0言=5食

。两面夹定理

1.数列极限存在的判定准则：

设：4(.1、2、3…)

且：HmX,=.z〃=a

则：lim=a

n—xx>

2.函数极限存在的判定准则：

设：对于点xo的某个邻域内的一切点

(点xo除外)有：

g(x)</(x)<h(x)

且：limg(x)=lim〃(x)=A

X—>XQA->X0

jjiij：lim/(x)=A

x->xo

(P。极限的运算规则

若:limi/(x)=A,limu(x)=B

则：①lim[〃(x)±v(x)]=limw(x)±limv(x)=A±B

②lim[w(x)-v(x)]=limu(x)-limv(x)=A-B

③lim型。=11m〃(x)」(lim心)工0)

v(x)limv(x)B

推论：土…±%

①lim[Ux(X)±〃2(%)(x)J

=lim(x)±limu2(A)±•••±limun(x)

②lim「o〃(x)]=climu(x)

③lim[w(x)]n=[lim

GO两个重要极限

..sinx,lim包必也=1

1.lim-------=1或

“f°xWXTO(p{x}

2.lim(l4--)t=elim(1+x)t=e

Xf8xx->0'

§13连续

一、主要内容

㈠函数的连续性

1.函数在10处连续：/(X)在/的邻域内有定义,

1°limAy=lim[/(x0+Ax)-/(x0)]=0

加TOAX->0

。

2limf(x)=/(Ao)

XTXo

左连续：lim/(x)=/(%)

Kf0

右连续：lim,/(x)=/Oc)

Xfo

2.函数在与处连续的必要条件:

定理：/(不)在/处连续=/5)在玉)处极限存在

3.函数在与处连续的充要条件：

定理：limf(x)=f(xQ)<=>lim/(x)=lim/(x)=/(x0)

XT,”A—»X0.V—>Xg

4.函数在［。力］上连续：

/(»在上每一点都连续。

在端点Q和〃连续是指：

limf(x)=f(a)左端点右连续：

X—

lim/*)=/(力右端点左连续。

XTb

--------------1---------6---------------->

a+0-bx

5.函数的间断点：

若/㈤在/处不连续，则与为/以)的间断点。

间断点有三种状况：

1。/⑴在/处无定义：

2。lim/(x)不存在；

XT%

3。/(X)在/处有定义，且/(X)存在,

人一>40

但lim/(x)^/(x)

Xf00o

两类间断点的推断：

1°第一类间断点：

特点：lim"(x)和lim/(x)都存在。

A—>X0Xf”

可去间断点：㈣/(%)存在，但

5ft。

蚓/(x)。/(/),或/(X)在/处无定义。

x—>xQ

2"其次类间断点：

特点：limfM和limf(x)至少有一个为8,

x—>x0x—>x0

或!/(龙)振荡不存在。

Rf卬

无穷间断点：扁/(X)和呼十/a)至少有一个为8

XfXo”―丽

㈡函数在司处连续的性质

I.连续函数的四则运算：

lim/(x)=/(x)limg(x)=g(x0)

x0

-X—>xo，XTX0

lim[/(x)±g(x)]=/(x)±

1°0g(xQ)

Xfr。

•im"(x)•g(x)]=/(x)-g(x)

2°00

XT%。

lim/u)=/cu

3°limg(x)wO

-。g(x)g(玉))XfO

2.复合函数的连续性：

y=f(u),u=0(x),y=f[(p(x)]

lim(p(x)=(p(x()),lim/(w)=/[*(x())]

XT.”Z/->^(X0)

则：

limf[(p(x)]=/[lim(p(x)]=f[(p(xQ)]

X->XQX-)XQ

3.反函数的连续性：

y=/(九),x=f-[(x\J，。=/(无。)

lim/(x)=/(%)=lim广(丁)=尸(%)

XTX。)f0

㈢函数在口力］上连续的性质

1.最大值与最小值定理：

/⑴在［〃,b］上连续=>/（X）在\a,b\上肯定存在最大值与最小值。

a）有界定理:

/（X）在口,以上连续=>/（X）在m向上肯定有界。

3.介值定理：

/O）在［4，〃］上连续在（4,6）内至少存在一点

J，使得：/C）=c,

其中：m<c<M

X

推论：

/'（X）在［。,句轻为且/（a）与7S）相二>在（。,力）旌少存U点4/蝌/C）=0。

b）初等函数的连续性：

初等函数在其定域区间内都是连续的。

其次章一元函数微分学

§2.1导数与微分

一、主要内容

㈠导数的概念

1.导数：丁=/（“）在“0的某个邻域内有定义，

lim包=lim/（”。十一）一〃与）

4一°AXAr->0AX

lim

XTX。X")

,，/、，・/(x)-/(X。)

2.左导数:

f-(xn)=hm----------------

XTXoX—X()

右导数：力（

xn)=lim

XTX；

定理：/（x）在/的左（或右）邻域上连续在

其内可导，且极限存在；

则：/Z（X）=limff（x）

OXTX。

（或：

/；（x0）=limf（x））

3.函数可导的必要条件：

定理：/（X）在“0处可导/（X）在“0处连续

4,函数可导的充要条件•：

定理：y|x=x0=/‘（X。）存在=>£（*。）=力（/），

且存在。

5.导函数：V=/'（%）,xe（a.b）

f（x）在33内到处可导。

6.导数的几何性质:

/'（X。）是曲线y=/（x）上点

M（X（”K））处切线的斜率。

㈡求导法则

1.基本求导公式：

2.导数的四则运算：

1。（〃土V）'=〃'土/

2°=〃，.？+〃•M

3m/

(…)

3.复合函数的导数：

7=/(〃)，u=(p(x),y=f[(p(x)]

孚=孚,，，或｛/［。（创｝'=13切・"（幻

axduax

☆留意｛/［0（X）］｝'与广刎旬的区分：

｛/［^（x）ir表示复合函数对自变量x求导；

/'［。（工）］表示复合函数对中间变量夕（X）求导。

W

4.高阶导数：f〃（x）,f（X）9的⑶⑴

（n）（,ii）

f（x）=if-（x）r95=234…）

函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。

㈢微分的概念

1.微分：/（X）在％的某个邻域内有定义，

Ay=A（x）-Ax-ko（Ax）

其中：A（x）与Ax无关，o（Ar）是比Ar较高

阶的无穷小量，即：处1不-二°

则称y=f（x）在x处可微，记作：

dy=A（x）zXx

dy=A（x）dx（Ax->o）

2.导数与微分的等价关系：

定理：/(x)在X处可微=/(X)在X处可导,

f

且:f(x)=A(x)

3.微分形式不变性：

dy=ff(u)du

不论U是自变量，还是中间变量，函数的

微分都具有相同的形式。

§2.2中值定理及导数的应用

一、主要内容

㈠中值定理

1.罗尔定理：/(X)满意条件：

1°在S,切上连续1在(a,〃)内至少

2。在内可导卜=存在一点

3'"(〃)=/(6)•使得r‘d)=

在(〃,b)内至少存

1。在［出)］上连续,

2°在(凡加内可导j在一点使得：

八加牛也

b-a

㈡罗必塔法则：(°,-型未定式)

0oo

定理：/(无)和g(x)满意条件:

lim/（x）=0（或8）

】“limg（x）=（）（或8）：

XT4

2。在点a的某个邻域内可导，且g'（X）W。：

3。lim'=A,（或co）

i（8）g'（x）

则：lim=lim'=A,（或8）

XT"（8）g（X）XT〃（8）g（X）

☆留意：1°法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。

2°若不满意法则的条件，不能运用法则。

000

即不是77型或一型时，不行求导。

000

3°应用法则时，要分别对分子、分母

求导，而不是对整个分式求导。

4°若/'（X）和g'（X）还满意法则的条件,

可以按着运用法则，即：

f（x）..r（x）r（x）.,俄“、

r（或）

lim-------=lim----f----=lim---------=Aoo

XT4（8）g（X）XT4（8）g（X）XT4（8）g”（X）

5°若函数是0・8,8—8型可采纳代数变

000若是18,0°,8°型可

形，化成5或装型;

08

采纳对数或指数变形,化戌一或型。

000

㈢导数的应用

1.切线方程和法线方程:

设:y=f（x）,M（Xo，jo）

切线方程：了一典=/'（々）（"一工0）

法线方程：y-y=-——（x-x）（，（x°）H0）

0f（x0）0y

2.曲线的单调性：

⑴r（X）＞0X£（〃,〃）=/（X）在3⑼内单调增力口;

/\x）＜0X/（X）在3向内单调减少;

ff（x）＞0xe（a,6）=＞在（a,A）内严格单调增加;

/r（X）＜01£（4/）=在（凡〃）内严格单调减少。

3.函数的极值：

⑴极值的定义：

设/（%）在（以⑼内有定义，3是3，份内的一点;

若对于与的某个邻域内的随意点'*,都有：

/（x0）＞/（x）［5V（x0）＜/（x）］

则称,（/）是/（幻的一个极大值（或微小值），

称为/（x）的极大值点（或微小值点）。

⑵极值存在的必要条件：

1°./（幻存在极倒“0）

n/(%)=0

2。/（%）存在。

定理:

/称为广（X）的驻点

⑶极值存在的充分条件:

定理一：

在/处连续；

/（%）是极值;

2°./'（%）=0或/''（Xo）不存在:

%是极值点。

3°./'3）过超时变号。

当X渐增通过/时，/“）由（+）变（-）；

则/（与）为极大值：

当X渐增通过/时，,3由（-）变（+）；则”而）为微小值。

/

l0./（x0）=0；1/（%）是极值；

由1g2（"〃（々）存在是极值点。

若广（玉））＜0,则―）为极大值：

若/（玉））＞°,则/（/）为微小值。

☆留意：驻点不肯定是极值点，极住点也不肯定是驻点。

4.曲线的凹向及拐点：

⑴若/"（x）＞O,xw（a,b）；则/（X）在（。,力内是上凹的（或凹的），（u）.

/7x)<0,xe(a,Z?)则/(%)在(。，〃)内是下凹的(或色的)，(n);

⑵

i°.rao)=o,](%1*。)麻

2°J〃(x)过/时变号J为/⑴的拐点。

⑶

5。曲线的渐近线：

⑴水平渐近线：

若limJ(x)=A[y=A^f(X)

或扃/(x)=Aj=的水平渐近线。

XT”,

⑵铅直渐近线：

若岬J(x)=oo工=曲(幻

或lim/(x)=oo|的铅直渐近线。

第三章一无函数积分学

§3.1不定积分

一、主要内容

㈠重要的概念及性质：

1.原函数：设：“戏尸(戏XeD

若：Ff(x)=f(x)

则称尸(外是/")的一个原函数’

并称F(x)+c是/(X)的全部原函数.

其中C是随意常数。

2.不定积分：

函数/(“)的全部原函数的全体,

称为函数/(“)的不定积分；记作：

J/(x)Jx=F(x)+C

其中：/(“)称为被积函数：

/(x)dx称为被积表达式；

X称为积分变量。

3.不定积分的性质：

⑴|j/(x)/7xJ=/(x)

或：</[[/(x)rfx]=f(x)dx

⑵jf(x)dx=f(x)+C

或：J4(x)=/(x)+C

⑶j[fx(x)+f2(x)+-+f„(x)]dx

=J/i(x)dx+J/2(x)dx+…+Jfn(x)dx

一分项积分法

⑷Jkf(x)dx=kjf(x)dx(k为非零常数)

4.基本积分公式：

㈡换元积分法：

1.第一换元法：(又称“凑微元”法)

Jf[^(x)](pf(x)dx=jfl(p(x)]d(p(x)

凑微元

=f/WZ=F(Z)+C

令t=<p(x)

=网。(x)]+c

回代r=r(x)

常用的凑微元函数有：

10dx=—d(ax)=—d(ax+b)为常数，。/0)

aa

2>xmdx=-^—dxm+l=---d(ax,n+l^-b)(机为常数)

m+1a(m+1)

3"exdx=d(ex)=—d(aex+b)

a

axdx=-^—d(ax),(a>0,a1)

Ina

40—dx=J(lnx)

X

5>sinrfx=-J(cosx)cosxdx=d(sinx)

sec2xdx=J(tanx)esc2xdx=-d(cotx)

6”/1dx=J(arcsinx)=-d(arccosx)

Vl-x2

1

-rdx=</(arctanx)=-d(arccotx)

i+x2

2.其次换元法：

Jf(x)dx=J/[夕(，)口0(，)

令x=W，)

=j(p\t)f[(p(t)Vx=F(t)^C

=尸[°7(X)]+C

反传=/T(X)

其次换无法主要是针对含有根式的被积函数，

其作用是将根式有理化。

一般有以下几种代换：

n

PX=t9鹿为偶数时/>0

(当被积函数中有底时)

2。x=asint9(或x=acosx),0«£<会

(当被枳函数中有时)

炉x=atan£,(或x=acot£),0<Z(0<Z<y)

(当被积函数中有4。之+工？时)

4(,x=asec/,(或x=acsc，)，0<Z(0<Z<f)

1

(当被积函数中有Jx二o时)

㈢分部积分法：

1.分部积分公式:

Judv=«-v-Jvdu

U

=u-v-^u!-vdx

2.分部积分法主要针对的类型:

(1)JP(x)sinxdx,JP(x)cosxJx

⑵JP(x)exdx

(4)JP(x)\nxdx

⑷JP(x)arcsinxJx,JP(x)arccosxrfx

JP(x)arctanxdx,JP(x)arccotxdx

axax

(5)Jesinbxdx,Jecosbxdx

其中:P(X)=GoX"+G/I+•••+%(多项式)

3.选u规律：

⑴在三角函数乘多项式中，令

P(x)=ut

其余记作dv;简称“三多选多

⑵在指数函数乘多项式中，令尸(元)=〃，

其余记作dv;简称“指多选多”。

⑶在多项式乘对数函数中，令lnx=〃，

其余记作dv;简称“多对选对

⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数

为U,其余记作dv;简称“多反选反”。

⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数

为u,其余记作dv;简称“指三任选”。

㈣简洁有理函数积分：

PM

1.有理函数：f(x)=

Q(x)

其中P(x)和。(x)是多项式。

2.简洁有理函数：

P(X)P(X)

⑴/(x)=f(x)=

1+x1+x2

尸(x)

⑵/(止

(x+a)(x+b)

尸(x)

(3)/(x)=

(x+a)2+b

§3.2定枳分f(x)

一.主要内容

(一).重耍概念与性质

1.定积分的定义:

”->00

定枳分含四步：分割、近似、求和、取极限。

定积分的儿何意义：是介于x轴，曲线y=f(x),

直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。

X轴上方的面枳取正号，

X轴下方的面积取负号。

2.定积分存在定理：

设：y=f(x)xe\a,b］

若:f(x)满意F列条件之一：

1./(*)连续，xe\a,b^

2./(外在［〃,〃］±有有限个第一类间嘛;

3./(X)在［外乩上单调有界

贝k/(x)在可积。

若积分存在，则积分值与以下因素无关：

r与积分变量形式无关

2。与在［外司上的划分无关，陋，司可以任意划分

3与点金的选取无关，睚可以祖•比任意选取,

积分值仅与被积函甄(X)与区间［小切有关。

3.牛顿一一莱布尼兹公式:

若F(x)是连续函数'(x)在［a,A止的任意一个原函数

则£/(XWX=F(X)|^=F(b)-F(a)

牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面枳值的问题转化为找寻原函数

及计算差量的问题。

4.原函数存在定理：

茬/*(x)连续，xG［a,b］,

贝！J:0(x)=l［axe\a,h\

0(x)是，(x)在［a,切上的一个原函数

且：/(X)=(1/(，)〃)'=/(*)

5.定积分的性质：

设f(x),g(x)在［a,b］上可积,则:

ifkf(x)dx=k^f(x)dx

T^f(x)dx=-^f(x)dx

3。口/(工)±g(x)如=£/(xWx±j：g(x)dx

4U£/(XWX=0

51=/(x>/x+f/(xMx(a<c<b)

7/(x)<g(x),(a<x<b)

则f'/(4£'g(X)dx

8估值定理：

m(b—a)<|f(x)dx<M(b-a)

其中叫M分别为f(x)在［a,可上的最小值和最大值

9积分中值定理：

若/(X)连续工/出力则：必存在一点£[4,〃]

使ff(x)dx=f®・(b-a)

(二)定积分的计算：

I.换元积分

如(X)连续，xe[a,b]9x=(p(t)

若“(。连续，，e[a,尸]

且当从懑到阿，夕⑺单调地加变到以

(p(a)=a,(p(P)=h.

则:，f(x)dx=f(p'(t)dt

2.分部积分

fudv=u-v\b-Cvdu

3.广义积分

j^f(x)dx=L/'(x)dx+『°f(x)dx

4.定积分的导数公式

r

r^f(t)dt)x=f(x)

)/«)肛=/[夕(x)],夕'(%)

3⑺/L=/[(z>2(x)]^(x)-/[^(x)]^；(x)

(x)

(三)定积分的应用

1.平面图形的面积：

1由y=/(x)>0,x=a,x=b,(a<b)

与x轴所围成的图形的面积yf(x)

fb

S=jf(x}dx

Ja

2由必=/(x),y2=g(x),(/>g)

与x=a9x=b所围成的图形的面木

S=f[/(x)-g(x)kx

3由“1=。(丁)，x2=(p(y\

与y=c9y=d所围成的图形的面不

4。.求平面图形面积的步骤

①

求出曲线的交点，画出草图；

②

确定积分变量，由交点确定积分上下限:

③

应用公式写山积分式，并进行计算.

z

旋转体的体积

1。曲缈=/(x)>0,与x=a,x=b

及X轴所围图形绕X轴旋转所得旋转体的体积：

，

2

Vx=^f(x)dx

Ja

2由曲线工=°（丁）＞0,与丁=。,丁=4

及y轴所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积:

匕=句）2（））包

第四章多元函数微积分初步

§4.1偏导数与全微分

主要内容：

H.多元函数的概念

c）二元函数的定义：

z=f（x,y）（x,y）eD

定义域：D（/）

d）二元函数的几何意义：

二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）

仁）.二元函数的极限和连续：

1.极限定义：设z=f（x,y）满意条件：

1在点（西”盟）的某个领域内有定义。

（点（20，为）可除外）

2°limf（x,y）=A

yf为

则称Z=/（x,y）在（Xo，Jo）极限存在，且等于4。

2.连续定义：设z=f（x,y）满意条件：

1。在点（匹”孔）的某个领域内有定义。

2°!瞿/（"‘月=/（"。'盟）则称z=/（x,y）在（拓”盟）处连续。

㈢.偏导数：

定义：/（x,y）,在（Xo，y0）点

/(/+垓,/)-/(/,汽)

（匹”盟）=［呵

Ax

〃“。)=512。+乎7区"。)

JAy->oAJ

H(/“0)/(/,yo)分别为函数'(占y)在(七)，％)

处对的偏导数。

z=/(x,y)在。内任意点(x,y)处的偏导数记为：

3=若应=*；

OXOX

df(x,y)dz,

f(x,y)=---=—=

ydydy

㈣.全微分：

1.定义：z=f(x,y)

若Az=/(x+Ax,y+Ay)--(x,y)

=AAx+BAy+o(p)

其中，A、5与Ax、Ay无关,o(p)是比

p=，“+△_/较高阶的无穷小量

贝！J:dz=6(f(x,y)=AAx+BAy

是z=/(%")在点(x,y)处的全微分。

3.全微分与偏导数的关系

定理：若咒(x,y)"；(x,y)连续,(x,y)£

贝!hz=/(x,y)在点(x,y)处可微且

dz=f^(x,y)dx+fy(x,y)dy

(五).复全函数的偏导数：

[设：

Z=/(w,v),u=u(x9j),V=v(x,y)

:.z=f\u(x,y),v(x,y)\

同Idzdzdudzdv

贝！J：----------+----------

dxdudxdvdx

dzdzdudzdv

---^^3-----•，----•----

dydudydvdy

2.设J=/(〃/),u=u(x\v=v(x)

y=f[u(x),v(x)]

dydv

I・

dxdudxdvdx

因.隐含数的偏导数：

।.设尸(x,y,z)=0,z=/(x,y),且£'*0

则包=_旦返=_与

法F；'dyE

2,设厂(招y)=o,y=/(x),且可力o

则电=上

dxF；

㈤二阶偏导数:

“d2zddz

oxoxox

&

f"（32Z_c

/vy（x,y）一^y_/一

oy5av

。&

一

%（x，y）=——=一

dxdysy加

A&

f（xy）-———-5一

yx9oyoxaxV

结论：当加（x,y）和《（占y）为居y的连续函数时，

则：G（x,y）=f；x（x,y）

（A）二元函数的无条件极值

1.二元函数极值定义：

设z（x,y）在（X。,y0）某一个邻域内有定义，

若z（X,j）＜z（x,X））,［或z（）］

0X,J）＞Z（X0,J0

则称恭与,典）是z（x,y）的一个极大（或极小）值，

称（/，义）是z（x/）的一个极大（或极小）值点。

极大值和微小值统称为极值，

极大值点和微小值点统称为极值点。

2.极值的必要条件：

若z=/（x,y）在点（*0，4）有极值，且在（/，打）

两个一阶偏导数存在，则：

/；（“0，盟）=°/；（/。0）=0

★1使（%0，盟）=/；（/，/）=减J总工0，了0），

称为Z=/（XJ）的驻点。

2。定理的结论是极值存在的必要条件，

而非充分条件。

例：z=J2-X2+1

4=7=n解出驻小。U

q,=+2y=0=0

z（0,0）=1

当x=0,yw耐，z（O,y）=r+i>i

当xwO,y=（M,z（x,0）=-x2+l<l

・••驻点不肯定是极值点。

e）极值的充分条件：

设：函数y=/（占了）在（工0,3）的某个领域内

有二阶偏导数，且“。4。）为驻点，

若："=[fxy（X09y^--%）・fyy（XQ9yJ

当.<0且[/二（“。"0）<丽，=/（10。0）为极大值，

：P1/工（//0）>（时，=/（与。0）为极小值,

当：〃>0,=/（与，为）不是极值。

当：p=0,=不能确定。

求二元极值的方法：

1求一阶偏导数，令两个一阶偏导数等于零，

解出驻点.

2。求出p,根据极值的充分条件，判断驻点是否是

极值点。

3。若驻点是极值点，求出极值。

二倍角公式：(含万能公式)

①sin10=2sin9cos。="改

1+以。

②cos2。=cos20-sin20=2cos2^-1=1-2sin20=--

1+吆2,

③叱=彘④。"=品=中⑤。。

第五章排列与组合

(1)加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。

(2)乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成.

排列：从n个不同元素里，任取'"~,个元素，根据肯定的依次排列成一列，称为从n个不同元素

里取出m个元素的一个排列，计算公式：

m〃!

P=n(n-1)(〃-2)......\n-(m-I)]=规=〃！,0!=1

n(n-)〃)！八

(1VW〃)

组合：从n个不同元素里，任取'~~,个元素组成一组，叫做从n个不同元素里取出m个元素的

tnn

C或()

一个组合，组合总数记为〃〃，计算公式：

m〃(/?一IX"-2).......[n-(nt-1)]〃！0

C=--------------------------------------------=-----------规定。=1

nm\ml(n-m}\n

mn-ninmmm—1

组合的性质：C=C(〃?＞一)，C=c+c

nn2〃+Inn

pUI

mmminn

P=C•P或C=—

nnmn”

ni

第六章概率论

符号概率论集合论

Q|样本空间全集

。不行能事务空集

0)基本领件集合的元素

A事务子集

NA的对立事务A的余集

事务A发生导致

Au8A是B的子集

事务B发生

集合A与B相

A=BA与B两事务相等

等

事务A与事务B

A\JBA与B的并集

至少有一个发生

AQB事务A与事务B同时发生A与B的交集

A-B事务A发生而事务B不发生A与B的差集

A与B没有相同

事务A与事务B互不相容

j4nB=#元素

由于随机事务都可以用样本空间Q中的某个集合来表示，于是事务间的关系和运算就可以用集合论的学问

来探讨和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事务的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样

本空间，该区域的一个子区域表示某个事务。于是各事务的关系运算如图中的图示所示。

各事务的关系运算如图示：

AB

9.完备事务组

n个事务A,4,…,4,假如满意式列条件:

(1)AUAU-U4=o；

(2)4n4-6(%=12…川,

则称其为完备事务组。

明显任何一个事务A与其对立事务工构成完备事务组。

10.事务运算的运算规则：

(1)交换律AUB=BU?Mn8=8rM

(2)结合律(HU均UC=<U(8UC>

an为ncm(Bno

(3)安排律(，UB)nc=(cnc)u(BUc)

(nri为uc=(nucn(8U0

(4)对偶律(力u》)=瓦AUH

率的古典定义

定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本领件总数为n,事务A包含的基本领件数为m,则事务

P(A)=-

A发生的概率为加。

概率的基本性质与运算法则

性质1.0WP(A)Wl

特殊地，P(①)=0,P(Q)=1

性质2.若Au8,则p(B-A)=P(B)-P(A)

性质3.(加法公式).对随意事务A,B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推论1.若事务A,B互不相容(互斥),则P(A+B)=P(A)+P(B)

推论2.对任-事务A,有汽冷=1-P(A)

推论3.对随意事务A,B,C,有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

条件概率、乘法公式、事务的独立性

条件概率

定义1：设有事务A,B,且P(B)>0,称

类似地，假如P(A)>0,则事务B对事务A的条件概率为

夕(月切

P⑻月)=

只用

概率的乘法公式

P(AB)=>0)

P(AB)=P(A)P(B\A),(P(A)>0)

乘法公式可推广到有限多个事务的状况，例如对事务A,B,C,^

P(ABC)=P(A)P(B\A)P(C\AB)

事务的独立性

一般地说，P(AIB)WP(A),即说明事务B的发生影响了事务A发生的概率。若P(AIB)=P(A),则说

明事务B的发生在概率意义下对事务A的发生无关，这时称事务A,B相互独立。

定义：对于事务A,B,若P(AB)=P(A)P(B),则称事务A与事务B相互独立。独立试验序列概型

在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事务A可能发生或可能不发生，目事务A发生

的概率为p，则在n次试验中事务A恰好发生k次的概率为

为㈤=或/(I-P尸(k=0,l,2,-,n)

一维