数学预习导航：余弦函数、正切函数的图象与性质第课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精预习导航课程目标学习脉络1．能正确使用“五点法”“图象变换法”作出余弦函数y＝cosx和y＝Acos(ωx＋φ)的图象，并能体会正弦曲线和余弦曲线的关系．2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值，并能利用余弦函数的图象和性质来解决相关的综合问题．1．余弦函数图象的画法（1）平移作图：由y＝cosx＝sin（x∈R)知，余弦函数y＝cosx的图象与正弦型函数y＝sin的图象相同．于是把正弦曲线向左平移个单位长度就可得到余弦函数的图象．（2）描点法：按照列表、描点、连线的顺序可以作出余弦函数的图象．（3)几何法：就是利用单位圆中的余弦线来作出余弦函数图象的方法．(4)五点法：函数y＝cosx在[0，2π］内的图象的五个关键点是(0,1),，(π，－1)，，（2π,1)，其中,分别是x轴上的第一个零点,第二个零点;(0,1）,（2π，1),(π，－1）分别是函数图象的第一个最高点,第二个最高点和最低点，描出这五个点后，根据余弦函数的基本形状用光滑曲线将它们连接起来，即可得到[0,2π］内的余弦函数图象．将上述几种作法得到的y＝cosx，x∈[0,2π］的图象向左、右平移（每次2π个单位)，则可得到y＝cosx，x∈R的图象，如图所示．2．余弦函数的性质函数y＝cosx定义域R值域[－1,1］奇偶性偶函数周期性以2kπ为周期（k∈Z，k≠0），2π为最小正周期单调性当x∈［2kπ－π,2kπ］(k∈Z）时，单调递增;当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z）时，单调递减最大值与最小值当x＝2kπ(k∈Z)时,最大值为1;当x＝2kπ＋π（k∈Z)时，最小值为－1知识剖析(1）由诱导公式cos(－x)＝cosx可知余弦函数为偶函数．反映在图象上,余弦曲线关于y轴对称．(2)余弦函数y＝cosx的值域为［－1，1］，它表明余弦函数y＝cosx的图象介于直线y＝1和y＝－1之间．(3）由cos(2kπ＋α)＝cosα（k∈Z）知2kπ都是余弦函数y＝cosx的周期，2π是最小正周期．自主思考1试比较正弦函数与余弦函数的图象和性质的异同点提示：正弦函数余弦函数奇偶性奇函数偶函数区别递增区间(k∈Z)[(2k－1)π，2kπ]（k∈Z)递减区间(k∈Z）［2kπ,（2k＋1)π］（k∈Z)对称中心（kπ，0）（k∈Z）（k∈Z）对称轴直线x＝kπ＋（k∈Z）直线x＝kπ（k∈Z）联系(1)定义域都是R，值域都是[－1，1］;(2)最小正周期都是2π;（3）图象形状相同，只是在坐标系中的位置不同3．余弦型函数y＝Acos（ωx＋φ)（A>0，ω>0）的性质函数y＝Acos(ωx＋φ）(A〉0，ω〉0)可以看成是由余弦函数y＝cosx复合而成的复合函数,因此它的性质可由余弦函数y＝cosx类似地得到．（1)定义域：R．(2）值域：[－A，A］．（3）单调区间：求形如y＝Acos（ωx＋φ）（A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法解答，即把“ωx＋φ”视为一个“整体"，由余弦函数y＝cosx的单调递增（减）区间解出x，即为所求的单调递增(减)区间．特别注意若ω<0，先用诱导公式化为ω〉0．A〉0(A<0)时，所列不等式与y＝cosx（x∈R）的单调区间对应的不等式的方向相同(反)．求复合函数的单调区间，必须在定义域内求解．(4)奇偶性：余弦型函数y＝Acos（ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数,当φ＝kπ±(k∈Z）时为奇函数．（5)周期：函数y＝Acos（ωx＋φ)(A〉0，ω〉0）的周期与解析式中自变量x的系数有关,其周期为T＝．(6）对称性：函数y＝Acos(ωx＋φ）的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z）解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z）解得．自主思考2设函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A〉0,ω>0)，求：（1)φ取何值时，f（x）为奇函数;（2)φ取何值时，f（x)为偶函数．提示：（1）若f(x)是奇函数,且x∈R,则f（0)＝0，即cosφ＝0，得φ＝＋kπ，k∈Z．故当