专题强化03：复数 解析版

专题强化03：复数【题型归纳】题型一：复数的基础概念题型二：复数的分类题型三：复数的几何意义题型四：复数的模题型五;复数代数形式的四则运算题型六：共轭复数题型七：复数的立方问题题型八：复数的最值问题题型九：复数的综合问题【题型探究】题型一：复数的基础概念1．（23-24高一下·山东临沂·期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（

）（1）实数的共轭复数是它本身（2）复数的实部是实数，虚部是虚数（3）复数与复平面内的点一一对应（4）复数是最小的纯虚数.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据复数的共轭复数的定义判断命题（1），根据实部和虚部的定义判断命题（2），根据复数的几何意义判断（3），根据复数的定义判断（4）.【详解】因为复数的共轭复数，若为实数，则，此时，命题（1）正确，复数的实部为，虚部为，复数的虚部是实数，（2）错误；因为复数在复平面上的对应点为，复平面上的点对应复数，（3）正确；复数不能比较大小，命题（4）错误，故选：C.2．（23-24高一下·江苏苏州·期末）复数，则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的除法运算和乘方运算计算得解.【详解】，所以复数.∴，虚部为.故选：C.3．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数的实部与虚部相等，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由实部与虚部概念可得，代入计算可求出结果.【详解】易知的实部为，虚部为，由题意可知，则.故选：B题型二：复数的分类4．（23-24高一下·上海·期末）“”是“是纯虚数”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要【答案】D【分析】依题意得，即可求解．【详解】解：是纯虚数，则，得，则“”是“是纯虚数”的充要条件，故选：D5．（23-24高一下·海南海口·期中）已知复数，，，若为纯虚数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的除法及纯虚数的意义求出，再求出复数的模.【详解】依题意，，由为纯虚数，得，解得，即，所以.故选：C6．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知复数，若为纯虚数，则实数的值为（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】根据复数的乘、除法运算可得，利用共轭复数的概念与复数的乘法运算，结合纯虚数的概念建立方程组，解之即可求解.【详解】因为复数，所以，因为为纯虚数，所以，解得．故选：D．题型三：复数的几何意义7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求解其共轭复数，最后求出对应点的坐标即可得解.【详解】由题意，所以，则复数在复平面内对应的点在第四象限.故选：D.8．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.9．（23-24高一下·河北·期中）在复平面内，设i是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由，得，然后根据共轭复数的定义，再确定在复平面内对应的点所在的象限．【详解】由题意知，，其共轭复数为，所以在复平面内对应的点为，位于第三象限．故选：C．题型四：复数的模10．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知复数（i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由复数的四则运算，模的计算公式即可求解.【详解】因为，所以.故选：D.11．（2024·浙江·一模）已知复数（其中是虚数单位），则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】利用共轭复数的定义、复数的四则运算化简复数，利用复数的模长公式求解即可.【详解】因为，则，所以.故选：C.12．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知复数在复平面内所对应的点分别为，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根据复数的除法和复数模的概念即可得到答案.【详解】由题意得，，则.故选：C.题型五;复数代数形式的四则运算13．（23-24高一下·天津河东·期中）计算：(1)； (2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）利用复数的除法运算法则求解即可；（2）利用复数的四则运算法则化简求解即可.【详解】（1）原式.（2）原式.14．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算(1) (2) (3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据复数的加减法法则求解；（2）根据复数的乘除法法则求解；（3）根据复数的乘法法则求解.【详解】（1）；（2）（3）.15．（23-24高一下·广东佛山·期中）计算：(1) (2) (3)【答案】(1) (2) (3)【分析】（1）根据复数的加、减法运算求解；（2）根据复数的乘法运算求解；（3）根据复数的除法运算求解.【详解】（1）由题意可得：.（2）由题意可得：.（3）由题意可得：.题型六：共轭复数16．（23-24高一下·福建福州·期中）若复数满足，则的共轭复数为.【答案】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可求出其共轭复数.【详解】因为，所以，所以的共轭复数为.故答案为：17．（23-24高一下·陕西安康·期中）若复数，为的共扼复数，则的虚部为.【答案】【分析】根据共轭复数的概念可得，即可由复数的除法运算求解.【详解】由可得，所以，故，故虚部为，故答案为：18．（23-24高一下·福建福州·期末）已知，则复数.【答案】/【分析】利用复数四则运算及共轭复数的定义可得答案.【详解】因为，所以，所以故答案为：题型七：复数的立方问题19．（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】设复数的平方根为，然后平方后根据复数相等即可得出结论.【详解】设复数的平方根为，则，化简，所以，，解得，或，，即复数的平方根为或，故选：C20．（22-23高二下·湖南·期中）若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据实系数方程的虚根成共轭复数求解即可.【详解】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为.故选：B．21．（23-24高一下·上海·期末）计算：．【答案】1000【分析】利用复数的运算性质化简即可求解．【详解】原式．故答案为：1000．题型八：复数的最值问题22．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（

）A． B．4 C． D．6【答案】B【分析】根据复数模长的几何意义即可求得结果.【详解】设，则由，所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示：而，即求复平面内点到距离的最小值，由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值，即故选：B23．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知为虚数单位，若复数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的模的几何意义作出图形，将求复数的模的最值转化为求两点之间距离的最值问题解决即可.【详解】

如图，由复数的模的几何意义可知，满足的点的轨迹是以点为圆心，半径分别为1和2的两个圆组成的圆环内的区域（含内外圆弧）.而可理解为圆环区域内的点（含内外圆弧）到点的距离.由点与圆的位置关系可知，当且仅当点在线段的延长线与大圆的交点处时，距离取得最大，为，即的最大值为.故选：A.24．（23-24高一下·河南·阶段练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.设复数，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用复数的模的几何意义可得表示动点到定点的距离为定长，的几何意义表示动点到定点的距离，据此可求解.【详解】由，可知其几何意义表示动点到定点的距离为定长，则动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.同理，的几何意义表示动点到定点的距离.因为，所以.故选：D.题型九：复数的综合问题25．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（，i是虚数单位）(1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围；(2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先利用复数减法运算化简复数，再结合复数对应的点所在象限列不等式即可求解；（2）根据韦达定理求得，然后利用复数运算法则化简得，利用该复数为实数列方程得，从而代入化简得，最后利用复数模的运算求解即可.【详解】（1）因为复数，，所以，其对应的点为，由题意，解得，即实数a的取值范围为；（2）由题意知的两根为，，所以，所以，所以，因为为实数，所以，即，所以，所以.26．（23-24高一下·山东烟台·期中）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集．(1)若复数，求；(2)在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用复数的四则运算法则及的周期性，再利用复数的模公式即可求解；（2）根据已知条件及复数减法的几何意义即可求解.【详解】（1）由题可知，，，所以，所以．（2）因为，所以．27．（23-24高一下·四川内江·期末）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.材料：形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.请根据所学知识，回答下列问题：(1)试将写成三角形式；(2)设复数，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值；(3)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点（纵坐标大于0），点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值.【答案】(1)；(2)；(3)最大值为3.【分析】（1）根据复数的三角形式的定义直接求解即可；（2）解法一：由题意得，解方程组即可，解法二：根据所给材料中的复数的乘法几何意义求解即可；（3）解法一：设，所表示的复数为所表示的复数为，根据复数的三角形式求出的坐标，从而可表示出，化简变形后可求出其最大值；解法二：连接，设，然后利用正余弦定理求解即可.【详解】（1）由于，故，所以，所以，因为，所以所以；（2）法一：由题意知，得，解得或，因为逆时针旋转后与重合，所以；法二：由材料一复数的乘法几何意义可知，复数乘以一个模长为1，辐角为的复数，即为复数.故，故，所以.（3）解法一：设，所表示的复数为所表示的复数为，则，，故，得，所以当时，取得最大值3，故线段长度的最大值为3.解法二：连接，设，由，在中可得，在中可得，于是，在中可得，于是，在中可得，化简得.故的最大值为3..【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是对所给材料的正确理解，然后利用材料中的知识解决问题.【专题强化】一、单选题28．（24-25高一上·湖南娄底·期中）复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数除法运算和共轭复数概念即可得到答案.【详解】，则其共轭复数为，则点即为点.故选：B.29．（23-24高一下·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】由共轭复数的定义求出，再根据复数的几何意义求解.【详解】由题，，对应的点在第一象限，则，可得，又为整数，所以．故选：B．30．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】计算出，利用复数除法法则计算出.【详解】，故，.故选：B31．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（

）A．是纯虚数B．若，则是方程的一个复数根C．若，则D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为【答案】C【分析】根据虚数运算法则和复数的分类，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B错误；根据复数模的计算公式，可判定C正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定D正确.【详解】对于A中，由，不是纯虚数，所以A不正确；对于B中，由，可得，因为，所以不是方程的一个复根，所以B不正确；对于C中，设复数，可得，所以，又由，所以，所以C正确；对于D中，设，由，可得，所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环，其中小圆的半径为，大圆的半径为，其面积为，所以D错误.故选：C.32．（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【分析】先化简复数，再根据复数为纯虚数求参，最后求出的对应点即可.【详解】因为，若z为纯虚数，则，即，则在复平面内对应的点为,则复数在复平面内对应的点在第一象限.故选：A.33．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．的虚部为B．复数在复平面内对应的点位于第二象限C．D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为【答案】D【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D.【详解】对于A，，其虚部为1，A错误；对于B，，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误；对于C，，故C错误；对于D，，，，，因此的面积为：，面积的最大值为，D正确.故选：D二、多选题34．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（

）A．复数的虚部等于 B．C． D．若是实数，是纯虚数，则【答案】CD【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解.【详解】由题意，复数，对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误；对于B项：，故B错误；对于C项：，故C正确；对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确．故选：CD.35．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（

）A．若，则 B．若，则C． D．若，则【答案】BCD【分析】利用复数的意义判断AD；由模的计算判断BC.【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误；设，对于B，由，得，则，因此，，B正确；对于C，，，C正确；对于D，由，得都是实数，因此，D正确.故选：BCD36．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）设，为复数，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．若，则 D．【答案】ABD【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.【详解】设，，对于选项A，因为，所以，且，所以，故A正确；对于选项B，因为，，，则，，所以，故B正确；对于选项C，若，例如，，满足，但，，即，故C错误；对于选项D，因为，所以，，所以，故D正确.故选：ABD.37．（23-24高一下·黑龙江·期中）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（

）A．复数为纯虚数 B．复数对应的点位于第二象限C．复数的共轭复数为 D．复数的模长为1【答案】ABD【分析】根据给定的公式，结合复数的相关概念逐项分析判断即得.【详解】A选项：是纯虚数，A选项正确；B选项：而，即，则复数对应的点在第二象限，B选项正确；C选项：，则复数的共轭复数为，C选项错误；D选项：D选项正确；故选：ABD.38．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知i是虚数单位，下列说法正确的是（

）A．若复数，则B．若复数，则C．若复数为纯虚数，则D．【答案】BCD【分析】利用复数概念可判断A错误，根据模长公式可知B正确，由纯虚数概念解方程可得C正确，由复数乘方计算可得D正确.【详解】对于A，根据虚数概念可得复数无法比较大小，即A错误；对于B，由，可得，即B正确；对于C，若复数为纯虚数，可知，解得，可知C正确；对于D，易知，即D正确.故选：BCD三、填空题39．（23-24高一下·江苏·期末）满足且的复数.【答案】1【分析】设，由得，由可得计算并检验求得，即得【详解】设，由可得，由可得，即，则解得或，显然不满足，应舍去，故故答案为：1.40．（23-24高一下·新疆·期末）已知，方程的一个根为，则.【答案】【分析】根据复数的乘法运算和复数相等的概念求解.【详解】因为的一个根为，.故答案为：41．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知是虚数单位，则.【答案】【分析】利用复数的四则运算化简原复数，再求模即可.【详解】由题意得，.故答案为：42．（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）已知复数z的模为2，则的最大值为．【答案】3【分析】利用复数模的几何意义，求出的最大值.【详解】复数z的模为2，表示复数在复平面内对应的点到原点的距离为2，则点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而是圆上的点到点的距离，所以.故答案为：343．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是.【答案】【分析】根据复数模的几何意义，即可求得的取值范围.【详解】解：表示在复平面上对应的点是单位圆上的点，的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离，最小距离为，最大距离为，的取值范围为.故答案为：.四、解答题44．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知复数，且为纯虚数.(1)求复数；(2)若复数，求复数的模.【答案】(1)(2)【分析】（1）运用纯虚数概念，结合乘法计算即可；（2）运用模长公式，结合除法和共轭复数知识求解.【详解】（1）由题意得，是纯虚数，，，（2）.45．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数(1)若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值；(2)若复数满足，求．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根据复数的乘法运算，结合复数相等的充要条件，即可列方程求解，（2）由复数的除法运算可得，即可由模长公式求解.【详解】（1），所以，（2）由可得故46．（23-24高一下·天津河北·期中）已知复数，其中.(1)若，求的值；(2)若是纯虚数，求的值；(3)若，求的值；(4)若对应的点在第一象限，求的取值范围.【答案】(1)或.(2)(3)(4)【分析】（1）根据复数的类型求参；（2）根据复数的类型求参；（3）根据共轭复数的定义得出复数再应用复数相等求参；（4）应用复数对应的点所在象限列不等式组求参数范围.【详解】（1）由，得，解得或.（2）由是纯虚数，得解得，所以.（3）由，可知，