2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列(苏科版)专题65 相似三角形的应用-重难点题型(举一反三)(苏科版)含解析_第1页
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文档简介

2023.2024学年九年级数学下册举一反三系列专题6.5相似三角形的

应用•重难点题型

【苏科版】

”娠区初

短储于一更三

【知识点1相似三角形的应用】

在实际生活中,我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时,可以把它们转化为数学问题,建立相似

三角形模型,再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时,需要掌握并应用一些简单的相似三角形模

型。

【题型1相似三角形的应用(九章算术)】

【例I】(2020秋•曾都区期末)《九章算术》是中国古代的数学专著,它奠定了中国古代数学的基本框架,

以计算为中心,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.书中记载了这样一个问题:

“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何.”其大意是:如图,RtZMBC的两条直角边的长分别为5

【变式1-1](2021♦广西模拟)《九章算术》中,有一数学史上有名的测量问题:“今有邑,东西七里,

南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门儿何步而见木?”今译如下:如图,矩形ABC。,

东边城墙人4长9里,南边城墙人。长7里,东门点E,南门点尸分别位于相,人。的中点,EGLAB,

FHA.AD.EG=15里,经过4点,则厂”的长为()

cB

A.0.95里B.1.05里C.2.05里D.2.15里

【变式1-2](2021春•苏州期末)我国古代数学发展源远流长,成就辉煌.著作《九章算术》中就有“井

深几何”问题:“今有井径五尺,不知其深,立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸,问井深几何?”

现在我们

可以解释为:如图,矩形BCQE的边BE、CO表示井的直径,人在C8的延长线上,CO=5尺,AB=5

尺,交于凡82=0.4尺,根据以上条件,可求得井深3。为尺.

【变式1-3](2020•英城区校级一模)《九章算术》是中国古代的数学专著,它奠定了中国古代数学的基

本框架,以计算为中心,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.书中记载了这样

一个问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其大意是:如图,RtaABC的两条直角边的

长分别为5和12,求它的内接正方形CQE尸的边长.

C

【题型2相似三角形的应用(影长问题)】

【例2】(2021•津南区模拟)如图,身高1.8米的小石从一盏路灯下3处向前走了8米到达点C处时,发

现自己在地面上的影子CE长是2米,则路灯的高AB为米.

【变式2-1](2020秋•碑林区校级月考)为更好筹备“十四运”的召开,小颖及其小组成员将利用所学知

识测量一个广告牌的高度EE在第一次测量中,小颖来回走动,走到点。时,其影子末端与广告牌影

子末端重合于点〃,其中。随后,组员在直线QF上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,

这个标记在直线DF上的对应位置为点G.镜子不动,小颖从点D沿着直线FD后退5〃?到B点时,恰

好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合,此时BG=2,〃.

如图,如知AB_L8F,CDVBF,即_1_8/,小颖的身高为1.5m(眼睛到头顶距离忽略不计),平面镜的

厚度忽略不计.根据以上信息,求广告牌的高度ER

【例3】(2020秋•汉寿县期末)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置8Q绕。点旋转到AC位置,

己知A3_L5。,CDLBD,垂足分别为5,D,AO=6m,AB=\.2tn,CO=\m,则栏杆。端应下降的垂直

距离CD为tn.

【变式3-1].(202()•南安市校级自主招生)如图是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A

端时,杠杆绕C点转动,另一端8向上翘起,石头就被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的8端

必须向上翘起10。〃,已知杠杆的动力臂4C与阻力臂8c之比为6:1,要使这块石头滚动,至少要将杠

杆的A端向下压cm.

R

【变式3-2】太原市某学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置绕定点O旋转到0c位置,己知栏杆

的长为3.5加,04的长为3〃?,。点到的距离为0.3m.支柱OE的高为0.5加,则栏杆。端离地面

的距离为.

【变式3-3](2020秋•秦都M期末)随着生活水平的提高,家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具,

为此修建了很多停车场.如图,已知某停车场入口处的栏杆的长野4。长是12米,短臂80长是1.1米,

当长臂端点垂直升高人'C=9米时,短臂端点垂直下降了多少米?(栏杆宽度忽略不计)

【题型4相似三角形的应用(建筑物问题)】

【例4】(2021•市中区一模)如图,李老师用自制的直角三角形纸板去测鼠“步云阁”的高度,他调整自

己的位置,设法使斜边。尸保持水平,边。£与点8在同一直线上,已知直角三角纸板中OE=16o〃,EF

=\2cm,测得眼睛。离地面的高度为1.8米,他与“步云阁”的水平距离。。为104/〃,则“步云阁”的

高度A8是()〃?.

A.75.5B.77.1C.79.8D.82.5

【变式4-1](2021•韩城市模拟)真身宝塔,位于陕西省扶风法门镇法门寺内,因塔下藏有佛祖真身舍利

而得名.小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ,于是,有一天,他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行

测量,测量方案如下:如图,首先,小玲在。处放置一平面境,她从点。沿QC后退,当退行1.8米到

B处时,恰好在镜子中看到塔顶P的像,此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为1.5米;然后,晓静在尸

处竖立了一根高1.6米的标杆EF发现地面上的点M、标杆顶点E和塔顶P在一条直线上,此时测得

FM为2.4米,CF为11.7米,已知PQJLQM,AB1QM,E£LQM,点Q、C、B、F、”在一条直线上,

请根据以上所测数据,计算真身宝塔的高度PQ.

【变式4-2】(2021•雁塔区校级二模)如图,建筑物BC上有一根旗杆A3,小芳计划用学过的知识测量该

建筑物的高度,测量方法如下:在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树TO,小芳沿C。后退,发现地

面上的点E、树顶R旗杆顶端A恰好在一条直线上,继续后退,发现地面上的点G、树顶R建筑物

顶端3恰好在一条直线上,已知旗杆AB=3米,F。=4米,OE=5米,EG=1.5米,点A、B、。在一

条直线上,点。、D、E、G在一-条直线上,AC、尸。均垂直于CG,请你帮助小芳求出这座建筑物的高

BC.

【变式4-3](2021•风翔县一模)青龙寺是西安最著名的樱花观赏地,品种达到了13种之多,每年3、4

月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋.一天,小明和小刚去青龙寺游玩,想利用所学知识测量一棵

樱花树的高度(樱花树四周被围起来了,底部不易到达).小明在尸处竖立了一根标杆ER小刚走到C

处时,站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC

=1.6米;然后,小刚在C处蹲下,小明平移标杆到〃处时,小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端8在

一条直线上,此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC=0.8米.已知EF=G”=2.4米,CF=2米,FH=

1.6米,点C、F、H、A在一条直线上,点M在CO上,COJ_AC,EFLAC,GHrAC,ABYAC.根据

以上测量过程及测量数据,请你求出这棵樱花树AB的高度.

【题型5相似三角形的应用(河宽问题)】

【例5】(2021•津南区模拟)如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一点4再在河的这一边

选定点8和点C,使得AB_LBC,然后选定点£,使EC_L3C,确定3c与AE的交点为。,若测得

=180〃?,DC=60m,EC=50m,你能知道小河的宽是多少吗?

【变式5-1]如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一定4,再在河的这一边选定点8和点C,

使得AB_L8C,然后选定点E,使EC_LBC,确定与AE的交点。,若测得80=180米,。。=60米,

EC=70米,请你求出小河的宽度是多少米?

【变式5-2](2021•岭峭区一模)如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近

岸取点。和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接着再过点S且与PS垂直的直线。上选择适当

的点T,确定”与过点。且垂直PS的直线人的交点R.如果测得QS=45〃z,ST=90m,。/?=60〃?,求

河的宽度PQ.

p

【变式5-3](2020秋•安国市期中)如图,洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度,河的对岸

有一棵大树,底部记为点4,在他们所在的岸边选择了点儿并且使A4与河岸垂直,在8处与地面垂直

竖起标杆3C,再在A3的延长线上选择点。,与地面垂直竖起标杆OE,使得A、C、E三点共线.经测

星,BC=\ni,£>£=1.5〃,,30=5〃,,求小河的宽度.

【题型6相似三角形的应用(内接矩形问题)】

【例6】(2020秋•大理市期末)如图是一块三角形钢材A8C,其中边8c=60o〃,AAD=4^cm,把它加

工成正方形零件,使正方形的一边在8c上,其余两个顶点分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边

长是()

A.16B.24C.30D.36

【变式6-1](2020秋•阳山县期末)如图,有一块锐角三角形材料,边8c=60〃"〃,高AD=45mm,要把

它加工成矩形零件,使其一边在上,其余两个顶点分别在A3,AC,且EH=2EF,则这个矩形零件

的长为()

A.36mmB.40〃〃〃C.12mmD.80〃〃〃

【变式6-2](2021•唐山开学)如图,RtZkABC为一块铁板余料,Zfi=90°,BC=6cm,AB=Scnu要把

它加工成正方形小铁板,有如图所示的两种加工方案,请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长.

方案①方案②

【变式6-3](2021春•东平县期末)如图,要从一块RtZ\A8C的白铁皮零料.上截出一块矩形EFG”白铁

皮.已知NA=90°,AB=}6cm,AC=\2cnb要求截出的矩形的长与宽的比为2:1,且较长边在8C上,

点、E,”分别在4B,4C上,所截矩形的长和宽各是多少?

专题6.5相似三角形的应用•重难点题型

【苏科版】

*呼1交三

【知识点1相似三角形的应用】

在实际生活中,我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时,可以把它们转化为数学问题,建立相似

三角形模型,再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时,需要掌握并应用一些简单的相似三角形模

型。

【题型1相似三角形的应用(九章算术)】

【例I】(2020秋•曾都区期末)《九章算术》是中国古代的数学专著,它奠定了中国古代数学的基本框架,

以计算为中心,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.书中记载了这样一个问题:

“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何.”其大意是;如图,氐△A4C的两条直角边的长分别为5

和12,则它的内接正方形COE尸的边长为()

【解题思路】根据正方形的性质得:DE//BC,则△AOES/SACB,列比例式可得结论.

【解答过程】解:.••四边形COE/是正方形,

:・CD=ED,DE//CF,

设ED=x,则CD=x,AD=5-x,

•:DE//CF,

AZADE=ZC,NAED=NB,

AADE^AACB,

.DEAD

•BC-AC'

x5-x

>•---

125

60

17f

・.・正方形c9的边长为T?

故选:B.

【变式1-1](2021•广西模拟)《九章算术》中,有一数学史上有名的测量问题:“今有邑,东西七里,

南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木?”今译如下:如图,矩形ABCD,

东边城墙4B长9里,南边城墙4D长7里,东门点E,南门点尸分别位于A。的中点,EGLAB,

FH±AD,EG=15里,HG经过A点,则F〃的长为()

A.0.95里B.1.05里C.2.05里D.2.15里

【解题思路】首先根据题意得到△GEAS/XAF”,然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求

得答案即可.

【解答过程】解:EG上AB,FH1AD,HG经过A点、,

J.FA//EG,EA//FH,

・・・NH/%=NAEG=90°,ZFHA=ZEAG,

:.XGE'sXAFH、

FGEA

•••_~~,,

FAFH

•・・A5=9里,D4=7里,EG=15里,

・•・必=3.5里,£4=4.5里,

•1_54.5__

"3.5-FH

解得:FH=L05里.

故选:B.

【变式1-2](2U21春•苏州期末)我国古代数学发展源远流长,成就辉煌.著作《九章算术》中就有“井

深几何”问题:“今有井径五尺,不知其深,立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸,问井深几何?”

现在我们

可以解释为:如图,矩形BCDE的边BE、CD表示井的直径,A在C8的延长线上,CO=5尺,AB=5

尺,AQ交5E于2,82=0.4尺,根据以上条件,可求得井深5。为57.5尺.

【解题思路】利用相似三角形的性质,构建方程求解即可.

【解答过程】解:设3C=x尺.

•・•四边形8CQE是矩形,

:.BF//CD,

・•・^AFB^/XADC,

*FBAB

••=»

DCAC

•0_.4__5_

•■—9

554-X

解得x=57.5,

经检验:x=57.5是分式方程的解.

・・・6C=57.5(尺).

故答案为:57.5.

【变式1-3](2020•茨城区校级一模)《九章算术》是中国古代的数学专著,它奠定了中国古代数学的基

本框架,以计算为中心,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.书中记载了这样

一个问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其大意是:如图,RtZXABC的两条直角边的

长分别为5和12,求它的内接正方形CQE/的边长.

【解题思路】根据正方形的性质得:DE//BC,则列比例式可得结论.

【解答过程】解:•・•四边形CDE户是正方形,

:.CD=ED,DE//CF,

设ED=x,则CD=x>AD=5-x,

•:DE//cr,

/.ZADE=ZC,ZAED=ZB,

・•・△AOES4ACB,

.DEAD

,•BC-AC

xS-x

••,

125

._60

••x=T7'

・•・正方形CDEF的边长为".

17

【题型2相似三角形的应用(影长问题)】

【例2】(2021•津南区模拟)如图,身高1.8米的小石从一盏路灯下8处向前走了8米到达点C处时,发

现0己在地面上的影子CE长是2米,则路灯的高AB为9米.

【解题思路】根据CQ〃A3,得出△ECOS2\£84,进而得Hl比例式求出即可.

【解答过程】解:由题意知,CE=2米,。。=1.8米,BC=8米,CD//AB,

则8E=8CiCE=10米,

':CD//AB,

:AECDSAEBA

CDCEl.82

—=—1,3nBP—=—,

ABBEAB10

解得A8=9(米),

即路灯的高A3为9米;

故答案为:9.

【变式2-1](2020秋•碑林区校级月考)为更好筹备“十四运”的召开,小颖及其小组成员将利用所学知

识测最一个广告牌的高度七月在第一次测量中,小颖来回走动,走到点。时,其影子末端与广告牌影

子末端重合于点从其中。随后,组员在直线OF上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,

这个标记在直线。尸上的对应位置为点G.镜子不动,小颖从点D沿着直线FD后退5〃?到B点时,恰

好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合,此时BG=2m.

如图,已知A8_LBF,CDLBF,EF_LBR小颖的身高为15〃(眼睛到头顶距离忽略不计),平面镜的

厚度忽略不计.根据以上信息,求广告牌的高度EF

【解题思路】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△EFGsMBG,进

而利用相似三角形的性质得出EF的长.

【解答过程】解:设广告牌的高度EF为川〃,

依题意知:DB=5〃i,BG=2m,DH=\m,AB=CD=\.5m.

GD—DB-BG=3nh

:・FG=GD+DF=4m.

VCD±^F,EFLBF,

:.CD//EF.

:AEFHs/\CDH.

EFFHEFDH+DF

—=,即—=------.

CDDHCDDH

%1+DF

•■•___.

1.51

2

:.DF=^x-1.

由平面镜反射规律可得:NEGF=NAGB.

FBIBE,

AZABG=90°=NEFG.

:.XEFGSRABG.

EFFGEFGD+DF

:.—=—,即ti—=------.

ABBGABBG

2

3+/T

•xA

••—•

1.52

;・x=3.

故广告牌的高度EF为3“

【变式2-2](2020•秦皇岛一模)如图所示,AD.HC为两路灯,身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之

诃,两人相距6.5加,小明站在P处,小亮站在Q处,小明在路灯8C下的影长为2〃?,已知小明身高1.8m,

路灯BC高9〃?.小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方,小亮在路灯AD下的影子顶

部恰好位于路灯BC的正下方.

①计算小亮在路灯4。下的影长;

②计算4。的高.

D

C

E・h、F

L--Tk」

AP03

【解题思路】解此题的关键是找到相似三角形,利用相似三柏形的性质,相似三角形的对应边成比例求

解.

【解答过程】解:①・・・"J_A8,CBLAB,

:.ZEPA=ZCBA=90(>

ZEAP=ZCAB,

•••△E4PS/\CAB

.EPAP

''BC~AB

*1.82

••

9AB

:.AB=\()

80=10-2-6.5=1.5;

®*:FQLAB,DAA.AB,

:.ZFQB=ZDAB=90°

•;NFBQ=/DBA,

:•△BFQSABDA

.PQBQ

''DA~AB

.1.81.5

''DA~10

:.DA=\2.

D

【变式2-3】如图,小华在晚上由路灯A走向路灯B.当他走到点尸时,发现他身后影子的顶部刚好接触到

路灯A的底部;当他向前再步行12,〃到达点。时,发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部.已

知小华的身高是16",两个路灯的高度都是9.6〃?,RAP=QB.

(1)求两个路灯之间的距离.

(2)当小华走到路灯3的底部时,他在路灯A卜.的影长是多少?

【解题思路】(I)如图1,先证明△APMs△人BO,利用相似比可得人尸二M/3,再证明△40NS/\8AC,

利用相似比可得8Q=,8,则IB+12+A8=/W,解得AB=18(〃?);

(2)如图2,他在路灯A下的影子为6M证明△NBMS/XNAC,利用相似三角形的性质得二=若,

BN+189.6

然后利用比例性质求出4N即可.

【解答过程】解:(1)如图1,

■:PM//BD,

:.△APMs/XABO,

APPM„AP1.6

—=---,即—=—,

ABBDAB9.6

:,AP=^AB,

■:NQHXC,

:ABNQSABCA,

・•・BQ=^AB,

而AP+PQ+BQ=AB,

11

・・・TB+12+YB=4B,

66

・"B=18.

答:两路灯的距离为18〃?;

(2)如图2,他在路灯4下的影子为6M

,丛NBMs丛NAC,

BNBM「BN1.6

---=----.即-------=—,解得RN=36.

ANACBN+189.6

答:当他走到路灯4时,他在路灯A下的影长是3.6〃?.

【题型3相似三角形的应用(杠杆问题)】

【例3】(2020秋•汉寿县期末)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置8。绕。点旋转到AC位置,

已知CDLBD,垂足分别为8,D,AO=6/〃,43=1.2〃?,CO=1〃?,则栏杆C端应下降的垂直

龙离CD为0.2

AOAB

【解题思路】由NA8O=/C">=90°、ZAOB=ZCOD据此得一=一,将已知

COCD

数据代入即可得.

【解答过程】解:・・・AB_LB。,CDA.BD,

:,ZABO=ZCDO=90a,

又,:NAOB=NCOD,

・•・△A8Os/\coo,

AOAB

则一=—,

COCD

,•AO=6/〃,AB=1.2ffirCO=I//?,

6L2

1-CD'

解得:。=0.2,

・•・栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2〃?.

故答案为:0.2.

【变式3・11.(2020•南安市校级自主招生)如图是用杠杆撬石头的示意图,。是支点,当用力压杠杆的A

瑞时,杠杆绕C点转动,另一瑞8向上翘起,石头就被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的8端

必须向上翘起10。〃,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂8c之比为6:1,要使这块石头滚动,至少要将杠

杆的4端向下压60cm.

L二二二r一

R

【解题思路】首先根据题意构造出相似三角形,然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向卜压

的长度.

【解答过程】解:如图;AM、BN都与水平线的垂直,M,N是垂足,则AM〃BN;

L_Tj,___I

B

•:AM"BN,

:,XACMsXBCN\

.ACAM

•'BC~BN'

•;AC与8c之比为6:1,

i4cAM

—=-----=6,即AM=68M

BCBN

・•・当BN21Qcm时,AM260cw,

故要使这块石头滚动,至少要珞杠杆的端点4向下压605?.

故答案为:60.

【变式3-2】太原市某学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置八8绕定点O旋转到DC位置,已知栏杆

A8的长为3.5加,。4的长为3m,C点到A3的距离为0.3m.支柱OE的高为0.5m,则栏杆。端离地面

的距离为23〃.

D

AO

【解题思路】过。作。GJ_A8于G,过C作C”_LA8于〃,则QG〃。从根据相似三角形的性质即可

得到结论.

【解答过程】解:过。作。GJ_48于G,过C作于从

则DG//CH,

:•△ODGsAOCH,

DG0D

"CH-0C

•・•栏杆从水平位置AB绕固定点0旋转到位置DC,

•\CD=AB=3.5m,0D=0A=3m,CH=03m,

**•OC=0.5〃?,

DG3

・・().3-0.5’

・・・OG=1.8〃?,

•;OE=0.5m,

二栏杆D端离地面的距离为1.8+0.5=23^.

故答案是:23m.

【变式3-3](2020秋•秦都区期末)随着生活水平的提高,家用轿车已经成为很多人们出行的交通工具,

为此修建了很多停车场.如图,已知某停车场入口处的栏杆的长臂AO长是12米,短臂80长是1.1米,

当长臂端点垂直升高A'C=9米时,短臂端点垂直下降了多少米?(栏杆宽度忽略不计)

【解题思路】栏杆长短臂在升降过程中,将形成两个相似三用形,利用对应边成比例解题.

【解答过程】解:C±AB,B'Q_LA5,

:.ZOCA'=ZODB'=90°,

又,:(CON=ZDOBf,

•••△OCA'S^ODB'.

.睡_BrQ

''AfC-40'

即丝==

912

:・B0=用#=0.825,

【题型4相似三角形的应用(建筑物问题)】

[例4](2021•市中区一模)如图,李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度,他调整自

己的位置,设法使斜边。"保持水平,边DE与点。在同一直线上,已如直角二角纸板中OE=16口〃,EF

=\2cm,测得眼睛。离地面的高度为1.8米,他与“步云阁”的水平距离CD为104m,则“步云阁”的

高度AB是()m.

A.75.5B.77.1C.79.8D.82.5

【解题思路】先判定△。斯和AOCB相似,然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长,再加

上AC即可得解.

【解答过程】解:在△。曰7和AOCB中,

VZD=ZD,NDEF=/DCB=90",

ADEFsADCB,

•DE__C_D

••,

EFBC

16104

即——=---,

12BC

解得:8c=78(m),

Vz4C=1.8m,

・"B=AC+BC=1.8+78=79.8(m),

即树高79.8/n,

故选:C.

【变式47】(2021•韩城市模拟)真身宝塔,位于陕西省扶风法门镇法门寺内,因塔下藏有佛祖真身舍利

而得名.小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ,于是,有一天,他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行

测量,测量方案如下:如图,首先,小玲在。处放置一平面境,她从点。沿。。后退,当退行1.8米到

B处时,恰好在镜子中看到塔顶P的像,此时测得小玲眼睛到地面的距离为1.5米;然后,晓静在尸

处竖立了一根高1.6米的标杆ER发现地面上的点M、标杆顶点石和塔顶P在一条直线上,此时测得

产/W为2.4米,。尸为11.7米,已知PQLQM,AB1QM,EFLQM,点Q、C、B、尸、M在一条直线上,

请根据以上所测数据,计算真身宝塔的高度PQ.

【解题思路】根据已知条件推出△PCQs^ACB,求得QC=I.2尸。,乂根据相似三角形的性质得到=二

1.6

QC+11.7+2.4十口

-~-——,于是得到答案.

2.4

【解答过程】解:ZPQC=^ABC=90a,ZPCQ=ZACB,

:.XPCQs2ACB,

.PQQC

“AB~CBf

.PQQC

"1.5-1.8’

/.QC=\.2PQ,

VZPQF=ZEFAf=90<,,NPMQ=NEMF,

:.丛PMQs^EMF,

.PQQM

**EF-~FM'

.PQ__QC+11.7+2.4

**1.6-2.4'

却丝_1.2PQ+11.7+2.4

:.PQ=47,

答:真身宝塔的高度PQ为47米.

【变式4-2](2021•雁塔区校级二模)如图,建筑物8c上有一根旗杆4B,小芳计划用学过的知识测量该

建筑物的高度,测量方法如下:在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树产。,小芳沿C。后退,发现地

面上的点从树顶从旗杆顶端A怡好在一条直线上,继续后退,发现地面上的点。、树顶从建筑物

顶端B恰好在一条直线上,已知旗杆48=3米,产。=4米,力E=5米,EG=1.5米,点A、B、C在一

条直线上,点C、D、E、G在一条直线上,AC、FD均垂直于CG,请你帮助小芳求出这座建筑物的高

BC.

【解题思路】根据相似三角形的判定和性质得出C。,进而解答即可.

【解答过程】解:由题意可得,NACE=/EDF=90°,NAEC=NFED,

・•・△ACES/XFDE,

AC__CE_

FD-DE'

3+BCCD+5

45

5BC-5

・•・CD=

4-

由题意可得,NBCG=NFDG=90°,4BGC=NFGD,

:・4BCGS4FDG,

BCCG

FD~DG

BCCD+5+1.5

即一=

45+1.5

・・・6.58C=4(CO+6.5),

5BC-5

.\6.5/?C=4x+26.

4

:.BC=\4(米),

・••这座建筑物的高4c为14米.

【变式4-3](2021•凤翔县一模)青龙寺是西安最著名的樱花观赏地,品种达到了13种之多,每年3、4

月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋.一天,小明和小刚去青龙寺游玩,想利用所学知识测量一棵

樱花树的高度(樱花树四周被围起来了,底部不易到达).小明在/处竖立了一根标杆ER小刚走到C

处时,站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离OC

=1.6米;然后,小刚在C处蹲下,小明平移标杆到“处时,小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在

一条直线上,此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC=0.8米.已知七尸=G〃=2.4米,C/=2米,FH=

1.6米,点C、尸、H、A在一条直线上,点M在C。上,CDLAC,EFA,AC,GHA.AC,人B_LAC.根据

以上测量过程及测量数据,请你求出这棵樱花树A/3的高度.

【解题思路】过点。作。于点P,交石产于点N,过点M作MQ_LAB于点Q,交GH于点K,构

造相似三角形:△DENs^DBP,AGMKS/^BMQ,利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长

度即可.

【解答过程】解:过点、D作DPLAB于点、P,交EF于点N,过点M作MQ_LA8于点Q,交G”于点K,

由题意可得:DP=MQ=AC,DN=CF=2米,MK=CH,A户=。。=1.6米,AQ="K=MC=0.8米.

ZEDN=ZBDP,/END=/BPD=9U°,

:.△DENs/\DBP,

.BPDP

••EN~DN'

.一B-1.6_AC

"2.4-1.6-2,

.:4GMK=/BMQ,ZGKM=BQM=90<>,

:.AGMKS/\BMQ

.BQQM

・・GK~MK'

AB-Q.SAC

•・24-0.8-2+1.6

・・・AB=8.8(米).

【题型5相似三角形的应用(河宽问题)】

【例5】(2021•津南区模拟)如困,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一点A,再在河的这一边

选定点8和点C,使得A8_LBC,然后选定点E,使EC_L8C,确定8c与AE的交点为。,若测得8。

=180〃?,DC=60机,EC=50",你能知道小河的宽是多少吗?

【解题思路】先证明△AAQsasc。,利用对应边成比例可求出A3的长度.

【解答过程】解:由已知得,ZABD=ZDCE=90°,ZADB=ZCDE,

・•・XABDsRECD,

ABBD

•♦=9

ECDC

AB180

将87)=180/〃,DC=60m,EC=50m,代入可得:—=---,

5060

解得:AB=I5O.

答:小河的宽是1507n.

【变式5-1]如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一定A,再在河的这一边选定点4和点C,

使得A8_L5C,然后选定点£,使£CJ_8C,确定4c与人£的交点。,若测得6。=180米,。。=60米,

EC=70米,请你求出小河的宽度是多少米?

A

E

【解题思路】先证明然后利用相似比计算即可得到小河的宽度.

【解答过程】解:•・・AB_LBZZECtBC,

:.AB//CE,

二LABDsAECD,

ABBDAB180

:.—=,艮fl—=----,

CECD7060

:.AB=2\0.

答:小河的宽度是210米.

【变式5-2](2021•蛇恫区一模)如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近

岸取点。和S,使点P、Q、S共线且直线尸S与河垂直,接着再过点S且与尸S垂直的直线”上选择适当

灼点T,确定尸7与过点。且垂直尸S的直线〃的交点R如果测得QS=45/〃,ST=90m,QR=60/〃,求

同的宽度PQ.

【解题思路】根据相似三角形的性质得出算黑二等,进而代入求出即可.

【解答过程】解:根据题意得出:QR〃S7,

则△PQRS/\P5T,

+6PQQR

故-------=—,

PQ+QSST

•;QS=45〃i,ST=90m,QR=6()m,

.PQ60

•・pQ+45-90’

解得:PQ=90(加,

・•・河的宽度为90米.

【变式5-3](2020秋•安国市期中)如图,洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度,河的对岸

有一棵大树,底部记为点A,在他们所在的岸边选择了点儿并且使43与河岸垂直,在3处与地面垂直

竖起标杆3C,再在A4的延长线上选择点。,与地面垂直竖起标杆使得A、C、£三点共线.经测

量,BC=lm,DE=1.5m,BD=5mf求小河的宽度.

【解题思路】由8CJ_AO,EDLAD,可得・•・△ABCs利用相似三角形的性质构建方程即可解决

问题.

【解答过程】解.:设小河的宽度根据题意得:8C-AD,ED±AD,

・•・△ABCsAADE,

,A8:AD=BC:ED,

A-:(x+5)=1:1.5,

解得x=10,:,AB=\0,

却小河的宽度为10米.

【题型6相似三角形的应用(内接矩形问题)】

【例6】(2020秋•大理市期末)如图是一块三角形钢材ABC,其中边BC=60c/〃,高AD=40”〃,把它加

工成正方形零件,使正方形的一边在3c上,其余两个顶点分别在A8,4C上,则这个正方形零件的边

长是()

C.30D.36

【解题思路】根据正方形的对边平行得到BC//EF,利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其

它两边的延长线,得到的三角形与原三角形相似”,设正方形零件的边长为则KD=Er=xo〃,AK

=(40・x)a〃,根据相似三角形的性质得到比例式,解方程即可得到结果.

【解答过程】解:•・•四边形EGHF为正方形,

:.BC//EF,

・•・AAEF^AA^C:

设正方形零件的边长为xcm,则KO=Er=xc,〃,AK=(40-x)cm,

•・・AO_LBC,

EFAK

•••___=__9

BCAD

x40-x

•.=9

6040

解得:x=24.

即:正方形零件的边长为24a”.

故选:B.

【变式6-1](202()秋•阳山县期末)如图,有一块锐角三角形材料,边BC=6()mm,高人力=45〃刈,要把

它加工成矩形零件,使其一边在4c上,其余两个顶点分别在AC,且EH=2EF,则这个矩形零件

的长为()

A.36mmB.40mmC.12mmD.80〃〃〃

【解题思路】设矩形的宽以工加加,则长石〃=2加〃?,由矩形的性质得到E〃〃8C,EF//AD,推出△

AEH^^ABC,ABEFsABAD,再根据相似三角形对应边成比例列出比例式,然后进行计算即可求得结

果.

【解答过程】解:设矩形的宽EF=m〃小则长£〃=前加,

•・•四边形EFG”为矩形,

:.EH〃BC,EF//AD,

:AAEHs&\B3ABEFsABAD,

EFBEEHAE

"AD-BA'BC-AB'

XBE2xAE

**45-BA60-AB'

':BE+AE=AB,

X2xBEAEAB

*>45+60~ABAB~AB~'

解得:X=18,

.*.EF=1Smm,EH=36mm,

故选:A.

【变式6-2](2021•唐山开学)如图,RtZ\A5C为一块铁板余料,ZB=90°,BC=6cm,AB=Scm,要把

它加工成正方形小铁板,有如图所示的两种加工方案,请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长.

方案①方案②

【解题思路】方案①:设正方形的边长为肛/〃,然后求出和aABC相似,利用相似三角形对应边

成比例列式计算即可得解.

方案②:作B”_LAC于”,交DE于K,构造矩形。K”G和相似三角形(ABDEsABCA),利用矩形

的性质和等面积法求得线段8〃的长度,则8K=4.8-),;然后由相似三角形的对应边成比例求得答案.

【解答过程】解:设方案①正方形的边长为XC",,

VZABC=90°,四边形8OFE是正方形,

:,EF〃BC,

:,AAEF^AABC,

EFAE

••一,

BCAB

r8-Xx

却一=一,

86

解得x=竽

即加工成正方形的边长为彳cm.

设方案②正方形的边长为>。小作8〃_LAC于〃,交DE于K,

•・•四边形EDG/是正方形,

:.DE//AC,NEDG=NDGF=90°.

于K.

:・NDKH=90°.

・•・四边形QK〃G为矩形.

故设HK=DG=y.

:.DE"AC.

:.4BDES/\BCA.

.BKDE

,,BH

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