人教 九年级 下册 数学 阶段拔尖专训10 相似与切割线定理的综合问题

阶段拔尖专训10相似与切割线定理的综合问题1温馨提示：点击进入讲评234类型1教材新探【高分秘籍】1.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．如图①，设ABP，CDP是⊙O的两条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2＝PA·PB＝PC·PD.2．相交弦：在圆的内部相交的两条弦．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图②，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，那么PA·PB＝PC·PD.如果弦与直径垂直相交，那么弦长的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项．1．[2024商丘模拟]阅读与思考：学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务．如图①，A是⊙O外一点，过点A作直线AC，AE分别交⊙O于点B，C，D，E，则有AB·AC＝AD·AE.证明：如图，连接BE，DC.∵∠BCD＝∠BED(依据：①__________________________________)，∠CAD＝∠EAB，∴△ACD∽△AEB.∴＝②________．∴AB·AC＝AD·AE.任务：(1)上述阅读材料中①处应填的内容是___________________________________，②处应填的内容是________；同弧所对的圆周角相等(或圆周角定理)(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充完整，并给出证明．已知：如图②，A是⊙O外一点，过点A作直线AC交⊙O于点B，C，______________．求证：AE2＝________．AE切⊙O于点EAB·AC返回2．[2024广州一模]阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理(圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等)，下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等．已知：如图①，⊙O的两弦AB，CD相交于点P.求证：AP·BP＝CP·DP.证明：如图①，连接AC，BD.∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，∴△APC∽△DPB，(根据：①______________)∴＝②______________．∴AP·BP＝CP·DP.∴圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等.任务：(1)请将上述证明过程补充完整．①：_____________________________；②：________；(2)小刚又看到一道课后习题，如图②，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径．两角分别相等的两个三角形相似【解】如图，延长OP交⊙O于点D，延长PO交⊙O于点F，设⊙O的半径为rcm，则PF＝(5＋r)cm，PD＝(r－5)cm，根据(1)中结论得AP·BP＝DP·FP，即4×(10－4)＝(r＋5)(r－5)，解得r＝7或r＝－7(不符合题意，舍去)，所以⊙O的半径为7cm.返回3．[2024运城模拟]阅读与思考：学完直线与圆的位置关系后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线．证明切线的常用方法：①定义法；②距离法(圆心到直线的距离等于半径)；③利用切线的判定定理来证明．添加辅助线的常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直．图①是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．任务：(1)依据1：___________________________________________；依据2：______________________________；(2)在图②中，若⊙O的半径为6，AP＝8，求BP的长．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半三角形三个内角的和等于180°返回4．古希腊数学家欧几里得(约公元前325－公元前265)，被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》中第3卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么以该点到凹圆之间的线段与到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积．命题解读：如图①，直线AP为⊙O的切线，直线AC为⊙O的割线，以AP为边构造正方形APDE，作AF＝AB，以AF，AC为边构造矩形ACGF，可得正方形APDE的面积等于矩形ACGF的面积，由此可得AP2＝AB·AC.某数学兴趣小组利用图②对