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文档简介
2023・2024学年八年级数学下册举一反三系列专题19.3一次函数的图
象与性质【十大题型】
【人教版】
【题型I判定一次函数的图像].................................................................2
【题型2根据一次函数解析式判断其经过的象限】.................................................4
【题型3根据函数经过的象限判断参数取值范围】.................................................4
【题型4一次函数的图像与坐标轴的交点问题】..................................................5
【题型5一次函数的平移问题】.................................................................5
【题型6判断一次函数的增减性】...............................................................6
【题型7根据一次函数的增减性求参数或最值】...................................................7
【题型8根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】..........................................7
【题型9比较一次函数值的大小】...............................................................7
【题型10一次函数的规律探究问题】............................................................8
【知识点1一次函数与正比例函数的图象与性质】
1、正比例函数的图象与性质
解析式y=kx(k工0)
自变量取值范围全体实数
形状过原点的一条直线
k的取值k>0k<0
图象示意图
0
4L
r
位置经过一、三象限经过二、四象限
趋势从左向右上升从左向右下降
函数增减性y随x的增大而增大,y随x的增大而减小
即:当Xi>X2时,yi>y2即:当Xi>X2时,yi<y2
2、一次函数的图象与性质
解析式y=kx+b(k*0)
自变量耳又值范围全体实数
形状过(0,b)和(一10)的一条直线
1\八
k>0k<0
k、b的
取值
b>0b<0b>0b<0
图象
rtz*
示意图
O\\x
经过一、二、三经过一、三、四经过一、二、四经过二、三、四
位置
象限象限象限象限
趋势从左向右上升从左向右下降
y随x的增大而增大,y随x的增大而减小
函数增减性
即:当xi>X2时,yi>y2即:当Xi>X?时,yi<y2
3、截距
直线y=kx+b与y轴相交于(0,b),b叫做直线y=kx+
定义
b在y轴上的截距,简称截距
举例直线y=-2x-3的截距是一3
【题型1判定一次函数的图像】
)
[例1](2022春•牡丹江期末)直线jj=/nx+/?+l和y2=-tnx-n的图象可能是(
y
O七x
AB.
【变式1-1](2022春•喀什地区期末)直线>,=点+〃的图象如图所示,则直线),=尻-A”的图象是()
【变式1-2](2022春•安阳县期末)•次函数尸如+〃的图象如图所示,则尸・2g+〃的图象可能是()
【变式3-2](2022•泰兴市一模)过点(-1,2)的直线1y(机K0)不经过第三象限,若〃=3/〃-〃,
则〃的范围是()
A.-10W〃W-2B.-10C.-6WpW-2D.6<pV-2
【变式3-3](2022•辽宁)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数),=攵"+力与y=hi+历的图象分别
为直线人和直线⑨下列结论正确的是(
鬲+42VoC.b\-62VoD.加•历VO
【题型4一次函数的图像与坐标轴的交点问题】
【例4】(2022春•镇巴县期末)已知直线八:y=-x+Z?与x轴交于点(1,0),直线6与直线(关于y轴
对称,则关于直线自下列说法正确的是()
A.y的值随着x的增大而减小
B.函数图象经过第二、三、四象限
C.函数图象与工轴的交点坐标为(1,0)
D.函数图象与),轴的交点坐标为(0,b)
【变式4-1](2022春•双阳区月考)若直线y=依-&(攵>0)与两个坐标轴所围成的三角形R勺面积为4,
则k=.
【变式4-2](2022春•卧龙区期中)若一次函数),=(左+2)广八3与),轴的交点在x轴的下方,则女的
取值范围是.
【变式4-3](2022•遵义模拟)平面直角坐标系式0),中,点P的坐标为(3〃?,-4^+4),一次函数尸会+12
的图象与式轴、y轴分别相交于点A、B,若点P在△AOB的内部,则〃1的取值范围为()
A.机>一1或mVOB.-3<m<\C.-\<m<()D.-1WmW1
【题型5一次函数的平移问题】
[ft5](2022秋♦宣州区校级期中)将直线y=2x+3平移后经过点(2,7),求:
(1)平移后的直线解析式;
(2)沿x轴是如何平移的.
【变式5-1](2022秋•雁塔区校级月考•)已知一次函数),=-抖1,它的图象与x轴交于点A,与),轴交于
点B.
(1)点A的坐标为,点B的坐标为;
(2)画出此函数图象;
(3)画出该函数图象向下平移3个单位长度后得到的图象;
(4)写出一次函数),=-夕+1图象向下平移3个单位长度后所得图象对应的表达式.
L.—I-----1—0।
【变式5-2].(2022春•安岳县期中)已知直线),=(m+1)E+(2m-1),当即>及时,力>小,求该
直线的解析式.并求该直线经过怎么的上下平移就能过点(2,5)?
【变式5-3](2022春•武昌区期末)已知一次函数),=履+8的图象过点4(-4,-2)和点E(2,4)
(1)求直线八8的解析式;
(2)将直线48平移,使其经过原点O,则线段/U?扫过的面积为.
【题型6判断一次函数的增减性】
【例6】(2022秋•射阳县期末)下列一次函数中,y随x增大而增大的是()
A.y=-3xB.y=x-2C.y=~2x+3D.y=3-x
【变式6-1](2022春-巴州区校级期中)一次函数y=4x-2的函数值),随自变量x值的增大而(填
“增大”或“减小”).
【变式6-2](2022春•柳南区校级期末)正比例函数产-Fx(y0),下列结论正确的是()
A.>'>0B.y随x的增大而增大
C.y<0D.y随x的增大而减小
【变式6-3](2022春•马山县期末)已知正比例函数),=心•(AH0)的图象经过点(-6,2),那么函数值
y随自变量工的值的增大而.(填“增大”或“减小”)
【题型7根据一次函数的增减性求参数或最值】
(ft7](2022•潮南区模拟)已知一次函数y=-0.5X+2,当14W4时,),的最大值是()
A.1.5B.2C.2.5D.-6
【变式7-1](2022•萧山区模拟)已知正比例函数y=(w+l)x+nr-4,若),随x的增大而减小,则〃?的
值是.
【变式7-2](2022春•饶平县校级期末)若正比例函数尸(2-w)xlm-21,),随x的增大而减小,则,〃的
值是.
【变式7-31(2022秋•沐阳县校级期末)一次函数尸匕+4当1OW4时,3W)W6,则%的值是.
【题型8根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】
【例8】(2022•兴平市模拟)在平面直角坐标系中,若一次函数>,=近+3的),值随x的增大而减小,则该
一次函数的图象可能经过的点的坐标是()
A.(I,1)B.(1,3)C.(1,4)D.(1,5)
【变式8-1](2022•连山区一模)一次函数>=履+3(人/0)的函数值),随x的增大而减小,它的图象不经
过的象限是()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【变式8-2](2022•东坡区模拟)若一次函数尸⑵?+1)x-I的值随x的增大而增大,则常数机的取值
范围.
【变式8-3](2022春•巨野县期末)已知一次函数y=(w+2)x-(加+3),),随x的增大而减小,且图象
与丁轴的交点在x轴下方,则实数,〃的取值范围是.
【题型9比较一次函数值的大小】
【例9】(2022春•芜湖期末)已知直线),=-2022^+2021经过点(-2,2),(-1,”),(1,),3),
则yi,”,”的大小关系是()
A.y\<y2<y3B.yi<y\<y3C.y3<y2<y\D.y3<y\<y2
【变式9-1](2022秋•南山区校级期中)在函数丁=辰(/>0)的图象上有点A5,yi),心(X2,y2),
已知汨〈工2,则下列各式中正确的是()
A.yi<y2B.y2<y\C.y2=yiD.9=%=0
【变式9-2](2022春•同江市期末)若点A(X),-1),8(犯,-2),C(内,3)在一次函数y=-2x+m
(利是常数)的图象上,则片,X2,冷的大小关系是()
A.X\>X2>X3B.X2>Xi>X3C.X\>X^>X2D.13>X2>X1
【变式9-3](2022•绍兴)己知(xi,»),(X2,丫2),(X3,>,3)为直线>'=-2.X+3上的三个点,且A|
<X2<X3,则以下判断正确的是()
A.若即12>0,则>1”>0B.若X1X3V0,则)叱2>0
C.若X2X3>0,则W>0D.若X2X3VO,则儿)空>0
【题型10一次函数的规律探究问题】
【例10](2022秋•市南区期末)如图,直线轴于点(1,0),直线bLi轴于点(2,0),直线八
Lr轴于点(3,0),直线轴于点(〃,0)(其中〃为正整数).函数y=x的图象与直线人,
r2»h,…,分别交于点4,小,4,…4;函数y=2x的图象与直线八,h,A,…,/〃分别交于点8,
!h,83,…,&,如果△久占的面积记作多,四边形442昆81的面积记作S2,四边形人乂3&%的面积
记作S3,…,四边形An-iAnBnBn-1的面积记作Snt那么§2022=
【变式10-1】(2022春•巴中期末)如图,直线小y=x+l与直线氏y=:+:相交于点P,直线八与y轴
交于点4一动点C从点4出发,先沿平行于x轴的方向运动,到达直线/2上的点与处后,改为垂直于
x轴的方向运动,到达直线上的点A处后,再沿平行于x轴的方向运动,到达直线/2上的点&处后,
又改为垂直于x轴的方向运动,到达直线八上的点4处后,仍沿平行于k轴的方向运动…照此规律运动,
动点C依次经过点3,41,&,A2t&,43,&O2。,A2020……则A2O22%O22的长度为()
D.4044
【变式10-2](2022春•石家庄期中)正方形4出〔GO,A2&C2G,A3B3C3c2,…按如图所示方式放置,点
A1,42,4,…和G,G,G,…分别在直线y=x+l和X轴上,则点区的坐标是,比020的纵
坐标是.
【变式10-3](2022春•庆云县期末)如图,在平面直角坐标系中,点4(1,1)在直线y=x图象上,过
点作),轴平行线,交直线),=-x于点以,以线段为边在右侧作正方形A由iG。,GA所在的直
线交的图象于点4,交、产的图象于点心,再以线段A2%为边在右侧作正方形A282c2。2…依
此类推.按照图中反映的规律,则点4的坐标是;第2020个正方形的边长是.
专题19.3一次函数的图象与性质【十大题型】
【人教版】
【逑型1判定一次函数的图像].......................................................................2
【题型2根据一次函数解析式判断其经过的象限】.....................................................4
【题型3根据函数经过的象限判断参数取值范围】.....................................................4
【题型4一次函数的图像与坐标轴的交点问题】.......................................................5
【题型5一次函数的平移问题】.......................................................................5
【题型6判断一次函数的增减性】.....................................................................6
【题型7根据一次函数的增减性求参数或最值】........................................................7
【题型8根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】..............................................7
【题型9比较一次函数值的大小】.....................................................................7
【题型10一次函数的规律探究问题】..................................................................8
“力干一及三
【知识点1一次函数与正比例函数的图象与性质】
1、正比例函数的图象与性质
解析式y=kx(k工0)
自变量取值范围全体实数
形状过原点的一条直线
k的取值k>0k<0
*
图象示意图
K
位置经过一、三象限经过二、四象限
趋势从左向右上升从左向右下降
y随x的增大而增大,y随x的增大而减小
函数增减性
即:当Xi>X2时,yi>y2即:当Xi>X2时,yi<y2
2、一次函数的图象与性质
解析式y=kx4-b(kH0)
自变量取值范围全体实数
形状过(0,b)和(-a0)的一条直线
1\八
k>0k<0
k、b的
取值
b>0b<0b>0b<0
图象事千
示意图fz
0\x
经过一、二、三经过一、三、四经过一、二、四经过二、三、四
位置
象限象限象限象限
趋势从左向右上升从左向右下降
y随x的增大而增大,y随x的增大而减小
函数增减性
即:当Xi>X2时,Y1>y2即:当Xi>X2时,yi<y2
3、截距
直线y=kx+b与y轴相交于(0,b),b叫做直线y=kx+
定义
b在y轴上的截距,简称越距
举例直线y=—2x—3的截距是一3
【题型1判定一次函数的图像】
[例I](2022春•牡丹江期末)直线>1=孙+/+]和”=-〃L"〃的图象可能是()
y
y,
x
oOx
C.D.
【分析】对于y产〃优+层+],〃2+|>o,所以直线一定与),轴正半轴相交,再根据〃?的符号判断即可.
【解答】解:,・%=尔+〃2+],〃2+]>0,所以直线一定与y相正半轴相交,
・•・排除A和&
对于C选项,可知/nVO,
-〃?>0,
・・・C选项可能成立;
对于。选项,可知"?>0,
・・・-〃?<0,另一条直线应该是下降的,故不符合题意.
故选:C.
【变式1-1](2022春•喀什地区期末)直线尸入V的图象如图所示,则直线尸力X-%的图象是()
【分析】根据是一次函数)="+"的图象经过一、二、四象限得出匕〃的取值范围解答即可.
【解答】解;因为一次函数)=心2的图象经过一、二、四象限,
可得:kVO,b>0,
所以直线),=/”•-4的图象经过一、二、三象限,
故选:A.
【变式1-2](2022春•安阳县期末)一次函数尸蛆+〃的图象如图所示,则产・2〃u+〃的图象可能是()
【分析】先根据一次函数y=〃a+〃的图象得出/〃、〃的范围,再根据一次函数的图象与系数的关系推知
y=-2nvc+n的图象所经过的象限,此题得解.
【解答】解:一次函数),=〃〃〃的图象经过第一、三象限,则〃?>().
该直线与),轴交于正半轴,则”>0.
所以-2/n<0.
所以•次函数),=,内+,?的图象经过第二、四象限,且与),轴交于正半轴.
观察选项,只有选项。符合题意.
故选:C.
【变式1-3](2022•萧山区模拟)若实数a,b,c满足a+/?+c=0,且aV0<c,则函数-ex-。的图象
C.D.
【分析】先判断出4是负数,。是正数,然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及
与y轴的交点的位置即可得解.
【解答】解:且力Vc,
・・・4<0,c>0,B的正负情况不能确定),
/.-。>0,-c<0,
・・・函数),=-3-。的图象经过二、一、四象限.
故选:B.
【题型2根据一次函数解析式判断其经过的象限】
【例2】(2022•海门市校级模拟)己知关于x的一次函数为尸心+4〃?+3,那么这个函数的图象一定经过
()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【分析】当x=-4时,可求出),=3,由此即可得出答案.
【解答】解:当x=-4时,y=-4〃?+4/〃+3=3,
即此一次函数的图象经过定点(-4,3),
因为点(-4,3)位于第二象限,所以这个函数的图象一定经过第二象限.
故选:B.
【变式2-1](2022春•集贤县期末)一次函数),=2(x+1)-1不经过第()象限.
A.-B.二C.三D.四
【分析】先将解析式化简,然后通过•次项系数和常数项符号进行判断.
【解答】解:y=2(j+1)-1=21+1,
・•・直线y=2t+l经过一,二,三象限,
故选:D.
【变式2-2](2022秋•九龙坡区校级期末)如图,点A,B在数轴上分别表示数-2a+3,1,则一次函数),
=(1-tz)x+a-2的图象一定不经过()
,•0--A••BA
0-2a+31
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【分析】根据数轴得出。的范围,进而利用象限特点解答即可.
【解答】解:由数轴可得:0<-2«+3<1,
可得:1Va
:.1-“VO,a-2<0,
所以一次函数y=(1-〃)x+a-2的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限,
故选:A.
【变式2-3](2022•萧山区一模)已知y-3与x+5成正比例,且当尤=-2时°,),<0,则y关于x的函
数图象经过()
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限
【分析】由与x+5成正比例,可设),-3=女(x+5),整理得:),=履+5&+3.把工=-2代入得不等
式,可解得k<-1,再判断5A+3的符号即可.
[解答]解:•・•),・3与x+5成正比例,
・••设y-3=k(X+5),整理得:y=kx+5k+3.
当x=-2时,),<0,
却-2k+5Z+3V0,整理得3k+3V0,
解得:k<-[.
,:k<-1,
:.5k+3<-2,
・•・),=区+5-3的图象经过第二、三、四象限.
故选:O.
【题型3根据函数经过的象限判断参数取值范围】
【例3】(2022•黄州区校级自主招生)已知过点(2,3)的直线(.W0)不经过第四象限,设s=
〃-2〃,则s的取值范围是()
A.|<s<6B.-3OW3C.-6<.<|D.译s<5
【分析】根据题意得出。>0,即可推出得OVQW^,从而求得$的取值范围.
【解答】解:•・•过点(2,3)的直线y=or+/?(»0)不经过第四象限,
.\<7>0,心0,
将(2,3)代入直线
3=2。+〃,
b=3-2a
・(a>0
"l3-2a>0,
解得0<a<I,
s=a-2b=a-2X(3-2。)=5。-6,
a=0时,s=-6,
33
(i=->s=->
22
故-6<5<
故选:c.
【变式3-1】(2022春•丰都县期末)若关于%的不等式组有且只有四个整数解,且一次函数S
=a+2)X+&+3的图象不经过第一象限,则符合题意的整数k的和为()
A.-12B.-14C.-9D.-15
【分析】由一元一次不等式组的整数解求出攵的一个取值范围,再利用一次函数的性质求々的取值范围,
从而确定女的值,再求它们的和.
【解答】解:•・•关于x的不等式组[5”一上>°有且只有四个整数解,
tx-3<0
.•・().2&VxW3,
・・・x的4个整数解为0,1,2,3.
・•・・1W0.2&V0,
・•・・5WZV0:
又•・•一次函数y=(A+2)x+k+3的图象不经过第一象限,
・•・攵+2V0且4+3W0,
:,k&-3,
:.-5W&W-3,
・•”的整数解为:-5;-4;-3.
・•・它们的和为:-12.
故选:A.
【变式3-2](2022•泰兴市一模)过点(・1,2)的直线(〃片0)不经过第三象限,若
则〃的范围是()
A.-l(f2B.〃2-10C.-6W〃W-2D.-6WpV-2
【分析】根据过点(-1,2)的直线y=〃zr+〃(机WO)不经过第三象限,可以得到相和〃的关系,〃?、〃
的正负情况,再根据〃=3/〃・小即可用含加的式子表示p和用含〃的式子表示p,然后即可得到相应的
不等式组,再解不等式组即可.
【解答】解:•・•过点(7,2)的直线厂如+〃(〃[工0)不经过第三象限,
:.-m+n=2,m<0,
:.n=2+m,m=n-2,
,.,p=3〃?~n,
-(2+m)=3ni-2-m=2m-2,
p=3m-n=3(〃-2)-n=3n-6-n=2n-6,
•p+2p+6
••m=----,n=----,
(山VO
空NO
解得-6Wp<-2,
故选:D.
【变式3-3](2022•辽宁)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数尸2武+"与尸&2文+历的图象分别
为直线八和直线£下列结论正确的是()
A.ki・k?<0B.ki+h〈UC.b\-Z?2<0D.力•历VO
【分析】根据一次函数y=hr+6与y=hr+〃2的图象位置,可得&i>0,6>0,&2>0,/?2<0»然后逐一
判断即可解答.
【解答】解:•・•一次函数y=G+"的图象过一、二、三象限,
.》]>(),加>0,
•・•一次函数)=公叶岳的图象过一、三、四象限,
・••依>0,b2v:0,
,A、Ai♦女2>0,故A不符合题意;
B、k1+k2>0,故B不符合题意:
C、加■仇>0,故C不符合题意:
D、bi・b2<0,故。符合题意;
故选:
【题型4一次函数的图像与坐标轴的交点问题】
【例4】(2022春•镇巴县期末)已知直线6y=-x+力与x轴交于点(I,0),直线“与直线八关于y轴
对称,则关于直线/2,下列说法正确的是()
A.),的值随着x的增大而减小
B.函数图象经过第二、三、四象限
C.函数图象与x轴的交点坐标为(1,0)
D.函数图象与),轴的交点坐标为(0,b)
【分析】根据轴对称的性质求得直线,2经过点(-1,0),从而求得直线6为),=x+。,利用一次函数的
性质和图象上点的坐标特征判断即可.
【解答】解:•・•直线k),=-武力与x轴交于点(1,0),直线6与直线八关于),轴对称,
・•・直线6经过点(-1,0),故C错误;
,直线1?为y=x+b,
・•・),的值随着x的增大而增大,故A错误;
•・,的值随着x的增大而增大,
・••函数图象不经过第二、三、四象限,故B错误;
令x=0,则y=A,
・•・函数图象与),轴的交点坐标为(0,b),故。正确;
故选:D.
【变式4-1](2022春•双阳区月考•)若直线),=依-4(%>())与两个坐标轴所围成的三角形口勺面积为4,
则k=8.
【分析】先令x=0,求出y的值;再令y=0求出x的值即可得出直线与坐标轴的交点,再根据三角形的
面积公式即可得出结论.
【解答】解:•・•先令x=0,则尸7:
令),=0,则x=l,
・•・直线与坐标轴的交点分别为(0,-k),(1,0),
・・.S=;x|-*Xl=4,
解得%=・8(舍去),或火=8.
故答案为:8.
【变式4-2](2。22春•卧龙区期中)若一次函数y=(k+2)x-k-3与),轴的交点在x轴的下方,贝ijk的
取值范围是Q-3IUW-2.
【分析】根据一次函数的图象的性质知,一次函数),=(&+2)x-2-3与),轴的交点在x轴的下方.则
应有・2-3<0,求解即可.
【解答】解:一次函数),=(狂2)x」・3中,令x=0,解得:y=-k-3,
与丁轴的交点在x轴的下方,则有・k・3V0,
解得:心>・3.
又・・乂#-2
则k的取值范围是:k>-3且kW-2.
故答案为:人>-3且k#-2.
【变式4-3](2022•遵义模拟)平面直角坐标系戈Oy中,点P的坐标为(3〃?,-4〃汁4),一次函数)=%+12
•5
的图象与、轴、y轴分别相交于点人、氏若点。在△404的内部,则小的取值范围为()
A.in>一1或mVOB.-3<ni<1C.-1<///<0D.
【分析】先求得点A与点8的坐标,然后令1=3阳,求得对应的y的值,再结合点尸在△AOB的内部列
出关于加的不等式,最后求得m的取值范围.
【解答】解:当x=0时,y=12,当),=0时,x=-9,
・・・A(-9,0),8(0,12),
当x=3小时,¥=:x3〃?+12=4w+12,
•・•点P在△AO8的内部,
*-9<3m<0
I—4m+4<4m+12
解得:・1V〃?VO,
故选:C.
【题型5一次函数的平移问题】
【例5】(2022秋•宣州区校级期中)将直线y=2x+3平移后经过点(2,-1),求:
(1)平移后的直线解析式;
(2)沿x轴是如何平移的.
【分析】(1)可设平移后的直线解析式为),=2%+4把已知点的坐标代入可求得。的值,则可求得平移
后的解析式;
(2)观察x的变化情况即可求得答案.
【解答】解:
(1)设平移后的直线解析式为),=〃+'
把(2,-1)代入可得-I=2X2+4解得人=-5,
・••平移后的直线解析式为y=2.5;
(2)-:y=2x-5=2x-8+3=2(x-4)十3,
・•・是沿x轴向右平移4个单位得到的.
【变式5-1](2022秋•雁塔区校级月考)已知一次函数),=-夫+1,它的图象与x轴交于点4,与),轴交于
点B.
(1)点4的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,1);
(2)画出此函数图象;
(3)画出该函数图象向卜平移3个单位长度后得到的图象;
(4)写出一次函数),=-夕+1图象向下平移3个单位长度后所得图象对应的表达式.
【分析】(1)将y=()代入尸一夕+1,求出x的值,得到点4的坐标,将尸()代入尸一%+1,求出y
的值,得到点3的坐标;
(2)根据一次函数的性质,过A,B两点画直线即可:
(3)结合(2)中的图沿y轴向下平移3个单位画出直线即可;
(4)根据直线平移的规律,将),=-5+1向下平移三个单位后得到),=一%-2.
【解答】解:(1)将尸。代入尸一*1,
得一]+1=0,解得工=2,
则点4的坐标为(2,0).
将x=O代入y=—1,
得尸-1x0+1=1,
则点4的坐标为(0,1).
故答案为A(2,0),B(0,1);
(3)将)=一》十1向下平移3个单位后得到的图象如图.
(4)将产一夕+1向下平移三个单位后得到尸一"2.
【变式5-21.(2022春•安岳县期中)己知直线),=(w+1)m”+(2/n-1),当汨>不时,求该
直线的解析式.并求该直线经过怎么的上下平移就能过点(2,5)?
【分析】根据一次函数的图象性质作答;
先根据平移时k的值不变,只有b发生变化可设平移后的直线为),=3x6,将点(4,0)代入,求出b
的值,然后根据“左加右减,上加下减”的平移规律即可求解.
,
【解答】解:由题意得丁!1〉。
=1
解得切=2,
・••直线的解析式为y=3x+3:
设平移后的直线为),=3行将点(2,5)代入得:b=-\.
所以y=3x-1.
・•・将直线y=3x+3向下平移4个单位,可得直线y=3x+3-4,即经过点(2,5).
【变式5-3](2022春•武昌区期末)已知一次函数),=依+力的图象过点4(-4,-2)和点8(2,4)
(1)求直线A8的解析式;
(2)将直线A8平移,使其经过原点O,则线段A8扫过的面积为
【分析】(1)将A、B两点的坐标代入),=去+乩利用待定系数法即可求出直线的解析式;
(2)先利用平移规律求出直线平移后的解析式,进而求出线段扫过的面积.
【解答】解:(1)•••一次函数1y=依+/?的图象过点4(-4,-2)和点4(2,4),
二幡I匕72,解砒时
,直线A8的解析式为y=x+2;
(2)设直线48平移后的解析式为y=x+〃,
将原点(0,0)代入,得〃=0,
・•・直线AB平移后的解析式为尸弟
・•・将直线A8向下平移2个单位得到直线4'B',
如图,贝ijA'(-4,-4),夕(2,2),
・•・平行四边形/WB'B的面积=2X(4+2)=12.
即线段A4扫过的面积为12.
故答案为12.
【题型6判断一次函数的增减性】
【例6】(2022秋•射阳县期末)下列一次函数中,y随x增大而增大的是()
A.y=-3xB.y=x-2C.y=-Zx+5D.y=3-x
【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可.
【解答】解:人、•・•一次函数)=-3x中,&=-3V0,・••此因数中y随x增大而减小,故本选项错误;
B、•・•正比例函数y=x・2中,攵=1>0,・•・此函数中),随x增大而增大,故本选项正确;
C、•・•正比例函数),=・2什3中,左=-2V0,・•・此函数中),随x增大而减小,故本选项错误;
D、正比例函数),=3-%中,氏=・1V0,・••此函数中y随x增大而减小,故本选项错误.
故选:B.
【变式6-1](2022春-巴州区校级期中)一次函数),=4x-2的函数值,,随自变量x值的增大而增大(填
“增大”或“减小”).
【分析】根据一次函数的性质判断出一次函数y=4x-2中k的符号,再根据一次函数的增减性进行解答
即可.
【解答】解:•・•一次函数y=4x-2中,24>0,
・•・函数值),随自变量x值的增大而增大.
故答案为:增大.
【变式6-2](2022春•柳南区校级期末)正比例函数),=・&;(AWO),下列结论正确的是1)
A.y>0B.y随x的增大而增大
C.y<0D.y随x的增大而减小
【分析】根据正比例函数图象的性质可知.
【解答】解:因为x的取值范围是全体实数,所以),的值不确定因为-Sv。,所以:
4、不对;
B、不对;
C、不对;
D、根据正比例函数图象的变亿规律,知),随x的增大而减小,。正确.
故选:D.
【变式6-3](2022春•马山县期末)已知正比例函数),=丘&工0)的图象经过点(-6,2),那么函数值
y随自变量工的值的增大而(填“增大”或“减小”)
【分析】把点(-6,2)代入函数解析式求得&的值,结合上的符号判定该函数图象的增减性.
【解答】解:把点(・6,2)代入y=匕,
得到:2=-6k,
解得女=_gy),
则函数值y随自变量大的值的增大而减小,
故答案是:减小.
【题型7根据一次函数的增减性求参数或最值】
(ft7](2022•潮南区模拟)已知一次函数y=-05计2,当时,),的最大值是()
A.1.5B.2C.2.5D.-6
【分析】根据一次函数的系数k=-0.5V0,可得出y随x值的增大而减小,将x=l代入一次函数解析
式中求出y值即可.
【解答】解:在一次函数),=-0.5x+2中k=-0.5<0,
・•・),随工值的增大而减小,
・•・当x=l时,y取最大值,最大值为-0.5X1+2=15
故选:A.
【变式7-1](2022•萧山区模拟)已知正比例函数),=(加+1)支+/-4,若),随x的增大而减小,则〃?的
值是一・2.
【分析】先根据正比例函数的定义列出关于用的方程,求出,〃的值,再根据此正比例函数y随工的增大
而减小即可求出m的值.
【解答】解:•・•函数y=(,〃+1)x+〃P-4是正比例函数,
Aw2-4=0,
解得:〃?=±
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