《中学数列解题方法与应用研究》7800字

中学数列解题方法与应用研究目录TOC\o"1-3"\h\u7346第1章绪论 4300581.1研究的背景 4243441.2研究意义和价值 445411.2.1研究意义 4257611.2.2研究价值 4302521.3研究方法 57271.3.1文献研究法 5247571.3.2比较研究法 5240291.3.3案例分析法 5322181.4目前研究情况 5199141.4.1在研究解题方法方面 5242251.4.2在研究教学方法方面 5242251.4.3在研究综合问题方面 56233第2章中学数列问题的常见解题方法 671402.1求数列通项公式 6242792.1.1观察、归纳法 6200212.1.2公式法 8134832.1.3由前项和求通项 930832.1.4迭代法求通项 11113502.1.5累加法求通项 11174462.1.6累乘法求通项 1337932.1.7由变形公式求通项 13173872.1.8构造法求通项 14171472.1.9取对数法求通项 174516第3章数列综合问题的解题研究 1734073.1数列与函数结合 17168473.2数列与不等式结合 1926594第4章数列在社会生活中的应用 2170624.1数列在分期贷款中的应用（复利） 2115824.2数列在购房估算中的应用（单利） 2220732第5章结束语 2315808参考文献 23摘要：由于数列问题在我国中学的数学中一直占有很大章节,因为随着新课标改革和内容的不断更新,中学数学教师也逐渐意识到了教学方式改变的意义和必要性,传统的古板课堂和教条式的教学模式已经越来越不能满足和超出了中学生的要求。对于一个数列的题目来说,种类不多,关键就是其解题的思路,可以将同一个问题型的其他几个题目进行综合性的思考和总结,加以分析、归类、解答,并在实践中总结出相应的解题思路和方法,举一反三,便提富解题能力。通过深入系统地研究了数列试题的解答思路及其解答方法,对其中的解答技术和方法进行了相应地阐述,目的是为了引导学生们进行一次较为有效、更加系统地的学习。关键词：中学教育；数列问题；解题方法与技巧第1章绪论1.1研究的背景数列是一个综合性极强的章节，所涉及到的领域极广，发展性极强，同时与数学中的其他章节也有密切的联系，并且具有自己的特征。因此,数列多年来始终是我国高考数学课程的研究热点、重要性和难度。数列的学习不仅仅在中学阶段十分重要,同时在大学的高等数学中也涉及广泛,例如级数的应用。在我们的工作和日常生活中,数列也被广泛地应用于各种领域,例如经济增长率、投资优化以及分期贷款等等,对于我们大学生进行数列的研究和教育也是起着至关重要的促进作用。1.2研究意义和价值1.2.1研究意义中学数列是高考的重要考点。同时也是学生容易丢分的一个难点内容。所以，学生在学习过程中，只有真正理解清楚，才能灵活运用。在讲解数列题目时，学生应遵循老师的想法并理解解题的步骤，这是学习数列的重要组成部分。综合类型的题目是数列问题的关键和难点。大多数类型的问题不仅仅涉及数列，依托数列为背景，以彻底考察学生的语言理解能力以及有关等式、不等式和函数的知识的具体应用。从长远来看，数列将是未来数学学习的基础。作为一种特殊的函数，数列可以提高学生的思维能力与抽象概括能力。因此，如果想继续进行数学的学习，数列是一块重要的“基石”。1.2.2研究价值在高考数学中数列的分值占比较大，通常每年都至少有一道大题来专门考察。只有学生对数列有透彻的了解，他们才能吃透这类题，进而提高自身的成绩。因此，当教师指导学生学习一系列问题的解决方案和技能时，更应该训练学生学习如何解决问题、运用知识的能力。数列是高中数学的单独且重要的章节。在学习本章的过程中，教师应该详细解释数列的相关知识点。在教学过程中根据数列的特点加上结合对学生知识的掌握。在引导学生学习时，应广泛采用各种教学方法，使学生可以通过学习问题解决能力和数列解决能力来获得适当的数学技能，以便他们可以使用自己的知识系统通过解决问题来解决实际问题。1.3研究方法1.3.1文献研究法研究和总结数列相关文献，了解数列的过去，当前状况并预测数列的未来，结合当前理论和如何教授数列研究理论，加深对数列的知识和理解。1.3.2比较研究法对各类数列例题进行比较分析，总结出其常考的题型，以及考察方式方法，最终探讨出适合学生的学习的解题方法1.3.3案例分析法通过对数列教学中的案例进行分析，总结数列的可能出现的题型，研究其内在的出题本质与规律，再结合课堂教学案例来得出数列教法的得失。1.4目前研究情况1.4.1在研究解题方法方面金株萌在《高中数学数列的解题常规方法分析》[1]中大致探讨了数列的解题常规思路，对学生的学习可以起到点拨作用。郭继宏在《高考数学数列常见题型及解答对策》[2]中用抛砖引玉的方法引导学生学习，对高考数列复习具有实用性。赵晓晗在《基于新课标下高中数学数列问题分析》[3]中探讨了如何进行数列教学的创新以及生活的实际联系，以提高教学的质量。丁托弟在《浅谈数列的解题思路与技巧》8]中用不同方法分析数列类型，追求学生的深层次理解。1.4.2在研究教学方法方面高丽芳在《高中数学新课程“数列”单元的教学设计中》[4]明确了传统经验的转向的重要性，应该注重学生的迁移学习。贺育斌在《高中数列教学研究中》[5]中重点分析了数学文化融入数列教学的重要性以提高学生的学习兴趣。1.4.3在研究综合问题方面吴香然在《数列综合问题教学探讨》[6]中介绍了一种新方法“三字诀”，通过思路、思想、思辨三个维度来解决数列综合问题。刘翔新在《析高考中数列与其他知识的完美结合》[10]中探讨了数列与函数、方程、不等式、复数相联系，以帮助学生加快解题速度。第2章中学数列问题的常见解题方法2.1求数列通项公式数列的通项公式是数列问题的核心，就像是在研究函数问题时它的解析式对于其的重要性，探讨数列的性质时，找到数列的前项和非常重要。通常，在面对不同的问题时，我们要灵活选择不同的方法进行解题。下面总结了一些适用于数列一般概念的常用公式类型和方法。2.1.1观察、归纳法普遍来说，会通过和的关系求得通项公式后，使用数学归纳法进行猜想出后得到通项公式，然后对其进行证明，最后使用递归公式来找到通项。当我们使用这种观察归纳法后，一定要记住对得到的式子进行检验，这样才能确保通项公式可以满足每一个通项。一般来说可以找出数列中的元素与其位置编号之间的等量关系。通常使用观察、分析、归纳和猜想之类的方法（对于隔行序列，总和通常用和于区分偶数和奇数项的符号）。例1是否能够通过前几项通项，来写出其对应的通项公式。（1）（2）（3）（4）（5）思路分析：对于这种常见的通过题目中的信息来找规律求通项公式的，要求学生认真观察后分析归纳，可以简单地求出通项公式来。解析：（1）原数列可改写为，，，的通项公式为.故所求数列通项为将原数列各项加，得故所求数列的通项为.先不考虑数列的符号，观察数列分母组成的数列的通项为.再考虑符号，可得.这个数列奇数项为然而它的序号所对应的关系为；它的偶数项为与其对应序号的关系是.所以此数列的一个通项是将原数列改写为.又知数列与序号的关系是.故通项为点评：对于仅使用数列的第几项来查找通项式的这种相对简单的问题，要解决的主要问题是找到数列的每个元素与其位置编号之间的关系。这种类型的问题通常由一系列常见数列组成。只要学生仔细观察和思考，就可以找到数列之间的数量关系。应该注意的是，在找到数列的通用公式之后，需要返回原始问题中进行验证，以确保它是正确的。2.1.2公式法对于已经完全了解了这个数列的类型,我们可以直接通过等差数列或者等比数列的通项公式,来进行一个待定系数法公式来进行计算从而求得第一项和公差。例2设等差数列-6B.-4C.-2D.2思路分析：设等差数列.点评：本题综合考察了等差数列通项公式和前项和公式的记忆与运用，要求学生基本功扎实，熟记基本数列的通项公式、前项和公式，即可快速求出结果，同时在考试中遇见要求学生可以做到不丢分，属于高考中的简单题。例3已知递增的等差数列____思路分析：本题没有给出公差，那么我就可以假设等差数列的公差为，从而快速解出，根据数列的递增性，可以快速求出其公差,最后通过公式法可得的通项公式。解析：设等差数列的公差为，由题目已知可得即.又因为该数列为递增数列，所以.故点评：这道练习题考的是一门主要属于等差数列求通项的其中一道基本公式计算方法问题,考察了各种通项数列公式的基本求法,数列的结构单调性,要求学生务必牢记对应的公式,解答时认真计算即可轻松拿下这类题目。2.1.3由前项和求通项高考中常考一类题，就是对于已知数列前项和与的关系或前n项和与的关系，从而求出数列的通项公式，遇见这类题我们应该灵活使用求其通项公式，但需要特别注意以下3个细节：在求解时不要忘记对和时的情况进行讨论，特别是，若使用公式则要求：“合写”，则通项公式应分段写出，即.例4设为数列的前项和，在数列中已知求的通项公式.思路分析：因为已知数列第项与其前项和的关系式，所以我们通过递推法来求数列的通项公式。有三种方法可以选用，以下我们一一来探讨。解法1：已知故可得又有在.解得故是以为首项，为公差的等差数列。因此的通项公式为解法2：由题设，即所以所以有..所以是以2为公差的等差数列。在解得.解法3：由已知有==①所以②.即.又由于.所以是以2为公差的等差数列。.点评：由于本题已给出数列第项与前项和的递推式，故这个公式显得尤为重要，通过巧妙运用从而达到一题多解，充分利用发散思维。同用可能有的时候需要把题目中所给的，这样子题目设问就变成了的关系从而破解问题。2.1.4迭代法求通项迭代法比较特殊，也比较少见，适用于“已知且知的值”型的递推式，可采用逐次递减“下标值”来进行迭代，最后使建立联系而求出.2.1.5累加法求通项遇到“已知，且知”型的题目，我们可以使用累加法来求通项公式，因为如果将几个等式累加后可以在左边得到的形式，只需化简右边之和即可得出结果。例5（2017浙江，20）已知数列证明：设数列的前n项为，证明：.思路分析：题目已经给出，的值为，满足“迭代法”的条件，通过求出，进而解出本题。证明：（1）题目已知得又由于由,有所以 由故由题意得又由，两边同除以可得.由（1）知进而有因此可得由①②得点评：本题考察了数列的递推关系，不等式的基本性质，关键在于通过给出的关系式找到数列的特征。对已知关系式进行变形，易发现是递减数列，又由，可表示出，然后可以计算其范围。在问题（2）中，首先根据问题的构造将其表达，然后通过已知和（1）的结论来找出它们之间的关系。这是一道难题，尤其是问题（2），它要求学生掌握一定数列的相关问题解决策略。因此，学生通常需要接触一些不一样的题目，并在完成问题后仔细考虑问题中使用的方法，尝试寻找哪些知识点以及他们从该问题中学到了什么。2.1.6累乘法求通项对于“已知且知的值”型的递推数列，我们要想到使用累乘法来求通项公式。很明显，在几个等式左边逐一累乘后，可以得到，那么只需化简右边之积，即得所求通项公式。2.1.7由变形公式求通项我们接触到的等差数列的通项公式一般都为：，对于这种的求其通项公式的一般方法是求出相应的首项和公差。但是实际上，对于等差数列的变形公式或有其他巧妙方法，学生可以多加了解与运用，这样在考场上可节约出时间，从而拿下数列题目，下面是等差数列通公式的四个非常有用的变形公式。；.使用上面的四个等差数列通项公式的变式来解决一些对应的求通项问题，通常可以减少计算量，并且方便快捷。以下是举例说明。例6已知等差数列中，，请判断2016是数列中的项吗？如果是，是数列中第几项？思路分析：常规的思路是求出首项，将数列的通项公式表示出再求解。但是，使用等差数列通项公式的变形式可以不需要求解方程式来找到第一项，而要做的就是得到该数列的一般公式项的公差，即得到数列的通项公式。解析：设该等差数列的公差为，通过其变形公式，可得.所以数列的的通项公式为依题意，假设通过解这个方程，可得所以很明显可以看出2016是这个等差数列的第40项。点评：常规思想是求解数列的第一项和公差，而变形公式可用于避免求第一项，而通用项公式可直接找到公差。对等比数列的变形公式进行一下的总结：学生可以通过题目判断选择恰当的公式进行求解相关问题。2.1.8构造法求通项形如“型递推数列求通项公式，通常使用累加（乘）法，数学归纳法，递归法，有时使用构造法来解决问题。这是构造方法用来解决不同形式的递归数列的不同类型的题目。“”型例7已知数列，求的通项公式。解析：令所以.故是首项为1，公比为4的等比数列。所以故数列的通项公式为.小结：对“”型递推数列，一般方法：令解得值，从而可构造出等比数列，进而得数列的通项公式.“”型例8已知数列满足求的通项公式.解析：令由所以.所以是以3为公比的等比数列.所以故数列的通项公式为.小结：对于“”型的数列，方法：可令解出,从而可构造出等比数列，进而可得的通项公式.注：若其中是比次数大1的多项式.“”型例9已知数列求的通项公式.解析：由已知令.故所以故数列的通项公式为小结：对于“”型的数列，首先在两边同除以”，仿例8，构造等比数列进而得的通项公式.形如例10已知满足求的通项公式.解析：令所以两边同除以，得进而可得故是以2为首项，2为公比的等比数列.所以数列的通项公式为.小结：对于的数列，其实质是上面题目的组合，故可借鉴其解法：先设“”，解出,然后两边同除以，像上题，构造等比数列（若s=b则是等差数列），从而可得到的通项公式.2.1.9取对数法求通项有时某个数列的通用项不易用通用方法求解，但取两边的对数后，可以转化为求解数列通用项公式的问题，从而可以容易迅速解决。，以下举例。例11已知数列中，的通项公式。思路分析：回答此问题的传统方法是使用迭代方法，但是它过于抽象和复杂。的确，如果从两边取对数，则很容易将其简化为需要处理的等比数列问题。解析：因为令由等比数列的定义可知：.所以其通项公式为所以.故数列的通项公式为.点评：这个问题很简单，学生应该已经掌握了许多方法，可以考虑迭代方法，累积乘法等，来找到一个数列的通项公式，但是尝试这些方法后，很难解决通用项。因此，学生需要调动所学的数学知识并重新思考其他方法。通过观察，存在更高阶的项。首先要考虑的是降幂，这可以通过对数的性质来实现，从而解决了问题。对于某些分数问题，同时反转分数的两侧可以更改公式的结构，从公式中提取隐藏的信息，揭示问题的本质，并找到解决问题的突破口。第3章数列综合问题的解题研究3.1数列与函数结合数列本身是一种特殊的函数，因此通常存在将序列和功能结合在一起的完整问题。正确的对于这类广泛的问题，学生需要记住函数和数列的某些属性，并使用这些属性来解决问题[9]。在下面以一个问题为例来分析解决此类问题的想法。例12已知函数当时，求；设设，求的值.思路分析：当的通项公式，所以（1）的问题就转化为求数列通项公式，题目中没有给出数列是等差还是等比，而是给出了函数满足了等式因为有了数列的首项，所以可以把给出的函数关系式转化为数列递推公式的形式，令这是等比数列的递推公式，易得的表达式。这样题目就变成了简单的数列求解题目，学生可以更好的理解。解析：（1）令，所以即（2）设因为所以两式相减得即（3）由（1）知所以所以，当由此可见，当.点评：在数列与函数结合的题目中，要尽可能利用函数与数列的关系，进而将函数问题转化为数列问题，主要以函数作为载体，来构造新的数列，从而简便解题的方法，也提供了一种新的思路。3.2数列与不等式结合不等式和数列都是中学数学中重要的内容，它们的结合会使问题变的灵活多样，对学生的计算和观察能力有比较高的要求，在不同的情景下选择合适的解题方法会使题目简便许多[7]，下面举例说明。例13已知数列满足.证明：设数列的前项和为，证明：思路分析：这道题的两问都是证明与数列有关的两个式子满足的不等式。中根据已知条件可推出的取值范围，再将分式利用已知条件给出的关系式化为只含的形式，即即可得出结论。可以从（1）中的结论入手，中的的值不确定，无法判断的范围，所以要将的范围化为只含的式子的范围，，可得累加，从而可得的范围，进而得出结论。解析：（1）由题意得.由得.由即（2）由题意得，所以.由和得所以因此由①②得点评：在证明数列和式不等式时，我们一般用放缩法裂项求和，也可以用等量替换法，来推算整体的取值范围，在解这类题目时，一定要认真观察，灵活选用合适的方法，一道题目可能需要用到多种方法来证明才能解决。第4章数列在社会生活中的应用4.1数列在分期贷款中的应用（复利）当分期付款购买房屋和汽车时，通常会使用数列知识来计算利息。根据单利和复利的特征，可以创建具有相同差异和相同比率的各种数学模型。例14某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付16万元，欠款24万元需贷款，贷款期限10年，分期付款，每月还款相同，月利率为0.4%，购买后下一月当天开始付款，以后每月付款一次，按复利计算该家庭每月实际应付款多少元？购买这套商品房实际总价为多少元？[11]思路分析:分期付款中,使用复利计算，今年产生的利息包括在下一年的主要利息中。题中需要参考以下数据:,.解析:设每月应付款元，则第1月付款与到最后一次付款产生的利息之和为，第2月付款与到最后一次付款产生的利息之和为，第3月付款与到最后一次付款产生的利息之和为，……，第119月付款与到最后一次付款产生的利息之和为，最后一次付款（无利息）为元。各月付款连同利息之和为而按复利计算，贷款金额及产生的利息和为所以即（元）购买这套商品房实际总价为：（元）因此该家庭购买这套商品房每月实际应付款2522.17元，购买这套商品房实际总价为元。4.2数列在购房估算中的应用（单利）例15李欢欢预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付40%（即16万元），欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），每月还欠款2000元，并每月加付欠款利息，月利率为0.4%，购买后下一月当天开始付款，以后每月付款一次，问购买这套商品房实际总价多少元？解析:按等额本金还款方式，设每月还欠款