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第=page11页,共=sectionpages11页广东省广州市某中学2025届高三上学期第一次模拟训练数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∈Z|x2+x−2<0,B=x∈N|0≤logA.16 B.15 C.14 D.82.若复数z满足z(1+2i)=3+i,则z=(

)A.1+i B.1−i C.2+i D.2−i3.已知函数y=fx+1的定义域为−1,4,则y=f2x+1A.1,2 B.−1,9 C.1,9 D.−1,24.已知直线l1:ax+2y−4=0,l2:x−a−3y−2=0,则“lA.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.已知向量a=1,−2,b=(cosα,sinα),若aA.43 B.−34 C.−6.已知F1、F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1的左、右焦点,若A.3 B.3 C.2 7.已知圆台的高为1,下底面的面积16π,体积为373π,则该圆台的外接球表面积为(

)A.64π B.81π C.100π D.121π8.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,满足f(x+1)−f(x−1)≥x,f(x+3)−f(x−3)≤3x,且f(1)=1,则f(51)=(

)A.651 B.676 C.1226 D.1275二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知a,b>0,且ab=a+2b+6,则(

)A.ab的最小值为18 B.a2+b2的最小值为36

C.2a+110.直线y=x−2与抛物线C:y2=2x相交于A、B两点,下列说法正确的是A.抛物线C的准线方程为y=−12

B.拋物线C的焦点为12,0

C.若O为原点,则∠AOB=90∘11.已知等差数列an的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,若S25A.当n=24,Sn最大 B.使得Sn<0成立的最小自然数n=48

C.a23+三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.过点1,0且倾斜角为30∘的直线被圆(x−2)2+y213.已知单位向量a,b满足|a+3b|=13,则14.已知函数fx=3sinωx−cosωx−1(ω>0)在区间四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在锐角▵ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向量m=(cosA,(1)求角A的大小;(2)若a=2,求▵ABC周长的取值范围.16.(本小题12分)已知数列an满足a(1)证明:数列an2n(2)求数列an的前n项和Sn17.(本小题12分)如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,侧面BB1C(1)求证:B1C⊥平面(2)若∠B1BC=60∘,OA=OB18.(本小题12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,两个焦点分别为F1(−1,0),F21,0,点A(1)求椭圆C的标准方程和离心率;(2)已知直线l与椭圆C交于M、N两点,且OM⊥ON,求▵OMN面积的取值范围.19.(本小题12分)已知函数f(x)=ln(1)当a=e时,求函数f(x)在(1,f(1))处切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)若g(x)=f(x)−2x2,不等式g(x)≥−1在[1,+∞)上存在实数解,求实数a的取值范围.参考答案1.B

2.A

3.A

4.A

5.B

6.D

7.C

8.A

9.ACD

10.BC

11.ABD

12.​313.π314.1,715.【详解】(1)由m//n,得2c−bcos即2sin而C∈(0,π2),sin又A∈(0,π2)(2)由正弦定理得:bsinB=csinb+c=4由锐角▵ABC,得0<B<π20<2π3因此sin(B+π所以▵ABC周长的范围为2

16.【详解】(1)根据题意由an+1=2a即可得an+1由此可得数列an2n是以a所以an2n即数列{an}(2)由(1)知,an所以Sn所以2S所以−=2+3×2所以S

17.解:(1)证明:因为四边形BB1C又因为AO⊥平面BB1C1C,且B又AO∩BC1=O,AO,BC1⊂平面(2)方法1,由BB1=2,四边形B则△BB1C所以OC因为AO⊥平面BB1COB,OB1,OA则B则AB=设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z)则n⋅AB=3x−易知平面ABC1的一个法向量为则平面ABC1与平面ABC夹角cosθ故平面ABC1与平面ABC夹角的余弦值为方法2,由BB1=2,四边形B则△BB1C所以OC所以AB=取AB中点D,连接OD,CD,在等腰直角▵AOB中,OD⊥AB且OD=1由勾股定理得AC=因为BC=2=AC,则CD⊥AB,CD=注意到OD⊥AB,CD⊥AB,平面ABC1∩所以平面ABC1与平面ABC的夹角即为在▵ODC中,OC=1,OD=62即OC⊥OD⇒cos故平面ABC1与平面ABC夹角的余弦值为

18.解:(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),

依题意:12a2+12b2=1a2=b2+1解得a2=2b2=1,

∴椭圆C的方程为x22+y2=1.

椭圆的离心率为e=ca=22.

(2)当直线OM不垂直于坐标轴时,直线OM的斜率存在且不为0,

设其方程为y=kx(k≠0),

由y=kxx2+2y2=2,

消去y得x2=19.【详解】(1)当a=e时,f(x)=lnx+2ex(x>0),则所以f(1)=2e,f′(1)=1+2e,故在(1,f(1))处切线方程为y−2e=(1+2e)(x−1),所以(1+2e)x−y−1=0.(2)由题设f′(x)=1x+2a当a≥0时,f′(x)>0,即f(x)的递增区间为(0,+∞),无递减区间;当a<0时,0<

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