《计算》公式类平方和公式-0-5星题（含详解）全国版

计算-公式类计算-平方和公式-5星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率平方和公式B1.熟悉平方和公式

2.运用公式进行复杂的计算。少考知识提要平方和公式平方和公式

12+精选例题平方和公式1.24×12×3+【答案】

60【分析】

虽然很容易看出37=13，1021= 于是我们又有11减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？24×2.计算：11×29+12×28+⋯+19×21=

．【答案】

3315【分析】

原式3.计算：1×3+2×4+3×5+⋯9×11=

．【答案】

375【分析】

原式4.12+3【答案】

2185【分析】

15.对自然数a和n，规定a∇n=an+（1）1∇2+2∇2+3∇2+⋯+99∇2=

；（2）2∇1+2∇2+2∇3+⋯+2∇99=

．【答案】

（1）333300；（2）3×【分析】

（1）原式（2）原式6.计算：1×4+3×7+5×10+⋯+99×151=

．【答案】

256225【分析】

观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1，3，5，⋯，99，乘数依次为4，7，10，⋯，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为2n-1，乘数可以表示为3n+1，所以通项公式为2n-1× 原式 另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变为相等再进行计算． 原式 而12+3 1 1+3+5+⋯+99=50 所以原式 小结：从上面的计算过程中可以看出，1而1×2+2×3+⋯+99×100=所以有1计算-公式类计算-平方和公式-0星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率平方和公式B1.熟悉平方和公式

2.运用公式进行复杂的计算。少考知识提要平方和公式平方和公式

12+精选例题平方和公式1.计算：36+49+64+81+⋯+400=

．【答案】

2815【分析】

原式2.计算：102+12【答案】

21980【分析】

原式3.计算：112+12【答案】

2485【分析】

原式4.337×▫2=12【答案】

195【分析】

12因为12所以▫2故▫=195．5.计算：202+21【答案】

335880【分析】

原式6.计算：12+2【答案】

385【分析】

原式7.计算：12+2【答案】

328350【分析】

原式8.计算：12+3【答案】

1330【分析】

原式9.计算：92+10【答案】

2666【分析】

原式10.计算：22+4【答案】

22100【分析】

原式11.1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10=

．【答案】

330【分析】

本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：n所以原式=另解：由于nn+1原式=采用此种方法也可以得到1×2+2×3+⋯+n×12.计算：12+2【答案】

1001【分析】

原式13.计算：52+6【答案】

9425【分析】

原式14.12+3【答案】

9139【分析】

因为122所以11当n=19时，原式15.计算：11×29+12×28+⋯+19×21=

．【答案】

3315【分析】

原式16.12+3【答案】

2185【分析】

117.1×1+2×3+3×5+4×7+⋯+99×197=

．【答案】

651750【分析】

121×2+2×3+3×4+⋯+n(n+1)=1原式18.规定a△b=a×(a+2)-(a+1)-b，计算：(2△1)+⋯+(11△10)=

．【答案】

505【分析】

这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b=a-1，所以，我们不妨把b=a-1代入原定义．a△b=a×(a+2)-(a+1)-b就变成了a△b=a×(a+2)-(a+1)-(a-1)=所以2△1=22，3△2=32，原式19.已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α,β,γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，【答案】

31【分析】

A的二分之一是完全平方数，α-1,β,γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α,β-1,γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α,β,γ-1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α,β,γ值：3×5-1是2的倍数，α的最小值为15，2×3-1是5的倍数，γ的最小值为6，2×5-1是3的倍数，β的最小值为10，所以α+β+γ的最小值是：15+6+10=31．20.计算：1×22+2×【答案】

41230【分析】

分拆（2-1）×22=23-2原式21.计算：36+49+64+81+⋯+400=

．【答案】

2815【分析】

原式22.计算：1×3+2×4+3×5+⋯9×11=

．【答案】

375【分析】

原式23.计算：102+11【答案】

2686415【分析】

原式缺少前几项，可以先补上前几项，再减去前几项，再利用公式进行求解．原式24.24×12×3+【答案】

60【分析】

虽然很容易看出37=13，1021= 于是我们又有11减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？24×25.计算：1×4+3×7+5×10+⋯+99×151=

．【答案】

256225【分析】

观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1，3，5，⋯，99，乘数依次为4，7，10，⋯，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为2n-1，乘数可以表示为3n+1，所以通项公式为2n-1× 原式 另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变为相等再进行计算． 原式 而12+3 1 1+3+5+⋯+99=50 所以原式 小结：从上面的计算过程中可以看出，1而1×2+2×3+⋯+99×100=所以有126.对自然数a和n，规定a∇n=an+（1）1∇2+2∇2+3∇2+⋯+99∇2=

；（2）2∇1+2∇2+2∇3+⋯+2∇99=

．【答案】

（1）333300；（2）3×【分析】

（1）原式（2）原式27.围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？【答案】

2109个【分析】

简答：按正方形的大小分类，共有18228.12+2【答案】

0【分析】

由于1而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故12+22+29.试求1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+⋯+99×100．【答案】

333300【分析】

方法一：整数裂项原式方法二：利用平方和公式1原式30.我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所存的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？．【答案】

43365【分析】

不超过300的完全平方数，有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289，它们的和是12+22+3231.看规律13=12，13【答案】

10800【分析】

原式32.计算下列式子的值：24×(【答案】

60【分析】

虽然很容易看出12×31于是我们又有1减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项24×(计算-公式类计算-平方和公式-1星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率平方和公式B1.熟悉平方和公式

2.运用公式进行复杂的计算。少考知识提要平方和公式平方和公式

12+精选例题平方和公式1.计算：202+21【答案】

335880【分析】

原式2.计算：22+4【答案】

22100【分析】

原式3.计算：12+2【答案】

328350【分析】

原式4.计算：36+49+64+81+⋯+400=

．【答案】

2815【分析】

原式5.计算：92+10【答案】

2666【分析】

原式6.337×▫2=12【答案】

195【分析】

12因为12所以▫2故▫=195．7.计算：12+2【答案】

385【分析】

原式8.计算：52+6【答案】

9425【分析】

原式9.计算：102+11【答案】

2686415【分析】

原式缺少前几项，可以先补上前几项，再减去前几项，再利用公式进行求解．原式10.计算：102+12【答案】

21980【分析】

原式11.围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？【答案】

2109个【分析】

简答：按正方形的大小分类，共有18212.我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所存的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？．【答案】

43365【分析】

不超过300的完全平方数，有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289，它们的和是12+22+3213.试求1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+⋯+99×100．【答案】

333300【分析】

方法一：整数裂项原式方法二：利用平方和公式1原式14.12+2【答案】

0【分析】

由于1而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故12+22+计算-公式类计算-平方和公式-2星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率平方和公式B1.熟悉平方和公式

2.运用公式进行复杂的计算。少考知识提要平方和公式平方和公式

12+精选例题平方和公式1.计算：22+4【答案】

22100【分析】

原式2.337×▫2=12【答案】

195【分析】

12因为12所以▫2故▫=195．3.计算：36+49+64+81+⋯+400=

．【答案】

2815【分析】

原式4.计算：202+21【答案】

335880【分析】

原式5.计算：102+12【答案】

21980【分析】

原式6.计算：12+2【答案】

385【分析】

原式7.计算：52+6【答案】

9425【分析】

原式8.计算：12+2【答案】

1001【分析】

原式9.计算：102+11【答案】

2686415【分析】

原式缺少前几项，可以先补上前几项，再减去前几项，再利用公式进行求解．原式10.计算：12+3【答案】

1330【分析】

原式11.计算：12+2【答案】

328350【分析】

原式12.计算：112+12【答案】

2485【分析】

原式13.计算：92+10【答案】

2666【分析】

原式14.1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10=

．【答案】

330【分析】

本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：n所以原式=另解：由于nn+1原式=采用此种方法也可以得到1×2+2×3+⋯+n×15.计算：36+49+64+81+⋯+400=

．【答案】

2815【分析】

原式16.已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α,β,γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，【答案】

31【分析】

A的二分之一是完全平方数，α-1,β,γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α,β-1,γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α,β,γ-1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α,β,γ值：3×5-1是2的倍数，α的最小值为15，2×3-1是5的倍数，γ的最小值为6，2×5-1是3的倍数，β的最小值为10，所以α+β+γ的最小值是：15+6+10=31．17.规定a△b=a×(a+2)-(a+1)-b，计算：(2△1)+⋯+(11△10)=

．【答案】

505【分析】

这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b=a-1，所以，我们不妨把b=a-1代入原定义．a△b=a×(a+2)-(a+1)-b就变成了a△b=a×(a+2)-(a+1)-(a-1)=所以2△1=22，3△2=32，原式18.计算：1×22+2×【答案】

41230【分析】

分拆（2-1）×22=23-2原式19.1×1+2×3+3×5+4×7+⋯+99×197=

．【答案】

651750【分析】

121×2+2×3+3×4+⋯+n(n+1)=1原式20.12+3【答案】

9139【分析】

因为122所以11当n=19时，原式21.围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？【答案】

2109个【分析】

简答：按正方形的大小分类，共有18222.我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所存的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？．【答案】

43365【分析】

不超过300的完全平方数，有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289，它们的和是12+22+3223.试求1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+⋯+99×100．【答案】

333300【分析】

方法一：整数裂项原式方法二：利用平方和公式1原式24.看规律13=12，13【答案】

10800【分析】

原式25.12+2【答案】

0【分析】

由于1而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故12+22+26.计算下列式子的值：24×(【答案】

60【分析】

虽然很容易看出12×31于是我们又有1减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项24×(计算-公式类计算-平方和公式-3星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率平方和公式B1.熟悉平方和公式

2.运用公式进行复杂的计算。少考知识提要平方和公式平方和公式

12+精选例题平方和公式1.计算：12+3【答案】

1330【分析】

原式2.计算：12+2【答案】

1001【分析】

原式3.计算：22+4【答案】

22100【分析】

原式4.计算：202+21【答案】

335880【分析】

原式5.计算：12+2【答案】

328350【分析】

原式6.计算：112+12【答案】

2485【分析】

原式7.计算：36+49+64+81+⋯+400=

．【答案】

2815【分析】

原式8.计算：52+6【答案】

9425【分析】

原式9.计算：92+10【答案】

2666【分析】

原式10.1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10=

．【答案】

330【分析】

本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：n所以原式=另解：由于nn+1原式=采用此种方法也可以得到1×2+2×3+⋯+n×11.12+3【答案】

9139【分析】

因为122所以11当n=19时，原式12.计算：102+12【答案】

21980【分析】

原式13.337×▫2=12【答案】

195【分析】

12因为12所以▫2故▫=195．14.12+3【答案】

2185【分析】

115.计算：12+2【答案】

385【分析】

原式16.计算：102+11【答案】

2686415【分析】

原式缺少前几项，可以先补上前几项，再减去前几项，再利用公式进行求解．原式17.计算：36+49+64+81+⋯+400=

．【答案】

2815【分析】

原式18.计算：1×3+2×4+3×5+⋯9×11=

．【答案】

375【分析】

原式19.规定a△b=a×(a+2)-(a+1)-b，计算：(2△1)+⋯+(11△10)=

．【答案】

505【分析】

这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b=a-1，所以，我们不妨把b=a-1代入原定义．a△b=a×(a+2)-(a+1)-b就变成了a△b=a×(a+2)-(a+1)-(a-1)=所以2△1=22，3△2=32，原式20.计算：1×4+3×7+5×10+⋯+99×151=

．【答案】

256225【分析】

观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1，3，5，⋯，99，乘数依次为4，7，10，⋯，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为2n-1，乘数可以表示为3n+1，所以通项公式为2n-1× 原式 另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变为相等再进行计算． 原式 而12+3 1 1+3+5+⋯+99=50 所以原式 小结：从上面的计算过程中可以看出，1而1×2+2×3+⋯+99×100=所以有121.计算：1×22+2×【答案】

41230【分析】

分拆（2-1）×22=23-2原式22.计算：11×29+12×28+⋯+19×21=

．【答案】

3315【分析】

原式23.1×1+2×3+3×5+4×7+⋯+99×197=

．【答案】

651750【分析】

121×2+2×3+3×4+⋯+n(n+1)=1原式24.24×12×3+【答案】

60【分析】

虽然很容易看出37=13，1021= 于是我们又有11减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？24×25.对自然数a和n，规定a∇n=an+（1）1∇2+2∇2+3∇2+⋯+99∇2=

；（2）2∇1+2∇2+2∇3+⋯+2∇99=

．【答案】

（1）333300；（2）3×【分析】

（1）原式（2）原式26.已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α,β,γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，【答案】

31【分析】

A的二分之一是完全平方数，α-1,β,γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α,β-1,γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α,β,γ-1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α,β,γ值：3×5-1是2的倍数，α的最小值为15，2×3-1是5的倍数，γ的最小值为6，2×5-1是3的倍数，β的最小值为10，所以α+β+γ的最小值是：15+6+10=31．27.围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？【答案】

2109个【分析】

简答：按正方形的大小分类，共有18228.计算下列式子的值：24×(【答案】

60【分析】

虽然很容易看出12×31于是我们又有1减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项24×(29.看规律13=12，13【答案】

10800【分析】

原式30.12+2【答案】

0【分析】

由于1而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故12+22+31.试求1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+⋯+99×100．【答案】

333300【分析】

方法一：整数裂项原式方法二：利用平方和公式1原式32.我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所存的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？．【答案】

43365【分析】

不超过300的完全平方数，有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289，它们的和是12+22+32计算-公式类计算-平方和公式-4星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率平方和公式B1.熟悉平方和公式

2.运用公式进行复杂的计算。少考知识提要平方和公式平方和公式

12+精选例题平方和公式1.计算：12+3【答案】

1330【分析】

原式2.计算：12+2【答案】

1001【分析】

原式3.12+3【答案】

2185【分析】

14.计算：1×4+3×7+5×10+⋯+99×151=

．【答案】

256225【分析】

观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1，3，5，⋯，99，乘数依次为4，7，10，⋯，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为2n-1，乘数可以表示为3n+1，所以通项公式为2n-1× 原式 另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变为相等再进行计算． 原式 而12+3 1 1+3+5+⋯+99=50 所以原式 小结：从上面的计算过程中可以看出，1而1×2+2×3+⋯+99×100=所以有15.计算：11×29+12×28+⋯+19×21=

．【答案】

3315【分析】

原式6.12+3【答案】

9139【分析】

因为122所以11当n=19时，原式7.24×12×3+【答案】

60【分析】

虽然很容易看出37=13，1021= 于是我们又有11减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？24×8.计算：112+12【答案】

2485【分析】

原式9.对自然数a和n，规定a∇n=an+（1）1∇2+2∇2+3∇2+⋯+99∇2=

；（2）2∇1+2∇2+2∇3+⋯+2∇99=

．【答案】

（1