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文档简介

椭圆仿射变换

北师大版选择性必修一第二章：椭圆阅读材料

圆与椭圆椭圆是高中数学的重要内容，在高考中占有比较重要的地位，并且所占分值也比较多。纵观历届高考试题，在选择题、填空题、解答题中都有关于椭圆的试题。对于一些椭圆小题，尤其是放在选填压轴或偏压轴位置的时候学生往往束手无策，而且计算量也偏大。

均匀压缩（或拉伸）是物理学中一种常见的现象，在压缩或拉伸的过程中图形有所变化，但点与图形、直线与图形之间的位置关系却始终保持不变。抓住这种不变性，我们可以将解析几何中的椭圆通过伸缩变换（即仿射变换）转化为圆中问题来处理．例题讲解

【引例】如图2-13，点P是圆Ｏ：

上的动点，作

轴于点H，求线段PH的中点M的轨迹方程，并指出该轨迹是什么图形？所以点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆.解：设点Ｍ的坐标为

，则点P的坐标为

.因为点P在圆O上，所以即

.椭圆

经过仿射变换

得到圆

的过程中有如下对应关系：

①点

变为点

；②若直线斜率存在，记为k，则对应的直线斜率也存在，且

;椭圆

经过仿射变换

得到圆

的过程中有如下对应关系：

③椭圆中弦长

对应圆中弦长

即

；④图形面积S变为

.依据上述关系可得到如下相关结论：⑴、设点A、B为椭圆上关于原点对称的两点，点P是椭圆上异于A、

B的任意一点，若PA、PB的斜率存在，则必有

.⑵、AB为椭圆上不过原点的弦，M为AB的中点，若AB、OM的斜率存在，则必有

.例题讲解例1、椭圆:的左、右顶点分别为

、

，点P在椭圆C上，且直线

的斜率取值范围是

那么直线斜率的取值范围是（）分析：从而答案为B.例2、【2023年全国新高考II.】已知直线

与椭圆

在第一象限交于

，

两点，

与

轴、

轴分别交于

两点，且

则

的方程为____.

例2、【2023年全国新高考II.】已知直线

与椭圆

在第一象限交于

，

两点，

与

轴、

轴分别交于

两点，且

则

的方程为_____________.

分析：将椭圆经过仿射变换得到圆，如下图

例2、【2023年全国新高考II.】已知直线

与椭圆

在第一象限交于

，

两点，

与

轴、

轴分别交于

两点，且

则

的方程为____.

分析：由

有

，从而易证

.所以

，从而直线

的斜率

，则直线

的斜率

.又

，从而

，即点M的坐标为

，则直线

的方程为

，即

.A思路分析：方法一（代数法）联立方程组，消去y得到x的二次方程，用△判断；方法二（几何法）画图，由特殊点的位置来确定直线与椭圆的位置关系。课后练习课后练习2.已知M、N分别是椭圆

和

上的动点，则

面积最大值为_____.3

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