高一数学必修二第二章小结

点.第二章直线.平面之间的位置关系立体几何第1页本章内容2.1空间点、直线、平面之间位置关系2.2直线、平面平行判定及其性质2.3直线、平面垂直判定及其性质第二章小结第2页本章小结本章小结知识关键点复习参考题自我检测题第3页1.

三个公理知识要点公理1:假如一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

公理2:过不在一条直线上三点,有且只有一个平面.

三推论:①两相交直线确定平面;②两平行直线确定平面;③直线外点与直线确定平面.

公理3:假如两个不重合平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点公共直线.返回目录第4页知识要点2.

线线之间位置关系相交平行异面共面判定两直线平行公理4:平行于同一条直线两直线相互平行.第5页知识要点3.

两异面直线所成角①角范围(0,90].②由定义找角:③垂直相交非钝角,且两边分别平行两异面直线.异面垂直,无垂足.第6页知识要点4.

线面平行判定定理b

a,a

a,b//a,⇒

b∥a.l∥a,l

b,b∩a=m⇒

l∥m.由线线平行得线面平行.5.

线面平行性质定理由线面平行得线线平行.第7页知识要点a

a,b

a,a∩b,a∥b,b∥b,⇒a∥b.a∥b,g∩a

=a,g∩b

=b,⇒a∥b.6.

面面平行判定定理由线面平行得面面平行.7.

面面平行性质定理由面面平行得线线平行.第8页知识要点8.

线面垂直定义

⊕若直线l垂直平面a

内任意一直线,则叫l⊥a.应用:若l⊥a,

则

l垂直平面a

内任意一直线.l⊥a,m

a,

l⊥m.

⊕过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.第9页知识要点9.

线面垂直判定定理

⊕假如一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.l⊥a,l⊥b,a∩b=P,

l⊥a.a

a,b

a,

⊕两平行线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.第10页知识要点10.

三垂线定理假如平面内一条直线垂直平面斜线,则这条直线垂直斜线在平面上射影;假如平面内一条直线垂直平面一条斜线在平面上射影,则这条直线垂直斜线.第11页知识要点11.

直线和平面所成角⊕斜线与斜线在平面上射影夹角(锐角).⊕垂线与平面所成角为90.

⊕平行线或在平面内直线与平面所成角为0.

⊕斜线和平面所成角是斜线和平面内全部直线所成角中最小.

⊕两条平行线和同一个平面所成角相等.第12页知识要点12.

直线与平面垂直性质定理垂直于同一个平面两条直线平行.l1⊥a,l2⊥a,

l1//l2.由线面垂直得线线平行.第13页知识要点13.

二面角及它平面角从一条直线出发两个半平面所组成图形叫做二面角.

以二面角棱上任意一点为端点,在两个半面内分别作垂直于棱两条射线,这两条射线所成角叫做二面角平面角.二面角大小由它平面角确定.第14页知识要点14.

两平面垂直判定一个平面过另一个平面垂线,则这两个平面垂直.abll⊥a,l

b,⇒b⊥a.第15页知识要点15.

平面与平面垂直性质

⊕两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线直线与于另一个平面垂直.a⊥b,a∩b=m,l⊥m,l

a,⇒l⊥b.abml

⊕两平面垂直,平行于一平面直线垂直于另一平面.第16页复习参考题返回目录第17页A组1.三个平面可将空间分成几部分?你能画出它们直观图吗?

答:三个平面可将空间分成4个、或6个、或7个、或8个部分.4部分abg6部分abg7部分8部分abgbag复习参考题第18页

2.

如图,一块正方体形木料上底面上有一点E,经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直,怎样画?ABCDA1B1C1D1·EMN画法:①连结C1E,过点E作MN⊥C1E.②在平面A1C1内,则MN就是所要求作直线.∵CC1⊥平面A1C1,MN

平面A1C1,∴MN⊥CC1.所作MN⊥C1E,其理由:则MN⊥平面C1EC,得MN⊥CE.第19页3.证实:两两相交且不过同一点三条直线必在同一个平面内.

如图,已知直线a∩b=A,b∩c=B,c∩a=C.求证

a,b,c共面.证实:∵a∩b=A,⇒

a、b确定平面,设为a,则a

a,b

a,得C

a,B

b,∴a、b、c共面于a.a又c∩a=C,c∩b=B,ABCabc于是得C

a,B

a,即得c

a,第20页4.如图,正方体棱长是a,C,D分别是两条棱中点.(1)证实四边形ABCD是一个梯形;(2)求四边形ABCD面积.证实:如图,连结上底面∵C,D是两棱中点,ACBDA

B

而A

B//AB,且A

B

=AB,∴CD//AB,且CD≠AB,则ABCD是梯形.(1)对角线A

B,∴CD//A

B

,且第21页ACBDA

B

4.如图,正方体棱长是a,C,D分别是两条棱中点.(1)证实四边形ABCD是一个梯形;(2)求四边形ABCD面积.解:在底面正方形中求得如图,在Rt△O

OE中可求得∴梯形ABCD面积为(2)OEO

梯形高OE=E第22页5.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AE=A1E1,AF=A1F1,求证EF//E1F1,且EF=E1F1.证实:连结EE1,FF1,在正方体中,AE∥A1E1,AF∥A1F1,又知AE=A1E1,AF=A1F1,∴AEE1A1和AFF1A1是□,则EE1//AA1,且EE1=AA1,FF1//AA1,且FF1=AA1,∴四边形EE1F1F是□,得EE1//FF1,且EE1=FF1,则EF//E1F1,且EF=E1F1.AA1EFE1F1BCDB1C1D1第23页

6.如图,长方体三个面对角线长分别是a,b,c,求长方体对角线AC

长.AA

DCD

C

BB

abc解:设长方体中同一顶点处三条棱长为x,y,z,而AC

2=AC2+CC

2=AB2+BC2+CC

2xyz则a2=x2+y2,b2=y2+z2,c2=z2+x2,=x2+y2+z2第24页

7.如图,四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2正方形,其它四个侧面都是侧棱长为等腰三角形,试画出二面角V-AB-C平面角,并求它度数.ABCDVEF解:分别取AB、CD中点E、F,连结VE、EF,则∠VEF就是二面角V-AB-C平面角.连结VF,由已知可得VF=VE==2,又EF=2,∴∠VEF=60

,即二面角V-AB-C度数是60.第25页8.已知a,b,g是三个平面,且a∩b=a,a∩g=b,b∩g=c,且a∩b=O.求证a,b,c三线共点.bgabac证实:∵a∩b=O,得O

a,O

b,a∩b=a,

a

b,a∩g=b,

b

g,

O

b,O

g,即O为b与g公共点,而b∩g=c,∴交线c必过O点,则a,b,c三线共点O.第26页9.

如图,平面a、b、g

两两相交,a、b、c为三条交线,且a//b,求证a//b//c.bagabc∵a∥b,证实:g∩b=

b,a

g,

a//b.同理,a∥b,a∩b=

c,a

a,

a//c.于是得b//c,∴得a//b//c.第27页10.如图,a∩b=AB,PC⊥a,PD⊥b,C,D是垂足,试判断直线AB与CD位置关系?并证实你结论.答:

AB⊥CD.证实:∵a∩b=AB,∴AB

a,AB

b.而PC⊥a,PD⊥b,∴

PC⊥AB,PD⊥AB.则

AB⊥平面PCD.而CD平面PCD,∴AB⊥CD.abABCDP第28页B组

1.如图,边长为2正方形ABCD中,

(1)点E是AB中点,点F是BC中点,将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A

,求证:A

D⊥EF.

(2)当BE=BF=

BC时,求三棱锥A

EFD体积.ABCDEFA

BEDF(1)证实:∵DA⊥AE,DC⊥CF,∴DA⊥A

E,DA⊥A

F,则DA

⊥平面A

EF,于是得DA

⊥EF.第29页B组

1.如图,边长为2正方形ABCD中,

(1)点E是AB中点,点F是BC中点,将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A

,求证:A

D⊥EF.

(2)当BE=BF=

BC时,求三棱锥A

EFD体积.ABCDEFA

BEDF(2)解:∵BC=2,则得H△A

EF高A

H=第30页B组

1.如图,边长为2正方形ABCD中,

(1)点E是AB中点,点F是BC中点,将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A

,求证:A

D⊥EF.

(2)当BE=BF=

BC时,求三棱锥A

EFD体积.ABCDEFA

BEDF(2)解:∵BC=2,则得H△A

EF高A

H=A

D=AD=2,∴三棱锥A

EFD体积为第31页2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:(1)

B1D⊥平面A1C1B;(2)

B1D与平面A1C1B交点H是△A1C1B重心(三角形三条中线交点).ABCDA1B1C1D1H·(1)证实:连结B1D1,则A1C1⊥B1D1,又A1C1⊥D1D,∴A1C1⊥平面B1D1D,则A1C1⊥B1D.同理,连结B1C,可得BC1⊥B1D.∴B1D⊥平面A1C1B.第32页2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:(1)

B1D⊥平面A1C1B;(2)

B1D与平面A1C1B交点H是△A1C1B重心(三角形三条中线交点).设A1C1∩B1D1=O,则O,H,B是平面A1BC1与平(2)证实:ABCDA1B1C1D1H·面B1BDD1公共点,即B,H,O共线.而O点是A1C1中点,即BO是△A1C1B中线.O同理,设BC1∩B1C=E,EA1,H,E共线且是△A1C1B中线.∴H是△A1C1B重心.第33页自我检则题返回目录第34页自我检测题一、选择题.

1.如图,点P,Q,R,S分别在正方体四条棱上,而且是所在棱中点,则直线PQ与RS是异面直线图是()2.以下命题中,错误命题是()(A)平行于同一直线两个平面平行(B)平行于同一平面两个平面平行(C)一条直线与两个平行平面中一个相交,那么这条直线必与另一个相交(D)一条直线与两个平行平面所成角相等3.在正体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1中点,则直线CE垂直于()(A)AC(B)BD(C)A1D(D)A1D14.以下命题中,正确是()(A)一个平面把空间分成两部分(B)两个平面把空间分成三部分(C)三个平面把空间分成四部分(D)四个平面把空间分成五部分5.已知直线l⊥平面a,直线m

平面b,有以下命题:①a//b

l⊥m;②a⊥b

l//m;③l//m

a⊥b;④l⊥m

a//b.其中正确命题是()(A)①与②(B)③与④(C)②与④(D)①与③PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS(D)第35页二、填空题.6.若点M在直线a上,a在平面a上,则M,a,a间关系可用集合语言表示为

.7.设a,b,c是空间三条直线,下面给出四个命题:①若a⊥b,b⊥c,则a//c;②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题个数是

.三、解答题.8.(1)用符号语言表示语句:“直线l经过平面a内一定点P,但l在a外”,并画出图形.(2)把下面符号语言改写成文字语言形式,并画出图形.若直线a

平面a,A

a,A

a,A

直线b,a//b,则b

a.9.如图,在长方体ABCD-A

B

C

D

中,指出B

C,D

B所在直线与各个面所在平面关系.

10.如图,过点S引三条不共面直线SA,SB,SC,其中∠BSC=90

,∠ASC=∠ASB=60

,且SA=SB=SC=a.求证:平面ABC⊥平面BSC.ABCDA

B

C

D

SACB第36页一、选择题.1.如图,点P,Q,R,S分别在正方体四条棱上,而且是所在棱中点,则直线PQ与RS是异面直线图是()PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS(D)平行平行相交异面C第37页

2.以下命题中,错误命题是()(A)平行于同一直线两个平面平行(B)平行于同一平面两个平面平行(C)一条直线与两个平行平面中一个相交,那么这条直线必与另一个相交(D)一条直线与两个平行平面所成角相等A第38页

3.在正体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1中点,则直线CE垂直于()(A)AC(B)BD(C)A1D(D)A1D1ABCDA1B1C1D1E分析:如图,(A)AC与CE相交,排除.(B)直观BD可能垂直CE.∵BD⊥AC,且BD⊥CC1,则BD⊥平面ACC1A1,而CE平面ACC1A1,∴BD⊥CE.B第39页4.以下命题中,正确是()(A)一个平面把空间分成两部分(B)两个平面把空间分成三部分(C)三个平面把空间分成四部分(D)四个平面把空间分成五部分A一个平面如图.两个平面如图.三个平面如图.四个平面如图.第40页5.已知直线l⊥平面a,直线m平面b,有以下命题:①a//b

l⊥m;②a⊥b

l//m;③l//m

a⊥b;④l⊥m

a//b.其中正确命题是()(A)①与②(B)③与④(C)②与④(D)①与③almbalmbalmbalmb①成立②反例③成立④反例D第41页

二、填空题.

6.若点M在直线a上,a在平面a内,则M,a,a间关系可用集合语言表示为

.M

a,a

a第42页

7.设a,b,c是空间三条直线,下面给出四个命题:①若a⊥b,b⊥c,则a//c;②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题个数是

.ABCDA1B1C1D1abc①反比如图.bc②反比如图.③反比如图.④反比如图.0个第43页

三、解答题.

8.(1)用符号语言表示语句:“直线l经过平面a内一定点P,但l在a外”,并画出图形.

(2)把下面符号语言改写成文字语言形式,并画出图形.若直线a平面a,A

a,A

a,A直线b,a//b,则b

a.解:(1)P

l,P

a,l

a.aPl第44页

三、解