2024届北京市育才校中考联考数学试卷含解析

2024学年北京市育才校中考联考数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将木试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.某自行车厂准备生产共享单车4000辆，在生产完1600辆后，采用了新技术，使得工作效率比原来提高了20%,

结果共用了18天完成任务，若设原来每天生产自行车x辆，则根据题意可列方程为（）

1600400016004000-1600

A.丁(1+20%)「B・(1+20%)工

16004000-1600400040(X)-1600

C.------+-----------------=18D，(l+20%)x=18

x20%x

2.下列计算正确的是()

A.(a—3)2=a2—6a—9B.(a+3)(a-3)=a2-9

C.(a—b)2=a2—b2D.(a+b)2=a24-a2

3.如图所示，a//bt直线。与直线力之间的距离是（)

A.线段丛的长度B.线段P3的长度

C.线段PC的长度D.线段CD的长度

4.若抛物线），=炉-31+。与），轴的交点为（0,2）,则下列说法正确的是（）

A.抛物线开口向下

B.抛物线与尸轴的交点为（T,0）,（3,0）

C.当x=l时，y有最大值为0

D.抛物线的对称轴是直线

5.2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,2015年比2014年增长9.5%,若2013年和2015年我省财政收入分别

为a亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式为（）

A・b=a（l+8.9%+9.5%）B*b=a（l+8.9%x9.5%）

C

-b=a(l+S.9%)(1十9.5%)D・b=a(l+8.9%f(l+9.5%)

6.《九章算术》是中国古代数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛

二、羊五，直金八两。问：牛、羊各直金几何？译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，

值金8两。问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金J两，则列方程组错误的是（）

5x+2y=105x+2y=]07x+7y=185x+2y=S

2x+5y=S7x+7y=l82x+5)，=82x+5y=10

7.如图，△ABC中，AB=4,AC=3,BC=2,将△ABC绕点A顺时针旋转60。得到△AED,则BE的长为（）

B.4C.3D.2

8.如图所示，在长为8cm,宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那

么剩下矩形的面积是（）

A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm2

9.我国占代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺,

问木长几何。”大致意思是：/用一根绳子去量一根木条，绳长剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余一尺，问

木条长多少尺”，设绳子长x尺，木条长『尺，根据题意所列方程组正确的是（）

x-y=4.5fx+y=4.5fx-y=4.5fx-y=4.5

A.1B.\1C.1D.1

y——x=1y——x=1—x-y=1x——y=1

I2I2122-

10.互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售,仍可获利

20元，则这件商品的进价为（）

A.120元B.100元C.80元D.60元

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11«分解因式：o,Sa24-16t2=•

12.若点A（3,・4）、B（-2,m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为.

13.将多项式xy?-4xy14y因式分解：.

14.如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的

15.己知图中的两个三角形全等，则N1等于

16.7（-2）2=----------------

三、解答题（共8题，共72分）

-3（x+1）-（x-3）<8

17.（8分）解不等式组：|2x+l1-x并求它的整数解的和.

18.（8分）先化简，再求值：:二+m+2----------,其中m是方程x2+3x+l=0的根.

3m“-6m<m-2J

19.（8分）某经销商经销的冰箱二月份的售价比一月份每台降价500元，已知卖出相同数量的冰箱一月份的销售额为

9万元，二月份的销售额只有8万元.

（1）二月份冰箱每台售价为多少元？

（2）为了提高利润，该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售，己知洗衣机每台进价为4000元，冰箱每台进价为

3500元，预计用不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，设冰箱为y台（y<12）,请问有几种进货方案？

（3）三月份为了促销，该经销商决定在二月份售价的基础上，每售出一台冰箱再返还顾客现金a元，而洗衣机按每台

4400元销售，这种情况下，若（2）中各方案获得的利润相同，则a应取何值？

20.（8分）（1）计算：3tan30,’+|2・731+-，-（3-兀）。-（-1）181920,218.

c222

（2）先化简，再求值：（x一至二21）・二^,其中x=&,y=V2-1.

XX+孙

21.（8分）如图，△ABC中，ZA=90c,AB=AC=4,D是BC边上一点，将点D绕点A逆时针旋转60。得到点E,连

接CE.

A

(1)当点E在BC边上时，画出图形并求HNA40的度数；

(2)当4CDE为等腰三角形时，求NR4D的度数；

(3)在点D的运动过程中，求CE的最小值.

(参考数值:si〃75°="+&,cos75°=-,tan750=2+G)

44

22.(10分)如图，抛物线1：丫=2(x-h)2・2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，将抛物线i在x轴下

方部分沿轴翻折，X轴上方的图象保持不变，就组成了函数/的图象.

(1)若点A的坐标为(1,0).

①求抛物线1的表达式，并直接写出当x为何值时，函数/的值y随x的增大而增大；

②如图2,若过A点的直线交函数/的图象于另外两点P,Q,且SAABQ=2SAABP,求点P的坐标；

23.(12分)如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC与

未折断树杆A8形成53。的夹角.树杆A8旁有一座与地面垂直的铁塔DE,测得8E=6米，塔高。E=9米.在某

一时刻的太阳照射下，未折断树杆A8落在地面的影子所长为4米，且点/、B、C、E在同一条直线上，点尸、

A、。也在同一条直线上.求这棵大树没有折断前的高度.(结果精确到0.1,参考数据：sin53°«0.7986,

cos53°»0.60l8,tan53°»1.3270).

D

24.为了解某校七年级学生的英语口语水平，随机抽取该年级部分学生进行英语口语测试，学生的测试成绩按标准定

为A、B、C、D四个等级，并把测试成绩绘成如图所示的两个统计图表.

七年级英语口语测试成绩统计表

成绩x（分）等级人数

x>90A12

75<x<90Bm

60<x<75Cn

x<60D9

七年级英语口语

测试成绩统计图

请根据所给信息，解答下列问题：本次被抽取参加英语口语测试的学生共有多少人？求扇形统计图中C级的圆心角度

数；若该校七年级共有学生640人，根据抽样结课，估计英语口语达到B级以上（包括B级）的学生人数.

参考答案

一、选择题（共10小题，母小题3分，共30分）

1、B

【解题分析】

根据前后的时间和是18天，可以列出方程.

【题目详解】

16004000-160()

若设原来每天生产自行车x辆，根据前后的时间和是18天，可以列出方程不一+0+20%卜二或

故选B

【题目点拨】

本题考核知识点：分式方程的应用.解题关键点：根据时间关系，列出分式方程.

2、B

【解题分析】

利用完全平方公式及平方差公式计算即可.

【题目详解】

解：A、原式=a?-6a+9,本选项错误；

B、原式=a2・9,本选项正确；

C、原式=a2-2ab+b2,本选项错误；

D、原式=a?+2ab+b2,本选项错误，

故选：B.

【题目点拨】

本题考杳了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键.

3、A

【解题分析】

分析：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案.

详解：・.・a〃b,AP±BC

・•・两平行直线a、b之间的距离是AP的长度

・•・根据平行线间的距离相等

・・・直线a与直线b之间的距离AP的长度

故选A.

点睛：本题考查了平行线之间的距离，属于基础题，关键是掌握平行线之间距离的定义.

4、D

【解题分析】

A、*a=l>0,可得出抛物线开口向上，A选项错误；

B、由抛物线与y轴的交点坐标可得出c值，进而可得出抛物线的解析式，令y=0求出x值，由此可得出抛物线与x

轴的交点为(1,0)、(1,0),B选项错误；

C、由抛物线开口向上，可得出y无最大值，C选项错误；

3

D、由抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可求出抛物线的对称轴为直线D选项正确.

综上即可得出结论.

【题目详解】

解：A、Va=l>0,

，抛物线开口向上，A选项错误；

B、・・・抛物线y=x】・3x+c与y轴的交点为(0,1),

・•・抛物线的解析式为尸xKx+l.

当y=0时，有xL3x+l=0,

解得：xi=l,xi=L

，抛物线与x轴的交点为(1,0)、(1,0),B选项错误；

c、・・,抛物线开口向上，

・・・y无最大值，C选项错误；

D、・・•抛物线的解析式为y=xL3x+I,

，抛物线的对称轴为直线x=・==•--=：,D选项正确.

2a2x12

故选D.

【题目点拨】

本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函

数的性质及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个选项的正误是解题的关键.

5、C

【解题分析】

根据2013年我省财政收入和2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,求出2014年我省财政收入，再根据出2015

年比2014年增长9.5%,2015年我省财政收为b亿元，

即可得出a、b之间的关系式.

【题目详解】

V2013年我省财政收入为a亿元，2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,

・•・2014年我省财政收入为a(1+8.9%)亿元，

V2015年比2014年增长9.5%,2015年我省财政收为b亿元，

，2015年我省财政收为b=a(1+8.9%)(1+9.5%)；

故选C.

【题目点拨】

此题考查了列代数式，关键是根据题意求出2014年我省财政的收入，是一道基础题.

6、D

【解题分析】

由5头牛、2只羊，值金10两可得：5x+2y=10,由2头牛、5只羊，值金8两可得2x+5y=8,则7头牛、7只羊，值

金18两，据此可知7x+7y=18,据此可得答案.

【题目详解】

解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，

由5头牛、2只羊，值金10两可得：5x+2y=10,

由2头牛、5只羊，值金8两可得2x+5y=8,

则7头牛、7只羊，值金18两，据此可知7x+7y=18,

5x+2y=8

所以方程组错误,

2元+5)，=1()

故选：D.

【题目点拨】

本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意找到相等关系及等式的基本性质.

7、B

【解题分析】

根据旋转的性质可得AB=AE,ZBAE=60°,然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可

得BE=AB.

【题目详解】

解：:AABC绕点A顺时针旋转60。得到△AED,

AAB=AE,ZBAE=60°,

•・•△AEB是等边三角形，

ABE=AB,

VAB=1,

ABE=1.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义.

8、B

【解题分析】

根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得.

【题目详解】

RD

解依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE,

则矩形ABDCs矩形FDCE,

则组二处

DFDC

设DF=xcm,得到：—=—

x6

解得：x=4.5,

则剩下的矩形面积是：4.5x6=17cm1.

【题目点拨】

本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键.

9、A

【解题分析】

本题的等量关系是：绳长•木长=4・5；木长绳长=1,据此列方程蛆即可求解.

2

【题目详解】

设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有

x-y=4.5

1।

），-］人=1

故选A.

【题目点拨】

本题考杳由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组.

10、C

【解题分析】

解：设该商品的进价为X元/件,

依题意得：(x+20)V—=200,解得：X=L

・,•该商品的进价为I元/件.

故选C.

二、填空题(木大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、a(a—4)2

【解题分析】

首先提取公因式a,进而利用完全平方公式分解因式得出即可.

【题目详解】

/-8/+16〃=a(a2-8。+16)=。(〃-4)2.

故答案为:Q(4—4广

【题目点拨】

本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底.

12、1

【解题分析】

设反比例函数解析式为丫=白，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=3x(-4)=-2m,然后解关于m的方程

x

即可.

【题目详解】

解：设反比例函数解析式为丫=&,

X

根据题意得k=3x(-4)=-2m,

解得m=l.

故答案为L

考点：反比例函数图象上点的坐标特征.

13、y(xy-4x+4)

【解题分析】

直接提公因式y即可解答.

【题目详解】

xy2-4xy+4y=y(xy-4x+4).

故答案为：y<xy-4x+4).

【题目点拨】

本题考查了因式分解——提公因式法，确定多项式xy2-4xy+4y的公因式为y是解决问题的关键.

x-2y=75

14、

x=3y

【解题分析】

根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y,长又是75厘米，故x+2y=75,长方形的宽可以表示为2x,或x+3y,故

2x=3y+xf整理得x=3y,联立两个方程即可.

【题目详解】

x+2y=75

根据图示可得，

x=3y

x+2y=75

故答案是：“

x=3y

【题目点拨】

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽.

15、58°

如图,N2=180。-50。-72。=58。,

;两个三角形全等,

AZ1=22=58°.

故答案为58。.

16、2；

【解题分析】

试题解析：先求・2的平方4,再求它的算术平方根，即：J于="=2・

三、解答题（共8题，共72分）

17、0

【解题分析】

分析：先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可求出不等式组的解集.

-3(X+1)-(X-3)<8(£

详…竿②，

由①去括号得：・3x・3・X+3V8,

解得：x>-2,

由②去分母得：4x+2-3+3x06,

解得：烂1,

则不等式组的解集为-2VxW.

点睛：本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部

分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.

_zm-3m2-9m-3m-211

、3m(m-2)m-23m(m—2)(m+3)(m—3)3m(m+3)3(m2+3m)*

1]_

<m是方程x2+3x+l=0的根.=.刎.0■加，即m?+3m=-1>**•原式二

3x（T）3,

【解题分析】

试题分析:先通分计算括号里的,再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x?+3x+1=0的根,那么吻、+为盛。.祖,

可得n?+3m的值，再把nf+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可.

m-3m2-9_m-3m-2_1_1

•3m(m-2)m-23m(m-2)(m+3)(m-3)3m(m+3)3(m2+3m)*

,11

•；m是方程x?+3x+l=()的根.，网,+•武，.劭，即m2+3m=-l,二原式=3x(7)],

考点:分式的化简求值；一元二次方程的解.

19、(1)二月份冰箱每台售价为400()元；(2)有五种购货方案；(3)a的值为1.

【解题分析】

(1)设二月份冰箱每台售价为x元，则一月份冰箱每台售价为(x+500)元，根据数量=总价+单价结合卖出相同数量

的冰箱一月份的销售额为9万元而二月份的销售额只有3万元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出

结论；

(2)根据总价=单价x数量结合预计用不多于7・6万元的资金购进这两种家电共20台，即可得出关于y的一元一次不

等式，解之即可得出y的取值范围，结合、02及y为正整数，即可得出各进货方窠；

(3)设总获利为vv,购进冰箱为m台，洗衣机为(20-m)台，根据总利润=单台利润x购进数量，即可得出w关于

m的函数关系式，由w为定值即可求出a的值.

【题目详解】

(1)设二月份冰箱每台售价为x元，则一月份冰箱每台售价为(x+500)元,

9000080000

根据题意，得:

x+500x

解得：x=4000,

经检验，x=4000是原方程的根.

答：二月份冰箱每台售价为4000元.

(2)根据题意，得：3500y+4000(20-y)<76000,

解得：y23,

;烂2且y为整数，

・・・y=3,9,10,11,2.

二洗衣机的台数为：2,11,10,9,3.

，有五种购货方案.

(3)设总获利为w,购进冰箱为m台，洗衣机为(20-m)台，

根据题意，得：w=(4000-3500-a)m+(4400-4000)(20-m)=(1-a)m+3000,

・・・(2)中的各方案利润相同，

•,1-a=0,

/.a=L

答：a的值为1.

【题目点拨】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)

根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；(3)利用总利润:心台利润x购进数量，找出w关于m的函数关系

式.

20、(1)3；(2)x-y,1.

【解题分析】

(1)根据特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幕、零指数哥可以解答本题；

(2)根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题.

【题目详解】

(1)3tan300TlbH(S(3・江)0-(-1)20,8

=3x^r_+2-73+3-1-1,

3

二6+2-6+3-1-1,

=3；

⑵2至工+二，

xX+xy

x2-2xy+y2x(x+y)

«■-----------------■-------------------

工(x+y)(x-y),

x(x+y)(x-y)

=x-y,

当x=J^,¥=后-1时，原式二夜一行+1=L

【题目点拨】

本题考杳特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数器、零指数基、分式的化简求值，解答本题的关键是明确它们各

自的计算方法.

21、(1)ZBAD=15°；(2)NBAC=45°或NBAD=60。：(3)CE=*—亚.

【解题分析】

(1)如图1中，当点E在上时.只要证明△B4O名△&!£：,即可推出N84Q=NC4/?=，(90c-60°)=15°；

2

(2)分两种情形求解①如图2中，当BD=OC时，易知AO=CD=O£,此时△DEC是等腰三角形.②如图3中，当CD=CE

时，AOEC是等腰三角形；

(3)如图4中，当笈在5c上时，E记为E，,。记为。，连接EE，.作于M,E，N_LAC于N,DE交AE，

于O.首先确定点E的运动轨迹是直线£?(过点E与〃C成60。角的直线上)，可得EC的最小值即为线段CW的长

(垂线段最短).

【题目详解】

解：(1)如图1中，当点E在BC上时.

A

VAD=AE,ZDAE=60°,

/.△ADE是等边三角形,

.\ZADE=ZAED=60°,

.\ZADB=ZAEC=120°,

VAB=AC,ZBAC=90°,

AZB=ZC=45°,

在4ABDACE中，

ZB=ZC,ZADB=ZAEC,AB=AC,

/.△BzkD^ACAE,

AZBAI)=ZCAE=-(90°-60°)=15°.

2

(2)①如图2中，当BD=DC时，易知AD=CD=DE,此时△DEC是等腰三角形，ZBAD=-ZBAC=45°.

2

图2

②如图3中，当CD二CE时，△DEC是等腰三角形.

VAD=AE,

AAC垂直平分线段DE,

/.ZACD=ZACE=45°,

AZDCE=90o,

AZEDC=ZCED=45°,

TZB=45°,

1・NEDC=NB,

ADE/7AB,

AZBAD=ZADE=60°.

图3

(3)如图4中，当E在BC上时，E记为E，，D记为D，，连接EE，.作CM_LEE，于M,E，N_LAC于N,DE交AE，

于O.

图4

VZAOE=ZDOE\NAE，D=NAEO,

.,.△AOE^ADOEf,

/.AO：OD=EO：OE*,

AAO：EO=OD：OE',

VZAOD=ZEOE\

.,.△AOD^AEOEf,

I.ZEE*O=ZADO=60°,

，点E的运动轨迹是直线EE，（过点E与BC成60。角的直线上）,

・・・EC的最小值即为线段CM的长（垂线段最短），

设E'N=CN=a,贝ljAN=4・a,

在R3ANE'中，tan750=ANsNE',

r-4—。

A2+V3=------,

/.a=2--V3,

3

:・CE，=垃CN=2&・一6,

3

在RtACEM中，CM=CEr«cos30°=瓜一近,

・・・CE的最小值为八一血.

【题目点拨】

本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判

定和性质、轨迹等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用垂线

段最短解决最值问题，属于中考压轴题.

22、(1)①当1VXV3或x>5时，函数/的值y随x的增大而增大，②P(耳，学)；(2)当347或h《)时，函

39

数f的值随X的增大而增大.

【解题分析】

试题分析：(1)①利用待定系数法求抛物线的解析式，由对称性求点B的坐标，根据图象写出函数/的值y随X的增

大而增大(即呈上升趋势)的x的取值；

②如图2,作辅助线，构建对称点F和直角角三角形AQE,根据以ABQ=2SAABP,得QE=2PD,证明△PADS/^QAE,

则黑黑，得AE=2AD,设AD;a,根据QE=2FD列方程可求得a的值，并计算P的坐标；

ADPD

(2)先令y=0求抛物线与x轴的两个交点坐标，根据图象中呈上升趋势的部分，有两部分：分别讨论，并列不等式或

不等式组可得h的取值.

试题解析：⑴①把A(L0)代入抛物线yj(x・h)2.中得：

-y(x-h)2-2=0,解得：h=3或h=-1,

•・•点A在点B的左侧，Ah>0,.*,11=3,

•••抛物线1的表达式为：y=,(x-3)2-2,

，抛物线的对称轴是：直线x=3,

由对称性得：B(5,0),

由图象可知：当1VXV3或x>5时，函数/的值y随x的增大而增大；

②如图2,作PDJ_X轴于点D,延长PD交抛物线1于点F,作QE_Lx轴于E,贝!)PD〃QE,

由对称性得：DF=PD,

VSAABQ=2SAABP,，£AB・QE=2，AB・PD,AQE=2PD,

VPD/7QE,.•△PADSZXQAE,^5.,.\AE=2AD,