2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题22 轴对称的性质+设计轴对称图案-重难点题型（举一反三）含解析

2023.2024学年八年级数学上册举一反三系列专题2.2轴对称的性质

+设计轴对称图案■重难点题型

【苏科版】

辛一名三

【知识点1轴对称的性质】

（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

由轴对称的性质得到一下结论：

①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个困形关于这条直线对称；

②如果两个困形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这

两个图形的对称轴.

⑵轴对称图形的对称轴也是任何-对对应点所连线段的垂直平分线.

【题型1利用轴对称的性质求角度】

【例1】（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，△AOB与△CO8关于边所在的直线成轴灼称，AO的延

长线交3C于点、D.若N6OQ=46",ZC=20°,则NAOC=0.

【变式1-1］（2021春•汉台区期末）如图，NMON内有一点尸，点?关于OM的轴对称点是G,点?关于

ON的轴对称点是从G〃分别交OM、ON于A、B点,若NMON=35°,则NGO〃=

【变式1-2］（2021春•雁塔区校级期末）如图，点P为NAOB内一点，分别作出P点关于OB、。人的对称

交OA于N,若NAOB=40°,则NMPN的度数是（）

C.120°D.140°

【变式1-3］（2020•射阳县校级模拟）如图，四边形ABC。中，AB=4。，点B关于AC的对称点上恰好

落在CO上，若N8475=100。，则NACB的度数为（)

A.40°B.45°C.60°D.80°

【题型2利用轴对称的性质求线段】

【例2】（2021•深圳模拟）如图，在△ABC中，点Z）,E1分别在边4B,8c上，点A与点E关于直线C。

对称.若AB=7,AC=9,8c=12,则△O8E的周长为（）

A.9B.10C.11D.12

【变式2-1］（2021春•海口期末〕如图所示，点〃关于直线OA、08的对称点分别为。、D,连接CD,交

0A于M,交。8于N,若△PWV的周长为8加，则C。为cm.

【变式2-2]（2021春•驿城区期末）如图，点。是NAO8外的一点，点M,N分别是NA08两边上的点,

点。关于04的对称点。恰好落在线段上，点P关于03的对称点R落在的延长线上.若PM

则线段QR的长为

【变式2-3]（2020春•双流区校级期末）如图，△A4C中，ZACH=9O0,BC=6,人。=8,44=10,动

点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC,BC对称的点分别为尸I,尸2.则在点P的运

动过程中，线段PiP2的长的最小值是.

P】

【例3】（2020春•荷塘区期末）如图，在边长为I个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△A8C

（顶点是网格线的交点）.

（1）请画出△ABC关于直线/对称的△AiBiCi；

（2）将△A1B1C1再向下平移5个单位，画出平移后得到的2c2,并计算△/1282c2的面积.

m

\

(3)

【变式3-3](2020秋•江汉区期末)如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的

顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△A3C为格点三角形.

(1)如图，图1,图2,图3都是6X6的正方形网格，点M,点N都是格点，请分别按要求在网格中

作图:

①在图I中作△MNP,使它与AABC全等;

②在图2中作△“£>£：,使△MDE由AABC平移而得;

③在图3中作△NFG,使△NR7与AABC关于某条直线对称;

(2)如图4,是一个4X4的E方形网格，图中与△回€：关于某条直线釉对称的格点三角形有个.

【题型4利用轴对称的性质解折叠问题】

[ft4]（2021春•锦江区期末）如图，在△48C中，NACB=90°,。是AC上一点，连接8D,将△/3QA

沿对折得到△5。£,若3E恰好经过点、C,则下列结论错误的是（）

B./CDE=2NABD

C.NBDE-NABD=90°D.SAABD：S&CDE=BC：CE

【变式4-1]（2021春­于洪区期末）如图,△A8C中，NAC8=90。，将△A3C沿着一条直线折叠后，使

点A与点。重合（如图②）

（1）在图①中画出折痕所在的直线/，I'可直线/是线段AC的•线:

（2）设直线/与AZ?、AC分别相交于点M、N,连接CM,若△CM"的周长足21c,〃，AB=\4cm,求“。

的长.

【变式4-2]（2021•启东市开学）如图,将RtZ\ABC沿斜边翻折得到△AOC,点E,尸分别为DC,BC边

上的点，且/E4尸=/ND48.试猜想OE,BF,£尸之间有何数量关系，并证明你的猜想.

E

BFC

【变式4-3]（2020秋•建邺区期末）"C。是长方形纸片的四个顶点，点石、F、，分别边A。、BC、AD

上的三点，连接EAFH.

（1）将长方形纸片的A8CQ按如图①所示的方式折叠，FE、/为折痕,点从。、。折叠后的对应点

分别为B'、C'、。'，点8'在尸C'上，则NEFH的度数为；

（2）将长方形纸片的48C。按如图②所示的方式折叠，FE、F77为折痕，点8、C、。折叠后的对应点

分别为8'、C'、Z7（夕、C的位置如图所示），若NBFC=16°,求NEFH的度数;

（3）将长方形纸片的ABCO按如图③所示的方式折叠，FE、77/为折痕，点B、C、。折叠后的对应点

、C的位置如图所示）.若NEFH=〃。，则N夕FC'的度数为

【例5】（2021•门头沟区二模）有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻

折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是（）

【变式5-1]（2020秋•恩施市期末）将一张正方形按图1,图2方式折叠，然后用剪刀沿图3中虚线剪掉

一角，再将纸片展开铺平后得到的图形是（）

【变式5-2]（2020秋•石景山区期末）剪纸是我国传统的民间艺术.如图①，②将一张纸片进行两次对折

后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）

【变式5-3】（2021•邢台三模）一张正方形纸片按图1、图2箭头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到

图4,把图4展开铺平的图案应是（)

【题型6设计轴对称图案】

【例6】（2021•石城县模拟）如图是由三个全等的菱形拼接而成的图形，若平移其中一个菱形，与其他两

个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有（）

A.5种B.6种C.7种D.8种

【变式6-1]（2021•武汉模拟）妇图，在5X5的小正方形网格中有4个涂阴影的小正方形，它们组成一个

轴对称图形.现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的4个阴影的小正方形组成一个

抽对称图形，不同的移法有（）

C.16种D.20种

【变式6-2]（2021春•道县期末）在4X4的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号

为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有二

【变式6-3]（2021春•宛城区期末）如图，已知点A、8、C都在方格纸的格点上.

（1）若把线段平移后，对应线段恰好为AM,请画山线段AM；

（2）请你再找一个格点。，使点A、B、C、。组成一个轴对称图形，并画出对称轴.（请分别在下图及

备用图中尽可能多地设计出不同的图形，格点。分别用。I、。2、。3、…表示）.

专题2.2轴对称的性质+设计轴对称图案.重难点题型

【苏科版】

衣

”勿沱以三

【知识点1轴对称的性质】

(1)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

由轴对称的性质得到一下结论：

①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；

②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这

两个图形的对称轴.

(2)轴对称困形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

【题型1利用轴对称的性质求角度】

【例I】(2021春•沙坪坝区校级期中)如图，用与△COB关于边08所在的直线成轴对称，人。的延

长线交BC于点D.若NB()D=46°,ZC=20°,则NAQC=0.

【分析】根据N4OC=N4+NAB。，求出N4,即可.

【解答】解：与△C08关于边0B所在的直线成轴对称,

AAOB@ACOB,

/.ZA=ZC=20°,ZABO=ZCBO,

ZBOD=ZA+ZABO,

・・・NA80=N8。。-乙480=乙6°-20°=26°,

/.ZABD=2ZABO=52°,

AZADC=ZA+ZABD=20°4-52°=72°,

故答案为：72.

【变式1-1］（2021春•汉台区期末）如图，NMON内有一点P,点夕关于OM的轴对称点是G,点夕关于

ON的轴对称点是H,G”分别交OM、ON于A、8点，若NMON=35°,则NGO〃=.

【分析】连接OP,根据轴对称的性质可得NGOW=NMOP,/PON=NNOH,然后求出NGO〃=2N

MOM代入数据计算即可得解.

【解答】解：如图，连接OP,

'/P点关于OM的轴时称点是G,P点关于ON的轴对,称点是H,

/./GOM=NMOP,/PON=ZNOH,

/.ZGOH=ZGOM+ZMOP+ZPON+ZNOH=2ZMON,

•・・NMON=35°,

・・・NGO”=2X35°=70°.

故答案为：70°.

【变式1・2】（2021春•雁塔区校级期末）如图，点。为NAO4内一点，分别作出，点关于（）8、OA的对称

点P1,尸2,连接P1P2交OB于M,交OA于N,若NAOB=40°,贝IJ/MPN的度数是（）

B

O

Pi

A.90°B.100°C.120°D.140°

【分析】首先证明NP+NP2=40°,可得NPMN=NPi+NMPPi=2NPi,ZPNM=ZPI+ZNPP2=2

NP2,推出NPMN+/产NM=2X40°=80°,可得结论.

【解答】解：TP点关于OB的对称点是Pi,P点关于OA的对称点是尸2,

：.PM=P\M,PN=P2N,NP2=NP2PMNPI=NPPM,

•••NAOB=40°,

・・・NP2Ppi=140°,

.*.ZPI+ZP2=40°,

:./PMN=NP\+/MPPi=2NP\,4PNM=/PZ+4NPP2=2/P2,

:・NPMN+NPNM=2X40°=80°,

AZMP/V=I8O°-(NPMNMPNM)=180°-80°=100°,

故选：B.

【变式1-3］（2020•射阳县校级模拟）如图，四边形A4C。中，。，点4关于AC的对称点夕恰好

落在CO上，若NBAO=100°,则/AC8的度数为（)

A.40°B.45°C.60°D.8()°

【分析】连接A8,BB',过A作A£_LCO于E,依据N84C=N8AC,NDAE=NB'AE,即可得出NCA£=

\ZBAD,再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到乙4c8=/AC8'=90°-^ZBAD.

【解答】解：如图，连接48,88,过A作AE_LC。于E,

•・,点8关于AC的对称点明恰好落在CD上，

♦AC垂直平分58’,

：.AB=AB',

：,ZBAC=ZBAC,

,：AB=AD,

：.AD=AB',

又,.・A£_LCQ,

：.ZDAE=ZB'AE,

1

：.ZCAE=^ZBAD=50Q，

乙

又・・・/4EC=90°，

・・・/ACB=NAC8'=40°,

故选：A.

【题型2利用轴对称的性质求线段】

【例2】（2021•深圳模拟）如图，在△ABC中，点。，E分别在边A8,BC上，点A与点E关于直线CQ

对称.若AB=7,AC=9,BC=\2,则△QBE的周长为（）

A.9B.1（）C.11D.12

【分析】根据轴对称的性质得到：AD=DE,AC=CE,结合已知条件和三角形周长公式解答.

【解答】解：：点A与点E关于直线CD对称，

:・AD=DE,AC=CE=9,

♦：AB=1,AC=9,BC=\2,

ADBE的周长=5D+OE+8E=8£>+人。+8C-AC=AB+BC-AC=l+\2-9=10.

故选：B.

【变式2-1]（2021春•海口期木）如图所示，点厂关于直线。4、08的对称点分别为C'、D,连接C。，交

。4于M,交OB于M若△尸MN的周长为8cm,则CO为cm.

【分析】由轴对称的性质可知PM=CM,PN=DN,再由△PMN的周长为8（v〃，即可求得C。的长度.

【解答】解：•••点P关于直线04、08的对称点分别为C、D,

APM=CM,PN=DN,

：.PN+PN+MN=CM+DN+MN,

•••△PMN的周长=CO,

•••△PMN的周长为8c〃?，

CZ）=8c〃?，

故答案为：8.

【变式2-2]（2021春♦驿城区期末）如图，点P是/408外的一点，点M,N分别是NAOB两边上的点，

点P关于04的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于0B的对称点R落在MN的延长线上.若PM

=3c〃?，PN=4cm,MN=4.5cm,则线段QR的长为.

A

【分析】根据轴对称的性质得到8垂直平分PQ,0B垂直平分PR,则利用线段垂直平分线的性质得

QM=PM=3cm,RN=PN=4m,然后计算QN,再计算QN-RN即可.

【解答】解：•・•点P关于。人的X寸称点Q恰好落在线段MN上，

OA垂直平分PQ,

.\QM=PM=3cm,

QN=MN-QM=4.5an-3o〃=1.5。〃,

•・•点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，

・・・OB垂直平分PR,

:,RN=PN=4cm,

QR=QN+RN=1.5cni+4cni=5.5cm.

故答案为5.5c/n.

【变式2-3]（2020春•双流区校级期末）如图，△A8C中，NAC8=90°,BC=6,AC=8,48=10,动

点P在边上运动（不与端点重合），点P关于直线AC,BC对称的点分别为尸1,巴.则在点尸的运

动过程中，线段P1P2的长的最小值是.

【分析]连接CP，依据轴对称的性质，即可得到线段PiP2的长等于2CP,依据CP的最小值即可得出

线段PiP2的长的最小值.

【解答】解：如图，连接CP,

•・•点尸关于直线AC,BC对称的点分别为Pi,尸2,

：,P\C=PC=P1C,

・•・线段PiP2的长等于2cP,

如图所示，当CFJ_A8时,C尸的长最小,此时线段PiP2的长最小,

•・・NAC8=90°,8c=6,AC=8,48=10,

.•.6=等/\D等=4.8,

・•・线段P1P2的长的最小值是96,

故答窠为:9.6.

【题型3画轴对称图形】

[例3]（2020春•荷塘区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC

（顶点是网格线的交点）.

（1）请画出△A3C关于直线/对称的△AiBiCi；

（2）将△A4Ci再向下平移5个单位，画出平移后得到的232c2,并计算△A282Q的面积.

【分析】（1）分别作出A、8、C关于直线/的对称点4、&、。即可;

（2）利用网格特点和平移的性质画出点4、Bi、。的对应点42、及、C2得到AA282c2,然后利用一个

矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算282c2的面积.

【解答】解：（1）如图，Z\A出Ci为所作;

（2）如图，△42B2C2为所作,

△A282c2的面积=3X2-±x3Xl-aX2X1-*x2><1=2.5.

【变式3/】（2021春•秦都区期末）请在网格中完成下列问题:

（1）如图1,网格中的△AOC与△£>£〃为釉对称图形，请用所学轴对称的知识作出△A3C与的

对称轴直线PQ；

（2）如图2,请在图中作出△ABC关于直线MN对称的△43C.

国1声U

【分析】（1）利用网格特点作A。、CT的垂直平分线即可；

（2）利用网格特点，分别作4B、C关于直线MN的对称点即可.

【解答】解：（1）如图，直线PQ为所作；

（2）如图,△4万。为所作.

【变式3-2](2021秋•南昌期中)如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于己知宜线：I、…、〃为

【分析】根据轴对称图形的对应点被对称轴垂直平分的性质进行画图即可.

【解答】解：

顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形.

(1)如图，图1,图2,图3都是6X6的正方形网格，点M,点N都是格点，请分别按要求在网格中

作图：

①在图1中作△MNP,使它与△A8C全等；

②在图2中作△MDE,使△MDE由aABC平移而得；

③在图3中作△NFG,使△NFG与AABC关于某条直线对称；

（2）如图4,是一个4X4的E方形网格，图中与AABC关于某条直线轴对称的格点三角形有个.

②根据平移的性质画出图形即可.

③根据轴对称的性质画出图形即可.

（2）根据轴对称的性质画出图形即可解决问题.

【解答】解：（1）①如图1中，△MNP即为所求作.

②如图2中，2MDE即为所求作.

③如图3中，2NFG即为所求作.

G

图4

（2）如图4中，有6个三角形.

故答案为：6.

【题型4利用轴对称的性质解折叠问题】

【例4】（2021春•锦江区期末）如图，在中，NAC8=90°,。是AC上一点，连接8D,将△以乂

沿8。对折得到△8。£,若8E恰好经过点C,则下列结论错误的是（）

C.NBDE-NABD=90°D.S“BD：S«DE=BC：CE

【分析】由折叠的性质直接判断A；由折叠的性质得到3cg△E8”及△依。且△C8。，进而得出5c

=BF,NDCB=NDFB=90'：DF=DC,根据直角三角形的两锐角互余即可判断B,根据角的和差判

断C；再根据三角形的面积公式判断D

【解答】解：如图，延长EO交48于点凡

•・•△BD4沿BD对折得到

:.△BDAgABDE,

：,/ABD=/DBE,DA=DE,

故A正确，不符合题意;

由△3DA0ABDE可知,

NA=N£AB=BE,

在△ABC和AEB/中，

乙4=乙E

AB=EB，

AARC=AARC

,△ABgAEBF(ASA),

BC=BF,

在△尸8。和△CB。中，

BF=BC

乙DBF=乙DBC，

BD=BD

:•△FBD沿ACBD(SAS),

:・/DCB=/DFB=90",DF=DC,

NABC=NCDE,

：.^CDE=2ZABD,

故B正确，不符合题意；

•；NBDE=NBDC+/CDE=/BDC+2NABD,

:.NBDE-ZABD

=ZBDC+2ZABD-ZABD

=ZBDC+ZABD

=/BDC+/DBC

=90°,

故C正确，不符合题意；

SAABD=^A^DF,S&CDE=W・CE*CD,

.S^ABD=二AB

,•S“DE~\CECD~CE'

故。错误，符合题意；

故选：D.

【变式4-1］（2021春•于洪区期末）如图，中，NAC3=90°,将△ABC沿着一条直线折叠后，使

点A与点。重合（如图②）

（1）在图①中画出折痕所在的直线，，问直线/是线段AC的」12^线；

（2）设直线/与A8、AC分别相交于点M、N,连接CM,若△CM3的周长是21c”?，A3=14a〃，求8c

的长.

【分析】（1）由折叠的性质可得/VV=NC,NANM=NCNM=90°,即直线/是线段人。的中垂线;

（2）由折叠的性质可得AM=CM,即可求3C的长.

【解答】解：（1）如图①，

•・•将△A8C沿着一条直线折置后，使点八与点。重合，

:,AN=NC,NANM=NCNM=90°,

・•・直线/是线段AC的中垂线，

故答案为：中垂；

（2）•••将aABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合，

，AM=CM,

•・,ACMB的周长是21（7〃，AB=14（77/,

；・21=CM+BM+BC=AM+BM+CB=AB+BC=14+BC,

BC=7cm.

【变式4-2]（2021•启东市开学）如图，将RtZ\/WC沿斜边翻圻得到△AQC,点E,“分别为0c8c边

上的点，且/E4尸=4ND4艮试猜想OE,BF,£尸之间有何数量关系，并证明你的猜想.

【分析】通过延长CR将。E和8尸放在一起，便于寻找等量关系，通过两次三角形全等证明，得出结

论.

【解答】猜想：DE+BF=EF.证明：延长C凡作N4=N1,如图：

•・•将RlZXABC沿斜边翻折得到△AOC,点自厂分别为。C,边上的点，且NE4F=±ND4B,

・・・N1+N2=N3+N5,N2+N3=N1+N5,

•・•Z4=Z1,

AZ2+Z3=Z4+Z5,

：,ZGAF=ZFAE,

Z.4=Z.1

在aAGB和△AEO中，AB=AD

Z.ABG=Z-ADE

A^AGB^/XAED(ASA),

：.AG=AE,BG=DE,

AG=AE

在Z\AG/和/kAE尸中，/.GAF=Z.EAF，

AF=AF

/.(SAS),

:.GF=EF,

：.DE+BF=EF.

证毕.

【变式4-3］（2020秋•建邺区期末）A8CO是长方形纸片的四个顶点，点石、F、，分别边A。、BC、AD

上的三点，连接石尸、FH.

（1）将长方形纸片的A4CQ按如图①所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点4、C、。折叠后的对应点

分别为B'、C'、。'，点8,在.FC上，则NEW的度数为；

（2）将长方形纸片的ABC。按如图②所示的方式折叠，FE、/H为折痕，点B、C、。折叠后的对应点

分别为8'、C'、ZJ（8‘、C的位置如图所示），若NBFC'=16°,求NEF”的度数；

（3）将长方形纸片的4BCZ）按如图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、。折叠后的对应点

分别为B'、C'，O'（B'、C的位置如图所示）.若NEFH=〃°,则NB'FC的度数为.

【分析】(1)由折叠可得NBFE=N8'FE,ZCFH=ZCFH,进而得出工NEF”=2(/夕FB+N

C'FC),即可得出结果；

(2)可设N8正£=N"FE=x,ZCFH=ZCfFH=y,根据2x+160+2y=180°,得出x+y=82°,进

而得到NEFH=x+16°+y=\6c+82°=98°；

(3)可设N8FE=NB‘FE=x,ZCFH=ZCfFH=y,即可得到x+y=180°-n,再根据NEF”=

NB'FE+ZCFH-ZB1FC=x+y-ZB'FC,

即可得到N8'FC=v+y-ZEF//=180°-n°-n=180=-2n°.

【解答】解：(1),:沿EF、F”折叠，

:・/BFE=NB，FE,NCFH=4CFH,

•・•点夕在C'二上,

：.ZEFH=ZB'FE+ZC1FH=^(ZB'FB+ZC1FC)=1x180°=90°,

故答案为：90°：

(2)•••沿EGF”折叠，

・•・可设尸E=N"FE=x,^CFH=ZCFH=y,

VZB'FC1=16°,

・・・2x+160+2y=180°,

・・・x+y=82°,

：.ZEFH=x+16°+y=16°+82°=98°；

(3)•・•沿E尸、尸"折叠，

・•・可设FE=x,/CFH=/CFH=y,

.,.ZEFH=180°-(NBFE+NCFH)=180°-(x+y),

VZEFH=n0,

.•・x+)，=180°-n°,

•：ZEFH=ZB'FE+ZC1FH-ZBrFC'=x+y-ZBZFC',

：,ZB'FC'=x+y-ZEFH=180°-n°-n=180°-2n,

故答案为：180°-2〃°.

【题型5剪纸问题】

【例5】(2021•门头沟区二模)有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻

折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是()

【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作•下，即可很直观地呈现出来.

【解答】解：图①和图②中的虚线折痕是正方形卡纸的两条水平和铅直的对称轴，由图3可知，正方形

卡纸被分成了4个大小相同的小正方形，沿虚线将一角剪掉，表面看是剪掉了一个直角三角形，实际是

剪掉了一个菱形.

故选：D.

【变式5-1]（2020秋•恩施市期末）将一张正方形按图1,图2方式折叠，然后用剪刀沿图3中虚线剪掉

一角，再将纸片展开铺平后得到的图形是（）

【分析】可以动手具体操作一下看看，可以直观形象的得到答案.

【解答】解：由于图3的虚线平行于底边，剪去的三角形后，展开的是矩形，

故选:B.

【变式5-2]（2020秋•石景山区期末）剪纸是我国传统的民间艺术.如图①，②将一张纸片进行两次对折

后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）

【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案.

【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪

去一个直角梯形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个六边

形，可得：

o

故选:故

【变式5-3］（2021•邢台三模）一张正方形纸片按图1、图2箭头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到

图4,把图4展开铺平的图案应是（）

【分析】严格按照图中的顺序亲自动手操作一下即可.

【解答】解：严格按照图中的顺序向右对折，向上对折，从下面中间剪去一个半圆，展开得到的图形是

故选：D.

【题型6设计轴对称图案】

［例6］（2021•石城县模拟）如图是由三个全等的菱形拼接而成的图形，若平移其中一个菱形，与其他两

个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有（）

A.5种B.6种C.7种D.8种

【分析】根据轴对称图形的定义判断即可.

【解答】解：如图，把菱形A平移到①或②或⑤或⑥的位置可得轴对称图形.

把菱形B平移到③或④或⑤或⑦的位置可得轴对称图形.共有8种方法.

②

故选：D.

【变式6-1】（2021•武汉模拟）如图，在5X5的小正方形网格中有4个涂阴影的小正方形，它们组成一个

轴对称图形.现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的4个阴影的小正方形组成一个

轴对称图形，不同的移法有（）

A.8种B.12种C.16种D.20种

【分析】根据对称性判断出（2,三）的运动方法，可得结论.

【解答】解：移劭（2,三）到（1,三），（3,三），（5,三），（5,一），（5,四）共5种不同

的方法，

故一共有4X5=20（种）不同的方法，

故选：D.

【变式6-2]（2021春•道县期末〕在4X4的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号

为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有一

种.

①

故答案为：3.

【变式6・3】（2021春•宛城区期末）如图，已知点4、B、C都在方格纸的格点上.

（1）若把线段8c平移后，对应线段恰好为4M,请画出线段AM：

（2）请你再找一个格点。，使点A、8、C、。组成一个轴对称图形，并画出对称轴.（请分别在下图及

【分析】（1）利用平移变换的性质作出图形即可.

（2）根据轴对称图形的性质解决问题即可.

图1图2图3图4

专题2.3线段垂直平分线的性质和判定.重难点题型

【苏科版】

》孙必I先力

*呼1交三

【知识点1线段垂直平分线的性质】

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这

条线段的垂直平分线上.

【题型1利用线段垂直平分线的性质求线段】

【例1】（2021春•莱阳市期末）如图，△A8C中，EO垂直平分A8,交A8于点D,交AC于点R交.BC

的延长线于点E,若BF=6,CF=2,则AC的长为.

【变式1-1]（2020秋•长宁区期末）如图，在△居（2中，48的垂直平分线交44于点。，交BC于点、E.△

A8C的周长为19,△ACE的周长为13,则A8的长为（）

A.3B.6C.12D.16

【变式1-2]（2021春•高新区期末）如图，在△ABC中，ZBA0900,A8的垂直平分线交BC于点£

4c的垂直平分线交8c于点凡连接4七、AF,若△4EF的周长为2,则8c的长是（)

【变式1-3]（2U21春•乾县期水）如图，在△AAC中，AA边的中垂线。田分别与人从AC'边交于点/人

E两点，边的中垂线/G,分别与8C、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG.若△8EG的周长为

16,GE=\.则AC的长为（）

A.13B.14C.15D.16

【题型2利用线段垂直平分线的性质求角度】

【例2】（2021•越秀区模拟）如图，在RtZ\/WC中，ZC=90°,人8边的垂直平分线。七交8C于点。，

交AB于点E,连接AO,AQ将NCW分成两个角，且/CAO：ZBAD=2：5,则NAQC的度数是（）

A.70°B.75°C.80°D.85°

【变式2-1]（2021春•建平县期末）如图，已知△八8c1中，N'B=50°,产为△ABC•内一点，过点尸的直

线MN分别交A/3,BC于点M、N.若M在外的中垂线上,N在PC的中垂线上，则NAPC的度数为（）

BNC

A.100°B.105°C.115°D.120°

【变式2-2]（2021•市南区一模）如图，在△ABC中，点。是边A4和AC的垂直平分线。。、的交点,

若N30C=100°,则这两条垂直平分线相交所成锐角a的度数为（）

C.50°D.80°

【变式2-3]（2021春•安国市期末）如图，在△A4C中，/是三角形角平分线的交点，。是三边垂直平分

线的交点，连接A/，Bl,AO,BO,若NAO8=140°,则NA/B的大小为（）

A.160°B.140°C.130°D.125°

【题型3线段垂直平分线的性质的应用】

【例3】（2020秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路/旁修建一座移动信号发射塔.按照设计要求,

发射塔到两个城镇M,N的距离必须相等，则发射塔应该建在（）

B\D

A.A处B.3处C.。处D.。处

【变式3・1】（2020秋•偃师市期末）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、8、。三名同学距离相

等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜.如果将4、B、C三名同学所在位置看作△A8C的三个顶点,

那么凳子应该放在△ABC的（）

A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点

C.三边上高的交点D.三边垂直平分线的交点

【变式3-2］（2021春•宁阳县期末）如图，若记北京为A地，莫斯科为8地，雅典为C地，若想建立一个

货物中转仓，使其到4、B、。三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）

A.三边垂直平分线的交点B.三边中线的交点

C.三条角平分线的交点D.三边上高的交点

【变式3-3］（2021春•惠来县期末）《中共中央国务院关于促进农民,增加收入若「政策的意见》中提出“进

一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”.《中共中央国

务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境,

搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”.以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并

某地兴建的幸福小区的三个出口人、8、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，

想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（）

A.三条边的垂直平分线的交点处

B.三个角的平分线的交点处

C.三角形三条高线的交点处

D.三角形三条中线的交点处

【题型4线段垂直平分线的性质综合】

【例4】（2021春•平顶山期中）如图，在△A3C中，AE_L8c于点E,N8=22.5°,43的垂直平分线ON

交8C于点。，交A8于点N,_LAC于点八交A£于点求证：

(1)AE=DE,

(2)EM=EC.

A

【变式4-1](2021春•高州市期末)如图，在四边形A8CZ)中，8。所在的直线垂直平分线段AC,过点A

作的平行线人尸交。。于尸，延长人8、DC交于点E.

求证：(l)AC平分NEAF；

(2)ZMD=Z£.

【变式4-2](2021春•莲湖区期末)如图，在△ABC中，点石是BC边上的一点，连接AE,B。垂直平分

AE,垂足为F,交AC于点，连接。E.

(1)若△八BC的周长为18,△OEC的周长为6,求的长.

(2)若NABC=30°,NC=45°,求NCQE的度数.

【变式4-3](2020秋•港池县期末)在△43C中，AB的垂直平分线h交BC于点D,AC的垂直平分线h

交8c于点£,A与/2相交于点G△AOE的周长为6.

(I)AD与BD的数量关系为.

(2)求6c的长.

(3)分别连接04,OB,OC,若△OBC的周长为16,求。4的长.

/1A

BD

【知识点2线段垂直平分线的判定】

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）

【题型5线段垂直平分线的判定】

【例5】（2021秋•仪征市月考）如图.AB=AC,MB=MC.求证：直线4M是线段的垂直平分线.

【变式5-1］（2021•沐阳县校级开学）如图.△ABC中，N8=NC,点尸、Q、R分别在AB、BC、4c上,

且PB=QC,QB=RC.

求证：点Q在尸扭的垂直平分线上.

A

【变式5-2］（2021秋•博白县期末）如图，△ABC中，NAC8=90°,AO平分N8AC,DE1ABfE.

（1）若N8AC=50°,求NEDA的度数；

（2）求证：直线入。是线段CE的垂直平分线.

BD

【变式5-3]（2020秋•雁塔区校级期末）如图，在△A3C中，NZMC=90°,BE平分NABC,AM_L4c于

点、M交BE于点、G,A。平分NMAC,交8C于点O,交BE于点F.求证：线段垂直平分线段AD

【题型6线段垂直平分线的作法】

【例6】（2020秋•盘龙区期末）如图，在△A8C中，分别以点A和点8为圆心，以相同的长（大于，4）

为半径作弧，两弧相交于点M和点M作直线MN交A8于点。，交AC于点£,连接CQ.己知△CQE

为面积比△CD"的面积小5,则△AOE的面积为（）

【变式6-1]（2021春•碑林区校级期中）在△48C中，NONB、请用尺规作图法，在4B上找一点P,

使NPCB=NB.（保留作图痕迹，不写作法.）

B

【变式6-2］（2021•碑林区校级模拟）尺规作图：如图，己知△A4C.请在AC边上找一点。，使△A3。的

周长等于A3+AC（保留作图痕迹，不写作法）

【变式6-3】（2021春•长安区期末）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：