2024-2025学年湖南省衡阳市八中高二（下）开学数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年湖南省衡阳市八中高二（下）开学数学模拟练习试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，，则（∁RB）∩A＝（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，2） C．[﹣2，3] D．[﹣2，3）2．（5分）在等差数列{an}中，a5＝7，则a3+a7＝（）A．7 B．14 C．21 D．283．（5分）若，则z（z+2i）＝（）A．2i B．2 C．﹣1+3i D．1﹣3i4．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2+log23）的值为（）A．24 B．16 C．12 D．85．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A． B． C． D．6．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，DC上，BC＝3BE，若＝1，则λ的值为（）A．3 B．2 C． D．7．（5分）2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”．其中2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰立方”．“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目．“水立方”的设计灵感来自于威尔•弗兰泡沫，威尔•弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为2（）A． B． C． D．8．（5分）已知函数，若∀x1，x2∈R，，且g（x）＝f（x），则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）A．平均数为3 B．标准差为 C．众数为2和3 D．第85百分位数为4.5（多选）10．（6分）已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0）、B（0，3），则（）A．点P到直线AB的距离小于9 B．点P到直线AB的距离大于1 C．当∠PBA最小时， D．当∠PBA最大时，|PB|＝4（多选）11．（6分）若函数f（x）在D上可导，即f′（x），且导函数f′（x）在D上也可导（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）（x）]′．若f″（x）＜0在D上恒成立（x）在D上为凸函数．以下四个函数在是凸函数的是（）A．f（x）＝﹣x3+3x+4 B．f（x）＝lnx+2x C．f（x）＝sinx+cosx D．f（x）＝xex三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若曲线在x＝2处的切线的倾斜角为α，则＝．13．（5分）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为．14．（5分）已知数列{an}的首项a1＝1，且满足（an+1﹣an﹣1）（an+1﹣2an）＝0对任意n∈N*都成立，则能使am＝2025成立的正整数m的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知a，b，c分别为△ABC的角A，B，C所对的边，．（1）求A；（2）若△ABC外接圆的半径为，求c．16．（15分）已知数列{an}满足：a1＝1，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）设，记数列{cn}的前n项和Tn，求证：Tn＜4．17．（15分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF∥DE，M是AE的中点．（1）求证：平面BDM∥平面CEF；（2）若DE⊥平面ABCD，AB＝2，BM⊥CF，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值的最大值．18．（17分）已知椭圆的离心率是，点A（﹣2，0）（1）求C的方程；（2）过点（﹣2，3）的直线交C于P，Q两点，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．19．（17分）已知函数f（x）＝﹣（a+2）x+2alnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）当a＝时，证明：f（x）﹣﹣2．

2024-2025学年湖南省衡阳市八中高二（下）开学数学模拟练习试卷参考答案与试题解析题号12345678答案BBBADBCC一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，，则（∁RB）∩A＝（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，2） C．[﹣2，3] D．[﹣2，3）【答案】B【解答】解：因为集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤7}＝[﹣2，3]，，+∞），.所以∁RB＝（﹣∞，2）RB）∩A＝[﹣2，7）．故选：B．2．（5分）在等差数列{an}中，a5＝7，则a3+a7＝（）A．7 B．14 C．21 D．28【答案】B【解答】解：在等差数列{an}中，a5＝7，由等差中项的性质可得a2+a7＝2a6＝2×7＝14．故选：B．3．（5分）若，则z（z+2i）＝（）A．2i B．2 C．﹣1+3i D．1﹣3i【答案】B【解答】解：由，得z+2＝zi，则（3﹣i）z＝﹣2，∴z（z+7i）＝（﹣1﹣i）（﹣1+i）＝（﹣5）2﹣i2＝3．故选：B．4．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2+log23）的值为（）A．24 B．16 C．12 D．8【答案】A【解答】解：由f（x）＝，由2+log73＜4，可得f（4+log23）＝f（3+log23），由2+log23＞3，可得f（3+log28）＝＝26•2log25＝8•3＝24．故选：A．5．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：因为函数f（x）＝的定义域为{x|x≠±2}＝＝f（x），所以f（x）是偶函数，函数图象关于y轴对称，B；当x∈（0，8）时x＜4，f（x）＝，当x∈（2，f（x）＝，排除C．故选：D．6．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，DC上，BC＝3BE，若＝1，则λ的值为（）A．3 B．2 C． D．【答案】B【解答】解：由菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，所以＝2×，因为BC＝3BE，DC＝λDF，所以，＝，又＝1，所以（））＝7，所以（）•（，所以（1+）++＝2，即﹣2（1+）++，解得λ＝2，故选：B．7．（5分）2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”．其中2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰立方”．“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目．“水立方”的设计灵感来自于威尔•弗兰泡沫，威尔•弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为2（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：棱长为2的正方形的面积为2×5＝4，正六边形的面积为6×＝6．又正方形有5个顶点，正六边形有6个顶点，所以最多有6个正方形，最少有6个正六边形，所以该多面体有6个正方形．所以该多面体的表面积S＝8×2+6×4＝48．故选：C．8．（5分）已知函数，若∀x1，x2∈R，，且g（x）＝f（x），则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：因为∀x1、x2∈R，有，即（x1﹣x8）[f（x1）﹣f（x2）]＞4，即x1﹣x2与f（x2）﹣f（x2）同号，所以f（x）在R上单调递增，即f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，则，故；因为y＝ex+4m在x＝3处的切线方程为y﹣（4m+1）＝x，即y＝x+7m+1，又4m+7≥2，所以y＝x+2与y＝ex+6m（x＞0）没有公共点，若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣2仅有一个零点，所以函数y＝f（x）与y＝x+3图象仅有一个交点，则y＝x+2与y＝2﹣logm（x+7）有且仅有1个公共点，且为（0，所以y＝6﹣logm（x+1）在x＝0处的切线的斜率k大于等于7，而，得，即，解得，综上，m的取值范围为，故选：C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）A．平均数为3 B．标准差为 C．众数为2和3 D．第85百分位数为4.5【答案】AC【解答】解：平均数：众数为：出现次数最多的6和3标准差：＝，将数据按从小到大顺序排列，则1，2，8，2，3，6，3，4，2，5，一共10个数，i＝10×85%＝8.3，8.5不是整数，则第8项5是第85百分位数，故选：AC．（多选）10．（6分）已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0）、B（0，3），则（）A．点P到直线AB的距离小于9 B．点P到直线AB的距离大于1 C．当∠PBA最小时， D．当∠PBA最大时，|PB|＝4【答案】AC【解答】解：圆（x﹣5）2+（y﹣4）2＝16的圆心为M（5，3），直线AB的方程为，即3x+4y﹣12＝6，圆心M到直线AB的距离为，所以，点P到直线AB的距离的最大值为，点P到直线AB的距离的最小值为，A选项正确；如下图所示：当∠PBA最大或最小时，PB均与圆M相切、BM，，|PM|＝4，由勾股定理可得，C选项正确．故选：AC．（多选）11．（6分）若函数f（x）在D上可导，即f′（x），且导函数f′（x）在D上也可导（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）（x）]′．若f″（x）＜0在D上恒成立（x）在D上为凸函数．以下四个函数在是凸函数的是（）A．f（x）＝﹣x3+3x+4 B．f（x）＝lnx+2x C．f（x）＝sinx+cosx D．f（x）＝xex【答案】ABC【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝﹣x3+3x+8，则f′（x）＝﹣3x2+8，f″（x）＝﹣6x上，f″（x）＜0上的凸函数；对于B，f（x）＝lnx+7x+2，在区间上，是区间；对于C，f（x）＝sinx+cosx，f″（x）＝﹣sinx﹣cosx＝﹣（sinx+cosx）＝﹣），在区间上∈（，则有f″（x）＝）＜0上的凸函数；对于D，f（x）＝xex，则f′（x）＝ex+xex，f″（x）＝7ex+xex，在区间上，f″（x）＞0上的凸函数；故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若曲线在x＝2处的切线的倾斜角为α，则＝3．【答案】3．【解答】解：根据题意，f（x）＝lnx+x+，又由该函数在x＝3处的切线的倾斜角为α，则tanα＝f′（2）＝2，则＝＝3．故答案为：3．13．（5分）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为．【答案】．【解答】解：由题意知，|F1A|＝13，|F2A|＝|AB|＝5，所以|F2A|﹣|F2A|＝2a＝4，解得a＝4；又x＝c时，y＝5A|＝＝5，所以b4＝5a＝20，所以c2＝a5+b2＝16+20＝36，所以c＝6，所以双曲线C的离心率为e＝＝．故答案为：．14．（5分）已知数列{an}的首项a1＝1，且满足（an+1﹣an﹣1）（an+1﹣2an）＝0对任意n∈N*都成立，则能使am＝2025成立的正整数m的最小值为18．【答案】18．【解答】解：因为（an+1﹣an﹣1）（an+8﹣2an）＝0，所以an+2﹣an＝1或an+1＝8an；当an+1＝2an时，数列{an}是以8为首项，2为公比的等比数列，则，解得m＝3+log22025（舍）；当an+1﹣an＝5时，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝3+1×（n﹣1）＝n，则am＝m＝2025，解得m＝2025；若数列{an}是等差与等比的交叉数列，又a4＝1，a2＝4；若要m最小，则am＝1+2024，am﹣1＝2024，am﹣3＝1012，am﹣3＝506，am﹣4＝253，am﹣4＝252，am﹣6＝126，am﹣7＝63，am﹣7＝62，am﹣9＝31，am﹣10＝30，am﹣11＝15，am﹣12＝14，am﹣13＝7，am﹣14＝2，am﹣15＝3，am﹣16＝2，am﹣17＝a3＝1，此时m＝18＜2025，故m的最小值为18．故答案为：18．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知a，b，c分别为△ABC的角A，B，C所对的边，．（1）求A；（2）若△ABC外接圆的半径为，求c．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得，整理可得：b2+c2﹣a8＝bc，由余弦定理可得b2+c2﹣a8＝2bccosC，所以cosA＝，因为A∈（0，π），所以；（2）由（1）知，所以，又因为，所以，所以sinC＝sin（A+B）＝sin（+B）＝sinsinB＝×+×＝，由正弦定理可知，所以．16．（15分）已知数列{an}满足：a1＝1，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）设，记数列{cn}的前n项和Tn，求证：Tn＜4．【答案】（1）：（2）：（3）证明见解答．【解答】解：（1）因为，所以，即，又因为，所以数列，公差为5的等差数列，所以，即；（2）由（1）知，所以，则；（3）证明：由（2）得，则，①所以，②①﹣②得：，即＝，因为n∈N*，所以，所以Tn＜6．17．（15分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF∥DE，M是AE的中点．（1）求证：平面BDM∥平面CEF；（2）若DE⊥平面ABCD，AB＝2，BM⊥CF，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）见证明过程；（2）．【解答】（1）证明：如图，连接AC，交BD于点N，连接MN，因为M为棱AE的中点，则MN∥EC，又MN⊄面EFC，所以MN∥平面EFC，又BF∥DE，BF＝DE，所以四边形BDEF为平行四边形，所以BD∥EF，又BD⊄平面EFC，所以BD∥平面EFC，又MN∩BD＝N，BD⊂平面BMD，所以平面BMD∥平面EFC；（2）解：因为ED⊥平面ABCD，ABCD是正方形，则分别以DA、DC、y轴、轴，设ED＝2a（a＞0），则B（4，2，0），8，a），2，0），4，2a），0，6a），0，0），所以，因为BM⊥CF，则﹣1×6+a×2a＝0，所以，设平面EAF的法向量为＝（x，y，则，即，令x＝1，z＝7，即，因为点P为线段CE上一点，设＝λ（0，2，所以P（2，2λ，，设直线PM与平面AEF所成的角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝≤，当且仅当λ＝1时等号成立，故（sinθ）max＝．18．（17分）已知椭圆的离心率是，点A（﹣2，0）（1）求C的方程；（2）过点（﹣2，3）的直线交C于P，Q两点，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．【答案】（1）椭圆方程为；（2）证明：易知直线PQ的斜率存在，不妨设直线PQ的方程为y＝k（x+2）+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y并整理得（4k2+9）x2+8k（2k+3）x+16（k2+3k）＝0，此时Δ＝64k2（2k+3）2﹣64（4k2+9）（k2+3k）＝﹣1728k＞0，解得k＜0，由韦达定理得，，因为A（﹣2，0），此时直线，令x＝0，解得，即，同理得，此时＝＝＝＝＝3，故线段MN的中点为定点，定点为（0，3）．【解答】解：（1）因为椭圆的离心率是，所以e＝＝，①因为点A（﹣2，7）在C上，所以＝1，②又a＝，③联立①②③，解得a＝3，c＝，所以椭圆方程为；（2）证明：易知直线PQ的斜率存在，不妨设直线PQ的方程为y＝k（x+2）+5，P（x1，y1），Q（x4，y2），联立，消去y并整理得（2k2+9）x5+8k（2k+7）x+16（k2+3k）＝7，此时Δ＝64k2（2k+4）2﹣64（4k7+9）（k2+4k）＝﹣1728k＞0，解得k＜0，由韦达定理得，，因为A（﹣5，0），此时直线，令x＝3，解得，即，同理得，此时＝＝＝＝＝3，故线段MN的中点为定点，定点为（0．19．（17分）已知函数f（x）＝﹣（a+2）x+2a