2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题65 相似三角形的应用-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析

2023.2024学年九年级数学下册举一反三系列专题6.5相似三角形的

应用•重难点题型

【苏科版】

”娠区初

短储于一更三

【知识点1相似三角形的应用】

在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似

三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模

型。

【题型1相似三角形的应用（九章算术）】

【例I】（2020秋•曾都区期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架,

以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.书中记载了这样一个问题:

“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何.”其大意是：如图，RtZMBC的两条直角边的长分别为5

【变式1-1]（2021♦广西模拟）《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，

南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门儿何步而见木？”今译如下：如图，矩形ABC。,

东边城墙人4长9里，南边城墙人。长7里，东门点E,南门点尸分别位于相，人。的中点，EGLAB,

FHA.AD.EG=15里，经过4点，则厂”的长为（）

cB

A.0.95里B.1.05里C.2.05里D.2.15里

【变式1-2]（2021春•苏州期末）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌.著作《九章算术》中就有“井

深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”

现在我们

可以解释为：如图，矩形BCQE的边BE、CO表示井的直径，人在C8的延长线上，CO=5尺，AB=5

尺，交于凡82=0.4尺，根据以上条件，可求得井深3。为尺.

【变式1-3]（2020•英城区校级一模）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基

本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.书中记载了这样

一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，RtaABC的两条直角边的

长分别为5和12,求它的内接正方形CQE尸的边长.

C

【题型2相似三角形的应用（影长问题）】

【例2】（2021•津南区模拟）如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下3处向前走了8米到达点C处时，发

现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为米.

【变式2-1]（2020秋•碑林区校级月考）为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知

识测量一个广告牌的高度EE在第一次测量中，小颖来回走动，走到点。时，其影子末端与广告牌影

子末端重合于点〃，其中。随后，组员在直线QF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记,

这个标记在直线DF上的对应位置为点G.镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5〃?到B点时，恰

好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG=2，〃.

如图，如知AB_L8F,CDVBF,即_1_8/，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的

厚度忽略不计.根据以上信息，求广告牌的高度ER

【例3】（2020秋•汉寿县期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置8Q绕。点旋转到AC位置，

己知A3_L5。，CDLBD,垂足分别为5,D,AO=6m,AB=\.2tn,CO=\m,则栏杆。端应下降的垂直

距离CD为tn.

【变式3-1].（202（）•南安市校级自主招生）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A

端时，杠杆绕C点转动，另一端8向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的8端

必须向上翘起10。〃，已知杠杆的动力臂4C与阻力臂8c之比为6：1,要使这块石头滚动，至少要将杠

杆的A端向下压cm.

R

【变式3-2】太原市某学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕定点O旋转到0c位置，己知栏杆

的长为3.5加，04的长为3〃?，。点到的距离为0.3m.支柱OE的高为0.5加，则栏杆。端离地面

的距离为.

【变式3-3]（2020秋•秦都M期末）随着生活水平的提高，家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具，

为此修建了很多停车场.如图，已知某停车场入口处的栏杆的长野4。长是12米，短臂80长是1.1米,

当长臂端点垂直升高人'C=9米时，短臂端点垂直下降了多少米？（栏杆宽度忽略不计）

【题型4相似三角形的应用（建筑物问题）】

【例4】（2021•市中区一模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测鼠“步云阁”的高度，他调整自

己的位置，设法使斜边。尸保持水平，边。£与点8在同一直线上，已知直角三角纸板中OE=16o〃，EF

=\2cm,测得眼睛。离地面的高度为1.8米，他与“步云阁”的水平距离。。为104/〃，则“步云阁”的

高度A8是（）〃?.

A.75.5B.77.1C.79.8D.82.5

【变式4-1］（2021•韩城市模拟）真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因塔下藏有佛祖真身舍利

而得名.小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ,于是，有一天，他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行

测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在。处放置一平面境，她从点。沿QC后退，当退行1.8米到

B处时，恰好在镜子中看到塔顶P的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为1.5米；然后，晓静在尸

处竖立了一根高1.6米的标杆EF发现地面上的点M、标杆顶点E和塔顶P在一条直线上，此时测得

FM为2.4米，CF为11.7米，已知PQJLQM,AB1QM,E£LQM,点Q、C、B、F、”在一条直线上,

请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度PQ.

【变式4-2】（2021•雁塔区校级二模）如图，建筑物BC上有一根旗杆A3,小芳计划用学过的知识测量该

建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树TO，小芳沿C。后退，发现地

面上的点E、树顶R旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶R建筑物

顶端3恰好在一条直线上，已知旗杆AB=3米，F。=4米，OE=5米，EG=1.5米，点A、B、。在一

条直线上，点。、D、E、G在一-条直线上，AC、尸。均垂直于CG,请你帮助小芳求出这座建筑物的高

BC.

【变式4-3]（2021•风翔县一模）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4

月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋.一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵

樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）.小明在尸处竖立了一根标杆ER小刚走到C

处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC

=1.6米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到〃处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端8在

一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC=0.8米.已知EF=G”=2.4米，CF=2米，FH=

1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CO上，COJ_AC,EFLAC,GHrAC,ABYAC.根据

以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度.

【题型5相似三角形的应用（河宽问题）】

【例5】（2021•津南区模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点4再在河的这一边

选定点8和点C，使得AB_LBC,然后选定点£,使EC_L3C,确定3c与AE的交点为。，若测得

=180〃?，DC=60m,EC=50m,你能知道小河的宽是多少吗?

【变式5-1]如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一定4,再在河的这一边选定点8和点C,

使得AB_L8C,然后选定点E,使EC_LBC,确定与AE的交点。，若测得80=180米，。。=60米,

EC=70米，请你求出小河的宽度是多少米？

【变式5-2]（2021•岭峭区一模）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近

岸取点。和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线。上选择适当

的点T，确定”与过点。且垂直PS的直线人的交点R.如果测得QS=45〃z,ST=90m,。/?=60〃?，求

河的宽度PQ.

p

【变式5-3]（2020秋•安国市期中）如图，洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸

有一棵大树，底部记为点4,在他们所在的岸边选择了点儿并且使A4与河岸垂直，在8处与地面垂直

竖起标杆3C,再在A3的延长线上选择点。，与地面垂直竖起标杆OE,使得A、C、E三点共线.经测

星，BC=\ni,£>£=1.5〃，，30=5〃，，求小河的宽度.

【题型6相似三角形的应用（内接矩形问题）】

【例6】（2020秋•大理市期末）如图是一块三角形钢材A8C,其中边8c=60o〃，AAD=4^cm,把它加

工成正方形零件，使正方形的一边在8c上，其余两个顶点分别在AB,AC上，则这个正方形零件的边

长是（）

A.16B.24C.30D.36

【变式6-1]（2020秋•阳山县期末）如图，有一块锐角三角形材料,边8c=60〃"〃，高AD=45mm,要把

它加工成矩形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在A3,AC,且EH=2EF,则这个矩形零件

的长为（）

A.36mmB.40〃〃〃C.12mmD.80〃〃〃

【变式6-2]（2021•唐山开学）如图，RtZkABC为一块铁板余料，Zfi=90°,BC=6cm,AB=Scnu要把

它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长.

方案①方案②

【变式6-3]（2021春•东平县期末）如图，要从一块RtZ\A8C的白铁皮零料.上截出一块矩形EFG”白铁

皮.已知NA=90°,AB=}6cm,AC=\2cnb要求截出的矩形的长与宽的比为2：1,且较长边在8C上，

点、E,”分别在4B,4C上，所截矩形的长和宽各是多少？

专题6.5相似三角形的应用•重难点题型

【苏科版】

衣

*呼1交三

【知识点1相似三角形的应用】

在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似

三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模

型。

【题型1相似三角形的应用（九章算术）】

【例I】（2020秋•曾都区期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架,

以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.书中记载了这样一个问题:

“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何.”其大意是；如图，氐△A4C的两条直角边的长分别为5

和12,则它的内接正方形COE尸的边长为（）

【解题思路】根据正方形的性质得:DE//BC,则△AOES/SACB,列比例式可得结论.

【解答过程】解：.••四边形COE/是正方形,

:・CD=ED,DE//CF,

设ED=x,则CD=x,AD=5-x,

•：DE//CF,

AZADE=ZC,NAED=NB,

AADE^AACB,

.DEAD

•BC-AC'

x5-x

>•---

125

60

17f

・.・正方形c9的边长为T?

故选：B.

【变式1-1]（2021•广西模拟）《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，

南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形ABCD,

东边城墙4B长9里，南边城墙4D长7里，东门点E,南门点尸分别位于A。的中点，EGLAB,

FH±AD,EG=15里，HG经过A点，则F〃的长为（）

A.0.95里B.1.05里C.2.05里D.2.15里

【解题思路】首先根据题意得到△GEAS/XAF”，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求

得答案即可.

【解答过程】解：EG上AB,FH1AD,HG经过A点、,

J.FA//EG,EA//FH,

・・・NH/%=NAEG=90°,ZFHA=ZEAG,

:.XGE'sXAFH、

FGEA

•••_~~,，

FAFH

•・・A5=9里，D4=7里，EG=15里,

・•・必=3.5里，£4=4.5里，

•1_54.5__

"3.5-FH

解得：FH=L05里.

故选：B.

【变式1-2]（2U21春•苏州期末）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌.著作《九章算术》中就有“井

深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”

现在我们

可以解释为：如图，矩形BCDE的边BE、CD表示井的直径，A在C8的延长线上，CO=5尺，AB=5

尺，AQ交5E于2，82=0.4尺，根据以上条件，可求得井深5。为57.5尺.

【解题思路】利用相似三角形的性质，构建方程求解即可.

【解答过程】解：设3C=x尺.

•・•四边形8CQE是矩形，

:.BF//CD,

・•・^AFB^/XADC,

*FBAB

••=»

DCAC

•0_.4__5_

•■—9

554-X

解得x=57.5,

经检验：x=57.5是分式方程的解.

・・・6C=57.5（尺）.

故答案为：57.5.

【变式1-3]（2020•茨城区校级一模）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基

本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.书中记载了这样

一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，RtZXABC的两条直角边的

长分别为5和12,求它的内接正方形CQE/的边长.

【解题思路】根据正方形的性质得：DE//BC,则列比例式可得结论.

【解答过程】解：•・•四边形CDE户是正方形，

：.CD=ED,DE//CF,

设ED=x,则CD=x>AD=5-x,

•：DE//cr,

/.ZADE=ZC,ZAED=ZB,

・•・△AOES4ACB,

.DEAD

,•BC-AC

xS-x

••,

125

._60

••x=T7'

・•・正方形CDEF的边长为".

17

【题型2相似三角形的应用（影长问题）】

【例2】（2021•津南区模拟）如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下8处向前走了8米到达点C处时，发

现0己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为9米.

【解题思路】根据CQ〃A3,得出△ECOS2\£84,进而得Hl比例式求出即可.

【解答过程】解：由题意知，CE=2米，。。=1.8米，BC=8米，CD//AB,

则8E=8CiCE=10米,

'：CD//AB,

:AECDSAEBA

CDCEl.82

—=—1,3nBP—=—,

ABBEAB10

解得A8=9（米），

即路灯的高A3为9米；

故答案为：9.

【变式2-1]（2020秋•碑林区校级月考）为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知

识测最一个广告牌的高度七月在第一次测量中，小颖来回走动，走到点。时，其影子末端与广告牌影

子末端重合于点从其中。随后，组员在直线OF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，

这个标记在直线。尸上的对应位置为点G.镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5〃?到B点时，恰

好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG=2m.

如图，已知A8_LBF,CDLBF,EF_LBR小颖的身高为15〃（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的

厚度忽略不计.根据以上信息，求广告牌的高度EF

【解题思路】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△EFGsMBG,进

而利用相似三角形的性质得出EF的长.

【解答过程】解：设广告牌的高度EF为川〃，

依题意知：DB=5〃i,BG=2m，DH=\m,AB=CD=\.5m.

GD—DB-BG=3nh

:・FG=GD+DF=4m.

VCD±^F,EFLBF,

：.CD//EF.

:AEFHs/\CDH.

EFFHEFDH+DF

—=,即—=------.

CDDHCDDH

%1+DF

•■•___.

1.51

2

：.DF=^x-1.

由平面镜反射规律可得：NEGF=NAGB.

FBIBE,

AZABG=90°=NEFG.

:.XEFGSRABG.

EFFGEFGD+DF

:.—=—,即ti—=------.

ABBGABBG

2

3+/T

•xA

••—•

1.52

；・x=3.

故广告牌的高度EF为3“

【变式2-2]（2020•秦皇岛一模）如图所示，AD.HC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之

诃，两人相距6.5加，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯8C下的影长为2〃?，已知小明身高1.8m,

路灯BC高9〃?.小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶

部恰好位于路灯BC的正下方.

①计算小亮在路灯4。下的影长；

②计算4。的高.

D

C

E・h、F

L--Tk」

AP03

【解题思路】解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三柏形的性质，相似三角形的对应边成比例求

解.

【解答过程】解：①・・・"J_A8,CBLAB,

：.ZEPA=ZCBA=90(>

ZEAP=ZCAB,

•••△E4PS/\CAB

.EPAP

''BC~AB

*1.82

••

9AB

：.AB=\()

80=10-2-6.5=1.5；

®*：FQLAB,DAA.AB,

：.ZFQB=ZDAB=90°

•；NFBQ=/DBA,

:•△BFQSABDA

.PQBQ

''DA~AB

.1.81.5

''DA~10

：.DA=\2.

D

【变式2-3】如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B.当他走到点尸时，发现他身后影子的顶部刚好接触到

路灯A的底部；当他向前再步行12,〃到达点。时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部.已

知小华的身高是16",两个路灯的高度都是9.6〃?，RAP=QB.

(1)求两个路灯之间的距离.

(2)当小华走到路灯3的底部时，他在路灯A卜.的影长是多少？

【解题思路】(I)如图1,先证明△APMs△人BO,利用相似比可得人尸二M/3,再证明△40NS/\8AC,

利用相似比可得8Q=，8,则IB+12+A8=/W,解得AB=18(〃?)；

(2)如图2,他在路灯A下的影子为6M证明△NBMS/XNAC,利用相似三角形的性质得二=若,

BN+189.6

然后利用比例性质求出4N即可.

【解答过程】解：(1)如图1，

■:PM//BD,

：.△APMs/XABO,

APPM„AP1.6

—=---,即—=—,

ABBDAB9.6

：,AP=^AB,

■:NQHXC,

:ABNQSABCA,

・•・BQ=^AB,

而AP+PQ+BQ=AB,

11

・・・TB+12+YB=4B,

66

・"B=18.

答：两路灯的距离为18〃?；

（2）如图2,他在路灯4下的影子为6M

，丛NBMs丛NAC,

BNBM「BN1.6

---=----.即-------=—,解得RN=36.

ANACBN+189.6

答：当他走到路灯4时，他在路灯A下的影长是3.6〃?.

【题型3相似三角形的应用（杠杆问题）】

【例3】（2020秋•汉寿县期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置8。绕。点旋转到AC位置，

已知CDLBD,垂足分别为8,D,AO=6/〃，43=1.2〃?，CO=1〃?，则栏杆C端应下降的垂直

龙离CD为0.2

AOAB

【解题思路】由NA8O=/C">=90°、ZAOB=ZCOD据此得一=一，将已知

COCD

数据代入即可得.

【解答过程】解：・・・AB_LB。，CDA.BD,

：,ZABO=ZCDO=90a,

又,:NAOB=NCOD,

・•・△A8Os/\coo,

AOAB

则一=—,

COCD

,•AO=6/〃,AB=1.2ffirCO=I//?,

6L2

1-CD'

解得：。=0.2,

・•・栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2〃?.

故答案为：0.2.

【变式3・11.（2020•南安市校级自主招生）如图是用杠杆撬石头的示意图，。是支点，当用力压杠杆的A

瑞时，杠杆绕C点转动，另一瑞8向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的8端

必须向上翘起10。〃，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂8c之比为6：1,要使这块石头滚动，至少要将杠

杆的4端向下压60cm.

L二二二r一

R

【解题思路】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向卜压

的长度.

【解答过程】解：如图；AM、BN都与水平线的垂直，M,N是垂足，则AM〃BN；

L_Tj,___I

B

•:AM"BN,

：,XACMsXBCN\

.ACAM

•'BC~BN'

•；AC与8c之比为6：1,

i4cAM

—=-----=6,即AM=68M

BCBN

・•・当BN21Qcm时，AM260cw,

故要使这块石头滚动，至少要珞杠杆的端点4向下压605?.

故答案为：60.

【变式3-2】太原市某学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置八8绕定点O旋转到DC位置，已知栏杆

A8的长为3.5加，。4的长为3m,C点到A3的距离为0.3m.支柱OE的高为0.5m,则栏杆。端离地面

的距离为23〃.

D

AO

【解题思路】过。作。GJ_A8于G,过C作C”_LA8于〃，则QG〃。从根据相似三角形的性质即可

得到结论.

【解答过程】解：过。作。GJ_48于G,过C作于从

则DG//CH,

:•△ODGsAOCH,

DG0D

"CH-0C

•・•栏杆从水平位置AB绕固定点0旋转到位置DC,

•\CD=AB=3.5m,0D=0A=3m,CH=03m,

**•OC=0.5〃?，

DG3

・・().3-0.5’

・・・OG=1.8〃?，

•；OE=0.5m,

二栏杆D端离地面的距离为1.8+0.5=23^.

故答案是:23m.

【变式3-3]（2020秋•秦都区期末）随着生活水平的提高，家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具，

为此修建了很多停车场.如图，已知某停车场入口处的栏杆的长臂AO长是12米，短臂80长是1.1米,

当长臂端点垂直升高A'C=9米时，短臂端点垂直下降了多少米？（栏杆宽度忽略不计）

【解题思路】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三用形，利用对应边成比例解题.

【解答过程】解：C±AB,B'Q_LA5,

：.ZOCA'=ZODB'=90°,

又,：（CON=ZDOBf,

•••△OCA'S^ODB'.

.睡_BrQ

''AfC-40'

即丝==

912

:・B0=用#=0.825,

【题型4相似三角形的应用（建筑物问题）】

[例4]（2021•市中区一模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自

己的位置，设法使斜边。"保持水平，边DE与点。在同一直线上，已如直角二角纸板中OE=16口〃，EF

=\2cm,测得眼睛。离地面的高度为1.8米,他与“步云阁”的水平距离CD为104m,则“步云阁”的

高度AB是（）m.

A.75.5B.77.1C.79.8D.82.5

【解题思路】先判定△。斯和AOCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加

上AC即可得解.

【解答过程】解：在△。曰7和AOCB中，

VZD=ZD,NDEF=/DCB=90",

ADEFsADCB,

•DE__C_D

••，

EFBC

16104

即——=---,

12BC

解得:8c=78（m）,

Vz4C=1.8m,

・"B=AC+BC=1.8+78=79.8(m)，

即树高79.8/n,

故选：C.

【变式47】（2021•韩城市模拟）真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因塔下藏有佛祖真身舍利

而得名.小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ,于是，有一天，他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行

测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在。处放置一平面境，她从点。沿。。后退，当退行1.8米到

B处时，恰好在镜子中看到塔顶P的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为1.5米；然后，晓静在尸

处竖立了一根高1.6米的标杆ER发现地面上的点M、标杆顶点石和塔顶P在一条直线上，此时测得

产/W为2.4米，。尸为11.7米，已知PQLQM,AB1QM,EFLQM,点Q、C、B、尸、M在一条直线上，

请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度PQ.

【解题思路】根据已知条件推出△PCQs^ACB,求得QC=I.2尸。，乂根据相似三角形的性质得到=二

1.6

QC+11.7+2.4十口

-~-——，于是得到答案.

2.4

【解答过程】解：ZPQC=^ABC=90a,ZPCQ=ZACB,

:.XPCQs2ACB,

.PQQC

“AB~CBf

.PQQC

"1.5-1.8’

/.QC=\.2PQ,

VZPQF=ZEFAf=90<,,NPMQ=NEMF,

:.丛PMQs^EMF,

.PQQM

**EF-~FM'

.PQ__QC+11.7+2.4

**1.6-2.4'

却丝_1.2PQ+11.7+2.4

:.PQ=47,

答：真身宝塔的高度PQ为47米.

【变式4-2]（2021•雁塔区校级二模）如图，建筑物8c上有一根旗杆4B,小芳计划用学过的知识测量该

建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树产。，小芳沿C。后退，发现地

面上的点从树顶从旗杆顶端A怡好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点。、树顶从建筑物

顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆48=3米，产。=4米，力E=5米，EG=1.5米，点A、B、C在一

条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，AC、FD均垂直于CG,请你帮助小芳求出这座建筑物的高

BC.

【解题思路】根据相似三角形的判定和性质得出C。，进而解答即可.

【解答过程】解：由题意可得，NACE=/EDF=90°,NAEC=NFED,

・•・△ACES/XFDE,

AC__CE_

FD-DE'

3+BCCD+5

即

45

5BC-5

・•・CD=

4-

由题意可得，NBCG=NFDG=90°,4BGC=NFGD,

：・4BCGS4FDG,

BCCG

FD~DG

BCCD+5+1.5

即一=

45+1.5

・・・6.58C=4(CO+6.5),

5BC-5

.\6.5/?C=4x+26.

4

：.BC=\4（米），

・••这座建筑物的高4c为14米.

【变式4-3］（2021•凤翔县一模）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4

月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋.一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵

樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）.小明在/处竖立了一根标杆ER小刚走到C

处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离OC

=1.6米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到“处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在

一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC=0.8米.已知七尸=G〃=2.4米，C/=2米，FH=

1.6米，点C、尸、H、A在一条直线上，点M在C。上，CDLAC,EFA,AC,GHA.AC,人B_LAC.根据

以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树A/3的高度.

【解题思路】过点。作。于点P,交石产于点N,过点M作MQ_LAB于点Q,交GH于点K,构

造相似三角形：△DENs^DBP,AGMKS/^BMQ,利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长

度即可.

【解答过程】解：过点、D作DPLAB于点、P,交EF于点N,过点M作MQ_LA8于点Q,交G”于点K,

由题意可得：DP=MQ=AC,DN=CF=2米,MK=CH,A户=。。=1.6米，AQ="K=MC=0.8米.

ZEDN=ZBDP,/END=/BPD=9U°,

:.△DENs/\DBP,

.BPDP

••EN~DN'

.一B-1.6_AC

"2.4-1.6-2,

.:4GMK=/BMQ,ZGKM=BQM=90<>,

:.AGMKS/\BMQ

.BQQM

・・GK~MK'

AB-Q.SAC

•・24-0.8-2+1.6

・・・AB=8.8（米）.

【题型5相似三角形的应用（河宽问题）】

【例5】（2021•津南区模拟）如困，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A,再在河的这一边

选定点8和点C,使得A8_LBC,然后选定点E,使EC_L8C,确定8c与AE的交点为。，若测得8。

=180〃?，DC=60机,EC=50"，你能知道小河的宽是多少吗？

【解题思路】先证明△AAQsasc。，利用对应边成比例可求出A3的长度.

【解答过程】解：由已知得，ZABD=ZDCE=90°,ZADB=ZCDE,

・•・XABDsRECD,

ABBD

•♦=9

ECDC

AB180

将87）=180/〃，DC=60m,EC=50m,代入可得：—=---,

5060

解得：AB=I5O.

答：小河的宽是1507n.

【变式5-1］如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一定A,再在河的这一边选定点4和点C,

使得A8_L5C,然后选定点£,使£CJ_8C,确定4c与人£的交点。，若测得6。=180米，。。=60米,

EC=70米，请你求出小河的宽度是多少米？

A

E

【解题思路】先证明然后利用相似比计算即可得到小河的宽度.

【解答过程】解：•・・AB_LBZZECtBC,

：.AB//CE,

二LABDsAECD,

ABBDAB180

:.—=,艮fl—=----,

CECD7060

：.AB=2\0.

答：小河的宽度是210米.

【变式5-2]（2021•蛇恫区一模）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近

岸取点。和S,使点P、Q、S共线且直线尸S与河垂直，接着再过点S且与尸S垂直的直线”上选择适当

灼点T,确定尸7与过点。且垂直尸S的直线〃的交点R如果测得QS=45/〃，ST=90m,QR=60/〃，求

同的宽度PQ.

【解题思路】根据相似三角形的性质得出算黑二等，进而代入求出即可.

【解答过程】解：根据题意得出：QR〃S7,

则△PQRS/\P5T,

+6PQQR

故-------=—,

PQ+QSST

•；QS=45〃i,ST=90m,QR=6（）m,

.PQ60

•・pQ+45-90’

解得：PQ=90（加，

・•・河的宽度为90米.

【变式5-3]（2020秋•安国市期中）如图，洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸

有一棵大树，底部记为点A,在他们所在的岸边选择了点儿并且使43与河岸垂直，在3处与地面垂直

竖起标杆3C,再在A4的延长线上选择点。，与地面垂直竖起标杆使得A、C、£三点共线.经测

量,BC=lm,DE=1.5m,BD=5mf求小河的宽度.

【解题思路】由8CJ_AO,EDLAD,可得・•・△ABCs利用相似三角形的性质构建方程即可解决

问题.

【解答过程】解.：设小河的宽度根据题意得：8C-AD,ED±AD,

・•・△ABCsAADE,

，A8：AD=BC：ED,

A-：（x+5）=1：1.5,

解得x=10,：,AB=\0,

却小河的宽度为10米.

【题型6相似三角形的应用（内接矩形问题）】

【例6】（2020秋•大理市期末）如图是一块三角形钢材ABC,其中边BC=60c/〃，高AD=40”〃，把它加

工成正方形零件，使正方形的一边在3c上，其余两个顶点分别在A8,4C上，则这个正方形零件的边

长是（）

C.30D.36

【解题思路】根据正方形的对边平行得到BC//EF,利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其

它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为则KD=Er=xo〃，AK

=（40・x）a〃，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果.

【解答过程】解：•・•四边形EGHF为正方形，

:.BC//EF,

・•・AAEF^AA^C：

设正方形零件的边长为xcm,则KO=Er=xc，〃，AK=(40-x)cm,

•・・AO_LBC,

EFAK

•••___=__9

BCAD

x40-x

•.=9

6040

解得:x=24.

即：正方形零件的边长为24a”.

故选:B.

【变式6-1](202()秋•阳山县期末)如图，有一块锐角三角形材料，边BC=6()mm,高人力=45〃刈，要把

它加工成矩形零件，使其一边在4c上，其余两个顶点分别在AC,且EH=2EF,则这个矩形零件

的长为()

A.36mmB.40mmC.12mmD.80〃〃〃

【解题思路】设矩形的宽以工加加，则长石〃=2加〃?，由矩形的性质得到E〃〃8C,EF//AD,推出△

AEH^^ABC,ABEFsABAD,再根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后进行计算即可求得结

果.

【解答过程】解：设矩形的宽EF=m〃小则长£〃=前加，

•・•四边形EFG”为矩形，

:.EH〃BC,EF//AD,

:AAEHs&\B3ABEFsABAD,

EFBEEHAE

"AD-BA'BC-AB'

XBE2xAE

**45-BA60-AB'

'：BE+AE=AB,

X2xBEAEAB

*>45+60~ABAB~AB~'

解得：X=18,

.*.EF=1Smm,EH=36mm,

故选：A.

【变式6-2]（2021•唐山开学）如图，RtZ\A5C为一块铁板余料,ZB=90°,BC=6cm,AB=Scm,要把

它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长.

方案①方案②

【解题思路】方案①：设正方形的边长为肛/〃，然后求出和aABC相似，利用相似三角形对应边

成比例列式计算即可得解.

方案②：作B”_LAC于”，交DE于K,构造矩形。K”G和相似三角形（ABDEsABCA）,利用矩形

的性质和等面积法求得线段8〃的长度，则8K=4.8-），；然后由相似三角形的对应边成比例求得答案.

【解答过程】解：设方案①正方形的边长为XC"，，

VZABC=90°,四边形8OFE是正方形，

:,EF〃BC,

：,AAEF^AABC,

EFAE

••一，

BCAB

r8-Xx

却一=一，

86

解得x=竽

即加工成正方形的边长为彳cm.

设方案②正方形的边长为＞。小作8〃_LAC于〃，交DE于K,

•・•四边形EDG/是正方形，

：.DE//AC,NEDG=NDGF=90°.

于K.

:・NDKH=90°.

・•・四边形QK〃G为矩形.

故设HK=DG=y.

:.DE"AC.

：.4BDES/\BCA.

.BKDE

,,BH