2024年中考数学真题专题分类汇编专题12 二次函数的图像与性质（解析版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）

专题12二次函数的图像与性质等

一、选择题

1.（2024陕西省）已知一个二次函数yax2bxc的自变量x与函数y的几组对应值如下表，

x…42035…

y…2480315…

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）

A.图象的开口向上B.当x0时，y的值随x的值增大而增大

C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线x1

【答案】D

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函

数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．

4a2bc8a1

【详解】解：由题意得c0，解得c0，

9a3bc3b2

2

∴二次函数的解析式为yx22xx11，

∵a10，

∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；

图象的对称轴是直线x1，故选项D符合题意；

当0x1时，y的值随x的值增大而增大，当x1时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符

合题意；

∵顶点坐标为1,1且经过原点，图象的开口向下，

∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；

故选：D．

22，，，，5，，，

2.（2024四川凉山）抛物线yx1c经过2y10y2y3三点，则y1y2y3

32

的大小关系正确的是（）

A.y1y2y3B.y2y3y1C.y3y1y2D.y1y3y2

【答案】D

【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据

二次函数的图象与性质可进行求解．

22

【详解】由抛物线yx1c可知：开口向上，对称轴为直线x1，

3

该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，

5

∵2,y1，0,y2，,y3，

2

533

而123，101，1，13

222

∴点0,y2离对称轴最近，点2,y1离对称轴最远，

∴y1y3y2；

故选：D．

3.（2024湖北省）抛物线yax2bxc的顶点为1,2，抛物线与y轴的交点位于x轴上方．以

下结论正确的是（）

A.a0B.c0C.abc2D.b24ac0

【答案】C

【解析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二

次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．

【详解】根据题意画出函数yax2bxc的图像，如图所示：

∵开口向上，与y轴的交点位于x轴上方，

∴a0，c0，

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b24ac0，

∵抛物线yax2bxc的顶点为1,2，

∴abc2，

观察四个选项，选项C符合题意，

故选：C．

2a

4.（2024福建省）已知二次函数yx2axaa0的图象经过A,y1，B3a,y2两点，

2

则下列判断正确的是（）

A.可以找到一个实数a，使得y1aB.无论实数a取什么值，都有y1a

C.可以找到一个实数a，使得y20D.无论实数a取什么值，都有y20

【答案】C

【解析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为

2a2

xa，顶点坐标为a,aa，再分情况讨论，当a0时，当a<0时，y1，y2的大小

2

情况，即可解题．

2

【详解】二次函数解析式为yx2axaa0，

2a

二次函数开口向上，且对称轴为xa，顶点坐标为a,aa2，

2

aa23

当x时，ya2aaa2，

2144

a

当a0时，0a，

2

2

ay1aa，

a

当a<0时，a0，

2

2

aay1a，

故A、B错误，不符合题意；

当a0时，0a2a3a，

由二次函数对称性可知，y2a0，

当a<0时，3a2aa0，由二次函数对称性可知，y2a，不一定大于0，

故C正确符合题意；D错误，不符合题意；

故选：C．

2

5.（2024四川眉山）如图，二次函数yaxbxca0的图象与x轴交于点A3,0，与y轴

交于点B，对称轴为直线x1，下列四个结论：①bc0；②3a2c0；③ax2bxab；④

84

若2c1，则abc，其中正确结论的个数为（）

33

A.1个B.2个C.3个D.4

【答案】C

【解析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置

即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出

12

c3a，进一步得到a，又根据b2a得到abca2a3a4a，即可判断

33

④.

【详解】解：①函数图象开口方向向上，

a0；

对称轴在y轴右侧，

a、b异号，

b0，

∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，

c0，

bc0，故①错误；

②二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，对称轴为直线x1，

b

1，

2a

b2a，

x1时，y0，

abc0，

3ac0，

3a2c0，故②正确；

③对称轴为直线x1，a0，

yabc最小值，

ax2bxcabc，

∴ax2bxab，

故③正确；

④2c1，

c

∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得xx133，

12a

c3a，

23a1，

12

a，

33

b2a，

abca2a3a4a，

84

abc，

33

故④正确；

综上所述，正确的有②③④，

故选：C

6.（2024贵州省）如图，二次函数yax2bxc的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是3，

顶点坐标为1,4，则下列说法正确的是（）

A.二次函数图象的对称轴是直线x1

B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2

C.当x1时，y随x的增大而减小

D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3

【答案】D

【解析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，

增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可

判定选项D．

∵二次函数yax2bxc的顶点坐标为1,4，

∴二次函数图象的对称轴是直线x=1，故选项A错误；

∵二次函数yax2bxc的图象与x轴的一个交点的横坐标是3，对称轴是直线x=1，

∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；

∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，

∴当x1时，y随x的增大而增大，故选项C错误；

2

设二次函数解析式为yax14，

2

把3,0代入，得0a314，

解得a1，

2

∴yx14，

2

当x0时，y0143，

∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，

故选D．

7.（2024内蒙古赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线yx24上，点D在y轴上．若

A，C两点的横坐标分别为m，n（mn0），下列结论正确的是（）

m

A.mn1B.mn1C.mn1D.1

n

【答案】B

【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时

要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接AC、BD交于点E，过点A作MNy轴于点M，

过点B作BNMN于点N，先证明ANB≌DMA(AAS)．可得AMNB，DMAN．点A、

mnm2n28

C的横坐标分别为m、n，可得A(m,m24)，C(n,n24)．E(，)，M(0,m24)，

22

设D(0,b)，则B(mn,m2n28b)，N(mn,m24)，BNn24b，AMm，ANn，

DMm24b．再由AMNB，DMAN进而可以求解判断即可．

【详解】如图，连接AC、BD交于点E，过点A作MNy轴于点M，过点B作BNMN于点

N，

四边形ABCD是正方形，

AC、BD互相平分，ABAD，BAD90，

BANDAM90，DAMADM90，

BANADM．

BNAAMD90，BAAD，

ANB≌DMA(AAS)．

AMNB，DMAN．

点A、C的横坐标分别为m、n，

A(m,m24)，C(n,n24)．

mnm2n28

E(，)，M(0,m24)，

22

设D(0,b)，则B(mn,m2n28b)，N(mn,m24)，

BNn24b，AMm，ANn，DMm24b．

又AMNB，DMAN，

n24bm，nm24b．

bn2m4．

nm24n2m4．

(mn)(mn)mn．

点A、C在y轴的同侧，且点A在点C的右侧，

mn0．

mn1．

故选：B．

8.（2024四川遂宁）如图，已知抛物线yax2bxc（a、b、c为常数，且a0）的对称轴为

直线x=1，且该抛物线与x轴交于点A1,0，与y轴的交点B在0,2，0,3之间（不含端点），

则下列结论正确的有多少个（）

①abc0；

②9a3bc0；

2

③a1；

3

④若方程ax2bxcx1两根为m,nmn，则3m1n．

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得a0，b2a0，3c2，

即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为3,0，即可判断②错误；将c和b用a

表示，即可得到33a2，即可判断③正确；结合抛物线yax2bxc和直线yx1与x

轴得交点，即可判断④正确．

【详解】由图可知a0，

∵抛物线yax2bxc的对称轴为直线x=1，且该抛物线与x轴交于点A1,0，

b

∴x1，abc0，

2a

则b2a0，

∵抛物线yax2bxc与y轴的交点B在0,2，0,3之间，

∴3c2，

则abc<0，故①错误；

设抛物线与x轴另一个交点x,0，

∵对称轴为直线x=1，且该抛物线与x轴交于点A1,0，

∴111x，解得x3，

则9a3bc0，故②错误；

∵3c2，abc0，b2a0，

2

∴33a2，解得a1，故③正确；

3

根据抛物线yax2bxc与x轴交于点A1,0和3,0，直线yx1过点1,0和0,1，如

图，

方程ax2bxcx1两根为m,n满足3m1n，故④正确；

故选：B．

2

9.（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数yaxbx2a0的图象与x轴交于1,0，

(x1,0)，其中2x13．结合图象给出下列结论：

①ab0；②ab2；

③当x1时，y随x的增大而减小；

2

④关于x的一元二次方程ax2bx20a0的另一个根是；

a

4

⑤b的取值范围为1b．其中正确结论的个数是（）

3

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结

论④；利用结论④及题中条件2x13可求得a的取值范围，再由结论②ab2可得b取值范

围，判断⑤是否正确．

b

【详解】由图可得：a0，对称轴x0，

2a

b0，

ab0，①错误；

由图得，图象经过点1,0，将1,0代入yax2bxc可得ab20，

ab2，②正确；

该函数图象与x轴的另一个交点为x1,0，且2x13，

b

对称轴x1，

2a

bb

该图象中，当x时，y随着x的增大而减小，当x时，y随着x的增大而增大，

2a2a

当x1时，y随着x的增大而减小，

③正确；

ba2，c2，

关于x的一元二次方程ax2a2x20a0的根为

2

bb24aca2a28aa2a2

x，

2a2a2a

a0，

a22a2a22a

x，x1，

12aa22a

④正确；

2

2x3，即23，

1a

2

解得1a，

3

ab2即ab2，

2

1b2，

3

4

1b，

3

⑤正确．

综上，②③④⑤正确，共4个．

故选：C．

【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、一元二次方程的根

与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．

2

10.（2024黑龙江绥化）二次函数yaxbxca0的部分图象如图所示，对称轴为直线x=1，

则下列结论中：

b

①0②am2bmab（m为任意实数）③3ac1

c

④若Mx1,y、Nx2,y是抛物线上不同的两个点，则x1x23．其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得a<0，b2a0即

可判断①，x=1时，函数值最大，即可判断②，根据x1时，y0，即可判断③，根据对称性

可得x1x22即可判段④，即可求解．

【详解】∵二次函数图象开口向下

∴a<0

∵对称轴为直线x=1，

b

∴x1

2a

∴b2a0

∵抛物线与y轴交于正半轴，则c0

b

∴0，故①错误，

c

∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1,

∴当x=1时，y取得最大值，最大值为abc

∴am2bmcabc（m为任意实数）

即am2bmab，故②正确；

∵x1时，y0

即abc0

∵b2a

∴a2ac0

即3ac0

∴3ac1，故③正确；

∵Mx1,y、Nx2,y是抛物线上不同的两个点，

∴M,N关于x=1对称，

xx

∴121即xx2故④不正确

212

正确的有②③

故选：B

11.抛物线yx2bxc与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小

于1，则下列结论正确的是（）

A.bc1B.b2C.b24c0D.c0

【答案】A

【解析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线yx2bxc与x轴交于两点，横坐标分别为

x1,x2,x1x2，依题意，x11,x21，根据题意抛物线开口向下，当x1时，y0，即可判断A

选项，根据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条

件判断D选项，据此，即可求解．

2

【详解】解：依题意，设抛物线yxbxc与x轴交于两点，横坐标分别为x1,x2,x1x2

依题意，x11,x21

∵a10，抛物线开口向下，

∴当x1时，y0，即1bc0

∴bc1，故A选项正确，符合题意；

bbb

若对称轴为x1，即b2，

2a22

而x11,x21，不能得出对称轴为直线x1，

故B选项不正确，不符合题意；

∵抛物线与坐标轴有2个交点，

∴方程x2bxc0有两个不等实数解，即b24ac0，又a1

∴b24c0，故C选项错误，不符合题意；

无法判断c的符号，故D选项错误，不符合题意；

故选：A．

二、填空题

1.（2024四川成都市）在平面直角坐标系xOy中，Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3是二次函数

2

yx4x1图象上三点．若0x11，x24，则y1______y2（填“”或“”）；若对

于mx1m1，m1x2m2，m2x3m3，存在y1y3y2，则m的取值范围

是______．

1

【答案】①.②.m1

2

【解析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答

的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．

2

【详解】解：由yx24x1x23得抛物线的对称轴为直线x2，开口向下，

∵0x11，x24，

∴x12x22，

∴y1y2；

∵mm1m2，mx1m1，m1x2m2，m2x3m3，

∴x1x2x3，

∵存在y1y3y2，

∴x12，x32，且Ax1,y1离对称轴最远，Bx2,y2离对称轴最近，

∴2x1x32x22，即x1x34，且x2x34，

∵2m2x1x32m4，2m3x2x32m5，

∴2m24且2m54，

1

解得m1，

2

1

故答案为：；m1．

2

2.（2024四川内江）已知二次函数yx22x1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点

P2,y1，Q3,y2在抛物线C上，则y1________y2（填“＞”或“＜”）；

【答案】

【解析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线C的

2

解析式为yx1，再利用二次函数图象的性质可得出答案．

2

【详解】yx22x1x1，

∵二次函数yx22x1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，

2

∴抛物线C的解析式为yx1，

∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，

∴当x1时，y随x的增大而增大，

∵23，

∴y1y2，

故答案为：．

2

3.（2024江苏苏州）二次函数yaxbxca0的图象过点A0,m，B1,m，C2,n，

m

D3,m，其中m，n为常数，则的值为______．

n

3

【答案】-##0.6

5

2

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入yaxbxca0，

求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．

【详解】把A0,m，B1,m，D3,m代入yax2bxca0，

cm

得abcm，

9a3bcm

2

am

3

8

解得bm，

3

cm

28

∴ymx2xm，

33

28

把C2,n代入ymx2mxm，

33

28

得nm22m2m，

33

5

∴nm，

3

mm3

∴5，

nm5

3

3

故答案为：-．

5

4.（2024武汉市）抛物线yax2bxc（a，b，c是常数，a0）经过1,1，m,1两点，且

0m1．下列四个结论：

①b0；

2

②若0x1，则ax1bx1c1；

③若a1，则关于x的一元二次方程ax2bxc2无实数解；

11

④点Ax,y，Bx,y在抛物线上，若xx，xx，总有yy，则0m．

112212212122

其中正确的是__________（填写序号）．

【答案】②③④

11m

【解析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴0，即可判断①，

22

根据1,1，m,1两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过1,1得出cb2，代

11m1

入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，

224

解不等式，即可求解．

【详解】解：∵yax2bxc（a，b，c是常数，a0）经过1,1，m,1两点，且0m1．

b1m11m

∴对称轴为直线x，0，

2a222

b

∵x0，a<0

2a

∴b0，故①错误，

∵0m1

∴，即1,1，m,1两点之间的距离大于1

又∵a<0

∴xm1时，y1

∴若0x1，则，故②正确；

11m

③由①可得0，

22

1b

∴0，即1b0，

22

当a1时，抛物线解析式为yx2bxc

4acb24cb2

设顶点纵坐标为t

4a4

∵抛物线yx2bxc（a，b，c是常数，a0）经过1,1，

∴1bc1

∴cb2

22

4cbb4c1112

∴tb2cb2b2b21

44444

1

∵1b0，0，对称轴为直线b2，

4

∴当b0时，t取得最大值为2，而b0，

∴关于x的一元二次方程ax2bxc2无解，故③正确；

1

④∵a<0，抛物线开口向下，点Ax,y，Bx,y在抛物线上，xx，xx，总有

112212212

y1y2，

xx1

又x12，

24

1

∴点Ax,y离x较远，

114

11m1

∴对称轴

224

1

解得：0m，故④正确．

2

故答案为：②③④．

5.（2024山东烟台）已知二次函数yax2bxc的y与x的部分对应值如下表：

x43115

y059527

下列结论：①abc0；②关于x的一元二次方程ax2bxc9有两个相等的实数根；③当

y

4x1时，的取值范围为0y5；④若点m,y1，m2,y2均在二次函数图象上，则

2

y1y2；⑤满足axb1xc2的x的取值范围是x<2或x3．其中正确结论的序号为

______．

【答案】①②④

【解析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出a、b、c的值即可判断①；利用

根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可

判断⑤；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

【详解】解：把4,0，1,9，1,5代入yax2bxc得，

16a4bc0

abc9，

abc5

a1

解得b2，

c8

∴abc0，故①正确；

∵a1，b2，c8，

∴yx22x8，

当y9时，x22x89，

∴x22x10，

∵224110，

∴关于x的一元二次方程ax2bxc9有两个相等的实数根，故②正确；

31

∵抛物线的对称轴为直线x1，

2

∴抛物线的顶点坐标为1,9，

又∵a0，

∴当x1时，y随x的增大而增大，当x1时，y随x的增大而减小，当x=1时，函数取最大

值9，

∵x3与x1时函数值相等，等于5，

∴当4x1时，y的取值范围为0y9，故③错误；

mm2

∵1，

2

∴点m,y1，m2,y2关于对称轴x=1对称，

∴y1y2，故④正确；

2

由axb1xc2得ax2bxcx2，

即x22x8x2，

画函数yx22x8和yx2图象如下：

yx2x2x3

由，解得1，2，

2

yx2x8y10y25

∴A2,0，B3,5，

2

由图形可得，当x3或x2时，x22x8x2，即axb1xc2，故⑤错误；

综上，正确的结论为①②④，

故答案为：①②④．

三、解答题

22

1.（2024北京市）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2axa0.

（1）当a1时，求抛物线的顶点坐标；

（2）已知Mx1,y1和Nx2,y2是抛物线上的两点.若对于x13a，3x24，都有y1y2，求

a的取值范围.

【答案】（1）1,1；（2）0a1或a4

【解析】（1）把a1代入yax22a2x，转化成顶点式即可求解；

（2）分①a0和a<0两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解；

本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．

【小问1详解】

2

解：把a1代入yax22a2x得，yx22xx11，

∴抛物线的顶点坐标为1,1；

【小问2详解】

2a2

解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线xa；

2a

①当a0时，如图，此时3a3，

∴a1，

又∵a0，

∴0a1；

当a<0时，如图，此时a4，

解得a4，

又∵a<0，

∴a4；

综上，当0a1或a4，都有y1y2．

2.（2024福建省）如图，已知二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，

其中A2,0,C0,2．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是

△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．

【答案】（1）yx2x2（2）3,4

【解析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角

形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等.

（1）根据待定系数法求解即可；

S△PDBn

（2）设Pm,n，因为点P在第二象限，所以m0,n0．依题意，得2，即可得出2，

S△CDBCO

求出n2CO4，由m2m24，求出m，即可求出点P的坐标．

【小问1详解】

解：将A2,0,C0,2代入yx2bxc，

42bc0

得，

c2

b1

解得，

c2

所以，二次函数的表达式为yx2x2．

【小问2详解】

设Pm,n，因为点P在第二象限，所以m0,n0．

1

BDn

S△n

依题意，得PDB2，即22，所以2．

S1

△CDBBDCOCO

2

由已知，得CO2，

所以n2CO4．

由m2m24，

解得m13,m22（舍去），

所以点P坐标为3,4．

3.（2024江苏扬州）如图，已知二次函数yx2bxc的图像与x轴交于A(2,0)，B(1,0)两点．

（1）求b、c的值；

（2）若点P在该二次函数的图像上，且PAB的面积为6，求点P的坐标．

【答案】（1）b1，c2

，，，

（2）P1(24)P2(34)

【解析】【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次

方程的方法是解题的关键．

（1）运用待定系数法即可求解；

（2）根据题意设Pm,n，结合几何图形面积计算方法可得点P的纵坐标，代入后解一元二次方程

即可求解．

【小问1详解】

解：二次函数yx2bxc的图像与x轴交于A(2,0)，B(1,0)两点，

42bc0

∴，

1bc0

b1

解得，，

c2

∴b1，c2；

【小问2详解】

解：由（1）可知二次函数解析式为：yx2x2，A(2,0)，B(1,0)，

∴AB1(2)3，

设Pm,n，

1

∴SAB·n6，

PAB2

∴n4，

∴n4，

∴当x2x24时，1870，无解，不符合题意，舍去；

当2时，，；

xx24x13x22

，，，

∴P1(24)P2(34)．

3

4.（2024云南省）已知抛物线yx2bx1的对称轴是直线x．设m是抛物线yx2bx1

2

m533

与x轴交点的横坐标，记M．

109

（1）求b的值；

13

（2）比较M与的大小．

2

【答案】（1）b3

3131331313

（2）当M时，M；当M时，M．

2222

b

【解析】【分析】（1）由对称轴为直线x直接求解；

2a

3131331313

（2）当M时，M；当M时，M．

2222

【小问1详解】

3

解：∵抛物线yx2bx1的对称轴是直线x，

2

b3

∴，

212

∴b3；

【小问2详解】

解：∵m是抛物线yx2bx1与x轴交点的横坐标，

∴m23m10，

∴m213m，

∴m42m219m2，

∴m411m21，

而m23m1

代入得：m4113m11233m10，

∴m5mm433m10m33m210m333m110m109m33，

m533109m3333

∴Mm，

109109

∵m23m10，

313

解得：m，

2

31313313133

当Mm时，M0

22222

13

∴M；

2

31313313133213

当Mm时，M0，

22222

13

∴M．

2

【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，

解题的关键是对m5进行降次处理．

5.（2024陕西省）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，

桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF为x轴，以桥塔AO所在

直线为y轴，建立平面直角坐标系．

已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离

OC100m，AOBC17m，缆索L1的最低点P到FF的距离PD2m（桥塔的粗细忽略不

计）

（1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式；

（2）点E在缆索L2上，EFFF，且EF2.6m，FOOD，求FO的长．

32

【答案】（1）yx502；（2）FO的长为40m．

500

【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解

析式是解题的关键．

2

（1）根据题意设缆索L1所在抛物线的函数表达式为yax502，把0,17代入求解即可；

32

（2）根据轴对称的性质得到缆索L所在抛物线的函数表达式为yx502，由

2500

EF2.6m，把y2.6代入求得x140，x260，据此求解即可．

【小问1详解】

解：由题意得顶点P的坐标为50,2，点A的坐标为0,17，

2

设缆索L1所在抛物线的函数表达式为yax502，

2

把0,17代入得17a0502，

3

解得a，

500

32

∴缆索L所在抛物线的函数表达式为yx502；

1500

【小问2详解】

解：∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，

32

∴缆索L所在抛物线的函数表达式为yx502，

2500

∵EF2.6，

32

∴把y2.6代入得，2.6x502，

500

解得x140，x260，

∴FO40m或FO60m，

∵FOOD，

∴FO的长为40m．

125

6.（2024上海市）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线yx后得到的新抛物线经过A0,

33

和B(5,0)．

（1）求平移后新抛物线的表达式；

（2）直线xm（m0）与新抛物线交于点P