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PAGEPAGE1主题1集合、复数、平面对量1.集合解决集合问题应留意4点(1)在化简集合时易忽视元素的特定范围(如集合中x∈N,x∈Z等)致误,如T1.(2)对于用描述法表示的集合,肯定要抓住集合的代表元素.如{x|y=lgx}表示函数的定义域;{y|y=lgx}表示函数的值域;{(x,y)|y=lgx}表示函数图象上的点集,如T4.(3)空集是任何集合的子集.由条件A⊆B,A∩B=A,A∪B=B求解集合A时,易忽视A=的状况.如T3.(4)进行集合运算时,留意数形结合在集合示例中的应用,列举法常借助Venn图解题,描述法常借助数轴来运算,求解时要特殊留意端点值,如T2.1.(2024·吉林市一般中学三调)已知集合A={-1,1},B={x|x2+x-2<0,x∈Z},则A∪B=()A.{-1} B.{-1,1}C.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2}C[由题意知B={x|-2<x<1,x∈Z}={-1,0},所以A∪B={-1,0,1},故选C.]2.(2024·全国卷Ⅰ)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=()A.{x|-4<x<3} B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2} D.{x|2<x<3}C[∵N={x|-2<x<3},M={x|-4<x<2},∴M∩N={x|-2<x<2},故选C.]3.(2024·攀枝花市其次次统考)集合A={-1,2},B={x|ax-2=0},若A∪B=A,则由实数a组成的集合为()A.{-2} B.{1}C.{-2,1} D.{-2,1,0}D[因为A∪B=A,所以B⊆A,又因为集合A={-1,2},∴B=或B={-1}或B={2},由B={x|ax-2=0}可知a=0,1,-2.故选D.]4.已知集合A={x|y=ln(1-2x)},B={x|ex>1},则()A.A∪B={x|x>0} B.A∩B=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<x<\f(1,2)))C.A∩RB=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,2))) D.(RA)∪B=RB[∵A={x|y=ln(1-2x)}=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,2))),B={x|ex>1}={x|x>0},∴A∩B=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<x<\f(1,2))),故选B.]2.复数解决复数问题应留意3点(1)复数z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数⇔a=0且b≠0,复数的实部为a,虚部为b.如T2.(2)与复数的模、共轭复数、复数的几何意义等有关的问题,常先运算再求解.如T3,T4.(3)留意虚数单位i的in(n∈N)周期为4,如T1.1.若复数z满意z(1-i)=1+i,i为虚数单位,则z2019=()A.-2i B.iC.-i D.2iC[由题意可得,z=eq\f(1+i,1-i)=eq\f(1+i2,1-i1+i)=eq\f(2i,2)=i.所以z2019=i2019=-i,故选C.]2.复数z=a2-1+(a+1)i为纯虚数(i为虚数单位),其中a∈R,则eq\f(a-i,2+ai)的实部为()A.-eq\f(1,5) B.-eq\f(3,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(3,5)C[依据z=a2-1+(a+1)i为纯虚数,可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2-1=0,,a+1≠0,))解得a=1,则eq\f(a-i,2+ai)=eq\f(1-i,2+i)=eq\f(1-i2-i,5)=eq\f(2-3i+i2,5)=eq\f(1,5)-eq\f(3,5)i,所以其实部是eq\f(1,5).]3.[一题多解](2024·全国卷Ⅰ)设复数z满意|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1C[法一:∵z在复平面内对应的点为(x,y),∴z=x+yi(x,y∈R).∵|z-i|=1,∴|x+(y-1)i|=1,∴x2+(y-1)2=1.故选C.法二:∵|z-i|=1表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到点(0,1)的距离为1,∴x2+(y-1)2=1.故选C.]4.(2024·长沙一模)在复平面内表示复数eq\f(m+i,m-i)的点位于第一象限,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-1) B.(-∞,0)C.(0,+∞) D.(1,+∞)D[因为复数eq\f(m+i,m-i)=eq\f(m+i2,m-im+i)=eq\f(m2-1,m2+1)+eq\f(2m,m2+1)i对应的点位于第一象限,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2-1,m2+1)>0,,\f(2m,m2+1)>0,))解得m>1,故选D.]3.平面对量解决平面对量问题应留意3点(1)平面对量的线性运算,要利用三角形法则与平行四边形法则及相关定理求解,如T1,T3.(2)平面对量的数量积、夹角、模的运算,常利用数量积及其性质求解,如T2.(3)与数量积有关的最值问题,常通过坐标法转化为代数运算求解,如T4.1.(2024·衡水中学模拟)在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(-2,0),eq\o(AC,\s\up7(→))=(2,-3),则点D的坐标为()A.(6,1) B.(-6,-1)C.(0,-3) D.(0,3)A[∵A(1,2),B(-2,0),∴eq\o(AB,\s\up7(→))=(-3,-2),∴在平行四边形ABCD中,eq\o(AD,\s\up7(→))=eq\o(AC,\s\up7(→))-eq\o(AB,\s\up7(→))=(5,-1),设D点坐标为D(x,y),则eq\o(AD,\s\up7(→))=(x-1,y-2)=(5,-1),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-1=5,,y-2=-1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=6,,y=1.))故D(6,1),故选A.]2.(2024·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满意|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)B[设a与b的夹角为α,∵(a-b)⊥b,∴(a-b)·b=0,∴a·b=b2,∴|a|·|b|cosα=|b|2,又|a|=2|b|,∴cosα=eq\f(1,2),∵α∈[0,π],∴α=eq\f(π,3).故选B.]3.(2024·汉中市重点中学3月联考)已知向量a,b不共线,m=2a-3b,n=3a+kb,假如m∥n,则-eq\f(9,2)[因为m∥n,所以2a-3b=λ(3a+kb),则3λ=2,λk=-3,所以k=-eq\f(9,2).]4.在△ABC中,AB=4,AC=2,A=eq\f(π,3),动点P在以点A为圆心,半径为1的圆上,则eq\o(PB,\s\up7(→))·eq\o(PC,\s\up7(→))的最小值为________.5-2eq\r(7)[如图,以点A为原点,AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系.则A(0,0),B(4,0),C(1,eq\r(3)),设P(x,y),则eq\o(PB,\s\up7(→))=(4-x,-y),eq\o(PC,\s\up7(→))=(1-x,eq\r(3)-y),∴eq\o(PB,\s\up7(→))·eq\o(PC,\s\up7(→))=(4-x)(1-x)-y(eq\r(3)-y)=x2-5x+y2-eq\r(3)y+4=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(5,2)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)-3,其中eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(5,2)))eq\s\up12(2)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)表示圆A上的点P与点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2),\f(\r(3),2)))间距离|PM|的平方,由几何图形可得|PM|min=|AM|-1=eq\r
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