2025版高考数学二轮复习第1部分主题1集合复数平面向量教案理

PAGEPAGE1主题1集合、复数、平面对量1.集合解决集合问题应留意4点(1)在化简集合时易忽视元素的特定范围(如集合中x∈N，x∈Z等)致误，如T1.(2)对于用描述法表示的集合，肯定要抓住集合的代表元素．如{x|y＝lgx}表示函数的定义域；{y|y＝lgx}表示函数的值域；{(x，y)|y＝lgx}表示函数图象上的点集，如T4.(3)空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，易忽视A＝的状况．如T3.(4)进行集合运算时，留意数形结合在集合示例中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特殊留意端点值，如T2.1．(2024·吉林市一般中学三调)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2＋x－2＜0，x∈Z}，则A∪B＝()A．{－1} B．{－1,1}C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2}C[由题意知B＝{x|－2＜x＜1，x∈Z}＝{－1,0}，所以A∪B＝{－1,0,1}，故选C.]2．(2024·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝()A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}C[∵N＝{x|－2＜x＜3}，M＝{x|－4＜x＜2}，∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故选C.]3．(2024·攀枝花市其次次统考)集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∪B＝A，则由实数a组成的集合为()A．{－2} B．{1}C．{－2,1} D．{－2,1,0}D[因为A∪B＝A，所以B⊆A，又因为集合A＝{－1,2}，∴B＝或B＝{－1}或B＝{2}，由B＝{x|ax－2＝0}可知a＝0,1，－2.故选D.]4．已知集合A＝{x|y＝ln(1－2x)}，B＝{x|ex>1}，则()A．A∪B＝{x|x>0} B．A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<x<\f(1,2)))C．A∩RB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,2))) D．(RA)∪B＝RB[∵A＝{x|y＝ln(1－2x)}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,2)))，B＝{x|ex>1}＝{x|x>0}，∴A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<x<\f(1,2)))，故选B.]2．复数解决复数问题应留意3点(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，复数的实部为a，虚部为b.如T2.(2)与复数的模、共轭复数、复数的几何意义等有关的问题，常先运算再求解．如T3，T4.(3)留意虚数单位i的in(n∈N)周期为4，如T1.1．若复数z满意z(1－i)＝1＋i，i为虚数单位，则z2019＝()A．－2i B．iC．－i D．2iC[由题意可得，z＝eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝eq\f(2i,2)＝i.所以z2019＝i2019＝－i，故选C.]2．复数z＝a2－1＋(a＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中a∈R，则eq\f(a－i,2＋ai)的实部为()A．－eq\f(1,5) B．－eq\f(3,5)C．eq\f(1,5) D．eq\f(3,5)C[依据z＝a2－1＋(a＋1)i为纯虚数，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a＋1≠0，))解得a＝1，则eq\f(a－i,2＋ai)＝eq\f(1－i,2＋i)＝eq\f(1－i2－i,5)＝eq\f(2－3i＋i2,5)＝eq\f(1,5)－eq\f(3,5)i，所以其实部是eq\f(1,5).]3．[一题多解](2024·全国卷Ⅰ)设复数z满意|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1C[法一：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.法二：∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.]4．(2024·长沙一模)在复平面内表示复数eq\f(m＋i,m－i)的点位于第一象限，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，0)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)D[因为复数eq\f(m＋i,m－i)＝eq\f(m＋i2,m－im＋i)＝eq\f(m2－1,m2＋1)＋eq\f(2m,m2＋1)i对应的点位于第一象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2－1,m2＋1)＞0，,\f(2m,m2＋1)＞0，))解得m>1，故选D.]3．平面对量解决平面对量问题应留意3点(1)平面对量的线性运算，要利用三角形法则与平行四边形法则及相关定理求解，如T1，T3.(2)平面对量的数量积、夹角、模的运算，常利用数量积及其性质求解，如T2.(3)与数量积有关的最值问题，常通过坐标法转化为代数运算求解，如T4.1．(2024·衡水中学模拟)在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(2，－3)，则点D的坐标为()A．(6,1) B．(－6，－1)C．(0，－3) D．(0,3)A[∵A(1,2)，B(－2,0)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－3，－2)，∴在平行四边形ABCD中，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝(5，－1)，设D点坐标为D(x，y)，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝(x－1，y－2)＝(5，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝5，,y－2＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝1.))故D(6,1)，故选A.]2．(2024·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满意|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)B[设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝eq\f(1,2)，∵α∈[0，π]，∴α＝eq\f(π,3).故选B.]3．(2024·汉中市重点中学3月联考)已知向量a，b不共线，m＝2a－3b，n＝3a＋kb，假如m∥n，则－eq\f(9,2)[因为m∥n，所以2a－3b＝λ(3a＋kb)，则3λ＝2，λk＝－3，所以k＝－eq\f(9,2).]4．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，A＝eq\f(π,3)，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则eq\o(PB,\s\up7(→))·eq\o(PC,\s\up7(→))的最小值为________．5－2eq\r(7)[如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．则A(0,0)，B(4,0)，C(1，eq\r(3))，设P(x，y)，则eq\o(PB,\s\up7(→))＝(4－x，－y)，eq\o(PC,\s\up7(→))＝(1－x，eq\r(3)－y)，∴eq\o(PB,\s\up7(→))·eq\o(PC,\s\up7(→))＝(4－x)(1－x)－y(eq\r(3)－y)＝x2－5x＋y2－eq\r(3)y＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)－3，其中eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)表示圆A上的点P与点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))间距离|PM|的平方，由几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝eq\r