高中数学平面空间向量知识点总结

平面向量知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设ABa,BCb，则a+b=ABBC=AC（1）0aa0a；（2）向量加法满足交换律与结合律；．ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”3、向量的减法：①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，③作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）aa；（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向

相反；当0时，a0，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a6、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面2(1)若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2(2)若Ax1,y1,Bx2,y2，则ABx2x1,y2y1

(3)若a=(x,y)，则a=(x,y)(4)若ax1,y1,bx2,y2，则a//bx1y2x2y10(5)若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y2若ab，则x1x2y1y20

三．平面向量的数量积1已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的数量积（或内积）规定0a0ab2b︱cos=∈R，称为向量b在a投影的绝对值称为射影|a|aa3数量积的几何意义：·b等于的长度与b在a方向上的投影的乘积224aaa|a|5

22ababab

222aba2abb22ab；22a2abb6①交换律成立：abba②对实数的结合律成立：abababR

③分配律成立：abcacbccab

特别注意：（1）结合律不成立：abcabc；

（2）消去律不成立abac不能bca=0或b=0（3）ab=0不能

7已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2008已知两个非零向量a与b，作OA=a,OB=b,则∠AOB=（0180）叫做向量a与b的夹角abcos=cosa,b

ab00当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=0，当且仅当a与b反方向时θ=180，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题09垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b10：a⊥ba·b＝Ox1x2y1y2空间向量与立体几何

1、空间向量及其运算：（1）空间中的平行（共线）条件：a//bb0xR,axb

（2）空间中的共面条件：a,b,c共面（b,c不共线）x,yR,axbycOC推论：对于空间任一点和不共线三点A、B、，OPxOAyOBzOCxyz1，则四点O、

A、B、C共面

（3）空间向量分解定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量pxaybzc

（4）空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算若ax1,y1,z1,bx2,y2,z2，则：abx1x2,y1y2,z1z2ax1,y1,z1ab1x2zx1y2y1z注1：数量积不满足结合律；

注2：空间中的基底要求不共面。

2、空间向量在立体几何证明中的应用：

（1）证明AB//CD，即证明AB//CD

（2）证明ABCD，即证明ABCD0AB//（3）证明（平面）（或在面内），即证明AB垂直于平面的法向量或证明AB与平面内的基底共面；（4）证明AB，即证明AB平行于平面的法向量或证明AB垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；

（5）证明两平面//（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；

（6）证明两平面，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。

平面向量真题集训

2004年

（9）已知平面上直线l的方向向量e(43,)，点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O1和A1，则O1A1＝e，55

其中

＝（）

1111（A）（B）－（C）2

（D）－255

2005

年

8.已知点A（，1），B（0，0）C（

等于（）

A.2B.C.－3D.－，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有

x（1）（文）已知向量a＝（4，2），向量b＝（，3），且a//b,则x＝()

（A）9(B)6(C)5(D)32006年

2007年

1CDCACB，则（）5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB，3

2112A．B．C．D．3333

2009年

6.已知向量a2,1,ab10,|ab||b|（）

A.B.C.5D.25

2010年

uuruuruuur（8）△ABC中，点D在AB上，CD平方ACB．若CBa，CAb，a1，b2，则CD（）

（A）1

3a2

3b（B）2

3a1

3b（C）3

5a4

5b（D）4

5a3

5b

2011年

1（3）设向量a、b满足ab1，ab,则a2b2

（A

（B

（C

（D

利用向量法解决立体几何问题

基本知识回顾

向量平行，垂直的坐标表示：平行x1y2-x2y1=0，垂直x1x2+y1y2=0

直线的方向向量：1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是：AB(x2x1,y2y1,z2z1)

平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.

在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α

求平面法向量的基本步骤：

第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).

第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组

第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.

第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.

(一).判定直线、平面间的位置关系

（1）直线与直线的位置关系，不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.

①若a∥b,即a=λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,则a⊥b

(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,

①若a∥n,即a=λn,则L⊥α

②若a⊥n,即a·n=0,则a∥α.

（3)平面与平面的位置关系

平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2

①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥β

(二)、用向量解决距离问题

①两点A,B间距离|AB|由AB2

ABAB可算出；若ABab，则由数量积得AB2ab2ab22，若已知

两点坐标，则可直接用两点间距离公式.

②点P到直线AB的距离

过点P作直线AB的垂线PD，垂足为D，则由PDAB且点A,B,D共线得PDAB0,ADAB，解出D点后再求|PD|。

③异面直线a、b的距离

可先设a、b的公垂线段EF（

aEF0

Ea、Fb），再由垂直向量性质得

bEF0

，从而得到E、

F

的坐标，最后算出所求EF.④点P到平面的距离h

先设平面的斜线为PAA，再求的法向量n，运用向量平移，不难得到推论“h等

于PA在法向量n上的射影PA

n

PAn

的绝对值”，即h

，最后由此算出所求距离.

nn

④两平行平面,之间的距离

由平行平面间的距离定义知道，平面上任意一点A到的距离就是到的距离，因此，我们也可把到的距离转化为A到的距离，运用求点与面距离的方法来求。

(三)、用向量解决角的问题

①两条异面直线a、b间夹角

在直线a上取两点A、B，在直线b上取两点C、D，若直线a与b的夹角为，则

cos|cosABC,

D

注意,由于两向量的夹角范围为0,180,而异面直线所成角的范围为090，若两向量夹角为钝角,转化到异面直线夹角时为180°

②直线a与平面所成的角（如图11）

图1－1

2

图1－2

2

图1－3

2

移得：若时

（图12）；若时

2

（图13）.

平面的法向量n是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.由n可知，要求得法向量n，只需在平面上找出两个不共线向量a、b，最后通过解方程

an0组得到n

bn0

.

x

③求二面角的大小

已知二面角α—l—β，n1,n2分别是平面α和平面β的一个法向量，设二面角α—l—β的大小

为θ，规定0≤θ≤π，则n1,n2（这里若平面α的法向量是二面角的内部指向平面α内的

一点，则平面β的法向量必须是由平面β内的一点指向二面角的内部，如图2-1，否则从二面角内

部一点出发向两个半平面作法向量时，二面角n1,n2，如图2-2）

2-1

2-2

二面角的大小（如右图），也可用两个向量所成的夹角表示，在、上分别作棱的垂线AB、CD（A、C），从图中可知：等于AB、CD所成的角.

2004年—2012年云南省高考立体几何解答题汇总

2004年

20．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条

对角线交点为D，B1C1的中点为M.（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；

（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.

2005年

（18）(本小题满分12分)

在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD．

（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

2006年

（19）（本小题满分１２分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC,D、E分别为BB1、AC1的中点。（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；

AADC1（II

）设AA1AC,求二面角1的大小。

C1

1

B1

D

E

B

A

C

2007年

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，

侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．（1）证明EF∥平面SAD；

（2）设SD2DC，求二面角AEFD的大小．

A

S

F

C

E

B

2008年

19．（本小题满分12分）

A1

D

1

1

C1

如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在CC1上且C1E3EC．

E

（Ⅰ）证明：A1C平面BED；（Ⅱ）求二面角A1DEB的大小．

A

D

C

2009年

18（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1（I）证明：ABAC

（II）设二面角ABDC为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小。

2010年

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角