高等数学 课件 第三章 微分中值定理与导数的应用

第三章微分中值定理与导数的应用目录O1第一节

微分中值定理O2第二节

洛必达法则O3第三节

导数在研究函数中的应用CONTENTSPARTONE第一节

微分中值定理微分中值定理搭建起了运用导数知识去研究函数性态的桥梁，是应用导数的局部性质去研究函数在某区间内的整体性质的重要工具.学习目标：1.了解罗尔中值定理及其几何意义，会用罗尔定理证明方程根的存在性.2.了解拉格朗日中值定理及其几何意义，会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式.3.了解柯西中值定理.一、费马引理

xyOx0驻点(稳定点)

请大家观察右侧图像的特点：二、罗尔中值定理及其几何意义有水平的切线！

(一)罗尔中值定理证明：

！注意：

1.罗尔中值定理的条件是充分不必要条件.例如函数不满足罗尔中值定理的条件(1)、(3)，尽管.

！注意：

2.罗尔中值定理的三个条件缺⼀不可.x=0时不连续x=0时不可导端点值不相等解析：D(二)罗尔中值定理的几何意义构造函数是关键！！前提是：函数连续且可导请大家观察右侧图像的特点：三、拉格朗日中值定理及其几何意义有平行于AB的切线！

AyxOB(一)拉格朗日中值定理拉格朗日中值公式即(二)拉格朗日中值定理的几何意义AC

四、柯西中值定理及其几何意义(一)柯西中值定理×错(二)柯西中值定理的几何意义分析：小结构造辅助函数的思想.罗尔中值定理谢谢聆听第三章微分中值定理与导数的应用目录O1第一节

微分中值定理O2第二节

洛必达法则O3第三节

导数在研究函数中的应用CONTENTSPARTTWO第二节

洛必达法则洛必达法则是用来未定式函数极限的一个重要且有效的方法.学习目标：

如：

二、洛必达法则这种在一定条件下通过分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则.B分子、分母分别求导此时的不属于未定式，可以用代入法求解极限要留意复合函数求导此时的不属于未定式，可以用代入法求解极限时刻谨记：分子、分母分别求导此时不属于未定式的极限，直接代入法求解进行等价无穷小替换使用洛必达法则分母求导注意复合函数求导法则洛必达后要整理整理能约分就约分使用洛必达的时候要注意分子复合函数求导洛必达之后要整理结果利用函数极限四则运算法则分成两部分只能分母进行无穷小替换！！仍然属于未定式，继续使用洛必达法则分子求导注意复合函数求导法则三、其他类型的未定式

割化弦、切化弦通分

通分分母进行等价无穷小替换

整理约分

使用洛必达后要整理小结谢谢聆听第三章微分中值定理与导数的应用目录O1第一节

微分中值定理O2第二节

洛必达法则O3第三节

导数在研究函数中的应用CONTENTSPARTTHREE第三节导数在研究函数中的应用导数在研究函数的性质(单调性、极值、最值、凹凸性、渐近线等)有重要的作用.学习目标：1.掌握函数单调性的判定方法.

2.理解函数极值的概念，并掌握其求法.

3.掌握函数最值的求法及简单应用.4.了解曲线的凹凸性和拐点的含义.

5.了解函数作图的主要步骤.一、函数的单调性xyOabxyOab单调递增

单调递减

xyO-1124增减单调递增函数单调性的判定求定义域

下结论二、函数的极值说明极值是局部性质极值是指y的值极值点是指x的值观察下列函数图像极大值极大值点极小值极小值点说明极值不唯一说明极大值、极小值之间没有必然的大小关系极值存在的必要条件两个条件缺一不可反之不成立极值存在的必要条件极值存在的第一充分条件即函数先增后减即函数先减后增求极值的一般步骤极值存在的第二充分条件三、函数的最大值、最小值最值和极值的关系求最值的步骤x

=k四、函数的凹凸性及其判别法xyO..拐点归结到底就是与二阶导数有关！五、函数的渐近线(水平/垂直/斜渐近线)1.水平渐近线2.垂直渐近线五、函数的渐近线(水平/垂直/斜渐近线)五、函数的渐近线(水平