2025年高中物理新教材同步 必修第三册 第10章　3　电势差与电场强度的关系

3电势差与电场强度的关系[学习目标]1.知道电势差与电场强度的关系式，了解其适用条件(重点)。2.会用关系式U＝Ed处理匀强电场问题，利用公式E＝eq\f(U,d)定性分析非匀强电场(重点)。一、匀强电场中电势差与电场强度的关系如图甲所示，在电场强度为E的匀强电场中，A、B是相距为d且沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。甲(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；(2)通过A、B间的电势差计算静电力所做的功；(3)比较两次计算功的大小并总结电势差与电场强度的关系；(4)如果A、B两点不在同一条电场线上(如图乙)，上述结论还成立吗？请尝试进行论证。乙答案(1)WAB＝Fd＝qEd；(2)WAB＝qUAB；(3)两次计算功的大小相等，UAB＝Ed；(4)WAB＝Flcosθ＝Fd＝qEd，WAB＝qUAB，UAB＝Ed。故仍成立。1．匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积，即UAB＝Ed，如果匀强电场中两点连线不沿电场方向，d的取值应为在电场方向的投影距离。2．公式：E＝eq\f(UAB,d)。(1)在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场强度方向的距离之比。(2)电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。(3)电场强度单位的换算：1_V/m＝1N/C。如图，图中虚线为等势线，B、C、D三点位于同一等势线上。(1)比较A与B、A与C、A与D间电势差的大小；(2)电势沿AB、AC、AD三条线，哪一个方向降落最快？由此说明什么？答案(1)UAB＝UAC＝UAD(2)AB方向，说明电场强度方向指向电势降落最快的方向。(1)由公式E＝eq\f(UAB,d)得电场强度跟两点的电势差成正比，跟两点的距离成反比。(×)(2)匀强电场中沿电场线方向，任何相同距离上电势降落必定相等。(√)(3)匀强电场中电势降低的方向必是电场强度方向。(×)例1(2023·云南省文山市第一中学高二期末)如图所示，A、B、C是匀强电场中一直角三角形的三个顶点，其中∠C＝30°，AB方向与电场方向平行，AC边长0.8m。已知A、C两点的电势φA＝9V，φC＝3V，下列说法正确的是()A．匀强电场的电场强度大小为7.5V/mB．匀强电场的电场强度大小为15V/mC．匀强电场的电场强度大小为5eq\r(3)V/mD．B点比C点电势低答案B解析由题图可知，BC与电场线方向垂直，为等势线，则φB＝φC＝3V，由几何知识可知dAB＝dACsin30°＝0.8×eq\f(1,2)m＝0.4m，则匀强电场的电场强度大小为E＝eq\f(UAB,dAB)＝eq\f(9－3,0.4)V/m＝15V/m，故A、C、D错误，B正确。针对训练1(2024·眉山市高二期中)如图所示，匀强电场电场强度大小E＝100V/m，A、B两点相距10cm,A、B连线与电场线夹角为60°，则UBA为()A．5V B．5eq\r(3)VC．－5V D．－5eq\r(3)V答案C解析根据沿电场线方向电势降低可知B点电势低于A点电势，则UBA为负值，根据匀强电场中电势差与电场强度的关系可得UBA＝－EdABcos60°＝－5V，故选C。例2(2024·天津市五校高二期中)如图所示，匀强电场中A、B、C三点构成一个直角三角形，其中∠A＝30°，边长AC＝16cm。将电荷量q＝－6×10－6C的点电荷由A点移到B点，静电力做功2.4×10－5J，再由B点移到C点，该点电荷克服静电力做功2.4×10－5J，取B点的电势为零，求：(1)A、C两点的电势；(2)匀强电场的电场强度。答案(1)－4V－4V(2)eq\f(100\r(3),3)V/m，方向垂直AC斜向左上解析(1)将点电荷由A点移到B点，由匀强电场的电势差与静电力做功的关系式可得UAB＝eq\f(WAB,q)＝eq\f(2.4×10－5,－6×10－6)V＝－4V由电势差定义可得UAB＝φA－φB解得φA＝－4V将点电荷由B点移到C点，由匀强电场的电势差与静电力做功的关系式可得UBC＝eq\f(WBC,q)＝eq\f(－2.4×10－5,－6×10－6)V＝4V由电势差定义可得UBC＝φB－φC解得φC＝－4V(2)因φA＝φC，因此直线AC是匀强电场的一条等势线，由电场线与等势线垂直且由高电势指向低电势，如图所示，LBC＝LAC·sin30°＝8cm可得电场强度大小E＝eq\f(UBC,d)＝eq\f(UBC,LBCsin60°)＝eq\f(100\r(3),3)V/m方向垂直AC斜向左上。电势差的三种求解方法1．应用定义式UAB＝φA－φB来求解。2．应用关系式UAB＝eq\f(WAB,q)来求解。3．应用关系式UAB＝Ed(匀强电场)来求解。UAB＝Ed阐述的是一个矢量的大小与另一个标量间的关系，所以不带符号计算，结果的正负根据题意另行判断。二、利用公式E＝eq\f(U,d)定性分析非匀强电场运用E＝eq\f(U,d)怎样解释电场线密的地方等差等势线也密？答案由E＝eq\f(U,d)知，U一定时，E越大，d越小，故电场线密的地方等差等势线也密。UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。例3(2024·陕西省西安市东方中学月考)如图所示，一条100kV超高压输电线断裂并垂落地面，地面电场可等效为场源电荷所形成的电场。图中圆1、2、3、4的圆心均为垂落点O，圆半径之比r1∶r2∶r3∶r4＝1∶2∶3∶4，关于相邻两圆之间电势差的绝对值，以下关系正确的是()A．U12＝U23＝U34 B．U12<U23<U34C．U12>U23>U34 D．U23>U12>U34答案C解析地面电场可等效为场源电荷为正电荷所形成的电场，根据点电荷周围电场的特点可知，越靠近场源电荷，电场强度越大，由于相邻两圆间的距离相等，由公式U＝eq\x\to(E)d可知U12>U23>U34，故选C。针对训练2(多选)如图所示，一个电场的电场线分布关于y轴对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN，P点在y轴的右侧，MP⊥ON，则()A．M点的电势比P点的电势高B．将负电荷由O点移动到P点，静电力做正功C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差D．在O点由静止释放一个不计重力的带正电的粒子，该粒子将沿y轴做直线运动答案AD解析分别过M、P点作等势线，可得过P点的等势线在过M点的等势线上方，因沿着电场线方向电势降低，则有φM>φP，A对；将负电荷由O点移到P点，由于UOP>0，则W＝qUOP<0，静电力做负功，B错；由U＝Ed定性分析可知，MN间的平均电场强度小于OM间的平均电场强度，故M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差，C错；根据题意可知，y轴上的电场强度方向沿y轴向上，所以在O点由静止释放一不计重力的带正电的粒子，其所受静电力沿y轴正方向，则该粒子将沿y轴做直线运动，D对。课时对点练[分值：60分]1～4题、6、7题每题4分，5题12分，共36分考点一公式UAB＝Ed或E＝eq\f(UAB,d)的理解及简单应用1．对公式E＝eq\f(UAB,d)和UAB＝Ed的理解，下列说法正确的是()A．公式UAB＝Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差B．由UAB＝Ed知，A点和B点间距离越大，则这两点间的电势差越大C．由E＝eq\f(UAB,d)知，匀强电场中A、B两点沿电场线的距离越大，则电场强度越小D．公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离答案D解析公式UAB＝Ed只适用于计算匀强电场中A、B两点间的电势差，故A错误；由UAB＝Ed知，当E一定时，A点和B点间沿电场线方向距离越大，则这两点间的电势差越大，故B错误；匀强电场中，电场强度处处相同，与距离无关，故C错误；公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离，即沿电场线方向的距离，故D正确。2．(2023·广东省台山市第一中学高二期中)正常情况下空气是不导电的，但如果空气中的电场很强，空气也可以被击穿，空气被击穿时会看到电火花或闪电。若观察到某次闪电的火花长约1000m，且已知空气的击穿电场强度大小为3×106V/m，那么发生此次闪电的电势差约为()A．3×109V B．3×108VC．3×105V D．3×104V答案A解析发生此次闪电的电势差约为U＝Ed＝3×106×1000V＝3×109V，故选A。3.(2023·江苏省立人高中高二学业考试)如图为某匀强电场的等势面分布图(等势面竖直分布)，已知每两个相邻等势面相距2cm，则该匀强电场的电场强度为()A．1V/m，水平向左B．1V/m，竖直向上C．100V/m，水平向左D．100V/m，竖直向上答案C解析电场线与等势面(线)垂直，且由电势高的一端指向电势低的一端，可知电场线水平向左，两个相邻等势面的电势差为U＝2V，则电场强度大小为E＝eq\f(U,d)＝eq\f(2,2×10－2)V/m＝100V/m，故选C。4.如图所示，匀强电场方向平行于xOy平面，在xOy平面内有一个半径为R＝5cm的圆，圆上有一动点P，半径OP与x轴正方向的夹角为θ，P点沿圆周移动时，O、P两点的电势差满足UOP＝25cosθ(V)，则该匀强电场的电场强度为()A．500V/m，沿x轴正方向B．500V/m，沿y轴负方向C．500eq\r(2)V/m，沿y轴方向D．250eq\r(2)V/m，沿x轴负方向答案A解析当cosθ>0时，则UOP>0、0<θ<90°，可知电场强度方向沿x轴正方向，根据U＝ERcosθ，可知ER＝25V，则E＝eq\f(25,0.05)V/m＝500V/m，A正确，B、C、D错误。5．(12分)(2023·广东省博罗县教师发展中心高二期中)如图所示，两平行金属板A、B间为一匀强电场，A、B相距6cm，C、D为电场中的两点(其中C点在金属板上)，且LCD＝4cm，CD连线和电场强度方向成60°角。已知电子从D点移到C点静电力做功为3.2×10－17J，电子电荷量e＝1.6×10－19C，求：(1)(4分)匀强电场的电场强度大小；(2)(3分)A、B两板间的电势差；(3)(5分)若A板接地，D点电势为多少。答案(1)1×104V/m(2)600V(3)－200V解析(1)由题可知，D→C静电力做正功，根据静电力做功有W＝eELCDcos60°＝3.2×10－17J解得E＝eq\f(W,eLCDcos60°)＝eq\f(3.2×10－17,1.6×10－19×0.04×0.5)V/m＝1×104V/m(2)因从D点移到C点静电力做正功，则知电子在电场中受到的静电力方向向上，电子带负电，则电场强度方向向下，则A、B间电势差为UAB＝EdAB＝600V(3)C、D间电势差为U＝ELCDcos60°＝200V，A板接地，则φC＝0，由U＝φC－φD，可得φD＝－200V。考点二用U＝Ed定性分析非匀强电场6．(2024·黑龙江肇东市第四中学高二月考)下列选项描述的电场线与等势面之间的关系，实线表示电场线，虚线表示等势面，其中正确的是()答案C解析等势面和电场线处处垂直，根据U＝Ed定性分析可知电场线密集的地方等势面也密集，故选C。7．(2024·榆林市高二期中)某一电场中的电场线和等势面分布如图所示，在电场中有A、B、C三点，A、B间距离等于B、C间距离。下列说法中正确的是()A．A点电场强度比B点电场强度小B．正电荷在A点的电势能比在B点的电势能大C．B、A两点间的电势差大于C、B两点间的电势差D．负电荷由B向C移动，静电力做负功答案C解析根据电场线越密电场强度越大，由题图可知，A点电场强度比B点电场强度大，故A错误；根据沿电场线方向电势降低，A点电势低于B点，由公式Ep＝φq可知，正电荷在A点电势能小于B点，故B错误；根据U＝Ed定性分析可知，由于AB间电场强度大于BC间电场强度，则B、A间的电势差大于C、B间的电势差，故C正确；负电荷由B向C移动，静电力做正功，故D错误。8、9题每题7分，共14分8.(2023·山西省晋城市第二中学校高二月考)如图所示，匀强电场中有一圆心角为120°的扇形OAB，电场方向平行于扇形平面，O点为扇形的圆心，C点为AB弧的中点，半径OA＝OB＝0.1m。将一点电荷从A点以某一初速度射出，此后能以相同大小的速度经过B点，若再将一个电荷量为2×10－7C的负点电荷由O点移到C点，克服静电力做功1×10－6J。不计点电荷的重力，则()A．电场强度的大小为50V/m，方向由A指向BB．电场强度的大小为50eq\r(3)V/m，方向由A指向BC．电场强度的大小为50V/m，方向由O指向CD．电场强度的大小为50eq\r(3)V/m，方向由O指向C答案C解析点电荷从A点以某一初速度射出，此后能以相同大小的速度经过B点，根据动能定理有UABq＝ΔEk＝0，可得A、B两点的电势差等于零，即A、B两点的电势相同，如图连接AB，AB为一等势线，过O点作AB的垂线为电场强度方向所在的直线，因为将一个电荷量为2×10－7C的负点电荷由O点移到C点，克服静电力做功1×10－6J，所以电场强度方向由O指向C，OC间电势差为UOC＝eq\f(W,q)＝eq\f(－1×10－6,－2×10－7)V＝5V，所以E＝eq\f(UOC,OC)＝eq\f(5,0.1)V/m＝50V/m，故选C。9.(2023·河南省商丘市实验中学高二期中)如图所示，真空中有一匀强电场(图中未画出)，电场方向与圆周在同一平面内，△ABC是圆的内接直角三角形，∠BAC＝60°，O为圆心，半径R＝2cm。位于A处的粒子源向平面内各个方向发射初动能均为2eV、电荷量为＋e的粒子，这些粒子会经过圆周上不同的点，其中到达B点的粒子动能为6eV，到达C点的粒子动能也为6eV。忽略粒子受到的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是()A．UCA＝4VB．电场方向由B指向AC．匀强电场的电场强度大小为200V/mD．经过圆周上的所有粒子，动能最大为6eV答案C解析根据题意可知到达B点的粒子动能与到达C点的粒子动能相等，所以B、C两点电势相等，BC连线为匀强电场的等势线，根据电场线与等势线相互垂直，且电荷量为＋e的粒