高等数学下册（第2版）课件：无穷级数

无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算

常数项级数的概念与性质一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件第一节

一、常数项级数的概念

定义：给定一个数列即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项.将各项依次相加,简记为一般情况：

级数的前n项和称为级数的部分和.

称为级数的部分和数列级数敛散性的概念:则称级数收敛，并称S

为级数的和,记作当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称级数发散.显然

当时，如果部分和数列的极限存在，即例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为

2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而结论：时,收敛，时,发散.则级数成为不存在,因此级数发散.等比级数和为

例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和

(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和

例3.判别解:

所以调和级数发散;的敛散性。调和级数

二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为

说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)

性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.发散.用反证法可证

例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.

三、级数收敛的必要条件

如果级数则必有证:

收敛，结论收敛发散可能收敛可能发散调和级数虽然但此级数发散.

例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.例如P1291(2,3)；2(3)；3(1)；4(1,2,3,4)作业第二节

二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛

第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法

级数敛散性的概念：对于级数收敛部分和，部分和数列对于一些特殊形式的级数，其敛散性是否会有什么特殊结论呢？

一、正项级数及其审敛法若∴部分和数列为有界数列则称为正项级数.为单调递增数列对于正项级数单调递增数列极限存在

正项级数审敛法的基本定理定理1.正项级数收敛有界部分和数列定理2(正项级数的比较审敛法)设(1)若级数，则级数(2)若级数，则级数收敛,也收敛发散,也发散是两个正项级数,且且

对比较审敛法的补充说明(1)存在正整数及常数k>0,满足若，则若，则收敛,也收敛发散,也发散且且(2)

失效情形若若收敛,发散,且且(3)本方法仅适用于正项级数方法都

失效

例1.讨论p

级数(常数p>0)的敛散性.解:1)当因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,时，

由基本定理可知p级数收敛。时,2)当表明有界

讨论级数的敛散性解:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.

定理3.(比较审敛法的极限形式)两个级数同时收敛或发散;设两正项级数满足则当0<l<∞时,通常选择参与比较的已知敛散性的级数主要有：p级数调和级数等比级数

例3.讨论级数的敛散性解:因为而收敛，所以收敛

例4.讨论级数的敛散性解:因为而发散，所以发散

例5.判别级数的敛散性.解:

而收敛，所以收敛

的敛散性.例6.判别级数解:～而收敛，所以

定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.级数发散，注意：当其发散的原因是(3)当时,本方法失效

例7.讨论级数的敛散性.解:

根据定理4可知:级数收敛;级数发散;

例8.讨论级数敛散性解:

级数收敛

二、交错级数及其审敛法

则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6

.(Leibnitz

判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,余项满足和

收敛例9.判别级数的敛散性（常数p>0）解：该级数为交错级数由莱布尼兹（Leibnitz）判别法得级数

收敛收敛例10.判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛

三、绝对收敛与条件收敛

定义:对任意项级数如果则称原级收敛,数绝对收敛；则称原级数条件收敛.讨论任意项级数敛散性所产生的概念如果发散,而原级数收敛,将各项取绝对值构成正项级数，

例如：

为条件收敛.均为绝对收敛.定理7.绝对收敛的级数一定收敛.

例11.

证明下列级数绝对收敛：证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.

(2)因此收敛,绝对收敛.

例12.讨论下列级数是绝对收敛还是条件收敛（1）发散解：原级数条件收敛

（2）（常数p>0）解：当p>1时，收敛，绝对收敛发散，条件收敛当

时，

（3）解：发散，发散的原因是原级数也发散

作业P1391(3,4,5);

2

(2,3,4,5);

3

(2,3,6);4(1,2,4,5).

第三节一、函数项级数的概念

二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数

一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.为定义在区间I上的函数列，称如：在上一个级数中，如果令，得

一般地，给出函数项级数对如果常数项级数的收敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;如果常数项级数收敛，发散,为函数项级数

为函数项级数所有发散点的全体称为其发散域.的发散点,

称它为级数的和函数,并写成如果用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域内,函数项级数的和是x的函数

例1.

求函数项级数收敛域是：它的发散域是或写作和函数：解：的收敛域及和函数以等比级数的观点看

二、幂级数及其收敛性

以幂函数为一般项的函数项级数，称为幂级数，其中系数列下面着重讨论系数.的情形，即称为幂级数的例1形如对于上述幂级数，其收敛域有什么特点呢？发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)

对于幂级数，则对满足不等式的一切x，如果在的一切x,点幂级数发散,则对满足不等式如果幂级数都绝对收敛.该幂级数都发散.由Abel定理可以看出,中心的区间.的收敛域是以原点为

幂级数在(－∞,+∞)收敛;用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=

时,幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.

发散发散收敛收敛发散R－R定理2.记1)当

≠0时,2)当

＝0时,3)当

＝∞时,则对于幂级数求收敛域的步骤：(1)按定理2求出收敛半径R(2)结合的敛散性，得收敛域是：[－R,R]，(－R,R)，(－R,R]，[－R,R)其中之一。

对端点x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1，收敛;

级数为发散.故收敛域为例2.求幂级数

级数为交错级数

例3.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1

例4.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,故直接由比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为

例5.的收敛域.解:令级数变为当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即

由例4表明：的收敛半径为R如果幂级数的收敛半径为则幂级数的收敛域为如果幂级数则幂级数的收敛域为由例5表明：

三、幂级数的运算定理3.设幂级数及的收敛半令则有:其中径分别为

定理4

若幂级数的收敛半径则在收敛域上是连续函数；在收敛区间注:逐项积分后,端点处的敛散性可能会改变.(1)和函数(2)和函数内可逐项求导在收敛区间(3)和函数内可逐项积分

的和函数。解:由例3得到该级数的收敛域为例6.求幂级数

则设

解:由例4可知级数的收敛半径R＝+∞.例7.则故有故得的和函数.因此得设

例8.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,且x＝±1时级数发散,

例9.求级数的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,及时级数收敛,

因此由和函数的连续性得:而及

内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.步骤结论2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.

P1461(2,4,5)2(2),3作业第四节

阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,

第四节二、泰勒(Taylor)级数

三、函数展开成幂级数方法函数展开成幂级数

一、函数展开成幂级数的概念

一、函数展开成幂级数的概念上一节中已得到结论和函数求和展开幂级数

归纳：给定函数，按照给定的构造出幂级数，该幂级数收敛，且在收敛域内收敛于函数，这类问题称为函数展开为幂级数。如：给定给定

如果任意给定函数，如何构造幂级数的关键是找出系数的关系与设令，得令，得令，得一般地，

为f(x)

的泰勒级数.当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.定义：设函数的某邻域内具有任二、泰勒(Taylor)级数意阶导数，则称

1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:

其中(

在x与x0之间)称为拉格朗日余项.定理1：若函数的某邻域内具有此式称为f(x)的n阶泰勒公式,n+1阶导数，则在该邻域内有：

定理2.内能展开成泰勒级数的充要条件是中的余项满足：设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有任意阶导数，则f(x)在该邻域定理3.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.f(x)的泰勒公式

三、函数展开成幂级数的方法

1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤如下:0.

例1.将展开成x

的幂级数.解:

得级数:其收敛半径为

2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的例2.将函数展开成x的幂级数.解:

把x

换成,得运算性质，将所给函数展开成幂级数.

例3.将函数展开成x

的幂级数.解:从0到x积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x＝1收敛,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛

例4.将展成解:

的幂级数.

例5.将展成x－1的幂级数.解:

内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.

思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:后者必需证明前者无此要求.2.如何求的幂级数?提示:

作业

P1521(1,3)；2(2);第五节

第五节幂级在近似计算中的应用

例1.计算的近似值,使准确到解:已知故

有了函数的幂级数展开式按照精度要求选取级数的前若干项的部分和，即可近似计算函数值。

在上述展开式中取前四项,令得于是有

说明:在展开式中,令得具此递推公式可求出任意正整数的对数.如(n为自然数),

(取

例2.计算积分的近似值,精解:确到

则n应满足则所求积分近似值为欲使截断误差

例3.计算积分的近似值,精确到解:由于故所给积分不是广义积分.

P1541;2;3.作业习题课

习题课级数的收敛、求和与展开三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法

一、数项级数的审敛法必要条件不满足发散满足正项级数任意项级数

发散正项级数比值