2025年九年级数学中考三轮冲刺训练动点问题的函数图象问题解答题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年九年级数学中考三轮冲刺训练动点问题的函数图象问题解答题1．图①是由一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形．已知动点P以的速度沿的路径移动，相应的三角形的面积S（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系用图②中的图象表示．若，试回答下列问题：(1)图①中的的长是_______，图②中a的值是_______；(2)图①中的图形的面积是多少？(3)图②中b的值是多少？2．如图，在中，，是的中点，动点从点出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动，点分别是射线上的动点，的长度等于点走的路程，已知的面积为6，设点的运动时间为秒，点到的距离为的长度为．(1)求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；(3)根据图形直接估计当时的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过0.2）3．如图1，在平行四边形中，，过点D作于点E，，．点P从点A出发，沿折线运动，点P在线段上的运动速度为每秒个单位，在线段上的运动速度为每秒2个单位．设点P的运动时间为x秒，的面积为．(1)请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出函数y的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围．4．如图，在中，，点Q在线段上，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，连接，设点的运动时间为t秒，的面积为S．(1)求与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)当的面积等于面积的时，直接写出的t值．5．如图1，在长方形中，，点P从点A出发以秒的速度沿的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示．(1)点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？(2)点P从点A出发，经过多少秒后三角形的面积恰好是？6．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，到点后以每秒1个单位的速度沿方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒（），的面积为．(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出面积大于6时，的取值范围．7．如图1，已知三角形中，为边上的高，P是上一动点，沿由B向C运动，连接，在这个变化过程中设，且把x看成自变量．(1)设三角形的面积为s，图2刻画的是s随x变化而变化的图象，根据图象回答以下问题：①图中M点代表的意义是_________________________；②三角形的高的长为_____________；③写出s与x的关系式_____________；④a的值为_____________；(2)设三角形的面积为y，写出y与x的关系式_____________．8．如图1，在平行四边形中，，，，点为边的中点，点沿着的方向每秒1个单位运动，到达点停止运动，同时点沿着的方向每秒个单位运动，一点停止时另一点也停止运动，连接、、，设的运动时间为秒，记的面积为，记的面积为．(1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；(2)在图2给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质；(3)结合、的函数图象，请直接写出时的取值范围．9．如图1，等腰三角形中，，，动点D以每秒3个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向运动，，当D点到达C点时停止运动．设运动的时间为t秒，点D，E的距离为y．

(1)请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；(2)如图2，在平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出点D，E相距个单位长度时t的值．10．已知如图1，四边形是平行四边形，，，，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达点D时，两个点都停止运动．设运动时间为t秒，点P、Q之间的距离为y．(1)请直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；(2)在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)若的图象如图2，结合函数图象，直接写出时t的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）11．如图1，在中，，．动点从点出发，沿方向以速度运动；同时，动点从点出发，沿方向以的速度运动．当点到达终点时，点也停止运动．设动点运动的时间为，的长为，与的函数关系如图2所示，其中点为图象最低点．根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：______，______；(2)当时，线段的长为______；(3)求出图2中，的值，并说出它们表示的意义；(4)当以，，为顶点的三角形与相似时，直接写出的值．12．如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止．设运动时间为，于点，设以为边长的正方形的面积为．(1)求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围；(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围．13．四边形中，，，，，．动点P从A点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，，(1)请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出时自变量x的取值范围．14．如图1，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒（），的面积为．(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；(2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质；(3)如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时的取值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）15．已知矩形中，，点G是对角线上一点，且．点H是边中点，点F从点A出发，沿方向运动，速度为，点E从点A出发，沿方向运动，速度为，两点同时开始运动，运动的时间为x．若面积记为，面积记为，面积记为．当点F运动到点G的正上方时，E和F两点运动停止．(1)如图①，点F在线段（包含端点）上运动时，与x的函数图像如图②所示，求的长．(2)如图①，点F在线段（包含端点）上运动时，请求出与x的函数表达式．(3)如图③，点F在线段上运动，若，求的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年九年级数学中考三轮冲刺训练动点问题的函数图象问题解答题》参考答案1．(1)8，24(2)图①中的图形的面积为(3)【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义．（1）根据题意得：动点P在上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得的长；结合，可以计算出的面积，计算可得a的值；（2）分析图形可得，①中的图形面积等于，根据图象求出和的长，代入数据计算可得答案；（3）计算的长度，再由P的速度，计算可得b的值．【详解】（1）解：动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：，故图①中的长是；∴，即图②中的a是；故答案为：8，24；（2）解：由图可得：，，则，又∵，则①图的面积为，∴图①中的图形面积为；（3）解：根据题意，动点P共运动了，其速度是，则，∴图②中的b的值是17．2．(1)，(2)函数图象见解析，当时，有最大值为3（答案不唯一）(3)【分析】（1）分，，两种情况讨论求关于x的函数关系式，根据三角形面积公式求关于x的函数关系式即可；（2）利用描点法化函数图象，结合图象写出函数的一条性质即可；（3）看在哪些区间的函数的图象在函数图象的上方即可．【详解】（1）解：∵，，，∴，∵点D是的中点，∴，当时，∵，，∴，∴，∴，即，∴，当时，过D作于点G，∵点D是的中点，∴，∴，即，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴，根据题意，得，∵，，，∴，∴；（2）解：列表得：051003012346101264321.2画图如下：根据图象，知：当时，有最大值为3（答案不唯一）；（3）解：令，解得：（舍去）；令，解得：（舍去）；根据图象知：当时，．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，反比例函数与一次函数的交点问题等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决自变量的取值范围问题，属于中考常考题型．3．(1)(2)图见解析；当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）(3)【分析】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质等，数形结合和分类讨论是解题的关键．（1）分“点P在线段上”“点P在线段上”两种情况分别求出函数解析式即可；（2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可；（3）根据（2）中图象可直接得出答案．【详解】（1）解：在平行四边形中，，，是等腰直角三角形，，，，，点P在线段上的运动速度为每秒个单位，在线段上的运动速度为每秒2个单位,，，时，点P在线段上，时，点P在线段上．当点P在线段上时，如图，作于M，于N，得矩形，在平行四边形中，，，是等腰直角三角形，，，，，；当点P在线段上时，如图，，，综上可得，；（2）解：函数图象如图所示，由图可知，当时，y随x的增大而减小；（3）解：由（2）中图象可得，当时，．4．(1)(2)见详解(3)3或【分析】本题考查了动态几何图象问题，分段函数及函数的图像和性质，三角函数的应用．关键是理解点的运动轨迹与面积的变化关系．通过分段函数的建立与分析，解决了面积与时间关系的问题．（1）分两种情况讨论：点P在上，点P在线段上，根据三角形面积公式进行求解即可；（2）根据（1）中求得的函数解析式画图，根据函数图象的性质回答即可；（3）根据列方程求解即可．【详解】（1）解：当时，，，当时，过点P作于D，，在中，，，在中，，，综上所述：（2）在平面直角坐标系中画出函数的图象如图所示：当时，S随t的增大而增大；当时，S随t的增大而减小．（3）依题意得，得，当时，，解得；当时，，解得，的值为3或．5．(1)点P从点A出发，经过11秒后到达点D(2)经过秒或秒后三角形的面积恰好是【分析】本题主要考查动点运动的函数图象问题，根据图2得出的长进而求出是解题的关键．（1）由图2可知，点P运动3秒到达点B，再由点P的运动速度和进行求解即可；（2）由（1）中求得的数据，可知长方形的面积，进而可得出点P在上运动时，的面积为定值30，再对点P的位置再和上进行分类即可．【详解】（1）解：由图2知，点P运动3秒时到达B点，又∵点P的运动速度是秒，∴．又∵，∴．又∵四边形是长方形，∴．∴，∴（秒）．∴点P从点A出发，经过11秒后到达点D．（2）解：由（1）知，，当点P在上运动时，的面积恒为：．又，故不符合题意；当点P在边上时，，（秒）．当点P在边上时，，（秒）．综上所述，经过秒或秒后三角形的面积恰好是．6．(1)(2)图象见详解，该函数的一条性质为：当时，y随x的增大而增大(3)【分析】本题考查了动点问题，一次函数的图象与性质，正确理解动点问题是解题的关键．（1）当E在，F在上运动时，，则，利用即可求解，当E、F在上运动时，，则，，因此，利用即可求解；（2）结合（1）中求解的函数解析式即可画出其图象，进而求解；（3）观察函数图象即可求解．【详解】（1）解：，，，当E在，F在上运动时，，则，，当E、F在上运动时，，则，，，，综上所述：；（2）由（1）可得：该函数的一条性质为：当时，y随x的增大而增大；（3）若面积大于6，则当时，，解得，当时，，解得，综上所述：的取值范围为．7．(1)①时，的面积为10；②4；③；④6(2)【分析】本题考查了动点问题的函数图象．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．（1）①M点代表的意义是：时，的面积为10，即可求解；②时，，即可求解；③，即可求解；④，即可求解；（2）根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：①M点代表的意义是：时，的面积为10，故答案为：时，的面积为10；②时，，则，故答案为：4；③，故答案为：；④，解得：，即，故答案为：6；（2）解：，即8．(1)，(2)图象见解析，性质：当时，取最大值，（答案不唯一，合理即可）(3)【分析】（1）过作于点，由，得到，，再由中点得到即可说明点与点重合，即，，然后利用等高的三角形面积比等于底的比求、关于的函数表达式，注意点需要分在线段和上两种情况讨论；（2）根据、关于的函数表达式结合范围画出图象即可；（3）结合图象找到在上方时的取值范围，即为时的取值范围．【详解】（1）解：过作于点，∵平行四边形中，，，∴，，，，，∴，即，∴，，∵点为边的中点，∴，∴点与点重合，即，，∴，∴，∵点沿着的方向每秒个单位运动，运动时间为秒，∴，，∵，的面积为，∴，整理得，∵点沿着的方向每秒1个单位运动，设的运动时间为秒，∴当点在线段上时，，此时，；当点在线段上时，，此时，如图，延长、交于点，∵，∴，，∵，∴，∴，，∴，，，∴，，∴，∵，∴，整理得，综上所述，；（2）解：函数、的图象如图所示：由图象可得，当时，取最大值，（答案不唯一，合理即可）；（3）解：由函数图象可得，当时，的取值范围为．【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，证明是解题的关键．9．(1)(2)图象见解析，性质为当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小（答案不唯一）(3)的值约是1.9或6.1【分析】（1）分两种情况：①当点在上时，即，如图1，，②当点在上时，即，如图2，，根据含角的直角三角形的性质即可解答；（2）根据两点法画图象，并确定一条性质：当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小（答案不唯一）；（3）确定与图象的交点可得．【详解】（1）解：，，，分两种情况：①当点在上时，即，如图1，，

，，；②当点在上时，即，如图2，，

在△中，，；综上，关于的函数关系式为：；（2）解：函数图象如图3所示，

当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小（答案不唯一）．（3）解：如图3所示，

点，相距个单位长度时的值约是1.9或6.1．【点睛】本题是三角形和函数的综合题，主要考查了一次函数的图象和性质，含角的直角三角形的性质等知识，掌握画一次函数的图象，分类讨论思想的应用是解题的关键．10．(1)(2)作图见解析，性质：时，y随t的增大而减小；时，y随t的增大而增大(3)【分析】对于（1），分两段讨论：当时，先表示出即可得出，再说明，根据相似三角形的对应边成比例表示；当时，表示，再根据得出关系式即可；对于（2），根据关系式画出图象，再写出性质；对于（3），观察图象得出交点坐标，再根据图象在上方的函数值大可得答案．【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴．在中，．当时，根据题意可知∴．∵，∴，∴；当时，，∴．综上所述：；（2）解：如图所示：当时，y随着t的增大而减小；当时，y随着t的增大而增大（答案不唯一）；（3）解：观察图象可知当或时，，∴当时，．【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，画一次函数图象，根据两直线的交点解不等式，理解根据函数图象的位置判断函数值的大小是解题的关键．11．(1)10，15(2)10(3)，，当点，运动时，线段最小，最小值为(4)或【分析】（1）根据函数图象直接求解即可；（2）利用勾股定理求解即可；（3）根据，然后利用二次函数的图象性质求解即可；（4）分两种情况：当时，当时，分别求解即可．【详解】（1）解：由图2可知：，，∴，故答案为：10；15．（2）解：当时，由题意，得，，则，∵∴故答案为：10．（3）解：由题意，得，，则，∵∴，∵∴当时，有最小值为90，即有最小值，由由图2可知：当时，有最小值n，∴，，∴，表示的意义是当点，运动时，线段最小，最小值为．（4）解：当时，则，∴，解得：；当时，则，∴，解得：；综上，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或．【点睛】本题考查动点函数图象问题，二次函数的图象和性质，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握次函数的图和象性质是解题的关键．12．(1)(2)图见解析，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）(3)【分析】（1）先求得，再分当时，在上运动，；当时，在上运动，两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质和正方形的面积公式求解即可；（2）根据（1）中解析式描点画图即可；根据图象写出可性质；（3）根据（2）中图象可得结论．【详解】（1）解：∵在中，，，∴，由题意知，当时，在上运动，如图，则，∵，∴，∴；当时，在上运动，如图，则，∴，∴，综上所述，y关于t的函数表达式为；（2）解：由（1）知，该函数图象经过点，，，，，，，则函数图象如图所示：由图可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；（3）解：根据图象，当时，直线与该函数图象有两个不同的交点．【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及二次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，正确求得函数解析式，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．13．(1)(2)函数y1的图象见解析，当时，函数值随x的增大而减小；当时，函数值随x的增大而增大（答案不唯一）(3)当时自变量x的取值范围是【分析】本题考查动点的函数图象问题、勾股定理、矩形的判定和性质等．（1）作于点H，得到矩形，当时，点Q在线段上，当时，点Q在线段上，列分段函数即可；（2）根据（1）中解析式描点作图，