高等数学下册（第2版）课件：多元积分

一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分多元函数积分学

三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性二重积分的概念与性质

解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：

xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,近似,求和,取极限”

1)“分割”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“近似”在每个3)“求和”则中任取一点小曲顶柱体

4)“取极限”令

2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.其面密度为设D的面积为

,则若非常数,仍可用“分割,近似,求和,取极限”解决.1)“分割”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.

2)“近似”中任取一点3)“求和”4)“取极限”则第k小块的质量

两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割,近似,求和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:

二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D

任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,

引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常记作二重积分记作这时直线来划分区域D,此面积元素可用平行坐标轴的因

二重积分存在定理:若函数在D上可积.在有界闭区域D上连续,则例如,在D:上连续，二重积分存在;

三、二重积分的性质(k为常数)

为D的面积,则

特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为

,则有

7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭

为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此区域D上

例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上

内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法

P812(1，2),3(1，2)作业第二节

第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法

设曲顶柱体的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的

一、利用直角坐标计算二重积分同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算

先对y后对x的二次积分二重积分的计算是转化为：称D为X–型区域称D为Y–型区域对x,y相继的两次定积分来实现的。先对x后对y的二次积分D：D：

说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则

例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,

则

例2.计算其中D是曲线解:选择先对y后对x积分,则所围成的闭区域.直线及21思考:如果选择先对x后对y积分,是什么形式

注意：（1）二重积分的结果是一个常数（2）外层积分限一定是常数限（3）内层积分限可以是常数，也可以是外层积分积分变量的函数，不能含有本重积分变量（4）上限>下限

例3.计算其中D是解:所围成的闭区域.直线及2

例4.计算D是直线所围成的解:由被积函数可知,先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.

闭区域.例5.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则

例6.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,

二、利用极坐标计算二重积分1.极坐标系平面点P极坐标系与直角坐标系的一般关系：极坐标系下的基本曲线：ρ=常数表示以原点为中心的圆=常数表示从原点发出的射线

曲线的极坐标方程极坐标方程直角坐标方程曲线名称及图形圆圆直线直线直线

2.利用极坐标计算二重积分被积函数的处理积分区域D的处理面积元素的处理

在极坐标系下,用同心圆ρ=常数小区域及射线

=常数,分划区域D为n个可近似看作矩形面积,则小区域的面积

设则特别,对

若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问

的变化范围是什么?(1)(2)

例7.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.

注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例6的结果,得①故①式成立.

例8:计算其中

xyo解:在极坐标系下故当被积函数中含有因子、积分区

或域是圆域或圆的一部分区域时，这样的二重积分适合用极坐标计算，否则应用直角坐标计算。二重积分计算中坐标系的选取解:，其中及

y

轴围成.原式例9.求D

由02.例10

把下列积分化为极坐标形式的二次积分解:例11.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为

例12.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知

内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则

则极坐标系情形:若积分区域为

(3)计算步骤及注意事项•

画出积分域•

选择坐标系•

确定积分序•

写出积分限，积分被积函数含积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式或域是圆或扇形时应考虑用极坐标，否则用直角坐标

作业P911(1,2);2(1,2);3(3);第三节

5(1,4);7;10;作业P9111(1,3，5);12(1,3);13(1,4);

14(1,2);16。第三节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量二重积分的应用

一、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

立体体积上顶面函数下底面函数立体在xy面上投影区域

例1

求围成区域的体积.

。解二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d

,(称为面积元素)则

故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即

若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且

例2.计算双曲抛物面被柱面解:曲面在xoy面上投影为则所截出的面积A.

例3.计算半径为a的球的表面积.解:设球面方程为

整个球的表面积是其上半部分表面积的两倍，若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,则它的质心坐标为其面密度—对x轴的

静矩—对y轴的

静矩三、物体的质心

(A为D的面积)得D的形心坐标:常数时,

例4.求位于两圆和解:利用对称性可知而之间均匀薄片的质心.

如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.四、物体的转动惯量

例5.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.

作业P97

1，2,4（1,3）,6（1,2）习题课

第四节

三重积分

1.定义设存在,，任取则称此极限为函数在

上的三重积分.称为体积元素,

在直角坐标系下常写作如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，极限定义在空间闭区域

上，将

任意分为n个小闭区域记为即一、三重积分的概念2.三重积分的性质（与二重积分相似）（空间区域

的体积）主要性质：作用1：常用来求空间区域的体积.作用2：当的体积易求时，积分值等于体积。二、利用直角坐标计算三重积分则若

上方曲面下方曲面投影域z

：的下方曲面z表达式（用x、y表示）上方曲面z表达式

若：

则，

是化围成闭区域.例1.为三次积分，解：、D的图形见右，xyxyO11

由三个坐标面及例2.求围成.

111xyz0

yx011解：就称为点M的柱面坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:空间点M在xOy面上投影点N的极坐标为N，则三、利用柱面坐标计算三重积分1.柱面坐标的概念2.。3.利用柱面坐标计算三重积分（化为先z,中的三次积分）,最后上、下限的确定方法：z

：的下方曲面z表达式（用表示）上方曲面z表达式：

由的投影域确定，同二重积分极坐标。4.适合柱面坐标计算的情形（1）在xOy面上的投影域与圆有关；（2）被积函数形如：。

其中

是化所围成的闭区域.例3.为柱面坐标下三次积分，解：、D的图形见右，xyxyO11其中

为由例4.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.

例5.

计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中

由抛物面原式=

四、三重积分的应用1．空间物体的质量2．空间物体的质心设空间物体在点的密度为（三）转动惯量。3．空间物体对于轴的转动惯量例6求半径为

R的均匀半球体的质心．解建立如图所示的空间直角坐标系，由对称性：

故质心坐标为

作业P1041(1),(2);3(1)(3);4;5(1)(3);

6;7

第四节第五节

对弧长的曲线积分

假设曲线形细长构件在平面所占弧段为AB,其线密度为“分割,取近似,求和,求极限”

可得为计算此构件的质量,1.引例:

曲线形构件的质量采用

设L是平面上一条有限长的光滑曲线,义在L上的一个有界函数,都存在,L上对弧长的曲线积分,记作若通过对L的任意分割局部的任意取点,2.对弧长的曲线积分的概念

下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，L称为积分弧段.曲线形构件的质量和对

是定如果L

是闭曲线,则记为

思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!

对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.3.性质（k为常数)(L

由组成)(l为曲线弧L

的长度)

4、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,是定义在，则求曲线积分

在上具有连续导数，

(1)

若

L

的方程为

，则

(2)

若

L

的方程为

，则

注:例1.

计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)

例2.

计算

L是O

(0,0)到B

(1,1).

解:上例3.

求

，L为整个圆周解L的方程可改写为原式==L例4.

求

,L：上半圆周及x

轴所围区域的整个边界.

xyOOL1L2解

L1：例4.

求

,L为上半圆周及x

轴所围区域的整个边界.

xyOOL1L2L2：作业P1091(1),(2),(4),(5)第六节

对坐标的曲线积分

1.

引例:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在

xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,

求移“分割”

“取近似”“求和”

“取极限”常力沿直线所作的功本例解决办法:动过程中变力所作的功W.1)“分割”:2)“取近似”把

L分成

n个小弧段3)“求和”4)“取极限”(其中

为

n

个小弧段的最大长度)

2.定义.设L为xoy

平面内从

A到B

的一条有向光滑弧,向任意插入一点列

把

L

函数

在L

上有界.在L上沿L

的方弧段

上任意取定的点，如果当各小弧段长度的

设

，点

为有向分成n个有向小弧段最大值时，极限总存在，则称此极限为函数

在有向曲线弧L上对坐标

x

的曲线积分（或第二类曲线积分），记作

即类似地，如果

总存在，则称此极限称为函数

在有向曲线弧L上对坐标

y的曲线积分，记作

，即注1：注2：质点受到力

作用，沿平面曲

线L移动所作的功为3.主要性质设

L－

表示

L

的反向弧,则注：对坐标的曲线积分必须注意积分曲线的方向。4.对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向曲线弧

L上有定义且L的参数方程为，当参数

t单调地由连续,α变到β时，点M从L的起点沿L运动到终点,,在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且

,则

若L

：,且起点对应

x＝a,终点对应

x＝b（1）则

若L

：,且起点对应

y＝c，终点对应

y＝d（2）则注：例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.

例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则

例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式

作业P1141(1),(2),(3),(4)2原点O的距离成正比,思考与练习

设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:F

的大小与M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若题中F的方向改为与OM垂直且与

y

轴夹锐角,则

第七节

格林公式及其应用

一、格林公式

1.平面区域

D的边界L的正向的概念：当观察者沿该方向行走时，D内在他近处的那部分总在他的左边.简言之，外面逆时针里面顺时针。2.格林公式定理1.

设区域

D

由分段光滑正向闭曲线

L围成,函数

则在

D上有连续偏导数,上述公式称为格林公式。证明:1)若D既是X-型区域,又是

Y-型区域,且则定理1即同理可证①②①、②两式相加得:定理12)

若区域

D不能同时用上述不等式组表示（如图）,D12D3DL则添加辅助线将

D分割为有限个部分区域，

分区域都可同时用上述不等式组表示，使每个部则。正向闭曲线L所围区域D的面积：注：例如,椭圆所围面积定理1例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得

例2.设

L:逆时针方向,求解:

令则利用格林公式,得Oxy原式例3.计算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:令,则利用格林公式,有

例2.计算其中D

是以O(0,0),A(1,1),

B(1,0)

为顶点的三角形顺时针方向边界.

解:xyA(1,1)B(1,0).O(0,0)..原式D的正向为LD例3.计算其中L沿上半圆

由点（1，0）到（0，0）解:作图示辅助线

L而所以

原式1,则(1,0)(0,0)LxyL1D

:y=0二、平面上曲线积分与路径无关的条件

1.平面单连通区域的概念：单连通区域

(

无洞区域

)复连通区域

(有洞区域

)设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。简言之，DD定理2.设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(2)对D内任意闭曲线

L,都有(3)曲线积分(1)在D内每一点都有在D内与路径无关.函数则以下三个命题等价:2.平面上曲线积分与路径无关的条件证明(1)(2)设L为D中任一分段光滑闭曲线,利用格林公式,得所围区域为定理2证明(2)(3)设为D内任意两条由A到B的有向曲线，则(根据条件(1))例5.验证在全平面内与,则路径无关，并计算解:令所以