2024年北京市中考数学利用旋转性质解决几何问题专练

利用旋转性质解决几何问题

一、单选题

1.（2024•北京•模拟预测）如图，在矩形ABC。中，AB=6,8。=66，点。在线段上

运动（含氏。两点），连接AP,以点A为中心，将线段行逆时针旋转60。到AQ,连接OQ,

则线段OQ的最小值为（）

A.1B.5&C.竽D.3

2.（2024.北京门头沟.一模）如图，在等边三角形ABC中，有一点P,连接孙、PB、PC,

将AP绕点8逆时针旋转60。得到，连接P。、AD,有如下结论：①.BPCWBDA；②

△8DP是等边三角形：③如果ZBPC=150°,那么RV=p¥+PC2.以上结论正确的是（）

A.①②B.®®C.②③D.①②③

二、填空题

4

3.（13-14九年级上.辽宁•阶段练习）如图，直线y=—§x+4与x轴、），轴分别交于A、8两

点，把丛04绕点A顺时针旋转90。后得到△49E,则点方的坐标是.

三、解答题

4.（2024.北京房山•模拟预测）如图，在工8。中，AB=AC,/8=。（0。＜。＜45。），4）是

中线•点E是3。上的动点（不与端点B,。重合）.将线段绕点E顺时针旋转力得到

线段防，连接版.在CB延长线上存在点G,使GE=CE,连接

（1）补全图形;

⑵判断A凡G厂的位置关系,证明结论；

DE

（3）若a=30。，且GB=AB,直接写出——=

试卷第2页，共41页

5.(2024.北京丰台•一模)在"C中，AB=AC,N84C=。，点。是BC中点，点E是线

段8c上一点，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转。得到线段四，连接七八

(1)如图1,当点E与点。重合时，线段Eb,4c交于点G,求证：点6是£厂的中点；

(2)如图2,当点石在线段4。上时(不与点8,。重合)，若点H是E尸的中点,作射线

交AC于点M,补全图形，直接写出NWW。的大小，并证明.

6.(2024.北京石景山.一模)在，ABC中，AB=AC,0°<ZfiAC<60°,将线段8c绕点4逆

时针旋转60。得到线段8。，连接AQ.将线段4。绕点A顺时针旋转90。得到线段AE,连接

DE.

⑴如图1,求证：EA//BC-

(2)延长BC到点F,使得CE=C8,连接DF交AC于点”，依题意补全图2.若点、M是AC

的中点，用等式表示线段Mb,MQ,。月之间的数量关系，并讦明.

试卷第4页，共41页

7.(2024•北京房山•一模)在^A3C中，AB=AC,ZBAC=2a(45°<a<90°),。是上的

动点(不与点C重合)，且8Q>QC,连接AD,将射线AD绕点、A顺时针旋转«得到射线AG,

过点。作A。交射线AG于点E,连接加，在BO上取一点〃，使“。=C。，连接E”.

(I)依题意补全图形：

(2)直接写出NA4E的大小，并证明.

8.（2024・北京大兴・一模）在"C中，AC=BC,NACB=90。，点。是线段A8上一个动

点（不与点A,8重合），Z4CD=6Z（0<6Z<45°）,以。为中心，将线段。C顺时针旋转90。

得到线段£>E,连接£3.

⑴依题意补全图形；

⑵求NEO3的大小（用含〃的代数式表示）；

（3）用等式表示线段跖，BC,AO之间的数量关系，并证明.

试卷第6页，共41页

9.（2024•北京东城•一模）在RtZsABC中，ZBAC=90°,/W=AC,点。，石是BC边上的

点，。£=如。，连接4D.过点。作AD的垂线，过点£作8c的垂线，两垂线交于点凡连

接AF交8C于点G.

⑴如图1,当点。与点8重合时，直接写出/D4尸与NE4C之间的数量关系；

⑵如图2,当点。与点8不重合（点。在点E的左侧）时，

①补全图形；

②与N84C在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请

说明理由.

（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段8DDG,CG之间的数量关系.

1().(2024•北京朝阳•一模)如图，在菱形ABCZ)中，Z5AD=120°,E是C。边上一点(不

与点C,。重合).将线段AE绕点A逆时针旋转60。得到线段人广，连接。尸，连接断交4c

于点G.

(1)依据题意，补全图形；

⑵求证：GB二GF；

(3)用等式表示线段8C,CE,8G之间的数量关系.

试卷第8页，共41页

11.（2024・北京海淀•一模）在..必C中.ZAC5=90°,ZAAC=30°,将线段AC绕点人顺

时针旋转。（。°＜。460。）得到线段相＞.点/）关于直线叱的对称点为E.连接AE,DE.

AA

E

图1图2

（1）如图1,当。=60。时，用等式表示线段AE与BO的数量关系，并证明;

（2）连接30,依题意补全图2.若AE=BD,求？的大小.

12.（23-24九年级下.北京.阶段练习）如图在RtZSABC中，ZAC5=90°,

/8=。（45。＜。＜90。），Z）为8c延长线上一点，将线段DC绕点。顺时针旋转2。得到线段

DE,连接CE,AE,过点E作线段AE的垂线，交射线于点〃，连接瓶.

E

（I）依题意补全图形，并直接写出一以/•'的度数（用含夕的式子表示）;

(2)求证：DB=DF.

试卷第10页，共41页

13.(2024•北京•一模)如图，"C是等边三角形，。，石两点分别在边A8,满足=

BE与CD交于点F.

⑴求的度数；

(2)以C为中心，将线段C4顺时针旋转60。得到线段CM,连接M/L点N为M/的中点,

连接CN.

①依题意补全图形；

②若BF+CF=k,CN,求A的值.

⑴如图1,将线段AC绕点A逆时针旋转60。得到AZ),连接C/)、BD,NB4c的平分线交8。

于点E,连接CE.

①求证：ZAED=NCED；

②求证：2CE+AE=BD；

(2)在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60。得到AO,连结C。、BD,连结CE,请

补全图形，若CE=6+2>/L求BD.

试卷第12页，共41页

15.（23-24九年级下•北京•阶段练习）已知：线段A8,点C是线段A8的中点，点。在线

段4/3上，线段8绕点C顺时针旋转90。得到线段CK,过8作BF_LAE交AE的延长线

于点儿交直线OE于点G.

⑴如图，补全图形，设NE4C=a,求ZDG8的度数（可以用a表示）；

⑵在（1）中补全图形中，求AE与8G的数量关系；

（3）在（1）中补全图形中，用等式表示AB、EG、C£＞的数量关系，并证明.

答案解析

一、单选题

1.（2024•北京•模拟预测）如图，在矩形ABC。中，AB=6,8。=66，点。在线段上

运动（含氏。两点），连接AP,以点A为中心，将线段行逆时针旋转60。到AQ,连接OQ,

则线段OQ的最小值为（）

A.1B.5&C.竽D.3

【答案】解:如图，以A8为边向右作等边△4M,作射线FQ交A。f点E,过点D作。“■LQE

于H.

••,四边形A8CO是矩形，

/.ZABP=ZBAD=90°,

•••△A8F,Z\APQ都是等边三角形，

AZB4F=ZPAe=60°,BA=FA,PA=QA,

・•・ZBAP=ZFAQ,

BA=EA

在△BAP和△E4Q中，N84P=NFAQ,

PA=QA

••・△5AP^AE4C（SAS）,

.・.4BP=ZAFQ=900,

・•・点Q在与过点F且与AF垂直的射线上运动,

*/ZME=90°-60°=30o,

试卷第14页，共41页

ZAEF=90o-30°=60°,

VAB=AF=6,4£=AA'4-COS30°=4X/3,

点Q在射线房上运动，

AD=BC=6。，

DE=AD-AE=2y/3,

DH±EF,乙DEH=/AEF=0）。,

，DH=DE-sin60°=2V3x—=3.

2

根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，OQ的值最小，最小值为3.

故选D.

2.（2024・北京门头沟•一模）如图，在等边三角形A8C中，有一点P,连接八4、PB、PC,

将3P绕点8逆时针旋转60。得到5。，连接P。、AD,有如下结论：①BPC与BDA；②

是等边三角形；③如果N8PC=15（）。，那么尸/=尸呼+尸0.以上结论正确的是（）

A.①②B.®®C.②③D.①②③

【答案】解：①•・•43c是等边三角形，

/.AB=BC,ZABC=6OC,

,/BP绕点B逆时针旋转60。得到BD，

：.BD=BP,NDBP=&）0,

・•・ZABC-ZABP=/DBP—ZABP,即ZABD=Z.CBP，

-：AB=BC,ZABD=NCBP,BD=BP,

:「BPCeBDA,故①正确，符合题意；

②;BP绕点、B逆时针旋转60。得到BD,

：.BD=BP、NDBP=g0,

•••△8DP是等边三角形，故②正确，符合题意；

③•••△8DP是等边三角形，

，/BOP=60。

BPCaBDA,ZBPC=150°,

:.ZADB=150°,

/.ZADP=ZADB-/BDP=90°，

工PN=PB2+PO,故③正确，符合题意；

综上：正确的有①②③，

故选：D.

二、填空题

4

3.（13/4九年级上•辽宁•阶段练习）如图，直线丁=-鼻工+4与x轴、），轴分别交于4、B两

点，把408绕点A顺时针旋转90。后得到△AOF,则点力的坐标是.

，点B的坐标为（。,4）,

，OB=4.

4

当）,=0时，丁+4=0,

解得：x=3,

•••点A的坐标为（3,0）,

，QA=3.

由旋转可知：（7A=OA=3,OB=OB=4,

・••点9的坐标为（3+4,3）,即（7,3）.

故答案为：（7,3）.

三、解答题

试卷第16页，共41页

4.（2024•北京房山•模拟预测）如图，在A8C中，AB=AC,4=。（0。＜。＜45。），4）是

中线•点E是30上的动点（不与端点8,。重合）.将线段绕点E顺时针旋转力得到

线段防，连接版.在CB延长线上存在点G,使GE=CE,连接

（1）补全图形;

⑵判断A凡G厂的位置关系,证明结论；

DE

（3）若a=30。，且G8=A8,直接写出——=______

DB

【答案】（1）解；如图所示，即为所求；

如图所示，延长G尸到H,使得Grn"/.连接AG、AH.CH,

'：GE=CE,GF=HF,

J石尸是△”CG的中位线，

:.CH=2EF,EF//CH,

JZGCH=\SG°-ZCEF,

由旋转的性质可得ED=即，/DEF=2a,

/.ZGCH=\S00-2a,

*/AB=AC,

ZABC=ZACB=a,

JZABG=180°-ZABC=180。-。，NACH=/GCH+ZACB=180°-a,

AZAC7/=ZABG：

•・•AD是中线,

・•.BD=CD,

，BG=EG-BE=CE-BE=CD+DE-BE=BD^DE-BE=IDE，

.・.BG=CH=2EF=2DE,

ABG^AC”(SAS),

•••AG=AH,

/.AFXCF；

(3)解：设OE=x,由(2)得GB=2DE,

又・・・GB=A8,

,GB=AB=2x,

VAB=AC,AO是中线，

工ADIBC,

VZAB£>=«=30°,

/.AO=；A8=x,

5.（2024•北京丰台•一模）在A8C中，AB=AC,ZBAC=a,点。是BC中点，点£是线

试卷第18页，共41页

段BC上一点，以点人为中心，将线段AE逆时针旋转。得到线段心,连接打

⑴如图1,当点E与点。重合时，线段E/，AC交于点G,求证：点G是Eb的中点；

（2）如图2,当点后在线段30上时（不与点。重合），若点〃是E厂的中点，作射线

交AC于点M,补全图形，直接写出NAMO的大小，并证明.

【答案】（I）•・・A8=AC,点D是中点，

ZDAC=-ABAC=-a.

22

ZDAF=a,

：.ZCAF=ZDAC=-a.

2

*.*AE=AF,

，点G是EF的中点.

（2）依题意补全图形.

证明：连接尸。，截取KC=8£,连接尸K交AC于N.

*/ZBAC=ZEAF=a,

JZBAE=ZCAF.

VAE=AF,AB=AC,

・•.BAEmC4P(SAS),

•・BE=CF,NB=ZACF.

：NB=ZACB,

ZACB=ZACF.

••KC=BE,

•KC=CF,

••・KFJ.AC^N.

•・•点D是BC中点，

•••BD=CD,

/.DE=DK.

•・•点H是Er的中点,

，DH//KF,

••・ZAW=ZWK=90°.

6.（2024.北京石景山.一模）在ABC中，AB=AC,0°<ZfiAC<60°,将线段8C绕点4逆

时针旋转60。得到线段8。，连接AQ.将线段A。绕点A顺时针旋转90。得到线段AK,连接

DE.

⑴如图1,求证：EA//BC-

（2）延长8C到点F，使得CF=CB,连接DF交AC于点M,依题意补仝图2.若点M是4C

的中点，用等式表示线段“产，M。，OE之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）证明：延长AO交4c于点G,连接CD,如下图所示，

・•・△OBC是等边三角形.

:.DC=DB=BC,NOCB=60°.

・••点O在线段3c的垂直平分线上.

试卷第20页，共41页

VAB=AC,

•••点A在线段BC的垂比平分线上.

AG1BC.

：.ZAGC=NG4£=90＞.

EA//BC.

（2）解：依题意补全图，如下图所示，延长尸。交AE的延长线7点N,连接CO,

：tCF=CD.

ZF=ZFDC=-Z1=3O°.

2

EA//BC,

：.4V="=30°.

XVZAMN=NCMF,AM=CM,

NN=NF

J，/AMN=NCMF

AM=MC

・•・AAMNRCMF(AAS).

：.MF=MN.

在RtE4O中，AE=AD,可得OE=0A。.

在RI△附。中，NN=30。，可得DN=2AD.

/.DN=sliDE.

,:MN=MD+DN=MD+&DE，

MF=MD+s/2DE.

7.（2024•北京房山•一模）在^ABC中，AB=AC,/助。=20（45。＜。＜90。），。是6c上的

动点(不与点。重合)，且QC,连接，将射线AD绕点A顺时针旋转a得到射线4G,

过点。作OE1AO交射线AG于点石，连接8E,在上取一点〃，使，。=C。，连接£77.

(I)依题意补全图形；

(2)直接写出/A8E的大小，并证明.

【答案】(1)解：依题意补全图形，如图.

(2)解：结论：ZABE-^P.

理由：过点A作于点T，设AE,8C交于点0.

二ZBAT=ZCAT=-ZBAC=a,

2

.ADA.DE,

Z4DE=90°,

:,ZEAD+ZAED=90°,

试卷第22页，共41页

ZA7B=90°,

二."47+4=90°,

­.ZBAT=ZEAD=a,

:.Z\=ZAED,

•;ZAOB=NDOE,

;.&AO吐DOE,

.AOOB

,~DO~OE'

.AODO

"~OB~~Ed"

“OD=NBOE,

.\AAOD^/\BOE,

Z2=Z.OAD=a,

.•.N2=N&\7=a,

/.Zl+Z2=90°,

ZABE=90°.

8.（2024•北京大兴•一模）在二ABC中，AC=BC,Z4CB=90°,点。是线段4B上一个动

点（不与点A,5重合），ZACD=a（O<a<45°）,以。为中心，将线段QC顺时针旋转90。

得到线段DE,连接E6.

⑴依题意补全图形；

（2）求N夕出的大小（用含。的代数式表示）；

（3）用等式表示线段比3BC,A。之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）补全图形如下：

B

D

E

(2)解：；AC=BC，ZACB=90°,

AZ4=ZABC=45°.

ZCDB=ZA+ZACD=450+a.

ZCDE=90°,

•••4EDB=NCDE-ZCDB=45。-a.

(3)解：用等式表示线段即，BC,AO之间的数量关系是3C=&A£)+3£.

证明：过点。作交AC于点F,交3C的延长线于点

4CDM-=NEDB.

NMBD=45。,

「•NM=ZMBD=45。.

•••DM=DB.

又DC=DE,

AADCMWADEB.

CM=BE.

•••NM=45。，Z4CB=90°,

••・NC”M==45°.

CF=CM.

/.CF=BE.

在中，

•JNA=45，

试卷第24页，共41页

，zS4FZ）=ZA=45°,

JAD=FD,

AF=y/AD2+FD2=x/2AD•

.AC=AF+FC,

AC=y/2AD+FC-

•:CF=BE,BC=AC,

：.BC=y/2AD+BE.

9.（2024.北京东城.一模）在RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。，七是〃。边上的

点，O£=；8C,连接40.过点D作AO的垂线，过点E作8C的垂线，两垂线交于点F.连

接4：交8c于点G.

8（。）

图2

（1）如图1,当点D与点B重合时，直接写出NDA厂与N84C之间的数量关系;

⑵如图2,当点力与点8不重合（点力在点E的左侧）时,

①补全图形;

②NZM/与NAAC在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请

说明理由.

（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段ADDG,CG之间的数量关系.

【答案】（1）解：•・•在RtaABC中，ZBAC=90°.48=AC,点D与点B重合，DE.BC,

・・・AWGNBAE『AC'

EFJ.BC,

••・A、E、尸三点共线,

/.ZDAF=-ZBAC-

2

（2）解：①如图所示，即为所求:

A

如图所示，过点A作A〃_L6。于H,

JZA//D=90°,

ADYDF.EFYCD,

/.ZAHD=ZADF=ZDEF=90。，

・••/HAD+NHDA=90。=ZHDA+NEDF,

/./HAD=NEDF,

•・,在RtZ\A6c中，N8AC=90°,AB=AC,

AH=-BC,

2

DE=-BC.

2

AH=DE,

A.ADH^DFE(ASA),

AD=DF,

JZDAF=45°,

・•・ZDAF=-ZBAC,

2

(3)解：如图所示，将△43。绕点A逆时针旋转得到：ACT,连接TG,

由旋转的性质可得CT=6nAT=AD,ZBAD=ZCAT.

VZ/MC=90°,AB=AC,

JN8=ZAC8=45。，

・•・ZACT=45°,

试卷第26页，共41页

，N7TG=90。，

VZZ^4F=45°,

，NBA。+NC4G=45。，

/.ZCAT+ZCAG=45°,即NG47=45。，

・•・ZDAG=ZTAG,

又〈AG=4GAD=AT

・•・.AGD^-AGT(SAS),

/.DG=TG，

在RtZ\7TG中，由勾股定理得TU:MCGZ+CT"

：-DG2=CG2+BD2.

10.（2024.北京朝阳•一模）如图，在菱形A8C。中，NBAO=120。，£是CO边上一点（不

与点C,。重合）.将线段4E绕点A逆时针旋转60。得到线段AF,连接OD连接断交4C

于点G.

（I）依据题意，补全图形；

（2）求证：GB=GF；

⑶用等式表示线段8C,CE,BG之间的数量关系.

【答案】（1）解：如图：

.1

(2)证明：连接3。，与AC相交于点0.如图:

•・•线段AE绕点、A逆时针旋转60°得到线段AF,

尸=60°,AE=AF,

•・•在菱形ABCD^V，ABAD=120°,

AAB=BC,=ZCAD=-^BAD=60°,BO=OD,

2

・・・，A8C、.以。。是等边三角形，

AAC=AD,ZACD=60°,

ZCAE=ZDAFy

LACE^&ADF,

NADF=NACD=60°,

/.DF//AC,

.BGHO

••--=---，

GFOD

•・•BO=OD,

；・GB=GF；

（3）解：3BC2+CE2=4BG2,理由如下:

DF//AC,BD1AC,

DF工BD，

在RlBFD中,BD2+DF2=BF2=（2BG）2=4BG2,

•・•48c是等边三角形，BO-LAC,

试卷第28页，共41页

：.ZOBC=-ABC=30°,

2

cos30°=cosZOBC=,

BC2

，BC=—

3

4

贝

则38c2=4BO2=（28O『=Blf,

J38c2+CE2=BD~+DF-=4BG2，

即3BC2+CE2=4BG2.

11.（2024•北京海淀•一模）在A8C中.ZACB=90°,ZABC=30°,将线段AC绕点A顺

时针旋转W0°<a<60。）得到线段A。.点。关于直线比•的对称点为£连接4E,DE.

AA

图1图2

(1)如图1,当a=60。时，用等式表示线段4E与8。的数量关系，并证明;

(2)连接8Z),依题意补仝图2.若AE=8L>,求"的大小.

【答案】(1)解：线段AE与4。的数量关系：AE=>5BD.

证明：连接3£,如图1.

•・•点。，E关下直线8c对称，

•・・直线BC是线段DE的垂直平分线.

:.BD=BE.

;"DBC=NEBC=30.

ZDBE=60.

.•.△DBE是等边三角形.

A

•••-ASC中，ZXCB=90，ZL4«C=30,

：.AB=2AC.

依题意，得AD=AC,点。在AB上.

:.AB=2AD.

：.BD=AD.

：.DE=AD.

；.NDAE=NDEA=30.

BEA=90.

在RtZ\ABE中，=tanZ/ABE=tan60=V3.

BE

：.AE=6BE.

•.AE=6BD.

（2）解：依题意补全图2,如图.

方法一：延长AC至尸，使b=AC,连接BF,BE,EF,CD,CE,如图2.

vZACB=90，

；.AB=BF.

,NZMC=60，

.•…48/是等边三角形.

试卷第30页，共41页

：.AB=AF=BF^ZBFC=60.

点。，七关于直线BC对称，

・・・直线BC是线段DE的垂宜平分线.

;.BD=BE,CD=CE.

:"DCB=/ECB.

•;ZACB=NDCF=90，

：.ZDCA=ZECF.

\AC=FC,

^CAD=ZCFE.

AE=BD，

BE=AE.

•:EF=EF，BF=AF,

:.△BEF/AAEF.

ZBFE=ZAFE=30.

?.ZC4D=ZAF£=30.

二.a=30.

方法二：如图3,取八〃中点尸，连接。尸，BE,CD,设NDRT=£.

点。，E关r直线8c对称,

直线BC是线段DE的垂直平分线.

;.BD=BE,CD=CE.

:"DBC=/EBC=B.

ZEBA=3()+0、NDBA=3()-p.

AE=BD，

AE=BE.

/.ZEAB=ZEBA=3（）+/.

yZ4CT=90，NA3C=3（），

.•./8AC=60.

/.ZEAC=30-p.

ZEAC=^DBA.

由（1）可得AB=2AC.

F为AB中点,

:.AB=2AF=2BF.

.\AC=AF=BF.

AC=BF,4EAC=NDBA,AE=BD,

:.4ACEm4BFD.

:.CE=FD.

：.CD=FD.

AD=AD,AF=AC,

/.△ADF^AAZX?.

/.ZFAD=ZCAD=30.

a=30.

12.（23-24九年级下.北京.阶段练习）如图在RtZXABC中，48=90。，

/8=。（45。<a<90。），D为8c延长线上一点，将线段。。绕点。顺时针旋转2a得到线段

DE,连接CE,AE,过点£作线段AE的垂线，交射线4c于点尸，连接心.

(I)依题意补全图形，并直接写出/以/；的度数(用含a的式子表示);

(2)求证：DB=DF.

【答案】(1)解：如图所示，即为所求；

由旋转的性质可得。产=OG4CDE=2a,

试卷第32页，共41页

180°-/COE

ZDCE=ZDEC==90°-a

~2~

AEA.EF,

：.ZA£/=90°,

•「ZAC£?=90°,

：,ZACF=90°=ZAEF,

・・・A、C、E、F四点共圆,

・•・ZEAF=NECF=90°-a：

（2）证明：如图所示，延长ED到M,使得OE=DW,

由旋转的性质可得DE=OC,

DE=DC=DM,

:,NDCM=NDMC,NDEC=NDCE,

TZDCM+NDMC+/DEC+NDCE=180°,

，NDCM+ZDCE=90°,

JZMCE=90°,

/.ZMCE=ZBCA=90°,

*/ZBAC=90°-ZABC=90。一a=NMEC,

・•・AMCEseBCA,

.CMBC

••二,

CEAC

〈ZMCE+ZACM=NBCA+NACM,即ZACE=NBCM,

，/CBM=NCAE,

,:A、C、E、F四点共圆，

・•・ZCAE=ZCFE,

，NDBM=/DFE,

又•：NBDM=/FDE,DM=DE,

Z.BDM@，/DE(AAS),

；・DF=DB.

13.（2024.北京.一模）如图，A8C是等边三角形，E两点分别在边44,满足3O=AE，

BE与CD交于点、F.

⑵以C为中心，将线段CA顺时针旋转60。得到线段CM,连接M/L点N为M/的中点,

连接CN.

①依题意补全图形；

②若BF+CF=k.CN,求&的值.

【答案】（1）解：丁48c是等边三角形，

/.AC=BC,ZA=ZA6C=60c,

•/BD=AE,

在AABE和△88中，

AB=BC

NA=ZABC=60°,

BD=AE

••・八BCD（SAS）,

试卷第34页，共41页

:./ABE=/BCD,

/DFB=NFBC+NBCD=ZFBC+ZABE=ZABC=60°；

（2）解：①依题意补全图形如图1所示：

图1

②如图2'|',由（1）知AABEdBCD,

・•・NBCF=ZABE,

，NFBC+NBCF=60。,

・•・NMC=120。，

如图2中，延长CN到Q,使得NQ=CN,连接"2,

Q

,:NM=NF/CNM=4FNQ,NQ=CN、

...4CNMq（SAS）,

，FQ=CM=BC,

，NPFN=NNMC,

:.FQ〃CM,

ZPFQ=ZPCM,

延长。尸到P,使得P尸=8〃，则△P8厂是等边三角形,

JNPBC+/PCB=12伊,

*/ZACM+ZACB=\200=ZPCM+ZPCB,

/./PBC=/PCM,

•・•4PFQ=4PCM,

4PFQ=/PBC,

在△PFQ和△PBC中,

PF=PB

•NPFQ=NPBC,

FQ=BC

Z./XPFQ^/XPBC(SAS),

...4QPF=NBPC=60°,PQ=PC,

•••△PQC是等边三角形，

JQC=PC=PF+CF=BF+CF=2CN,

:.k=2.

⑴如图1,将线段AC绕点A逆时针旋转60。得到A£),连接C。、B。,/B4C的平分线交8Q

于点E,连接CE.

①求证：ZAED=NCED；

②求证：2CE+AE=BD；

(2)在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60。得到AO,连结C。、BD,连结CE,请

补全图形，若CE=6+2x/L求BD.

【答案】(1)证明：①如图：

•••将线段AC绕点A逆时针旋转60。得到AD,

试卷第36页，共41页

AAC=ALKNZ^4C=60°,

ABAD=ABAC4-ZC4Z)=150°,1=1.AB=AC=AD,

，ZABD=ZADB=\5°,

VZBAC=90°,AB=AC,AE平分N8AC,

JZBAE=/CAE=45°,ZABC=ZACB=45°,

*.*AE=AE,

・•.”BE^ACE(SAS),

/.ZABE=ZACE=\5°,BE=CE,

/.NEBC=NECB=30。,

・•・NCED=NEBC+/ECB=60°,

•；ZAED=ZABE+NBAE=60°,

・•・ZAED=/CED；

②过点A作AHJL即于点H,如图:

由①知：BE=CE,

,ZAED=60°,AHYBD,

•AE=2EH,

AI3=AD,AH±BD,

・BD=2BH,

•BE+EH=BH,

,BE+EH=-BD.

2

.2BE+2EH=BD,

•2CE+AE=BD；

(2)补全图形如下:

以A为顶点，AE为一边作NE4Q=60。，设AE交4c于K,

•••/BAC=90。，AB=AC,

工/BAE=Z.CAE=ZABC=ZACB=45°,

・••BK=AK