2024-2025学年高中数学 第1章 三角函数 3 弧度制（教师用书）教学实录 北师大版必修4

2024-2025学年高中数学第1章三角函数3弧度制（教师用书）教学实录北师大版必修4授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路本节课以弧度制为主题，紧密围绕北师大版必修4教材第1章三角函数的内容进行设计。通过引入实际问题，引导学生逐步理解弧度制的概念和性质，并与直角坐标系中的角度制进行对比，帮助学生掌握弧度制的计算和应用。课程设计注重理论与实践相结合，通过实例分析和练习巩固，使学生对弧度制有深刻的理解和运用能力。核心素养目标分析教学难点与重点1.教学重点，

①理解弧度制的概念，并能将弧度与角度进行互化；

②掌握弧度制下三角函数的定义和性质，包括正弦、余弦、正切等基本函数的弧度制表达式；

③能够运用弧度制解决实际问题，如计算圆的弧长、扇形的面积等。

2.教学难点，

①理解弧度制的内在逻辑，建立弧度与角度、弧长与半径之间的关系；

②正确处理弧度制下的三角函数计算，特别是涉及反三角函数和复合函数的情况；

③在实际应用中，能够灵活选择和使用弧度制，解决实际问题，避免错误和混淆。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：系统讲解弧度制的概念、性质和应用，确保学生理解基本理论。

2.讨论法：组织学生讨论弧度制在实际问题中的应用，激发学生思考和解决问题的能力。

3.实例分析法：通过典型例题，引导学生分析解题思路，培养解题技巧。

教学手段：

1.多媒体课件：利用PPT展示弧度制的概念图和解题步骤，提高教学直观性。

2.互动软件：运用几何画板等软件，动态演示弧度制的几何意义，加深理解。

3.网络资源：引入在线教学平台，提供相关视频和练习题，方便学生自主学习和巩固。教学过程一、导入新课

同学们，大家好！今天我们来学习本章的新内容——弧度制。在之前的课程中，我们已经学习了角度制下的三角函数，那么弧度制又是如何与我们熟悉的三角函数相联系的呢？今天，我们就一起来探索这个问题。

二、新课讲授

1.理解弧度制的概念

首先，我们来了解一下弧度制的概念。弧度制是一种角度的度量方法，它以圆的半径为长度单位，将圆的周长分为360等份，每份所对应的圆心角的大小就是1弧度。请同学们跟我一起，用直尺和圆规画一个圆，并尝试用直尺量出圆的周长。

2.弧度与角度的互化

3.弧度制下三角函数的定义和性质

现在，我们已经了解了弧度制的概念和弧度与角度的互化，接下来，我们来学习弧度制下三角函数的定义和性质。请同学们打开课本，找到相应的章节，我们一起来看一下。

首先，我们来看正弦函数。在直角坐标系中，正弦函数的定义是：一个角度α的正弦值，等于这个角度所对应的圆弧长度与半径的比值。请同学们跟我一起，用直尺和圆规画一个圆，并尝试用直尺量出圆上任意角度α所对应的圆弧长度，然后计算这个角度的正弦值。

最后，我们来看正切函数。正切函数的定义是：一个角度α的正切值，等于这个角度所对应的圆弧长度与半径的比值。请同学们尝试用直尺和圆规画出这个圆弧，并计算正切值。

4.弧度制下三角函数的性质

在弧度制下，三角函数具有以下性质：

（1）周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期为2π；

（2）奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数；

（3）对称性：正弦函数和余弦函数在原点对称。

请同学们结合课本，总结一下这些性质，并尝试用实例来验证。

三、课堂练习

为了巩固今天所学的知识，我们来进行一些课堂练习。

1.将以下角度转换为弧度：

（1）30°

（2）45°

（3）60°

2.将以下弧度转换为角度：

（1）π/6

（2）π/4

（3）π/3

3.计算以下角度的正弦值、余弦值和正切值：

（1）α=30°

（2）α=45°

（3）α=60°

四、课堂小结

五、课后作业

1.复习今天所学的知识，完成课本上的练习题。

2.思考一下，如何将弧度制应用于实际问题中，如计算圆的周长、面积等。

3.查阅资料，了解弧度制在工程、物理等领域的应用。

同学们，今天的课程就到这里，希望大家能够认真完成课后作业，巩固所学知识。下课！知识点梳理1.弧度制的定义与性质

-弧度制的概念：以圆的半径为长度单位，将圆的周长分为360等份，每份所对应的圆心角的大小即为1弧度。

-弧度制的性质：弧度制的角度大小与圆的半径无关，仅与圆心角所对应的弧长有关。

-弧度与角度的互化公式：1弧度=180/π°，1°=π/180弧度。

2.弧度制下三角函数的定义

-正弦函数（sin）：一个角度α的正弦值等于这个角度所对应的圆弧长度与半径的比值。

-余弦函数（cos）：一个角度α的余弦值等于这个角度所对应的圆弧长度与半径的比值。

-正切函数（tan）：一个角度α的正切值等于这个角度所对应的圆弧长度与半径的比值。

3.弧度制下三角函数的性质

-周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π。

-奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

-对称性：正弦函数和余弦函数在原点对称。

4.弧度制下三角函数的特殊值

-π/2、π、3π/2、2π等特殊角度的正弦值、余弦值和正切值。

-0、π/4、π/2、3π/4、π、5π/4、3π/2、7π/4等特殊角度的正弦值、余弦值和正切值。

5.弧度制下三角函数的图像

-正弦函数图像：在x轴的正半轴上，函数值从0增加到1，再减少到0；在x轴的负半轴上，函数值从0减少到-1，再增加到0。

-余弦函数图像：在x轴的正半轴上，函数值从1减少到0，再增加到-1；在x轴的负半轴上，函数值从-1增加到0，再减少到1。

-正切函数图像：在x轴的正半轴上，函数值从0增加到无穷大，再减少到0；在x轴的负半轴上，函数值从0减少到负无穷大，再增加到0。

6.弧度制下的三角函数计算

-利用三角函数的定义和性质进行计算。

-运用反三角函数求解三角方程。

-解决实际问题，如计算圆的周长、面积等。

7.弧度制与角度制的转换

-利用弧度与角度的互化公式进行转换。

-在实际问题中灵活运用弧度制和角度制。

8.弧度制在物理、工程等领域的应用

-弧度制在物理学中的运动学、动力学等领域的应用。

-弧度制在工程学中的圆周运动、旋转机械等领域的应用。教学反思与总结今天的课，我觉得整体上还算顺利，但也有些地方值得反思和总结。

首先，我在教学方法上尝试了一些新的方式。比如，我引入了实际的几何图形来帮助学生理解弧度制的概念，这比单纯的理论讲解更直观有效。学生们在画圆和量弧的过程中，对弧度有了更深刻的认识。但是，我也注意到，有些学生对于几何工具的使用还不够熟练，这让我意识到在今后的教学中，我需要更多地关注学生的基本技能训练。

在策略上，我设计了几个层次的练习题，从基础到提高，力求让每个学生都能有所收获。我发现，通过这样的分层练习，基础薄弱的学生能够跟上进度，而学有余力的学生也能够得到进一步的挑战。不过，我也发现，有些学生在面对较难的问题时，容易感到挫败，这说明我需要更细致地观察学生的反应，及时提供帮助和鼓励。

管理方面，我尽量保持了课堂的秩序，但偶尔还是有学生分心。我觉得，这可能是因为课堂的趣味性还不够，我需要更多的互动和活动来吸引学生的注意力。同时，我也意识到，对于一些难以集中注意力的学生，单独的提醒和辅导可能是必要的。

教学效果方面，学生们对弧度制的理解和应用能力有了明显的提升。他们在计算和解决问题的过程中，能够熟练地运用弧度制，这在课堂练习和作业中得到了体现。在情感态度上，学生们对数学的兴趣也有所增加，这让我感到非常欣慰。

然而，也存在一些不足。比如，部分学生对弧度制的概念理解还不够深入，这在他们的作业中有所体现。我需要更多地关注这些学生的个体差异，提供个性化的辅导。另外，课堂上的互动还不够充分，一些学生参与度不高，这需要我在今后的教学中加以改进。

针对这些问题，我提出以下改进措施和建议：

1.在教学中，我会更多地采用小组讨论和合作学习的方式，鼓励学生之间的交流和互助。

2.对于基础薄弱的学生，我会提供额外的辅导和练习，确保他们能够跟上教学进度。

3.我会设计更多有趣且富有挑战性的活动，以提高学生的参与度和学习兴趣。

4.加强课堂管理，通过多样化的教学手段吸引学生的注意力，同时关注学生的个体差异，确保每个学生都能得到关注和帮助。板书设计1.弧度制的概念

①弧度制定义：以圆的半径为长度单位，将圆的周长分为360等份，每份所对应的圆心角的大小即为1弧度。

②弧度与角度互化公式：1弧度=180/π°，1°=π/180弧度。

2.弧度制下三角函数的定义

①正弦函数（sin）：sinα=对应圆弧长度/半径

②余弦函数（cos）：cosα=对应圆弧长度/半径

③正切函数（tan）：tanα=对应圆弧长度/半径

3.弧度制下三角函数的性质

①周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π。

②奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

③对称性：正弦函数和余弦函数在原点对称。

4.特殊角度的三角函数值

①π/2：sin(π/2)=1，cos(π/2)=0，tan(π/2)不存在

②π/4：sin(π/4)=cos(π/4)=√2/2，tan(π/4)=1

③π/3：sin(π/3)=√3/2，cos(π/3)=1/2，tan(π/3)=√3

④3π/4：sin(3π/4)=√2/2，cos(3π/4)=-√2/2，tan(3π/4)=-1

⑤π：sin(π)=0，cos(π)=-1，tan(π)不存在

⑥5π/4：sin(5π/4)=-√2/2，cos(5π/4)=√2/2，tan(5π/4)=-1

⑦3π/2：sin(3π/2)=-1，cos(3π/2)=0，tan(3π/2)不存在

⑧7π/4：sin(7π/4)=-√2/2，cos(7π/4)=-√2/2，tan(7π/4)=1

5.弧度制下三角函数的图像

①正弦函数图像：在x轴的正半轴上，函数值从0增加到1，再减少到0；在x轴的负半轴上，函数值从0减少到-1，再增加到0。

②余弦函数图像：在x轴的正半轴上，函数值从1减少到0，再增加到-1；在x轴的负半轴上，函数值从-1增加到0，再减少到1。

③正切函数图像：在x轴的正半轴上，函数值从0增加到无穷大，再减少到0；在x轴的负半轴上，函数值从0减少到负无穷大，再增加到0。课后作业1.计算以下角度的正弦值、余弦值和正切值：

-角度：45°

-解答：sin(45°)=√2/2，cos(45°)=√2/2，tan(45°)=1

-角度：30°

-解答：sin(30°)=1/2，cos(30°)=√3/2，tan(30°)=1/√3

2.将以下弧度转换为角度：

-弧度：π/6

-解答：角度=(π/6)*(180/π)=30°

-弧度：π/4

-解答：角度=(π/4)*(180/π)=45°

-弧度：π/3

-解答：角度=(π/3)*(180/π)=60°

3.计算以下圆的周长和面积：

-圆的半径：r=5cm

-解答：周长=2πr=2π*5=10πcm，面积=πr^2=π*5^2=25πcm^2

-圆的半径：r=8cm

-解答：周长=2πr=2π*8=16πcm，面积=πr^2=π*8^2=64πcm^2

4.解以下三角方程：

-sin(α)=1/2

-解答：α=π/6或α=5π/6

-cos(α)=-1/2

-解答：α=2π/3或α=4π/3

5.在直角坐标系中，点P的坐标为(3,4)，求点P到原点O的距离。

-解答：距离=√(x^2+y^2)=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5

6.一个圆形花坛的直径为10米，求花坛的周长和面积。

-解答：周长=πd=π*10=10π米，面积=πr^2=π*(10/2)^2=π*5^2=25π平方米

7.一