2017-2018学年西藏拉萨高二(上)期末数学试卷((含答案))-(新课标人教版)

2017-2018学年西藏拉萨高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合M={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，N={x|x+1＜0}，则M∩N=（）A．（﹣1，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2）2．（5分）“a≠2”是直线ax+2y=3与直线x+（a﹣1）y=1相交的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知命题p：∃x，y∈Z，x2+y2=2015，则¬p为（）A．∀x，y∈Z，x2+y2≠2015 B．∃x，y∈Z，x2+y2≠2015C．∀x，y∈Z，x2+y2=2015 D．不存在x，y∈Z，x2+y2=20154．（5分）已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．﹣ B． C．﹣ D．5．（5分）已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．26．（5分）已知平面向量和的夹角等于，，，则=（）A．2 B． C． D．7．（5分）已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）A．2+ B．3+ C．2+ D．3+8．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A． B．2 C．2 D．39．（5分）在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤tanx≤”发生的概率为（）A． B． C． D．10．（5分）过点A（2，1）的直线交圆x2+y2﹣2x+4y=0于B，C两点，当|BC|最大时，直线BC的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣7=0 C．x+3y﹣5=0 D．x﹣3y+5=011．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β．B．如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥βC．如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥βD．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点M是线段AB1上的动点，则关于点M到平面C1BD的距离说法正确的是（）A．点M运动到点A时距离最小B．点M运动到线段AB1的中点时距离最大C．点M运动到点B1时距离最大D．点M到平面C1BD的距离为定值二、填空题13．（3分）若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为．15．（3分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，则实数a=．16．（3分）给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；②a，b，c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；④有些向量的坐标等于其起点的坐标，其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）三、解答题17．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也为，试求得黑球、黄球、绿球的概率分别为多少？18．已知圆C：（x﹣1）2+y2=1．（1）若直线与圆C相切且斜率为1，求该直线的方程；（2）求与直线x+y﹣1=0平行，且被圆C截得的线段长为的直线的方程．19．（100分）我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）求出a，b，x，y的值；（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的众数、中位数和平均数．频率分布表组别分组频数频率第1组[50，60）80.16第2组[60，70）a▓第3组[70，80）200.40第4组[80，90）▓0.08第5组[90，100]2b合计▓▓20．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=110，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．21．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，（1）证明：AD⊥D1F；（2）求异面直线AE与D1F所成的角；（3）证明：平面AED⊥平面A1FD1．22．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（I）求椭圆的标准方程；（II）设直线l：y=x+m，是否存在实数m，使直线l与（1）中的椭圆有两个不同的交点M、N，且|AM|=|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年西藏拉萨高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合M={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，N={x|x+1＜0}，则M∩N=（）A．（﹣1，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2）【解答】解：∵集合M={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，∴M={x|﹣2＜x＜1}，∵N={x|x+1＜0}，∴N={x|x＜﹣1}，∴M∩N={x|﹣2＜x＜﹣1}故选C．2．（5分）“a≠2”是直线ax+2y=3与直线x+（a﹣1）y=1相交的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线ax+2y=3与直线x+（a﹣1）y=1平行，则a（a﹣1）﹣2=0，解得a=2或a=﹣1，若直线ax+2y=3与直线x+（a﹣1）y=1相交，则a≠2且a≠﹣1，所以“a≠2”是直线ax+2y=3与直线x+（a﹣1）y=1相交必要不充分条件，故选：B．3．（5分）已知命题p：∃x，y∈Z，x2+y2=2015，则¬p为（）A．∀x，y∈Z，x2+y2≠2015 B．∃x，y∈Z，x2+y2≠2015C．∀x，y∈Z，x2+y2=2015 D．不存在x，y∈Z，x2+y2=2015【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题p：∃x，y∈Z，x2+y2=2015，则¬p为∀x，y∈Z，x2+y2≠2015．故选：A．4．（5分）已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．﹣ B． C．﹣ D．【解答】解：∵α为锐角，sinα=，∴cosα=，那么cos（π+α）=﹣cosα=﹣．故选A．5．（5分）已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【解答】解：设等比数列{an}是公比为q的递增的等比数列，由a2a4=16，可得a1a5=16，又a1+a5=17，解得或（不合题意，舍去），即有q4=16，解得q=2（负的舍去）．故选：D．6．（5分）已知平面向量和的夹角等于，，，则=（）A．2 B． C． D．【解答】解：=2×=1，∴（）2=+4﹣4=4，∴=2．故选A．7．（5分）已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）A．2+ B．3+ C．2+ D．3+【解答】解：由题意：可知该几何体是一个以底面为正方形其边长AB=1的三棱锥，高AS为2，（如图）AS⊥平面ABCD，∴AC=，SD=SB=，∵AD⊥CD，∴SD⊥CD（三垂线定理）∴△SDC是直角三角形．同理：SB⊥CB，∴△SBC是直角三角形．平面SDC的表面积为：AD×SD=，平面ABS的表面积为：AS×AB=1，平面ABD的表面积为：AS×AD=1，平面SBC的表面积为：BS×CB=．平面ABCD表面积为：AB×BC=1所以该几何体的表面积为：3+．故选D．8．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A． B．2 C．2 D．3【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y=（x﹣1），过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l可知：，解得M（3，2）．可得N（﹣1，2），NF的方程为：y=﹣（x﹣1），即，则M到直线NF的距离为：=2．故选：C．9．（5分）在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤tanx≤”发生的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：∵0≤x≤π，﹣1≤tanx≤∴0≤x≤或，则事件“﹣1≤tanx≤”发生的概率P==，故选：A．10．（5分）过点A（2，1）的直线交圆x2+y2﹣2x+4y=0于B，C两点，当|BC|最大时，直线BC的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣7=0 C．x+3y﹣5=0 D．x﹣3y+5=0【解答】解：把圆的方程x2+y2﹣2x+4y=0化为标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=5，∴圆心坐标为（1，﹣2），设直线BC的方程为y=kx+b，又A（2，1），把圆心坐标和A的坐标代入得：，解得，则直线BC的方程为y=3x﹣5，即3x﹣y﹣5=0．故选A11．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β．B．如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥βC．如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥βD．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β【解答】解：在A中，如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则由面面垂直的判定理得α⊥β，故A正确；在B中，如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥β或a⊂β，故B错误；在C中，如果直线a与平面β内的两条相交直线都垂直，则a⊥β，故C错误；在D中，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，则α∥β，故D错误．故选：A．12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点M是线段AB1上的动点，则关于点M到平面C1BD的距离说法正确的是（）A．点M运动到点A时距离最小B．点M运动到线段AB1的中点时距离最大C．点M运动到点B1时距离最大D．点M到平面C1BD的距离为定值【解答】解：连接B1C交BC1于O，连接OD，则OD∥AB1，∴AB1∥平面BDC1，∴M到平面C1BD的距离为定值．故选：D．二、填空题13．（3分）若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是．【解答】解：由方差的计算公式可得：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]=（x12+x22+…+xn2）﹣2=﹣=，∴这组数据的方差是．故答案为：．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为2．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，y=x是其中一条渐近线，∴=，又b2=c2﹣a2，∴=3，∴e2==4，∴e=2．故答案为：2．15．（3分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，则实数a=．【解答】解：∵直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，∴斜率之积等于﹣1，他们的斜率分别为和，∴×=﹣1，∴a=，故答案为．16．（3分）给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；②a，b，c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；④有些向量的坐标等于其起点的坐标，其中的真命题是①④．（写出所有真命题的编号）【解答】解：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；故①正确，②在空间中，当a⊥c且b⊥c时，a∥b不成立，故②错误③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为若sinA＞sinB，则A＞B，为真命题，若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，则A＞B成立，即命题为真命题，④设向量的起点坐标为（x1，y1），终点坐标为（x2，y2），若向量坐标为（x1，y1），则（x1，y1）=（x2，y2）﹣（x1，y1），即2（x1，y1）=（x2，y2），则x2=2x1，y2=2y1，即有些向量的坐标等于其起点的坐标，正确故正确的命题是①④，故答案为：①④三、解答题17．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也为，试求得黑球、黄球、绿球的概率分别为多少？【解答】解：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，设事件A表示“取到红球”，事件B表示“取到黑球”，事件C表示“取到黄球”，事件D表示“取到绿球”，∵得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也为，∴，解得P（B）=P（D）=，P（C）=，∴取得黑球、黄球、绿球的概率分别为．18．已知圆C：（x﹣1）2+y2=1．（1）若直线与圆C相切且斜率为1，求该直线的方程；（2）求与直线x+y﹣1=0平行，且被圆C截得的线段长为的直线的方程．【解答】解：（1）设所求的切线方程为：y=x+b，∴圆心C（1，0）到切线的距离，∴，即或．∴切线方程为或．（2）设所求直线方程为x+y+k=0．∴圆心C到所求直线的距离为=．即：，∴k=0或k=﹣2．∴所求直线方程为x+y=0或x+y﹣2=0．19．（100分）我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）求出a，b，x，y的值；（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的众数、中位数和平均数．频率分布表组别分组频数频率第1组[50，60）80.16第2组[60，70）a▓第3组[70，80）200.40第4组[80，90）▓0.08第5组[90，100]2b合计▓▓【解答】解：（1）由题意可知，=，解得b=0.04；∴[80，90）内的频数为2×2=4，∴样本容量n==50，a=50﹣8﹣20﹣4﹣2=16；又[60，70）内的频率为=0.32，∴x==0.032；[90，100]内的频率为0.04，∴y==0.004；…（4分）（2）由题意可知，第4组共有4人，记为A、B、C、D，第5组共有2人，记为X、Y；从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有AB、AC、AD、BC、BD、CD、AX、AY、BX、BY、CX、CY、DX、DY、XY共15种情况；…（6分）设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，有AX、AY，BX、BY、CX、CY、DX、DY、XY共9种情况；…（7分）所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P（E）==；…（8分）（3）根据频率分布直方图知，众数为×（70+80）=75；…（9分）中位数为；…（10分）平均数0.16×55+0.32×65+0.4×75+0.08×85+0.04×95=70.2．…（12分）20．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=110，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）根据{an}为等差数列，d≠0．前n项和为Sn，且S10=110，即110=10a1+45d，…①∵a1，a2，a4成等比数列．可得：a22=a1•a4．∴（a1+d）2=a1•（a1+3d）…②由①②解得：，∴数列{an}的通项公式为an=2n（2）由bn=，即bn==．那么：数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn=（1﹣++…+）=（1﹣）21．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，