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文档简介
专题强化03:复数【题型归纳】题型一:复数的基础概念题型二:复数的分类题型三:复数的几何意义题型四:复数的模题型五;复数代数形式的四则运算题型六:共轭复数题型七:复数的立方问题题型八:复数的最值问题题型九:复数的综合问题【题型探究】题型一:复数的基础概念1.(23-24高一下·山东临沂·期中)下列几个命题,其中正确的命题的个数有(
)(1)实数的共轭复数是它本身(2)复数的实部是实数,虚部是虚数(3)复数与复平面内的点一一对应(4)复数是最小的纯虚数.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【分析】根据复数的共轭复数的定义判断命题(1),根据实部和虚部的定义判断命题(2),根据复数的几何意义判断(3),根据复数的定义判断(4).【详解】因为复数的共轭复数,若为实数,则,此时,命题(1)正确,复数的实部为,虚部为,复数的虚部是实数,(2)错误;因为复数在复平面上的对应点为,复平面上的点对应复数,(3)正确;复数不能比较大小,命题(4)错误,故选:C.2.(23-24高一下·江苏苏州·期末)复数,则的虚部为()A. B. C. D.【答案】C【分析】利用复数的除法运算和乘方运算计算得解.【详解】,所以复数.∴,虚部为.故选:C.3.(23-24高一下·浙江宁波·期末)已知复数的实部与虚部相等,则(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】由实部与虚部概念可得,代入计算可求出结果.【详解】易知的实部为,虚部为,由题意可知,则.故选:B题型二:复数的分类4.(23-24高一下·上海·期末)“”是“是纯虚数”的(
)条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充要【答案】D【分析】依题意得,即可求解.【详解】解:是纯虚数,则,得,则“”是“是纯虚数”的充要条件,故选:D5.(23-24高一下·海南海口·期中)已知复数,,,若为纯虚数,则(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用复数的除法及纯虚数的意义求出,再求出复数的模.【详解】依题意,,由为纯虚数,得,解得,即,所以.故选:C6.(23-24高一下·江西·阶段练习)已知复数,若为纯虚数,则实数的值为(
)A. B. C.2 D.3【答案】D【分析】根据复数的乘、除法运算可得,利用共轭复数的概念与复数的乘法运算,结合纯虚数的概念建立方程组,解之即可求解.【详解】因为复数,所以,因为为纯虚数,所以,解得.故选:D.题型三:复数的几何意义7.(24-25高一上·浙江杭州·期中)设复数满足(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点在(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】根据复数的除法运算化简复数,进而求解其共轭复数,最后求出对应点的坐标即可得解.【详解】由题意,所以,则复数在复平面内对应的点在第四象限.故选:D.8.(23-24高一下·辽宁·阶段练习)复数(其中为虚数单位),则在复平面内对应的点位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】根据复数代数形式的除法运算化简,再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为,所以在复平面内对应的点为,位于第四象限.故选:D.9.(23-24高一下·河北·期中)在复平面内,设i是虚数单位,则复数的共轭复数对应的点位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【分析】由,得,然后根据共轭复数的定义,再确定在复平面内对应的点所在的象限.【详解】由题意知,,其共轭复数为,所以在复平面内对应的点为,位于第三象限.故选:C.题型四:复数的模10.(24-25高一上·湖南邵阳·期末)已知复数(i为虚数单位),则(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】由复数的四则运算,模的计算公式即可求解.【详解】因为,所以.故选:D.11.(2024·浙江·一模)已知复数(其中是虚数单位),则(
)A.2 B.1 C. D.【答案】C【分析】利用共轭复数的定义、复数的四则运算化简复数,利用复数的模长公式求解即可.【详解】因为,则,所以.故选:C.12.(23-24高一下·黑龙江大庆·期中)已知复数在复平面内所对应的点分别为,则(
)A. B.1 C. D.2【答案】C【分析】根据复数的除法和复数模的概念即可得到答案.【详解】由题意得,,则.故选:C.题型五;复数代数形式的四则运算13.(23-24高一下·天津河东·期中)计算:(1); (2);【答案】(1)(2)【分析】(1)利用复数的除法运算法则求解即可;(2)利用复数的四则运算法则化简求解即可.【详解】(1)原式.(2)原式.14.(23-24高一下·黑龙江鸡西·期中)计算(1) (2) (3).【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根据复数的加减法法则求解;(2)根据复数的乘除法法则求解;(3)根据复数的乘法法则求解.【详解】(1);(2)(3).15.(23-24高一下·广东佛山·期中)计算:(1) (2) (3)【答案】(1) (2) (3)【分析】(1)根据复数的加、减法运算求解;(2)根据复数的乘法运算求解;(3)根据复数的除法运算求解.【详解】(1)由题意可得:.(2)由题意可得:.(3)由题意可得:.题型六:共轭复数16.(23-24高一下·福建福州·期中)若复数满足,则的共轭复数为.【答案】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数,即可求出其共轭复数.【详解】因为,所以,所以的共轭复数为.故答案为:17.(23-24高一下·陕西安康·期中)若复数,为的共扼复数,则的虚部为.【答案】【分析】根据共轭复数的概念可得,即可由复数的除法运算求解.【详解】由可得,所以,故,故虚部为,故答案为:18.(23-24高一下·福建福州·期末)已知,则复数.【答案】/【分析】利用复数四则运算及共轭复数的定义可得答案.【详解】因为,所以,所以故答案为:题型七:复数的立方问题19.(21-22高一下·河南安阳·阶段练习)定义:若,则称复数是复数的平方根.根据定义,复数的平方根为(
)A., B.,C., D.,【答案】C【分析】设复数的平方根为,然后平方后根据复数相等即可得出结论.【详解】设复数的平方根为,则,化简,所以,,解得,或,,即复数的平方根为或,故选:C20.(22-23高二下·湖南·期中)若复数为方程(m,)的一个根,则该方程的另一个根是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据实系数方程的虚根成共轭复数求解即可.【详解】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知,另一个复数根为.故选:B.21.(23-24高一下·上海·期末)计算:.【答案】1000【分析】利用复数的运算性质化简即可求解.【详解】原式.故答案为:1000.题型八:复数的最值问题22.(23-24高一下·江苏苏州·期中)已知复数满足,则(是虚数单位)的最小值为(
)A. B.4 C. D.6【答案】B【分析】根据复数模长的几何意义即可求得结果.【详解】设,则由,所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心,1为半径的圆上,如下图所示:而,即求复平面内点到距离的最小值,由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时,取到最小值,即故选:B23.(23-24高一下·广东深圳·期中)已知为虚数单位,若复数满足,则的最大值为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用复数的模的几何意义作出图形,将求复数的模的最值转化为求两点之间距离的最值问题解决即可.【详解】
如图,由复数的模的几何意义可知,满足的点的轨迹是以点为圆心,半径分别为1和2的两个圆组成的圆环内的区域(含内外圆弧).而可理解为圆环区域内的点(含内外圆弧)到点的距离.由点与圆的位置关系可知,当且仅当点在线段的延长线与大圆的交点处时,距离取得最大,为,即的最大值为.故选:A.24.(23-24高一下·河南·阶段练习)18世纪末,挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有了几何意义,例如,即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.设复数,且,则的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】利用复数的模的几何意义可得表示动点到定点的距离为定长,的几何意义表示动点到定点的距离,据此可求解.【详解】由,可知其几何意义表示动点到定点的距离为定长,则动点的轨迹是以为圆心,半径为的圆.同理,的几何意义表示动点到定点的距离.因为,所以.故选:D.题型九:复数的综合问题25.(23-24高一下·上海·期末)已知复数,(,i是虚数单位)(1)若在复平面内对应的点落在第二象限,求实数a的取值范围;(2)若是实系数一元二次方程的根,且是实数,记,求的值.【答案】(1);(2)【分析】(1)先利用复数减法运算化简复数,再结合复数对应的点所在象限列不等式即可求解;(2)根据韦达定理求得,然后利用复数运算法则化简得,利用该复数为实数列方程得,从而代入化简得,最后利用复数模的运算求解即可.【详解】(1)因为复数,,所以,其对应的点为,由题意,解得,即实数a的取值范围为;(2)由题意知的两根为,,所以,所以,所以,因为为实数,所以,即,所以,所以.26.(23-24高一下·山东烟台·期中)欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到复数集.(1)若复数,求;(2)在复平面内复数,对应的向量分别是,,其中是原点,求向量对应的复数.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用复数的四则运算法则及的周期性,再利用复数的模公式即可求解;(2)根据已知条件及复数减法的几何意义即可求解.【详解】(1)由题可知,,,所以,所以.(2)因为,所以.27.(23-24高一下·四川内江·期末)复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受.材料:形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式,即,其中为复数的模,叫做复数的辐角,我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值,记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出,若,则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角(如果,就要把绕点按顺时针方向旋转角),再把它的模变为原来的倍.请根据所学知识,回答下列问题:(1)试将写成三角形式;(2)设复数,且.若复数在复平面上对应的点分别为,且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合,求实数,的值;(3)已知单位圆以坐标原点为圆心,点为该圆上一动点(纵坐标大于0),点,以为边作等边,且在上方.求线段长度的最大值.【答案】(1);(2);(3)最大值为3.【分析】(1)根据复数的三角形式的定义直接求解即可;(2)解法一:由题意得,解方程组即可,解法二:根据所给材料中的复数的乘法几何意义求解即可;(3)解法一:设,所表示的复数为所表示的复数为,根据复数的三角形式求出的坐标,从而可表示出,化简变形后可求出其最大值;解法二:连接,设,然后利用正余弦定理求解即可.【详解】(1)由于,故,所以,所以,因为,所以所以;(2)法一:由题意知,得,解得或,因为逆时针旋转后与重合,所以;法二:由材料一复数的乘法几何意义可知,复数乘以一个模长为1,辐角为的复数,即为复数.故,故,所以.(3)解法一:设,所表示的复数为所表示的复数为,则,,故,得,所以当时,取得最大值3,故线段长度的最大值为3.解法二:连接,设,由,在中可得,在中可得,于是,在中可得,于是,在中可得,化简得.故的最大值为3..【点睛】关键点点睛:此题解题的关键是对所给材料的正确理解,然后利用材料中的知识解决问题.【专题强化】一、单选题28.(24-25高一上·湖南娄底·期中)复数的共轭复数是,是虛数单位,则点为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据复数除法运算和共轭复数概念即可得到答案.【详解】,则其共轭复数为,则点即为点.故选:B.29.(23-24高一下·安徽黄山·期中)若复数的共轭复数对应的点在第一象限,则的值为(
)A. B.0 C.1 D.【答案】B【分析】由共轭复数的定义求出,再根据复数的几何意义求解.【详解】由题,,对应的点在第一象限,则,可得,又为整数,所以.故选:B.30.(23-24高一下·湖北武汉·期中)已知复数z满足,则(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】计算出,利用复数除法法则计算出.【详解】,故,.故选:B31.(23-24高一下·江苏无锡·期末)已知为虚数单位,则下列结论正确的是(
)A.是纯虚数B.若,则是方程的一个复数根C.若,则D.若复数满足,则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为【答案】C【分析】根据虚数运算法则和复数的分类,可判定A错误;根据复数的运算法则,可判定B错误;根据复数模的计算公式,可判定C正确;根据复数的几何意义,结合圆的面积公式,可判定D正确.【详解】对于A中,由,不是纯虚数,所以A不正确;对于B中,由,可得,因为,所以不是方程的一个复根,所以B不正确;对于C中,设复数,可得,所以,又由,所以,所以C正确;对于D中,设,由,可得,所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环,其中小圆的半径为,大圆的半径为,其面积为,所以D错误.故选:C.32.(23-24高一下·湖北·期中)已知复数,其中为虚数单位,,若为纯虚数,则复数在复平面内对应的点在第(
)象限A.一 B.二 C.三 D.四【答案】A【分析】先化简复数,再根据复数为纯虚数求参,最后求出的对应点即可.【详解】因为,若z为纯虚数,则,即,则在复平面内对应的点为,则复数在复平面内对应的点在第一象限.故选:A.33.(23-24高一下·上海松江·期末)瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式:,其中是自然对数的底数,是虚数单位,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论中占有非常重要的地位,被举为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是(
)A.的虚部为B.复数在复平面内对应的点位于第二象限C.D.若在复平面内分别对应点,则面积的最大值为【答案】D【分析】代入即可判断A;代入即可判断B;对等式右边进行代换化解即可判断C;代入,再计算相应相应的模,再利用三角形面积公式即可判断D.【详解】对于A,,其虚部为1,A错误;对于B,,复数在复平面内对应的点位于第一象限,B错误;对于C,,故C错误;对于D,,,,,因此的面积为:,面积的最大值为,D正确.故选:D二、多选题34.(23-24高一下·安徽黄山·期中)已知复数(是虚数单位),则下列结论正确的是(
)A.复数的虚部等于 B.C. D.若是实数,是纯虚数,则【答案】CD【分析】先化简复数,然后根据复数的虚部概念,纯虚数,共轭复数,及复数的运算逐项判定,即可求解.【详解】由题意,复数,对于A项:,所以复数的虚部等于,故A错误;对于B项:,故B错误;对于C项:,故C正确;对于D项:因为是纯虚数且是实数,即为纯虚数,所以,解得,故D正确.故选:CD.35.(23-24高一下·江苏无锡·期中)已知为复数,有以下四个命题,其中真命题的序号是(
)A.若,则 B.若,则C. D.若,则【答案】BCD【分析】利用复数的意义判断AD;由模的计算判断BC.【详解】对于A,是复数,如,由不全是实数的两个复数不能比较大小,A错误;设,对于B,由,得,则,因此,,B正确;对于C,,,C正确;对于D,由,得都是实数,因此,D正确.故选:BCD36.(24-25高三上·江西抚州·阶段练习)设,为复数,且,则下列结论正确的是(
)A. B.C.若,则 D.【答案】ABD【分析】根据题意,由复数的运算,代入计算,逐一判断,即可得到结果.【详解】设,,对于选项A,因为,所以,且,所以,故A正确;对于选项B,因为,,,则,,所以,故B正确;对于选项C,若,例如,,满足,但,,即,故C错误;对于选项D,因为,所以,,所以,故D正确.故选:ABD.37.(23-24高一下·黑龙江·期中)欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家,他发明的公式为,i虚数单位,将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”(为自然对数的底数,i为虚数单位),依据上述公式,则下列结论中正确的是(
)A.复数为纯虚数 B.复数对应的点位于第二象限C.复数的共轭复数为 D.复数的模长为1【答案】ABD【分析】根据给定的公式,结合复数的相关概念逐项分析判断即得.【详解】A选项:是纯虚数,A选项正确;B选项:而,即,则复数对应的点在第二象限,B选项正确;C选项:,则复数的共轭复数为,C选项错误;D选项:D选项正确;故选:ABD.38.(23-24高一下·贵州黔西·期末)已知i是虚数单位,下列说法正确的是(
)A.若复数,则B.若复数,则C.若复数为纯虚数,则D.【答案】BCD【分析】利用复数概念可判断A错误,根据模长公式可知B正确,由纯虚数概念解方程可得C正确,由复数乘方计算可得D正确.【详解】对于A,根据虚数概念可得复数无法比较大小,即A错误;对于B,由,可得,即B正确;对于C,若复数为纯虚数,可知,解得,可知C正确;对于D,易知,即D正确.故选:BCD三、填空题39.(23-24高一下·江苏·期末)满足且的复数.【答案】1【分析】设,由得,由可得计算并检验求得,即得【详解】设,由可得,由可得,即,则解得或,显然不满足,应舍去,故故答案为:1.40.(23-24高一下·新疆·期末)已知,方程的一个根为,则.【答案】【分析】根据复数的乘法运算和复数相等的概念求解.【详解】因为的一个根为,.故答案为:41.(23-24高一下·四川凉山·期末)已知是虚数单位,则.【答案】【分析】利用复数的四则运算化简原复数,再求模即可.【详解】由题意得,.故答案为:42.(23-24高一下·甘肃酒泉·期末)已知复数z的模为2,则的最大值为.【答案】3【分析】利用复数模的几何意义,求出的最大值.【详解】复数z的模为2,表示复数在复平面内对应的点到原点的距离为2,则点的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆,而是圆上的点到点的距离,所以.故答案为:343.(23-24高一下·上海·期末)已知复数满足,则的取值范围是.【答案】【分析】根据复数模的几何意义,即可求得的取值范围.【详解】解:表示在复平面上对应的点是单位圆上的点,的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离,最小距离为,最大距离为,的取值范围为.故答案为:.四、解答题44.(23-24高一下·福建漳州·期中)已知复数,且为纯虚数.(1)求复数;(2)若复数,求复数的模.【答案】(1)(2)【分析】(1)运用纯虚数概念,结合乘法计算即可;(2)运用模长公式,结合除法和共轭复数知识求解.【详解】(1)由题意得,是纯虚数,,,(2).45.(23-24高一下·浙江·期中)已知复数(1)若复数是方程的一个复数根,求实数a,b的值;(2)若复数满足,求.【答案】(1),;(2)【分析】(1)根据复数的乘法运算,结合复数相等的充要条件,即可列方程求解,(2)由复数的除法运算可得,即可由模长公式求解.【详解】(1),所以,(2)由可得故46.(23-24高一下·天津河北·期中)已知复数,其中.(1)若,求的值;(2)若是纯虚数,求的值;(3)若,求的值;(4)若对应的点在第一象限,求的取值范围.【答案】(1)或.(2)(3)(4)【分析】(1)根据复数的类型求参;(2)根据复数的类型求参;(3)根据共轭复数的定义得出复数再应用复数相等求参;(4)应用复数对应的点所在象限列不等式组求参数范围.【详解】(1)由,得,解得或.(2)由是纯虚数,得解得,所以.(3)由,可知,
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