极限计算方法总结

极限计算方法总结

《高等数学》是理工科院校最重要的根底课之一，极限是《高等数学》的重要组成局部。求极限方法

众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容

的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好

地掌握这局部知识。

一、极限定义、运算法那么和一些结果

1.定义：(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一表达)。

说明：(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的

极限严格定义证明，例如：lim2=0(a,0为常数且"0)；lim(3x—l)=5；

4〃XT2

〃[0,当|“<川寸

些r.t不存在，当I加时;等等

(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为结果直接运用，而不需再用极限严格定

义证明。

2.极限运算法那么

定理1lim/(x),limg(x)都存在，极限值分别为A,B,那么下面极限都存在，且有(1)

lim[f(x)±g(x)]=A±B

(2)limf(x)-g(x)=AB

⑶扁“2=4,(此时需8W0成立)

gMB

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法那么成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3.两个重要极限

「sinx.

(1)hm----=1

1。x

-i

(2)lim(l+x)v=e；lim(l+—)A=e

x->0KfgX

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,

作者简介：靳-东，男，(1964—)，副教授。

例如：limSin3,X=1,=c,lim(l+])3=e；等等。

4.等价无穷小

定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是⑴。

定理3当/->()时，以下函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价，即有：

X〜sinx〜tanx〜arcsinx〜arctanx〜ln(l+x)〜—1。

说明：当上面每个函数中的自变量工换成g(x)时(g(x)fO),仍有上面的等价

关系成立，例如：当/->()时，e3x-1〜3%；ln(l-x2)〜一Y。

定理4如果函数/(x),g(X)J[(X),g]3都是X-与时的无穷小，且/(x)~/(x),g(x)~

../,(x)f(x)../(x)

g](x)，那么当hmq厂存在时，hmT也存在且等于fMhm,即

X-配,g|M»TX。g(%)XT%g](x)

1•f(x)vJf\l(1)

hm=limo

xTqg(X)lx。©O)

5.洛比达法那么

定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数/(x)和g(x)满足：(1)和g(x)

的极限都是0或都是无穷大；

(2)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为U；

..f\x)

(3)hm—三存在[或是无穷大)；

g(x)

..f(x)..f\x)..f(x)..f\x)

那么极限hm——-也一定存在，旦等于hm―――,即lim———=hm―――。

gWg(x)g(x)g(x)

说明：定理5称为洛比达法那么，用该法那么求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，

洛比达法那么就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限是否为“°”型

0

或，，艺”型；条件(2)一般都满足，而条件(3)那么在求导完毕后可以知道是否满足。另

00

外，洛比达法那么可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6.连续性

定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果勺是函数/(X)的定义去间内的一点，那么

有liin/Q）=/（_Xo）。

XT.%

7.极限存在准那么

定理7（准那么1）单调有界数列必有极限。

定理8（准那么2）{%},{%},{Z〃}为三个数列，且满足:

(1)yn<Z〃，(〃=1,2,3,・・・)

(2Jlimy”a,limz„=a

〃T8〃->8

那么极限lim一定存在，旦极限值也是。,即lim=a。

"TOO

二、求极限方法举例

1.用初等方法变形后，再利用极限运算法那么求极限

J3x+1—2

例1lim

X->1x-l

22

「(V3X+1)-2R3x-33

解:原式二lim-----------/------=lun------------,------=-o

I(x-l)(j3x+l+2)xf(x-l)(V3x+l+2)4

注：此题也可以用洛比达法那么。

例2lim4n(+2—Jn—\)

〃fOC

解：原式=lim

J/7+2+J/2-1

「(T)〃+3”

例3hm--------------

…2〃+3”

上下同除以3".（一p"+l

解：原式=lim--=1o

（丁+1

2.利用函数的连续性（定理6）求极限

\_

例4limx2ex

A->2

解：因为%=2是函数=的一个连续点,

所以原式=22/=4j^。

3.利用两个重要极限求极限

1-cosx

例5lim

XTO3x2

2csi•n2—X2Gsi•n2—X.

ooI

解：原式:li吗」2=1叫-----产=7

X

af3AX—ICf\26

注：此题也可以用洛比达法那么。

2

例6lim(l-3sinx)x

XT。

]-6sin.r[-6sinx

解：原式二1»111(1-3$皿为际?一^=1101[(1-35皿%)有蒜]一^

r->0r->0

,,..“一2、〃

例7hm(-------)

〃-n+1

QK+1-3〃a〃+i-3〃

解：原式=lim(l+—尸初=痴[(1+二7尸]"=/。

“T0°n+ln+1

4.利用定理2求极限

例8limx2sin—

I。X

解：原式=0］定理2的结果)。

5.利用等价无穷小代换(定理4)求极限

「xln(l+3x)

例9hm---------7-

XTOarctan(x)

解：:xf(M,ln(1+3x)〜3x,arctan(x2)^x2,

x-3x

原式=lim上耳=3。

2

iox

e"—e'Mx

例10lim------------

•Dx-sinx

()sinx

/nxe——[e(x-sinx)।

解：原式=lim:=lim:=1。

ior—sinxx->or—sin.r

注：下面的解法是错误的:

(e'..x-sinx

原式咆=lim-----------

x-sinxiox-sinx

正如下面例题解法错误一样:

..tanx-sinx..x-x八

hm----------------=lim——=0。

.v->oX、'x->o

/2・1、

tan(x~sin—)

例11lim----------------

•sosinx

解：,当xf0时，/sin，是无穷小,tan(—sin')与/sin4等价，

XXX

211

xsin—[

所以，原式=lim--------^=limxsin-=O。(最后一步用到定理2)

x->0XXTO丫

6.利用洛比达法那么求极限

说明：当所求极限中的函数比拟复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。

同时，洛比达法那么还可以连续使用。

1-cosx

例12hm------；-(例4)

3)3厂

sinx1

解：原式=hm^—=:。（最后一步用到了重要极限）

z06x6

7TX

COS

o

例13lim-------

-1x-1

元.7DC

-----sin一

D)兀

解；原式=hm——二--

・T12

「x-sinx

例14lim-----------

3X

1-cosx「sinx1

解：原式噢=-。（连续用洛比达法那么，最后用重要极限）

3x2X-*06x6

sinx-xcosx

例15lun------z-----------

尤sinx

解:

l11

例isrlirnr[----------------]

XT。xln(l+x)

解：错误解法：原式=lim[------]=Oo

10XX

正确解法:

应该注意,洛比达法那么并不是忌可以用，如下例。

X—2sinx

例19lim

3x+cosx

解：易见：该极限是“°”型，但用洛比达法那么后得至小1-2cosx

lim———；,此极限

0Jg3-sinx

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:

2siiix

原式二lim........-[分子、分母同时除以外

-r->8_COSX

3+------

X

=-（利用定理1和定理2）

3

7.利用极限存在准那么求极限

例20x,=V2,x/J+1=j2+x〃，5=l,2,.・.),求|吧

解：易证：数列｛x〃｝单调递增，且有界（0<工〃<2）,由准那么1极限1皿匕存在，设

lim=a0对的递推公式工%z=j2+x〃两边求极限，得:

〃一>oo

ci=y/2+a,解得:。=2或。=一1（不合题意，舍去）

所以limxn=2

111=)

例21lim(

J刀2+〃

n1n

解:易见:

2I+/、+…+/,</)

yin+nyjn2+\yin2+2J/+"yin2+1

n〃

因为limlim/=1

“TOO2+niJ/+1

所以由准那么2得：lim(—+—+…+—)=1。

…Vn2+1J/+2yin2+n

上面对求极限的常用方法进行了比拟全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许

多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外,

求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。

极限与连续的62个典型习题

习题1设q>0,i=l,2,…,〃7,求lim(〃/+〃/+••・+〃:)".

解记a=max{…,册},那么有

2\_

(%”+…+〃〃：)">(an)n=a,\in\a=a.另一方面

!!!

(%"+的"H-----1-a；)H<(ma")〃=a♦(〃z)”.

21।

因为Iim〃"=(lim诟)=1,故lima/6=a.利用两边夹定理，知

“foon->oon-w

lim(c7j…其中。=max{q,。,,…%J.

w->x

例如lim(l+3"+5"+9")7=9.

习题2求lim(-；----------1—；------------1-…-I—；-----------).

+1犷+〃+2，/+〃+〃

解

1+2H-----\-n12n1+2d-----\-n

—------------<-----------+-----------<

n~+n+nn~+n+1〃-+〃+2/+〃+〃rr+n+\

〃(〃+l)12n〃(l+〃)

即

2(〃？+2〃)n2+/I+1ir++2〃？+"+〃2(7i2+7?+1)

1+-

rn(y+n)r〃+1

lun——；------=lim------=--lim一?

2(n"+2n)**2〃+4〃一w-42

2+-

n(\+n)i+l

Inn-----------------=limn

”以2(〃-+〃+1)…c22~2

2--+—

nn~

利用两边夹定理知

12n1

vlmzi(----------+—-----------+…+—-----------)x=一

+1n+〃+2+〃2

习题3求lim(1一+」一+—+—1—)".

1•22-3+1)

2

1r白+…+;/二则扣…+（L»"

习题4求图■（3N）.

解〔变■替换法〕令，一吹，那么当Xf1时，于是,

I_tm帚j)(l+r+入…+产)m

原式=射匚尸

T(1一)(1+，+厂+…+，)n

习题5求lim.

X-H<Ox-1

解〔变■替换法〕令正=t,XT+oc,f—>-Kc,

2

原式解（七"㈣（£白=吧叫尸（1一寸

=lim(1+-)1-(1—)'=e1-e=e°

r-^tt

q_X]

习题6求lim（二布（「型）。

io2+x

为了利用重要极限，对原式变形

习题7求加]互工1三Z.解原式

DX

..~2—21

=lim-------------------------------/-----=------=—

(VT+^++2)(V1-x2+1)4・24

习题8求解由于

…3x-2

__________6J

..,4/+6x+5V+x+x22

lim-------------------=hm-----------------=—.

X83x-2x*3_23

x

2465、

A-(z4+-+—)

h\4x2+6x4-5

而lim-------------=lim

XT-83x-2

X3--)

x

|X|J(4+-+4)々65、

(4+-+—)—

xx~2[.,4>2+6x+51.+6x4-5

—---；v=]加——lim--------------工lun

2xz3x*3x-2xi3x-2

43--)(3--)

xx

砧..,4r+61+5丁上力

故hm——---——不存在。

xtr3%-2

习题9研究以下极限〔1〕lim皿.

ZBX

原式=limLsinx,其中lim，=0,|sinx|W1.上式极限等于0,即lim

AT0°XIf81X->00X

(2〕limx-sin—.

xruX

因为|sin—1<1,limx=0,所以limx-sin—=0.

X.t->0x->0x

.1.1

Isin—sin—

13〕lunx-sin—.原式=lim-=lim-=1.

XTBX38lX_>01

XX

习题10计算lim(x+”')x,(a>O,awl).

解原式=lima(l+xa7)x=〃lim(l+xar)x「

XTOx->0

=6f[liin(l+m')m]!联=ae}=ae.

XTO

xa_1。gX

习题11hm-----=hm--------=hm---------------

-ix—1ix-1iaInxx—1

ealnx-\..crln[l+(x-l)J..

=lrim--------lun----------------=lxoxl=e.

alnxT)a\nx(IT

习题12lim'+/"c=5,求ac的值。

XTlJ-X

解首先lim—+陵+。=i+b+c=O,,b=-1-c

XTl

原式=lim------------=lim[-(x-c)J=c-1=5,

I-(jr-1)I

'•c=6,而b=—(1+c)=-(14-6)=—7.

习题13以下演算是否正确？

2.1

xsin-]

•sin!

lim-------=limx-———T=0.

3。sinxJ。*sinxx

有界

x

习题14求lim(sinJx+1-sin).

,JX+\—7XJx+1+\/~X

解原式=lim2sin------------cos------------

X-H-Z*22

1Jx+i+4八

2limsin•cos-----------=()

2(VxI1IG)2

习题15求lim口sin.

XfAX+\

JI

解Vlim—=lim=0,|sinx2|<1,原式=0.

K*X+lx->00«1

1+-

X

习题16证明=［九〃/力为常数

XTOOX+n

证]im(汇'产+〃=+"产+〃〔令」_=J_〕

XT8x-KC

x+nx+nny

m-n声了(吁〃).mn〃〃*，〃-〃)

=lim[(l+]ini(l+~ykn+b_*,-).]_

y->oo>T8y

习题17求lim(l-sinx)v.

.t->0

1-3sinx

解原式=lim(l+(-sinx))-smx*=e3

x-)O

习题18求lim-.解（连续性法）

…x-a

_1VY—!—

原式=lim-----In—=limln(—)x“

ux-aaita

X-n-a--iX-Cla-iivi

=limln[l+——]I，"=ln[liir(l+——=\nea=-\ne=-.

FQf。aa

习题19试证方程x=asinx+Z?〔其中。>0/>0]至少有一个正根，并且它不大于々+/九

证设/(x)=asinx+h-x,此初等函数在数轴上连续，「./(x)在[0,〃十句上必连续。:

/(())=/?>(),而

/(&+〃)=as\n(a+b)-｛a+b)-\-b=4|sin(4+Z?)-1]<0假设f(a+Z?)=0,那么a+b就是方

程x=asinx+力的一个正根。

假设/(〃+〃)<(),那么由零点存在定理可知在(OM+方)内至少存在一点4£((),a+b),使

/@=0.即"asinJ+A

故方程X=asinx+b至少有一正根，且不大于&+〃.

[

习题21求lim(cosx)l-cosr.

x->0

1

解原式=1旧｛口+((：0§X-1)]嬴—尸=1.

XTO

习题20设区｝满足>0且lim=r<1.试证lim居=0.

"T8七I"T8

证,.Tim5-=r<1,取£=--->0,明,使得当n>N时有

…2

।工一“<£=:，即。<工<〃+==T，亦即0<%<々甚一于是递推得

"t12V.222”

八r+1/+1、，/r+1\"-“

^<Xn<—<(―)^«-2<...<(―)EV

Mv

0•,二^<1,lim(ZLil)-Xn-(),从而由两边夹准那么有liin=0.

2“TOO2"TOO

习题22用定义研究函数/“)』%二x>0的连续性。

[o'A<0

证首先，当x>0,〃幻=/口是连续的。同理，当

*<0,/（x）=o也是连续的。而在分段点x=o处

所以linif(A)=/(O).故以%)wC(-8,+8).

XTo

J1-3-5.-(2H-1)

习题23求证24.6-2.=，.

而

.由两边夹定理知,

=limJ—•—U=limJ—■lim—=1-=1原式成立.

〃->8v2y/nV2…gqn1

习题24设/*,),)=吟虫/(l,y)=J_y+5.任取占>0,记

2x2

A=F(x,2xx„=产(x*,2xj...试证limx存在，并求极限值。

00+1〃一>00n

2

证vF(l,y)=^y^=y-y+5=^[(y-x)2+9],

/(y-i)=(y-i)2+9,z./(y-x)=(y-x)2+9.故

F*,y)=(yy+9由题设

2犬

片+9

，…由于

2%

.•尤的J.故｛%｝单调有下界，故有极限。设limx〃=4

由3二号'解出叱3〔舍去A"3〕c

Y..

习题25设x0>0,xn+1=1+——,n=1,2,...,求limxn.

1+X,”T8

V

解显然/>o』=l+1-V2.「.{x“}有上界2,有下界0.

1+Z

L°=l+}f=焊工当。<心1时

l+x0l+x02

1+Xo-Xo>O,BPxl>x。，假设七?>怎_1，那么

Y-r—5怎一九”.1>0.故“”｝单增。limx

与+1人〃一1.“f8tl

1十%1十项I(I+4)(1十X,I)

yA

存在。设limxn=A,那么由lim3=1+lim〃得A=1+----，即

〃->8JU-»OO〃->8]+/]+A

4-4-1=0,，4=笥叵〔舍去负值〕。当%>笥叵时，有七<%

用完全类似的方法可证*”｝单减有下界0,同理可证limx“=£g.

182

习题26设数列*“｝由下式给出玉=2,1〃+]=2+,,〃=1,2”..求lim5.

Xw->oo

%

解区｝不是单调的，但｛.%./单增，并以3为上界，故有极限。设单减,

"TOO

并以2为下界，设limx,“=C.在等式5讨=2+，两边按奇偶取极限，得两个关系

〃一>8-Y人〃

B=2+!，C=2+4，解出八C.由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等，因此区｝的极

CB

限存在，记limx”=A于是limx,川=lim(2+‘).故有A=2+L解出4=1+后，〔舍去负值

“->8/!—>007?-><€»XA

1—V2〕

习题27设凡>0,互.=为士|,试证｛乙｝收敛，并求极限。

%+1

证显然%>0.假设limx〃=A,那么由x〃+]=+2令〃-,可解出A=2〔舍去-2〕。下

10xn+I

面证明｛xn｝收敛于正.由于

k「阕=1|〈(后f除一码，

Xn-\+1

2

这推可得Xn—5/2<(5/2—I)Xn_2—V2|<(5/2—Xj—5/2I

/.lim(V2=0.由两边夹可得limx“-0]=0.故limx”=后.

n—>00M—>00I〃一>8

习题28设./；(/)=/(/)>0,<z⑺=.试证

⑴0名(0存在;(2)当/⑺21时，lim/；(/)=l;当/⑺<1时，limJ⑺=0;

〃一>8〃—>8〃—>8

证v〃，显然有A⑺No,又A+1⑺-f〃⑴=—/；”)<0.

.•Vf/(r)单减有下界。.•・收敛。令lim£")=/⑺，在原式两边取极限得尸⑺=且斗.由

〃T81+F~(t)

2#⑺之2/%)

此可解出")=0或尸⑺=1.当/(f)Nl时,f2(t)==1.归纳假设//注1,

1+工2“)一2八)

义段之延曹，有力⑺加・因此广⑺之时⑴.即

那么#⑺训而加⑴==WW"1/=1

1+4(02斤⑴

】im/；⑺=1,(/(。21时〕。

当时，由，⑺的单减性便知即当人)=0时，即

lin"⑺=()〔当/⑺<1时〕。

JT—>00

习题29lim(-£2^L)sin.vsin2,=［而(上空工)乐砺

-r-*0cos2x-r->°l-sin~2x

习题30假设收敛，那么］im包=0

“->3nI

证•♦・{4}收敛，设limx“=4.故必有界。设

〃T8

Ix\<B,n=1,2,...因此0<生斗&竺，而竺一0,二lim区匚=0.

|nl\〃！n\“TOOn\

nI,7112n1n!_

习题31求1血々.(0<々=一〈一，,二lim-~=0x)

-8n~rTnn„"

变量替换求极限法

(为求limF(x),有时可令X=0(y),而F(x)=F［(p(y)］〕

x->a

习题32求1加"。一7〔夕为自然数〕

XT0X

解令(1+a)-1=)，,那么工=心'+4一”,因此

a

^T+x-1--x

习题33求lim----------一J

解令^77-1=>，,=1=()，+1广一1,且当戈-0时》-0,故原式

习题34求lim外而一"孤),a>0.

解先求lim/(布-'孤)，令!=/,那么上式

X—>+8X

\_~bl-exp(-Jlna)T—]na

=lim-----5——=lima'-----弓——=lim-------------------------=lim——=Ina.故原式=Ina.

,TO*f-f->0+/r->(T,T0+f-

用等价无穷小替换求极限

习题35求lim上场^(,2GN).

吁o(p~

解记x="cos〃0，贝卜―>1(0—>0).

k-u..(1—x)(l+x+...+x"।)1—x"..1—cosn(p

原式二lim—、-----------------——=lim——-=lim--------笠

3,(l+X+...+X-)P->0n(p-3n(p-

、(〃0)2

-lim———--=—(当0,l-cos〃—w2)

…n(p~22

习题36设j\x)与x是等价无穷小，/(A-)wx,求证

(Dlim[f(x)]x=1;〔2〕liml/^')l，~V，=1.

x-*0"a。*f(X)-X

证二/(x)~x，即~~-->1(x—>0),/.~~-=1+a(x),

XX

其中a。)-0,当f0,即/(x)=Nl+a*)](当x-0).故

皿起rxIn

[fMY-xxxe*-1x

rlimJ--------=hrmx---------——--------------

io'/(x)-x—o'.1nf(x)f(x)-x

x

习题37设f(x)eC[O,n],n(n>2)为自然数，/(0)=f5).试证*,4+1日0,川，使

/©=/e+i).

证〔分析：要证*Y+yo,矶使/e)=/e+i).即要证g(x)=/(x+i)-有根4〕令

g(x)=/(x+l)-/(x),显然在。〃-1]上连续，于是g(i)=f(i+l)-/a)/=l,...〃-L记

m=min{g(。},M=max{g(i)},那么

O^f^n-iOW〃一1

m<-Xg(i)WM,又W[(i)=f(n)-/(0)=0.对函数g(x)应用介值定理，知m六[0,〃一1],使

〃/=0i=O

1n-\

g@=-2g⑴=0,即存在4，[+1£[0,〃-1],使于也+1)=/«).

ni=。

习题38设f(x)eC[a,0],且4vcvdv加证明3G[a,b],

使(a+B)f8=a/(c)+pf(d).

证〔分析：将结果变形f«)=。以0+吁心："〕

a+B

记m=min=max{f(x)},那么m<f(x)<M,XG[a,bi

于是(a+/3)m<a/(c)+/3f(d)<(a+/3)M

a+p

由介值定理知

年£血刈使/(?=af(c)+叱(d),即(a+p)/©=a/(c)+”(d)

a-vp

习题39设/(x)eC(-8,+8)且/"")]=尤证形使/⑹=。

证反证法。假设不存在点J使即Vxe(-8,+8)均有连续，不妨设

恒有/")>工于是f[f(x)]>/(x)>x.此与f[f(x)]=x矛盾。故形使/©=

习题40设/(x)£C(a,。)且/(%)>0.又〈当<…〈怎证明至少有一点《€(〃/).使

/⑹="(玉)/(苞)."(%).

证,.•/(x)eC(X],x.)，故f(x)在[XpX,,]上有最大值M和最小值〃？,使

0</«<f(xt)<MJ=1,2,...,n.于是mW4f(xjf⑺…f(xn)WM由介值定理，知

花£[\，乙]u(〃,b\使/©="(司)/。2)・•./(%").

习题41证明方程.广2'=1至少有一个小于1的正根。

证设/(x)=x•2、-1,显然fix)GC[0,l],但

X

/(0)=-1<0,/(1)=2-1=1>0,/.3x0G(0,1),使/(x0)=%•2^-1=0,即方程r2=1至少有

一个小于1的正根存在。

习题42设/⑺二吧江二^^连续，求3

ax1+bx,I*

b

H--1~~r+

1

lim^-

“T8X

解/(x)=

1+a+Z?

x=1

2

\-a+b

x=-l

F

故/(1+0)=1,/(1-0)=。+。,/(-1+0)=。-〃,/(-1-0)=-1.由于/(幻在，-1处连续，所

a+b=\

以a=O,b=\.

a-b=-\

习题43试证方程W+cos多至少有一个实根。

证做函数/（R）=xe'-x-cosgx.显然

乙

jr

/(())=-l<(),/(l)=e-l>(),.-.3^e(0,1),使/C)=0.即/"=x+cos-x在(0,1)内必有实根。

乙

习题44求«）=目的连续区间。

(解：先改写为分段函数，结论为：(-00,0)U(0.1)U(l,+oo))

习题45求〃为何值时，函数/")=卜2-‘在。3]上处处连续。

hx-2,2<x<3

只需讨论分段点处的连续性：/(2-0)=lim(X2-1)=3=/(2),

.r->2-

/(2+())=1]](以_2)=29-2=/(2),要在工=2处连续，必有2力-2=3,=〃=』.

XT2+2

习题46设a>(),%>(),定义4+1=；(3匕+/),〃=12…求limx„

4£“T8

解X„+I=:(X〃++怎+£)NJx”,4.与•/二亚｛五｝有下界即V/2£N，有怎>Va.

4V/

又&±=［（3+=）。（3+4=1,即区｝单减有下界，故有极限。设limx“=A且右心＞0.

xn4xn4ci“fa

有limxn+｝=!lim(3x“+鼻)有A=〈(3A+M)n4=爪

〃->844AJ

(舍去负根[〔注意：先证明极限的存在是必要的。〕

习题47

(解：｛%｝单增有上界1+及，可解出极限人=笆正〕