2024年中考数学真题专题分类汇编专题35 综合与实践探究类问题（原卷版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）

专题35综合与实践探究类问题

1.（2024黑龙江绥化）综合与实践

问题情境

在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．

纸片ABC和DEF满足ACBEDF90，ACBCDFDE2cm．

下面是创新小组的探究过程．

操作发现

（1）如图1，取AB的中点O，将两张纸片放置在同一平面内，使点O与点F重合．当旋转DEF

纸片交AC边于点H、交BC边于点G时，设AHx1x2，BGy，请你探究出y与x的

函数关系式，并写出解答过程．

问题解决

（2）如图2，在（1）的条件下连接GH，发现CGH的周长是一个定值．请你写出这个定值，并

说明理由．

拓展延伸

（3）如图3，当点F在AB边上运动（不包括端点A、B），且始终保持AFE60．请你直接

写出DEF纸片的斜边EF与ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留根号）．

2.（2024福建省）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制

作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AEFB），恰好得到纸盒的展开

图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．

图1图2

图3

AD

（1）直接写出的值；

AB

（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应

选择的纸盒展开图图样是（）

图4

A．B．

C．D．

（3）

卡纸型号型号Ⅰ型号Ⅱ型号Ⅲ

规格（单位：cm）304020808080

单价（单位：元）3520

现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的

正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型

号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上

的分布情况），给出所用卡纸的总费用．

（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，

不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将

综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上

的卡纸仅供作草稿用）

3.（2024甘肃威武）【模型建立】

（1）如图1，已知ABE和△BCD，ABBC，ABBC，CDBD，AEBD．用等式写

出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．

【模型应用】

（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AEEF，AEEF．用

等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．

【模型迁移】

（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AEEF，

AEEF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．

4.（2024广西）综合与实践

在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．

【洗衣过程】

步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；

步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓

度达到洗衣目标．

假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．

0.5d前

浓度关系式：d后．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单

0.5w

次漂洗所加清水量（单位：kg）

【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%

【动手操作】请按要求完成下列任务：

（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？

（2）如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？

（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．

5.（2024贵州省）综合与探究：如图，AOB90，点P在AOB的平分线上，PAOA于点

A．

（1）【操作判断】

如图①，过点P作PCOB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中APC的度数为______度；

（2）【问题探究】

如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PNPM交射线OB于点N，求证：

OMON2PA；

（3）【拓展延伸】

点M在射线AO上，连接PM，过点P作PNPM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交

OP

于点F，若ON3OM，求的值．

OF

6.（2024河北省）情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．

该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．

（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）

操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．

如图3，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根

据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：

（1）直接写出线段EF的长；

（2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长．

探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．

请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），

画出裁剪线（线段PQ）的位置，并直接写出BP的长．

7.（2024河南省）综合与实践

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”

进行研究

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．

（1）操作判断

用分别含有30和45角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的

有________（填序号）．

（2）性质探究

根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．

如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，ABAD，AC是它的一条对角线．

①写出图中相等的角，并说明理由；

②若BCm，DCn，BCD2，求AC的长（用含m，n，的式子表示）．

（3）拓展应用

如图3，在Rt△ABC中，ÐB=90°，AB3，BC4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四

边形ABMN是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长．

8.（2024黑龙江齐齐哈尔）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀

算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模

型”．如图2，在ABC中，A90，将线段BC绕点B顺时针旋转90得到线段BD，作DEAB

交AB的延长线于点E．

（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；

（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB2，AC6，求BDF

的面积；

BN

（3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则______；

BC

2

（4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使tanBCP，请直接写出线段AP的

3

长度．

9.（2024黑龙江绥化）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2bxc与直线相交于A，B两点，其中点A3,4，

B0,1．

（1）求该抛物线的函数解析式．

（2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接AC，在抛物线上是否存在点P使

1

tanBCPtanACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提

6

示：依题意补全图形，并解答）

2

（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1a1xb1xc1a10，平移后的抛物线与原抛物

线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B、D、E、

F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．

10.（2024吉林省）综合与实践

某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构

特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的

部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．

【背景调查】

图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫

眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确

定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．

【收集数据】

小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的宽度为

ymm，记录如下：

以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm16.519.823.126.429.7

凳面的宽度y/mm115.5132148.5165181.5

【分析数据】

如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．

【建立模型】

请你帮助小组解决下列问题：

（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所

对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．

（2）当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？

11.（2024江苏盐城）请根据以下素材，完成探究任务．

制定加工方案

◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．

背景◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1

1件，或“正”服装1件．

◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.

生产

每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：

背景

①“风”服装：24元/件；

背景

②“正”服装：48元/件；

2

③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么

平均每件获利将减少2元．

现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：

服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）

信息整理风y224

雅x1

正148

任务

探寻变量关系求x、y之间的数量关系．

1

探究任务

建立数学模型设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．

任务2

任务

拟定加工方案制定使每天总利润最大的加工方案．

3

12.（2024江苏盐城）发现问题

小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．

提出问题

销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？

分析问题

某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以

看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有

k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，nk3，d0），如图

1所示．

小明设计了如下三种铲籽方案．

方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路

径总长为________；

方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；

方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．

解决问题

在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较