




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
2023.2024学年九年级数学下册举一反三系列专题6.5相似三角形的
应用•重难点题型
【苏科版】
”娠区初
短储于一更三
【知识点1相似三角形的应用】
在实际生活中,我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时,可以把它们转化为数学问题,建立相似
三角形模型,再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时,需要掌握并应用一些简单的相似三角形模
型。
【题型1相似三角形的应用(九章算术)】
【例I】(2020秋•曾都区期末)《九章算术》是中国古代的数学专著,它奠定了中国古代数学的基本框架,
以计算为中心,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.书中记载了这样一个问题:
“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何.”其大意是:如图,RtZMBC的两条直角边的长分别为5
【变式1-1](2021♦广西模拟)《九章算术》中,有一数学史上有名的测量问题:“今有邑,东西七里,
南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门儿何步而见木?”今译如下:如图,矩形ABC。,
东边城墙人4长9里,南边城墙人。长7里,东门点E,南门点尸分别位于相,人。的中点,EGLAB,
FHA.AD.EG=15里,经过4点,则厂”的长为()
cB
A.0.95里B.1.05里C.2.05里D.2.15里
【变式1-2](2021春•苏州期末)我国古代数学发展源远流长,成就辉煌.著作《九章算术》中就有“井
深几何”问题:“今有井径五尺,不知其深,立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸,问井深几何?”
现在我们
可以解释为:如图,矩形BCQE的边BE、CO表示井的直径,人在C8的延长线上,CO=5尺,AB=5
尺,交于凡82=0.4尺,根据以上条件,可求得井深3。为尺.
【变式1-3](2020•英城区校级一模)《九章算术》是中国古代的数学专著,它奠定了中国古代数学的基
本框架,以计算为中心,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.书中记载了这样
一个问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其大意是:如图,RtaABC的两条直角边的
长分别为5和12,求它的内接正方形CQE尸的边长.
C
【题型2相似三角形的应用(影长问题)】
【例2】(2021•津南区模拟)如图,身高1.8米的小石从一盏路灯下3处向前走了8米到达点C处时,发
现自己在地面上的影子CE长是2米,则路灯的高AB为米.
【变式2-1](2020秋•碑林区校级月考)为更好筹备“十四运”的召开,小颖及其小组成员将利用所学知
识测量一个广告牌的高度EE在第一次测量中,小颖来回走动,走到点。时,其影子末端与广告牌影
子末端重合于点〃,其中。随后,组员在直线QF上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,
这个标记在直线DF上的对应位置为点G.镜子不动,小颖从点D沿着直线FD后退5〃?到B点时,恰
好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合,此时BG=2,〃.
如图,如知AB_L8F,CDVBF,即_1_8/,小颖的身高为1.5m(眼睛到头顶距离忽略不计),平面镜的
厚度忽略不计.根据以上信息,求广告牌的高度ER
【例3】(2020秋•汉寿县期末)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置8Q绕。点旋转到AC位置,
己知A3_L5。,CDLBD,垂足分别为5,D,AO=6m,AB=\.2tn,CO=\m,则栏杆。端应下降的垂直
距离CD为tn.
【变式3-1].(202()•南安市校级自主招生)如图是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A
端时,杠杆绕C点转动,另一端8向上翘起,石头就被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的8端
必须向上翘起10。〃,已知杠杆的动力臂4C与阻力臂8c之比为6:1,要使这块石头滚动,至少要将杠
杆的A端向下压cm.
R
【变式3-2】太原市某学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置绕定点O旋转到0c位置,己知栏杆
的长为3.5加,04的长为3〃?,。点到的距离为0.3m.支柱OE的高为0.5加,则栏杆。端离地面
的距离为.
【变式3-3](2020秋•秦都M期末)随着生活水平的提高,家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具,
为此修建了很多停车场.如图,已知某停车场入口处的栏杆的长野4。长是12米,短臂80长是1.1米,
当长臂端点垂直升高人'C=9米时,短臂端点垂直下降了多少米?(栏杆宽度忽略不计)
【题型4相似三角形的应用(建筑物问题)】
【例4】(2021•市中区一模)如图,李老师用自制的直角三角形纸板去测鼠“步云阁”的高度,他调整自
己的位置,设法使斜边。尸保持水平,边。£与点8在同一直线上,已知直角三角纸板中OE=16o〃,EF
=\2cm,测得眼睛。离地面的高度为1.8米,他与“步云阁”的水平距离。。为104/〃,则“步云阁”的
高度A8是()〃?.
A.75.5B.77.1C.79.8D.82.5
【变式4-1](2021•韩城市模拟)真身宝塔,位于陕西省扶风法门镇法门寺内,因塔下藏有佛祖真身舍利
而得名.小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ,于是,有一天,他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行
测量,测量方案如下:如图,首先,小玲在。处放置一平面境,她从点。沿QC后退,当退行1.8米到
B处时,恰好在镜子中看到塔顶P的像,此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为1.5米;然后,晓静在尸
处竖立了一根高1.6米的标杆EF发现地面上的点M、标杆顶点E和塔顶P在一条直线上,此时测得
FM为2.4米,CF为11.7米,已知PQJLQM,AB1QM,E£LQM,点Q、C、B、F、”在一条直线上,
请根据以上所测数据,计算真身宝塔的高度PQ.
【变式4-2】(2021•雁塔区校级二模)如图,建筑物BC上有一根旗杆A3,小芳计划用学过的知识测量该
建筑物的高度,测量方法如下:在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树TO,小芳沿C。后退,发现地
面上的点E、树顶R旗杆顶端A恰好在一条直线上,继续后退,发现地面上的点G、树顶R建筑物
顶端3恰好在一条直线上,已知旗杆AB=3米,F。=4米,OE=5米,EG=1.5米,点A、B、。在一
条直线上,点。、D、E、G在一-条直线上,AC、尸。均垂直于CG,请你帮助小芳求出这座建筑物的高
BC.
【变式4-3](2021•风翔县一模)青龙寺是西安最著名的樱花观赏地,品种达到了13种之多,每年3、4
月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋.一天,小明和小刚去青龙寺游玩,想利用所学知识测量一棵
樱花树的高度(樱花树四周被围起来了,底部不易到达).小明在尸处竖立了一根标杆ER小刚走到C
处时,站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC
=1.6米;然后,小刚在C处蹲下,小明平移标杆到〃处时,小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端8在
一条直线上,此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC=0.8米.已知EF=G”=2.4米,CF=2米,FH=
1.6米,点C、F、H、A在一条直线上,点M在CO上,COJ_AC,EFLAC,GHrAC,ABYAC.根据
以上测量过程及测量数据,请你求出这棵樱花树AB的高度.
【题型5相似三角形的应用(河宽问题)】
【例5】(2021•津南区模拟)如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一点4再在河的这一边
选定点8和点C,使得AB_LBC,然后选定点£,使EC_L3C,确定3c与AE的交点为。,若测得
=180〃?,DC=60m,EC=50m,你能知道小河的宽是多少吗?
【变式5-1]如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一定4,再在河的这一边选定点8和点C,
使得AB_L8C,然后选定点E,使EC_LBC,确定与AE的交点。,若测得80=180米,。。=60米,
EC=70米,请你求出小河的宽度是多少米?
【变式5-2](2021•岭峭区一模)如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近
岸取点。和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接着再过点S且与PS垂直的直线。上选择适当
的点T,确定”与过点。且垂直PS的直线人的交点R.如果测得QS=45〃z,ST=90m,。/?=60〃?,求
河的宽度PQ.
p
【变式5-3](2020秋•安国市期中)如图,洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度,河的对岸
有一棵大树,底部记为点4,在他们所在的岸边选择了点儿并且使A4与河岸垂直,在8处与地面垂直
竖起标杆3C,再在A3的延长线上选择点。,与地面垂直竖起标杆OE,使得A、C、E三点共线.经测
星,BC=\ni,£>£=1.5〃,,30=5〃,,求小河的宽度.
【题型6相似三角形的应用(内接矩形问题)】
【例6】(2020秋•大理市期末)如图是一块三角形钢材A8C,其中边8c=60o〃,AAD=4^cm,把它加
工成正方形零件,使正方形的一边在8c上,其余两个顶点分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边
长是()
A.16B.24C.30D.36
【变式6-1](2020秋•阳山县期末)如图,有一块锐角三角形材料,边8c=60〃"〃,高AD=45mm,要把
它加工成矩形零件,使其一边在上,其余两个顶点分别在A3,AC,且EH=2EF,则这个矩形零件
的长为()
A.36mmB.40〃〃〃C.12mmD.80〃〃〃
【变式6-2](2021•唐山开学)如图,RtZkABC为一块铁板余料,Zfi=90°,BC=6cm,AB=Scnu要把
它加工成正方形小铁板,有如图所示的两种加工方案,请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长.
方案①方案②
【变式6-3](2021春•东平县期末)如图,要从一块RtZ\A8C的白铁皮零料.上截出一块矩形EFG”白铁
皮.已知NA=90°,AB=}6cm,AC=\2cnb要求截出的矩形的长与宽的比为2:1,且较长边在8C上,
点、E,”分别在4B,4C上,所截矩形的长和宽各是多少?
专题6.5相似三角形的应用•重难点题型
【苏科版】
衣
*呼1交三
【知识点1相似三角形的应用】
在实际生活中,我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时,可以把它们转化为数学问题,建立相似
三角形模型,再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时,需要掌握并应用一些简单的相似三角形模
型。
【题型1相似三角形的应用(九章算术)】
【例I】(2020秋•曾都区期末)《九章算术》是中国古代的数学专著,它奠定了中国古代数学的基本框架,
以计算为中心,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.书中记载了这样一个问题:
“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何.”其大意是;如图,氐△A4C的两条直角边的长分别为5
和12,则它的内接正方形COE尸的边长为()
【解题思路】根据正方形的性质得:DE//BC,则△AOES/SACB,列比例式可得结论.
【解答过程】解:.••四边形COE/是正方形,
:・CD=ED,DE//CF,
设ED=x,则CD=x,AD=5-x,
•:DE//CF,
AZADE=ZC,NAED=NB,
AADE^AACB,
.DEAD
•BC-AC'
x5-x
>•---
125
60
17f
・.・正方形c9的边长为T?
故选:B.
【变式1-1](2021•广西模拟)《九章算术》中,有一数学史上有名的测量问题:“今有邑,东西七里,
南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木?”今译如下:如图,矩形ABCD,
东边城墙4B长9里,南边城墙4D长7里,东门点E,南门点尸分别位于A。的中点,EGLAB,
FH±AD,EG=15里,HG经过A点,则F〃的长为()
A.0.95里B.1.05里C.2.05里D.2.15里
【解题思路】首先根据题意得到△GEAS/XAF”,然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求
得答案即可.
【解答过程】解:EG上AB,FH1AD,HG经过A点、,
J.FA//EG,EA//FH,
・・・NH/%=NAEG=90°,ZFHA=ZEAG,
:.XGE'sXAFH、
FGEA
•••_~~,,
FAFH
•・・A5=9里,D4=7里,EG=15里,
・•・必=3.5里,£4=4.5里,
•1_54.5__
"3.5-FH
解得:FH=L05里.
故选:B.
【变式1-2](2U21春•苏州期末)我国古代数学发展源远流长,成就辉煌.著作《九章算术》中就有“井
深几何”问题:“今有井径五尺,不知其深,立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸,问井深几何?”
现在我们
可以解释为:如图,矩形BCDE的边BE、CD表示井的直径,A在C8的延长线上,CO=5尺,AB=5
尺,AQ交5E于2,82=0.4尺,根据以上条件,可求得井深5。为57.5尺.
【解题思路】利用相似三角形的性质,构建方程求解即可.
【解答过程】解:设3C=x尺.
•・•四边形8CQE是矩形,
:.BF//CD,
・•・^AFB^/XADC,
*FBAB
••=»
DCAC
•0_.4__5_
•■—9
554-X
解得x=57.5,
经检验:x=57.5是分式方程的解.
・・・6C=57.5(尺).
故答案为:57.5.
【变式1-3](2020•茨城区校级一模)《九章算术》是中国古代的数学专著,它奠定了中国古代数学的基
本框架,以计算为中心,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.书中记载了这样
一个问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其大意是:如图,RtZXABC的两条直角边的
长分别为5和12,求它的内接正方形CQE/的边长.
【解题思路】根据正方形的性质得:DE//BC,则列比例式可得结论.
【解答过程】解:•・•四边形CDE户是正方形,
:.CD=ED,DE//CF,
设ED=x,则CD=x>AD=5-x,
•:DE//cr,
/.ZADE=ZC,ZAED=ZB,
・•・△AOES4ACB,
.DEAD
,•BC-AC
xS-x
••,
125
._60
••x=T7'
・•・正方形CDEF的边长为".
17
【题型2相似三角形的应用(影长问题)】
【例2】(2021•津南区模拟)如图,身高1.8米的小石从一盏路灯下8处向前走了8米到达点C处时,发
现0己在地面上的影子CE长是2米,则路灯的高AB为9米.
【解题思路】根据CQ〃A3,得出△ECOS2\£84,进而得Hl比例式求出即可.
【解答过程】解:由题意知,CE=2米,。。=1.8米,BC=8米,CD//AB,
则8E=8CiCE=10米,
':CD//AB,
:AECDSAEBA
CDCEl.82
—=—1,3nBP—=—,
ABBEAB10
解得A8=9(米),
即路灯的高A3为9米;
故答案为:9.
【变式2-1](2020秋•碑林区校级月考)为更好筹备“十四运”的召开,小颖及其小组成员将利用所学知
识测最一个广告牌的高度七月在第一次测量中,小颖来回走动,走到点。时,其影子末端与广告牌影
子末端重合于点从其中。随后,组员在直线OF上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,
这个标记在直线。尸上的对应位置为点G.镜子不动,小颖从点D沿着直线FD后退5〃?到B点时,恰
好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合,此时BG=2m.
如图,已知A8_LBF,CDLBF,EF_LBR小颖的身高为15〃(眼睛到头顶距离忽略不计),平面镜的
厚度忽略不计.根据以上信息,求广告牌的高度EF
【解题思路】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△EFGsMBG,进
而利用相似三角形的性质得出EF的长.
【解答过程】解:设广告牌的高度EF为川〃,
依题意知:DB=5〃i,BG=2m,DH=\m,AB=CD=\.5m.
GD—DB-BG=3nh
:・FG=GD+DF=4m.
VCD±^F,EFLBF,
:.CD//EF.
:AEFHs/\CDH.
EFFHEFDH+DF
—=,即—=------.
CDDHCDDH
%1+DF
•■•___.
1.51
2
:.DF=^x-1.
由平面镜反射规律可得:NEGF=NAGB.
FBIBE,
AZABG=90°=NEFG.
:.XEFGSRABG.
EFFGEFGD+DF
:.—=—,即ti—=------.
ABBGABBG
2
3+/T
•xA
••—•
1.52
;・x=3.
故广告牌的高度EF为3“
【变式2-2](2020•秦皇岛一模)如图所示,AD.HC为两路灯,身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之
诃,两人相距6.5加,小明站在P处,小亮站在Q处,小明在路灯8C下的影长为2〃?,已知小明身高1.8m,
路灯BC高9〃?.小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方,小亮在路灯AD下的影子顶
部恰好位于路灯BC的正下方.
①计算小亮在路灯4。下的影长;
②计算4。的高.
D
C
E・h、F
L--Tk」
AP03
【解题思路】解此题的关键是找到相似三角形,利用相似三柏形的性质,相似三角形的对应边成比例求
解.
【解答过程】解:①・・・"J_A8,CBLAB,
:.ZEPA=ZCBA=90(>
ZEAP=ZCAB,
•••△E4PS/\CAB
.EPAP
''BC~AB
*1.82
••
9AB
:.AB=\()
80=10-2-6.5=1.5;
®*:FQLAB,DAA.AB,
:.ZFQB=ZDAB=90°
•;NFBQ=/DBA,
:•△BFQSABDA
.PQBQ
''DA~AB
.1.81.5
''DA~10
:.DA=\2.
D
【变式2-3】如图,小华在晚上由路灯A走向路灯B.当他走到点尸时,发现他身后影子的顶部刚好接触到
路灯A的底部;当他向前再步行12,〃到达点。时,发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部.已
知小华的身高是16",两个路灯的高度都是9.6〃?,RAP=QB.
(1)求两个路灯之间的距离.
(2)当小华走到路灯3的底部时,他在路灯A卜.的影长是多少?
【解题思路】(I)如图1,先证明△APMs△人BO,利用相似比可得人尸二M/3,再证明△40NS/\8AC,
利用相似比可得8Q=,8,则IB+12+A8=/W,解得AB=18(〃?);
(2)如图2,他在路灯A下的影子为6M证明△NBMS/XNAC,利用相似三角形的性质得二=若,
BN+189.6
然后利用比例性质求出4N即可.
【解答过程】解:(1)如图1,
■:PM//BD,
:.△APMs/XABO,
APPM„AP1.6
—=---,即—=—,
ABBDAB9.6
:,AP=^AB,
■:NQHXC,
:ABNQSABCA,
・•・BQ=^AB,
而AP+PQ+BQ=AB,
11
・・・TB+12+YB=4B,
66
・"B=18.
答:两路灯的距离为18〃?;
(2)如图2,他在路灯4下的影子为6M
,丛NBMs丛NAC,
BNBM「BN1.6
---=----.即-------=—,解得RN=36.
ANACBN+189.6
答:当他走到路灯4时,他在路灯A下的影长是3.6〃?.
【题型3相似三角形的应用(杠杆问题)】
【例3】(2020秋•汉寿县期末)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置8。绕。点旋转到AC位置,
已知CDLBD,垂足分别为8,D,AO=6/〃,43=1.2〃?,CO=1〃?,则栏杆C端应下降的垂直
龙离CD为0.2
AOAB
【解题思路】由NA8O=/C">=90°、ZAOB=ZCOD据此得一=一,将已知
COCD
数据代入即可得.
【解答过程】解:・・・AB_LB。,CDA.BD,
:,ZABO=ZCDO=90a,
又,:NAOB=NCOD,
・•・△A8Os/\coo,
AOAB
则一=—,
COCD
,•AO=6/〃,AB=1.2ffirCO=I//?,
6L2
1-CD'
解得:。=0.2,
・•・栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2〃?.
故答案为:0.2.
【变式3・11.(2020•南安市校级自主招生)如图是用杠杆撬石头的示意图,。是支点,当用力压杠杆的A
瑞时,杠杆绕C点转动,另一瑞8向上翘起,石头就被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的8端
必须向上翘起10。〃,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂8c之比为6:1,要使这块石头滚动,至少要将杠
杆的4端向下压60cm.
L二二二r一
R
【解题思路】首先根据题意构造出相似三角形,然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向卜压
的长度.
【解答过程】解:如图;AM、BN都与水平线的垂直,M,N是垂足,则AM〃BN;
L_Tj,___I
B
•:AM"BN,
:,XACMsXBCN\
.ACAM
•'BC~BN'
•;AC与8c之比为6:1,
i4cAM
—=-----=6,即AM=68M
BCBN
・•・当BN21Qcm时,AM260cw,
故要使这块石头滚动,至少要珞杠杆的端点4向下压605?.
故答案为:60.
【变式3-2】太原市某学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置八8绕定点O旋转到DC位置,已知栏杆
A8的长为3.5加,。4的长为3m,C点到A3的距离为0.3m.支柱OE的高为0.5m,则栏杆。端离地面
的距离为23〃.
D
AO
【解题思路】过。作。GJ_A8于G,过C作C”_LA8于〃,则QG〃。从根据相似三角形的性质即可
得到结论.
【解答过程】解:过。作。GJ_48于G,过C作于从
则DG//CH,
:•△ODGsAOCH,
DG0D
"CH-0C
•・•栏杆从水平位置AB绕固定点0旋转到位置DC,
•\CD=AB=3.5m,0D=0A=3m,CH=03m,
**•OC=0.5〃?,
DG3
・・().3-0.5’
・・・OG=1.8〃?,
•;OE=0.5m,
二栏杆D端离地面的距离为1.8+0.5=23^.
故答案是:23m.
【变式3-3](2020秋•秦都区期末)随着生活水平的提高,家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具,
为此修建了很多停车场.如图,已知某停车场入口处的栏杆的长臂AO长是12米,短臂80长是1.1米,
当长臂端点垂直升高A'C=9米时,短臂端点垂直下降了多少米?(栏杆宽度忽略不计)
【解题思路】栏杆长短臂在升降过程中,将形成两个相似三用形,利用对应边成比例解题.
【解答过程】解:C±AB,B'Q_LA5,
:.ZOCA'=ZODB'=90°,
又,:(CON=ZDOBf,
•••△OCA'S^ODB'.
.睡_BrQ
''AfC-40'
即丝==
912
:・B0=用#=0.825,
【题型4相似三角形的应用(建筑物问题)】
[例4](2021•市中区一模)如图,李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度,他调整自
己的位置,设法使斜边。"保持水平,边DE与点。在同一直线上,已如直角二角纸板中OE=16口〃,EF
=\2cm,测得眼睛。离地面的高度为1.8米,他与“步云阁”的水平距离CD为104m,则“步云阁”的
高度AB是()m.
A.75.5B.77.1C.79.8D.82.5
【解题思路】先判定△。斯和AOCB相似,然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长,再加
上AC即可得解.
【解答过程】解:在△。曰7和AOCB中,
VZD=ZD,NDEF=/DCB=90",
ADEFsADCB,
•DE__C_D
••,
EFBC
16104
即——=---,
12BC
解得:8c=78(m),
Vz4C=1.8m,
・"B=AC+BC=1.8+78=79.8(m),
即树高79.8/n,
故选:C.
【变式47】(2021•韩城市模拟)真身宝塔,位于陕西省扶风法门镇法门寺内,因塔下藏有佛祖真身舍利
而得名.小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ,于是,有一天,他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行
测量,测量方案如下:如图,首先,小玲在。处放置一平面境,她从点。沿。。后退,当退行1.8米到
B处时,恰好在镜子中看到塔顶P的像,此时测得小玲眼睛到地面的距离为1.5米;然后,晓静在尸
处竖立了一根高1.6米的标杆ER发现地面上的点M、标杆顶点石和塔顶P在一条直线上,此时测得
产/W为2.4米,。尸为11.7米,已知PQLQM,AB1QM,EFLQM,点Q、C、B、尸、M在一条直线上,
请根据以上所测数据,计算真身宝塔的高度PQ.
【解题思路】根据已知条件推出△PCQs^ACB,求得QC=I.2尸。,乂根据相似三角形的性质得到=二
1.6
QC+11.7+2.4十口
-~-——,于是得到答案.
2.4
【解答过程】解:ZPQC=^ABC=90a,ZPCQ=ZACB,
:.XPCQs2ACB,
.PQQC
“AB~CBf
.PQQC
"1.5-1.8’
/.QC=\.2PQ,
VZPQF=ZEFAf=90<,,NPMQ=NEMF,
:.丛PMQs^EMF,
.PQQM
**EF-~FM'
.PQ__QC+11.7+2.4
**1.6-2.4'
却丝_1.2PQ+11.7+2.4
:.PQ=47,
答:真身宝塔的高度PQ为47米.
【变式4-2](2021•雁塔区校级二模)如图,建筑物8c上有一根旗杆4B,小芳计划用学过的知识测量该
建筑物的高度,测量方法如下:在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树产。,小芳沿C。后退,发现地
面上的点从树顶从旗杆顶端A怡好在一条直线上,继续后退,发现地面上的点。、树顶从建筑物
顶端B恰好在一条直线上,已知旗杆48=3米,产。=4米,力E=5米,EG=1.5米,点A、B、C在一
条直线上,点C、D、E、G在一条直线上,AC、FD均垂直于CG,请你帮助小芳求出这座建筑物的高
BC.
【解题思路】根据相似三角形的判定和性质得出C。,进而解答即可.
【解答过程】解:由题意可得,NACE=/EDF=90°,NAEC=NFED,
・•・△ACES/XFDE,
AC__CE_
FD-DE'
3+BCCD+5
即
45
5BC-5
・•・CD=
4-
由题意可得,NBCG=NFDG=90°,4BGC=NFGD,
:・4BCGS4FDG,
BCCG
FD~DG
BCCD+5+1.5
即一=
45+1.5
・・・6.58C=4(CO+6.5),
5BC-5
.\6.5/?C=4x+26.
4
:.BC=\4(米),
・••这座建筑物的高4c为14米.
【变式4-3](2021•凤翔县一模)青龙寺是西安最著名的樱花观赏地,品种达到了13种之多,每年3、4
月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋.一天,小明和小刚去青龙寺游玩,想利用所学知识测量一棵
樱花树的高度(樱花树四周被围起来了,底部不易到达).小明在/处竖立了一根标杆ER小刚走到C
处时,站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离OC
=1.6米;然后,小刚在C处蹲下,小明平移标杆到“处时,小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在
一条直线上,此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC=0.8米.已知七尸=G〃=2.4米,C/=2米,FH=
1.6米,点C、尸、H、A在一条直线上,点M在C。上,CDLAC,EFA,AC,GHA.AC,人B_LAC.根据
以上测量过程及测量数据,请你求出这棵樱花树A/3的高度.
【解题思路】过点。作。于点P,交石产于点N,过点M作MQ_LAB于点Q,交GH于点K,构
造相似三角形:△DENs^DBP,AGMKS/^BMQ,利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长
度即可.
【解答过程】解:过点、D作DPLAB于点、P,交EF于点N,过点M作MQ_LA8于点Q,交G”于点K,
由题意可得:DP=MQ=AC,DN=CF=2米,MK=CH,A户=。。=1.6米,AQ="K=MC=0.8米.
ZEDN=ZBDP,/END=/BPD=9U°,
:.△DENs/\DBP,
.BPDP
••EN~DN'
.一B-1.6_AC
"2.4-1.6-2,
.:4GMK=/BMQ,ZGKM=BQM=90<>,
:.AGMKS/\BMQ
.BQQM
・・GK~MK'
AB-Q.SAC
•・24-0.8-2+1.6
・・・AB=8.8(米).
【题型5相似三角形的应用(河宽问题)】
【例5】(2021•津南区模拟)如困,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一点A,再在河的这一边
选定点8和点C,使得A8_LBC,然后选定点E,使EC_L8C,确定8c与AE的交点为。,若测得8。
=180〃?,DC=60机,EC=50",你能知道小河的宽是多少吗?
【解题思路】先证明△AAQsasc。,利用对应边成比例可求出A3的长度.
【解答过程】解:由已知得,ZABD=ZDCE=90°,ZADB=ZCDE,
・•・XABDsRECD,
ABBD
•♦=9
ECDC
AB180
将87)=180/〃,DC=60m,EC=50m,代入可得:—=---,
5060
解得:AB=I5O.
答:小河的宽是1507n.
【变式5-1]如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一定A,再在河的这一边选定点4和点C,
使得A8_L5C,然后选定点£,使£CJ_8C,确定4c与人£的交点。,若测得6。=180米,。。=60米,
EC=70米,请你求出小河的宽度是多少米?
A
E
【解题思路】先证明然后利用相似比计算即可得到小河的宽度.
【解答过程】解:•・・AB_LBZZECtBC,
:.AB//CE,
二LABDsAECD,
ABBDAB180
:.—=,艮fl—=----,
CECD7060
:.AB=2\0.
答:小河的宽度是210米.
【变式5-2](2021•蛇恫区一模)如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近
岸取点。和S,使点P、Q、S共线且直线尸S与河垂直,接着再过点S且与尸S垂直的直线”上选择适当
灼点T,确定尸7与过点。且垂直尸S的直线〃的交点R如果测得QS=45/〃,ST=90m,QR=60/〃,求
同的宽度PQ.
【解题思路】根据相似三角形的性质得出算黑二等,进而代入求出即可.
【解答过程】解:根据题意得出:QR〃S7,
则△PQRS/\P5T,
+6PQQR
故-------=—,
PQ+QSST
•;QS=45〃i,ST=90m,QR=6()m,
.PQ60
•・pQ+45-90’
解得:PQ=90(加,
・•・河的宽度为90米.
【变式5-3](2020秋•安国市期中)如图,洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度,河的对岸
有一棵大树,底部记为点A,在他们所在的岸边选择了点儿并且使43与河岸垂直,在3处与地面垂直
竖起标杆3C,再在A4的延长线上选择点。,与地面垂直竖起标杆使得A、C、£三点共线.经测
量,BC=lm,DE=1.5m,BD=5mf求小河的宽度.
【解题思路】由8CJ_AO,EDLAD,可得・•・△ABCs利用相似三角形的性质构建方程即可解决
问题.
【解答过程】解.:设小河的宽度根据题意得:8C-AD,ED±AD,
・•・△ABCsAADE,
,A8:AD=BC:ED,
A-:(x+5)=1:1.5,
解得x=10,:,AB=\0,
却小河的宽度为10米.
【题型6相似三角形的应用(内接矩形问题)】
【例6】(2020秋•大理市期末)如图是一块三角形钢材ABC,其中边BC=60c/〃,高AD=40”〃,把它加
工成正方形零件,使正方形的一边在3c上,其余两个顶点分别在A8,4C上,则这个正方形零件的边
长是()
C.30D.36
【解题思路】根据正方形的对边平行得到BC//EF,利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其
它两边的延长线,得到的三角形与原三角形相似”,设正方形零件的边长为则KD=Er=xo〃,AK
=(40・x)a〃,根据相似三角形的性质得到比例式,解方程即可得到结果.
【解答过程】解:•・•四边形EGHF为正方形,
:.BC//EF,
・•・AAEF^AA^C:
设正方形零件的边长为xcm,则KO=Er=xc,〃,AK=(40-x)cm,
•・・AO_LBC,
EFAK
•••___=__9
BCAD
x40-x
•.=9
6040
解得:x=24.
即:正方形零件的边长为24a”.
故选:B.
【变式6-1](202()秋•阳山县期末)如图,有一块锐角三角形材料,边BC=6()mm,高人力=45〃刈,要把
它加工成矩形零件,使其一边在4c上,其余两个顶点分别在AC,且EH=2EF,则这个矩形零件
的长为()
A.36mmB.40mmC.12mmD.80〃〃〃
【解题思路】设矩形的宽以工加加,则长石〃=2加〃?,由矩形的性质得到E〃〃8C,EF//AD,推出△
AEH^^ABC,ABEFsABAD,再根据相似三角形对应边成比例列出比例式,然后进行计算即可求得结
果.
【解答过程】解:设矩形的宽EF=m〃小则长£〃=前加,
•・•四边形EFG”为矩形,
:.EH〃BC,EF//AD,
:AAEHs&\B3ABEFsABAD,
EFBEEHAE
"AD-BA'BC-AB'
XBE2xAE
**45-BA60-AB'
':BE+AE=AB,
X2xBEAEAB
*>45+60~ABAB~AB~'
解得:X=18,
.*.EF=1Smm,EH=36mm,
故选:A.
【变式6-2](2021•唐山开学)如图,RtZ\A5C为一块铁板余料,ZB=90°,BC=6cm,AB=Scm,要把
它加工成正方形小铁板,有如图所示的两种加工方案,请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长.
方案①方案②
【解题思路】方案①:设正方形的边长为肛/〃,然后求出和aABC相似,利用相似三角形对应边
成比例列式计算即可得解.
方案②:作B”_LAC于”,交DE于K,构造矩形。K”G和相似三角形(ABDEsABCA),利用矩形
的性质和等面积法求得线段8〃的长度,则8K=4.8-),;然后由相似三角形的对应边成比例求得答案.
【解答过程】解:设方案①正方形的边长为XC",,
VZABC=90°,四边形8OFE是正方形,
:,EF〃BC,
:,AAEF^AABC,
EFAE
••一,
BCAB
r8-Xx
却一=一,
86
解得x=竽
即加工成正方形的边长为彳cm.
设方案②正方形的边长为>。小作8〃_LAC于〃,交DE于K,
•・•四边形EDG/是正方形,
:.DE//AC,NEDG=NDGF=90°.
于K.
:・NDKH=90°.
・•・四边形QK〃G为矩形.
故设HK=DG=y.
:.DE"AC.
:.4BDES/\BCA.
.BKDE
,,BH
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 农业现代化智能种植设备选型与优化方案
- 青春时光知识结构
- 炎症问题的治疗与改善方案
- 韶关停车场标线施工方案
- 2025年乡村医生考试题库-基础医学知识核心知识点测试
- 2025年成人高考《语文》写作素材积累:小说故事素材解析试题
- 2025年初中地理乡土地理特色模拟试卷及答案解析实战技巧解析
- 急诊安全转运病人的流程
- 2025年大数据分析师职业技能测试卷:大数据在人力资源领域的应用试题
- 平台排水沟护脚施工方案
- GB/T 18282.1-2025医疗保健产品灭菌化学指示物第1部分:通则
- 《油藏物理》西安石油大学学习通超星期末考试答案章节答案2024年
- 江苏省建筑与装饰工程计价定额(2014)电子表格版
- 高填方路基施工危险源辨识及风险评价
- NBC(一体式)系列气体保护焊机说明书(凯尔达)
- 吉他谱《像青春一样怒放》–水木年华(C调原创版)-By 闲来赏花
- 封头标准参数表
- 2002版工程勘察设计收费标准
- 私企财务制度
- E算量软件电气工程计算底稿(案例工程)
- 翻转课堂教学模式与设计.ppt
评论
0/150
提交评论