辽宁省大连市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线标准方程习题课教学实录 新人教B版选修2-1

辽宁省大连市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线标准方程习题课教学实录新人教B版选修2-1学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计思路本节课以新人教B版选修2-1第二章圆锥曲线与方程中的2.3双曲线标准方程习题课为主题，通过典型习题的讲解与练习，帮助学生巩固双曲线标准方程的相关知识，提高解题能力。课程内容与课本紧密关联，注重培养学生的逻辑思维和运算能力，符合教学实际，实用性强。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过双曲线标准方程的学习，学生能够运用数学语言描述现实世界中的双曲线现象，培养空间想象能力；通过解题过程，锻炼逻辑推理和数学运算能力；通过建立数学模型，提升数学建模意识。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识。

学生在本节课前已经学习了直线方程、圆的方程和二次函数等基础知识，具备了一定的代数运算能力和几何直观能力。他们能够理解一元二次方程的解法，以及如何根据几何图形的性质来建立方程。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格。

学生对圆锥曲线这一数学内容表现出一定的兴趣，因为他们希望通过数学来描述和解释现实世界中的曲线现象。学生的学习能力较强，能够接受新知识，但部分学生在处理复杂问题时可能显得不够耐心。学习风格上，有的学生偏好通过图形直观理解概念，有的则更倾向于逻辑推导和计算。

3.学生可能遇到的困难和挑战。

学生在学习双曲线标准方程时可能遇到的困难包括：理解双曲线的几何性质，将几何性质与代数方程联系起来；处理涉及双曲线的复杂计算，如求解双曲线的焦点和渐近线等；以及将双曲线方程应用于解决实际问题。这些困难可能源于学生对几何概念的理解不够深入，或者是对代数运算的不熟练。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有新人教B版选修2-1教材，以便跟随课本内容学习双曲线标准方程。

2.辅助材料：准备与双曲线几何性质和方程相关的图片、图表，以及讲解双曲线方程求解过程的视频资料，以辅助学生理解和应用。

3.教学工具：准备几何画板等教学软件，用于动态展示双曲线的性质和方程变化。

4.教室布置：设置分组讨论区，便于学生进行合作学习；在讲台上放置投影仪和笔记本电脑，以便展示多媒体资源。教学过程设计【用时：5分钟】

一、导入环节

1.创设情境：展示生活中常见的双曲线现象，如望远镜的焦距、地球的经纬线等，引发学生对双曲线的兴趣。

2.提出问题：引导学生思考双曲线的定义及其几何性质，激发学生的求知欲。

3.学生回答：学生根据已有知识进行回答，教师进行点评和总结。

【用时：5分钟】

二、讲授新课

1.双曲线的定义：介绍双曲线的定义，让学生理解双曲线的几何意义。

2.双曲线的几何性质：讲解双曲线的渐近线、焦点、实轴和虚轴等概念，并结合图形进行直观展示。

3.双曲线的标准方程：推导双曲线的标准方程，讲解方程中各个参数的含义，并展示方程的变化规律。

4.双曲线方程的应用：通过实例展示双曲线方程在实际问题中的应用，如求解双曲线的焦点、渐近线等。

【用时：15分钟】

三、巩固练习

1.练习一：学生独立完成课本上的习题，巩固双曲线标准方程的基本运算。

2.练习二：教师选取一些具有代表性的习题进行讲解，引导学生掌握解题技巧。

3.小组讨论：学生分组讨论，共同解决难题，培养团队合作能力。

【用时：15分钟】

四、课堂提问

1.提问一：回顾双曲线的定义和几何性质，检查学生对基础知识的掌握程度。

2.提问二：提问双曲线方程的推导过程，考察学生的逻辑推理能力。

3.提问三：提问双曲线方程在实际问题中的应用，考察学生的知识运用能力。

【用时：10分钟】

五、师生互动环节

1.教师提问：教师针对课堂内容提出问题，引导学生思考，促进学生主动参与课堂。

2.学生回答：学生积极回答教师提出的问题，教师给予及时点评和指导。

3.学生提问：学生提出自己的疑问，教师进行解答，帮助学生解决困惑。

【用时：5分钟】

六、总结与拓展

1.总结本节课所学内容，强调双曲线标准方程的重要性。

2.拓展：引导学生思考双曲线方程在其他领域的应用，如物理学、工程学等。

【用时：5分钟】

七、布置作业

1.完成课本上的习题，巩固所学知识。

2.查阅相关资料，了解双曲线在现实世界中的应用。

【用时：5分钟】

总用时：45分钟拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《圆锥曲线及其在现代科技中的应用》：介绍圆锥曲线在航空航天、光学设计、电子通信等领域的应用。

-《双曲线的历史与发展》：探讨双曲线从古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出至今的发展历程。

-《双曲线在现代物理中的应用》：阐述双曲线在相对论、量子力学等领域的应用实例。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试绘制双曲线的渐近线、焦点等几何元素，加深对双曲线几何性质的理解。

-通过网络资源或图书馆，学生可以查找关于双曲线在实际工程中的应用案例，如双曲线天线的设计、卫星轨道的计算等。

-学生可以尝试用数学软件（如MATLAB、GeoGebra等）模拟双曲线的性质，探索双曲线在不同参数下的几何形态。

-鼓励学生进行小组合作，共同完成关于双曲线性质的综合报告，展示学习成果。

3.知识点全面，实用性强的拓展内容：

-双曲线在工程中的应用，如双曲线天线的设计，其优点是可以在较小的空间内覆盖更广的信号范围。

-双曲线在物理中的应用，如双曲线轨道在卫星通信中的作用，可以实现地球表面的无缝通信。

-双曲线在计算机图形学中的应用，如双曲线投影在3D图形渲染中的应用，可以提高渲染效率。

-双曲线在经济学中的应用，如双曲线模型在需求函数分析中的应用，可以帮助理解消费者在不同价格下的购买行为。

-双曲线在心理学中的应用，如双曲线模型在感知和认知过程中的应用，可以帮助研究人类的信息处理机制。内容逻辑关系①双曲线的定义：

-知识点：双曲线的几何定义

-词句：“平面内到两定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a的点的轨迹称为双曲线。”

②双曲线的几何性质：

-知识点：双曲线的渐近线、焦点、实轴和虚轴

-词句：“双曲线的渐近线是两条与实轴平行的直线，焦点位于实轴上，实轴是双曲线的对称轴。”

③双曲线的标准方程：

-知识点：双曲线标准方程的形式及其参数

-词句：“双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1，其中a和b分别为实轴和虚轴的半长。”

④双曲线方程的应用：

-知识点：双曲线方程在求解焦点、渐近线等几何元素中的应用

-词句：“利用双曲线方程可以求出双曲线的焦点坐标、渐近线方程以及实轴和虚轴的长度。”

⑤双曲线方程的几何意义：

-知识点：双曲线方程与几何图形的关系

-词句：“双曲线方程表示的是平面内到两定点距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。”

⑥双曲线方程的推导过程：

-知识点：双曲线方程的推导方法

-词句：“双曲线方程可以通过将双曲线的几何定义转化为坐标方程来推导。”

⑦双曲线方程的实际应用：

-知识点：双曲线方程在现实世界中的应用实例

-词句：“双曲线方程在航空航天、光学设计、电子通信等领域有广泛的应用。”课后作业1.题型一：求双曲线的焦点

-题目：已知双曲线的标准方程为x²/4-y²/9=1，求该双曲线的焦点坐标。

-答案：焦点坐标为F1(-√13,0)和F2(√13,0)。

2.题型二：求双曲线的渐近线方程

-题目：已知双曲线的标准方程为y²/16-x²/9=1，求该双曲线的渐近线方程。

-答案：渐近线方程为y=±(4/3)x。

3.题型三：判断点是否在双曲线上

-题目：已知双曲线的标准方程为x²/9-y²/4=1，判断点P(2,2)是否在双曲线上。

-答案：将点P的坐标代入双曲线方程，得到2²/9-2²/4=4/9-4/4=4/36-9/36=-5/36≠1，所以点P不在双曲线上。

4.题型四：求双曲线的实轴和虚轴长度

-题目：已知双曲线的标准方程为y²/25-x²/16=1，求该双曲线的实轴和虚轴长度。

-答案：实轴长度为2a=2×5=10，虚轴长度为2b=2×4=8。

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