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文档简介
章节综合训练六圆
(考试时间:120分钟试卷满分:120分)
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.(2024.西藏.中考真题)如图,4C为。。的直径,点B,。在。。上,AABD=60°,CD=2,贝必。的长
C.2V3D.4
2.(2024•江苏徐州•中考真题)如图,将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘4BCD内,若飞锤落在镖盘内各点
的机会相等,则飞镖落在阴影区域的概率为()
A.-B.-C.-D.—
4322
3.(2024•山西中考真题)如图,已知△ABC,以AB为直径的。。交BC于点与4C相切于点A,连接OD.若
ZXOD=80°,贝此C的度数为()
4.(2024・江苏无锡・中考真题)已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面积为()
A.6nB.12nC.15KD.24Tl
5.(2024・山东济宁•中考真题)如图,分别延长圆内接四边形48CD的两组对边,延长线相交于点E,F.若
/.E=54°41z,ZF=43°19\则乙4的度数为()
E
A.42°B.41°20'C.41°D.40°20'
6.(2024•山东济宁・中考真题)如图,边长为2的正六边形4BCDEF内接于。。,则它的内切圆半径为()
A.1B.2C.V2D.V3
7.(2024・湖南长沙・中考真题)如图,在O。中,弦AB的长为8,圆心。至必8的距离。E=4,则。。的半
B.4V2C.5D.5V2
8.(2024.山东泰安.中考真题)两个半径相等的半圆按如图方式放置,半圆。,的一个直径端点与半圆。的圆
心重合,若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是()
4「4V3
A.我一百B.-71C.|兀-8D.-71---
334
9.(2024.内蒙古通辽.中考真题)如图,平面直角坐标系中,原点。为正六边形4BCDEF的中心,EF||x轴,
点E在双曲线y=§(k为常数,k>0)±,将正六边形4BCDEF向上平移百个单位长度,点。恰好落在双曲线
上,则k的值为()
10.(2024•江苏苏州•中考真题)如图,矩形4BCD中,AB=陋,BC=1,动点E,尸分别从点A,C同时
出发,以每秒1个单位长度的速度沿4B,CD向终点B,。运动,过点E,尸作直线/,过点A作直线/的垂
线,垂足为G,贝必G的最大值为()
A.V3B.—C.2D.1
2
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
11.(2024•江苏徐州・中考真题)如图,4B是O。的直径,点C在的延长线上,与。。相切于点D,若
12.(2024.江苏徐州•中考真题)将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平,所得扇形的面积为4;rcm2,圆心角0
为90。,圆锥的底面圆的半径为.
13.(2024.山东泰安.中考真题)如图,48是。。的直径,是。。的切线,点C为。。上任意一点,点。为
4C的中点,连接BD交4C于点E,延长BD与4”相交于点F,若DF=1,tanB=|,则4E的长为.
14.(2024•内蒙古包头•中考真题)如图,四边形48C。是。。的内接四边形,点。在四边形48C。内部,过点
C作。。的切线交4B的延长线于点P,连接。4OB.若N40B=140°,LBCP=35。,则乙4DC的度数为.
15.(2024•四川广元・中考真题)如图,在△28C中,AB=5,tanzC=2,则4。+个8。的最大值为
16.(2024・吉林长春・中考真题)如图,是半圆的直径,4C是一条弦,。是AC的中点,于点E,
交2C于点尸,DB交4C于点G,连结4D.给出下面四个结论:
@Z-ABD=ADAC;
®AF=FG;
③当DG=2,GB=3时,FG=?
④当AS=2/tB,28=6时,ADFG的面积是次.
上述结论中,正确结论的序号有
其中17、18、19题每题6分,20题、21题每题7分,22题8分,23
题9分,24题10分,25题13分)
17.(2024江苏南通・中考真题)如图,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,与8C相切于点D
B
D
(1)求图中阴影部分的面积;
(2)设上有一动点尸,连接CP,BP.当CP的长最大时,求BP的长.
18.(2024•江苏镇江•中考真题)如图,将AABC沿过点4的直线翻折并展开,点C的对应点C'落在边4B上,
折痕为AD,点。在边4B上,。。经过点4、D.若N4C8=90。,判断8c与。。的位置关系,并说明理由.
19.(2024・山东济宁・中考真题)如图,AABC三个顶点的坐标分别是4(1,3),B(3,4),C(1,4).
yk.
6—r-
O123456x
(1)将443。向下平移2个单位长度得小公4。1,画出平移后的图形,并直接写出点名的坐标;
(2)将绕点/逆时针旋转90。得△42名。2・画出旋转后的图形,并求点Q运动到点。2所经过的路径长.
20.(2024・江苏无锡・中考真题)如图,4B是。。的直径,△4CD内接于O。,CD=ETB,AB,CD的延长线
相交于点E,且DE=4D.
⑵求N4DC的度数.
21.(2024.山东济南.中考真题)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后,对三角形的相似进行了
深入研究.
(一)拓展探究
如图1,在AABC中,AACB=90°,CD1AB,垂足为D.
B
•・•Z-ACB=90°+ZB=90°
•・•CD1AB•・•Z.A=Z-A・•・△ABCACD
・•・乙ADC=90°-:②________
AC
匕A+乙ACD=90°AC2=AD-AB
•••Z-B=®______
请完成填空:①:
(2)如图2,9为线段CO上一点,连接4F并延长至点E,连接CE,当乙4CE=N4FC时,请判断A4EB的形
状,并说明理由.
(二)学以致用
(3)如图3,△ABC是直角三角形,乙4cB=90°,AC=2,BC=2乃,平面内一点D,满足4。=AC,连接CD
并延长至点E,且NCEB=NCBD,当线段BE的长度取得最小值时,求线段CE的长.
22.(2024•江苏常州•中考真题)将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起,使点E、2分别
在边AC、DF±(端点除外),边AB、EF相交于点G,边BC、DE相交于点”.
(2)如图2,若EFII8C,求两张纸片重叠部分的面积的最大值;
(3)如图3,当4E>EC,尸8>8。时,2E与FB有怎样的数量关系?试说明理由.
23.(2022•江苏镇江•中考真题)如图1是一张圆凳的造型,已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm,
高为42.9cm.它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆.小明画出了它的主视图,是由上、下
底面圆的直径48、CD以及疣、"组成的轴对称图形,直线2为对称轴,点M、N分别是熊、的的中点,如
图2,他又画出了居所在的扇形并度量出扇形的圆心角NAEC=66。,发现并证明了点E在MN上.请你继续
完成MN长的计算.
参考数据:sin66。合春cos66。,,tan66。吟sin33。晦,cos33。嗯,tan33。“吴
24.(2024.山西.中考真题)阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容,请认真阅读,并完成相应任务.
关于“等边半正多边形,,的研究报告
博学小组
研究对象:等边半正多边形
研究思路:类比三角形、四边形,按“概念-性质-判定”的路径,由一般到特殊进行研究.
研究方法:观察(测量、实验)-猜想-推理证明
研究内容:
【一般概念】对于一个凸多边形(边数为偶数),若其各边都相等,且相间的角相等、相邻的角不相等,我
们称这个凸多边形为等边半正多边形.如图1,我们学习过的菱形(正方形除外)就是等边半正四边形,类
似地,还有等边半正六边形、等边半正八边形...
【特例研究】根据等边半正多边形的定义,对等边半正六边形研究如下:
概念理解:如图2,如果六边形ABCDEF是等边半正六边形,那么4B=BC=CD=DE=EF=凡4,ZX=
NC=乙E,4B=AD=NF,且NA丰乙B.
性质探索:根据定义,探索等边半正六边形的性质,得到如下结论:
内角:等边半正六边形相邻两个内角的和为上。.
对角线:…
⑴直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容:
(2)如图3,六边形4BCDEF是等边半正六边形.连接对角线2D,猜想NBAD与4凡4。的数量关系,并说明理
由;
(3)如图4,已知AACE是正三角形,。。是它的外接圆.请在图4中作一个等边半正六边形4BCDEF(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
25.(2024•山东日照・中考真题)如图1,48为。。的直径,28=12,C是O。上异于4B的任一点,连接AC,BC,
过点A作射线4D为射线4D上一点,连接CD.
【特例感知】
(1)若BC=6.则ac=.
(2)若点C,D在直线AB同侧,且乙4DC=NB,求证:四边形4BCD是平行四边形;
【深入探究】
若在点C运动过程中,始终有tan乙4DC=百,连接OD.
(3)如图2,当CD与。。相切时,求。。的长度;
(4)求。。长度的取值范围.
章节综合训练六圆
(考试时间:120分钟试卷满分:120分)
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.(2024.西藏.中考真题)如图,4C为。。的直径,点B,。在。。上,AABD=60°,CD=2,贝必。的长
2V2C.2V3D.4
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理,根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到N4CD=
AABD=60°,^ADC=90°,根据CD=2得到AC=2CD=4,最后根据勾股定理求解即可得到答案
【详解】解:•••封为O。的直径,
AADC=90°,
":AD=AD,AABD=60°,
/.ACD=Z.ABD=60°,
^DAC=90°-60°=30°,
VCD=2,
:.AC=2CD=4,
:.AD=V42-22=2V3,
故选:C.
2.(2024•江苏徐州•中考真题)如图,将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘4BCD内,若飞锤落在镖盘内各点
的机会相等,则飞镖落在阴影区域的概率为()
cD.立
43-12
【答案】c
【分析】本题考查几何概率的知识,求出小正方形的面积是关键.设AB=2a,则圆的直径为2a,求出小正
方形的面积,即可求出几何概率.
【详解】解:如图:连接EG,HF,设48=2a,则圆的直径为2a,
:四边形EFGH是正方形,
EG=FH=AB=2a,
二.小正方形的面积为:1x2ax2a=2a2,
则飞镖落在阴影区域的概率为:篇="
故选:C.
3.(2024•山西中考真题)如图,已知△4BC,以4B为直径的。。交BC于点Z),与4C相切于点4,连接OD.若
AAOD=80°,则NC的度数为()
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理,圆的切线定理,直角三角形两锐角互余,有圆周角定理可得出NB=
l^AOD=40°,有圆的切线定理可得出NB4C=90。,由直角三角形两锐角互余即可得出答案.
【详解】解:=加,
1
:.Z-B=-Z-AOD=40°.
2
以为直径的。。与ZC相切于点A,
A£.BAC=90°,
・"C=90。-40。=50。.
故选:D.
4.(2024.江苏无锡・中考真题)已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面积为()
A.6irB.12nC.15TTD.24n
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式,解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式:圆锥的侧面
积兀x底面半径x母线长.
【详解】解:S侧=nrl=7rx3x4=12兀,
故选:B.
5.(2024.山东济宁・中考真题)如图,分别延长圆内接四边形4BCD的两组对边,延长线相交于点E,F.若
/.E=54°41',ZF=43°19\则乙4的度数为()
A.42°B.41020;C.41°D.40°20,
【答案】C
【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得〃BC+“DC=180。,乙4+NBCD=180。.根据三角形外
角定理可得乙4BC=NE+乙ECB,乙ADC=Z.F+乙DCF,由此可得NECB=41°,又由NECB+乙BCD=180°,
可得ZT!=Z_ECB,即可得解.
本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理,熟练掌握以上知识是解题的关键.
【详解】•••四边形ABCD是O。的内接四边形
A/.ABC+/.ADC=180°,Z.A+乙BCD=180°,
Z-ABC=Z-E+Z.ECB,Z-ADC=Z-F+乙DCF,
・•・乙E+乙ECB+ZF+乙DCF=180°,
•:乙ECB=^DCF,ZE=54°41\ZF=43°19\
/
...54。40+43°19+2Z.ECB=180°,
解得4ECB=41°,
•・•(ECB+乙BCD=180°,
・•.LA=乙ECB=41°.
故选:c
6.(2024・山东济宁・中考真题)如图,边长为2的正六边形4BCDEF内接于O0,则它的内切圆半径为()
A.1B.2C.V2D.V3
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆,等边三角形的判定和性质,勾股定理;
连接。4,OF,作。G14F于G,证明△AOF是等边三角形,可得尸G=|4F=1,然后利用勾股定理求出。G
即可.
【详解】解:如图,连接。4。F,作。GJ.4F于G,
1
OF=OA,/LAOF=360°X士=60°,
6
**•△4。尸是等边三角形,
:.OF=OA=AF=2,
*:OG1/F,
:.FG=-AF=1,
2
OG=V212-I2=V3,
即它的内切圆半径为
故选:D.
7.(2024・湖南长沙•中考真题)如图,在。。中,弦4B的长为8,圆心。至!MB的距离OE=4,则。。的半
径长为()
A.4B.4V2C.5D.5V2
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理,先根据垂径定理得到4E,再根据勾股定理求解即可.
【详解】解::在。。中,弦4B的长为8,圆心。至IJ4B的距离。E=4,
1
AOELAB,AE=-AB=4,
2
在Rt△40E中,OA=y/OE2+AE2=V42+42=4夜,
故选:B.
8.(2024.山东泰安.中考真题)两个半径相等的半圆按如图方式放置,半圆。'的一个直径端点与半圆。的圆
心重合,若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是()
4/7Tc2B^4V3
AA.—71—V3B.-7TC.—Ti—V3D.—Ti-----
33334
【答案】A
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点,熟练掌握扇形的面
积公式是关键.
如图:连接044。',作4B,。。吁点B,得三角形4。。堤等边三角形,求出4B=W,5=™=S扇形
匕力40,扇力zoo,
SA/OO,=早—V3>再根据s阴影=S弓形40,+s扇形40,0,即可解答・
【详解】解:如图:连接。4A0',作于点2,
V0A=00'=A0'=2,
三角形4。。'是等边三角形,
:.^A00'=60°,0B=-00'=1,
2
•\AB=V22—l2=V3
•••S弓形40,=S扇形AOO,—SA400,=^^—2x%x;争一柢
;.S阳影=Sm花+S扇花=--V3+—=--V3.
阴影弓形40,扇形40,0333
故选:A.
9.(2024.内蒙古通辽.中考真题)如图,平面直角坐标系中,原点。为正六边形4BCDEF的中心,EF||久轴,
点E在双曲线y=§(k为常数,k>0)±,将正六边形4BCDEF向上平移百个单位长度,点。恰好落在双曲线
上,贝味的值为()
A.4A/3B.3V3C.2痘D.3
【答案】A
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式,正六边形的性质,等边三角形的性质与判定,勾股定理等
等,过点E作EHlx轴于”,连接0E,可证明AOED是等边三角形,则DE=。。,OH=DH=^0H,进
而得到EH=?OD,设。D=2zn,贝iJOH=zn,HE=gm,则E(m,V3m),£>(2m,0),即可得到点(2m,
V5)在双曲线上,再由点E也在双曲线上,得到k=2m•百=据此求解即可.
【详解】解:如图所示,过点E作EHLx轴于H,连接。E,
:原点。为正六边形4BCDEF的中心,
0E=0D,4E0D=—=60°,
6
△。£7)是等边二角形,
:.DE=0D,
•:EH1OD,
i
:.0H=DH=-0D.
2
:.EH=>JDE2-DH2=—0D,
2
设0。=2m,贝!J。"=m,HE=V3m,
V3m),D(2m,0),
・・,将正六边形尸向上平移四个单位长度,点。恰好落在双曲线上,
・••点(2m,8)在双曲线上,
又•・•点E也在双曲线上,
k=2m-V3=m-V3m,
解得zn=2或zn=0(舍去),
k=2m-V3=4V3,
故选:A.
10.(2024•江苏苏州・中考真题)如图,矩形/BCD中,AB=W,BC=1,动点E,产分别从点A,。同时
出发,以每秒1个单位长度的速度沿ZB,CO向终点3,。运动,过点E,尸作直线/,过点A作直线/的垂
线,垂足为G,贝lb4G的最大值为()
A.遮B.3C.2D.1
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识,根据矩形的性质以及直角
三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键.
连接AC,BD交于点0,取04中点H,连接GH,根据直角三角形斜边中线的性质,可以得出G的轨迹,从而
求出4G的最大值.
【详解】解:连接4C,BD交于点。,取。4中点H,连接GH,如图所示:
・・•四边形/BCD是矩形,
C./.ABC=90°,OA=OC,AB||CD,
.•.在RtAABC中,AC=7AB2+BC2=J(次J+M=2,
OA=OC=-AC=1,
2
*:AB||CD,
•••Z-EAO=Z.FCO,
在△ZOE与中,
(AE=CF
\z.EAO=Z.FCO
(OA=OC
.-.△71OE=ACOF(SAS),
・•・Z-AOE=Z.COF,
E,0,F共线,
vAG1EF,“是OB中点,
.•.在RtAZG。中,GH=^AO=j,
G的轨迹为以H为圆心,|为半径即4。为直径的圆弧.
.•.4G的最大值为4。的长,即AGmax=AO=1.
故选:D.
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
11.(2024•江苏徐州•中考真题)如图,4B是O。的直径,点C在4B的延长线上,与。。相切于点D,若
【答案】35
【分析】本题利用了切线的性质,三角形的外角与内角的关系,等边对等角求解.连接。。,构造直角三角
形,利用04=。0,从而得出乙乙40的度数.
【详解】解:连接。。,
•・•。。与。。相切于点D,
・••乙0DC=90°,
•・•乙C=20°,
・♦・乙COD=70°;
vOA=OD,
1
..4ODA=Z.CAD=-Z.COD=35°,
2
故答案为:35
12.(2024•江苏徐州•中考真题)将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平,所得扇形的面积为47ran2,圆心角6
为90。,圆锥的底面圆的半径为.
【答案】1cm
【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式,熟记扇形面积公式是解题的关键.先根据扇形面积公
式求出扇形的半径,再根据扇形面积公式求出弧长,最后根据圆的周长公式计算即可.
【详解】解:设扇形的半径为Rem,弧长为tan,
解得:R=4(负值舍去),
则?X4=4TT,
解得:Z=2TT,
二・圆锥的底面圆的半径为:27r+(2TT)=l(cm),
故答案为:1cm.
13.(2024.山东泰安.中考真题)如图,是。。的直径,AH是。。的切线,点C为。。上任意一点,点。为
4c的中点,连接BD交4C于点E,延长BD与相交于点F,若DF=1,tanB=贝ME的长为.
【答案】V5
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识,熟练掌握相关知识是
解题关键.
先证=可得△DAFsADBA从而得到丝="=tanB=工,求得AD=2,再运用勾股定理可得
ADBD2
AF=正,再根据圆周角定理以及角的和差可得乙4/。=乙4/。,最后根据等角对等边即可解答.
【详解】解:・・,/B是。。的直径,
:.AADB=90°,
・・,/月是O。的切线,
:,乙BAF=90°,
Z.DAF=乙ABD=90°-40Z3,
△DAF^△DBA,
.DFAD1
••——tanBD——f
ADBD2
9:DF=1,
:.AD=2,
:.AF=VS,
・・•点。为耻的中点,
:.AD=CD,
A/.ABD=ADAC=Z.DAF,
*:^ADE=^ADF=90°,
:.90°-ADAE=90°-匕DAF,SPAAED=^.AFD,
•.AE=AF=V5.
故答案为:V5.
14.(2024.内蒙古包头.中考真题)如图,四边形4BCD是。。的内接四边形,点。在四边形48co内部,过点
。作。。的切线交48的延长线于点P,连接。4。瓦若乙4。8=140。,48cp=35°,则乙4DC的度数为.
【答案】105(7105度
【分析】本题考查了切线的性质,等腰三角形的性质,圆内接四边形的性质等知识,连接。C,利用等边对
等角得出N048=Z0B4=20。,乙OCB=LOBC,利用切线的性质可求出NOBC=NOCB=55。,然后利用
圆内接四边形的性质求解即可.
【详解】解:连接。C,
VOA=OB=OC,/.AOB=140°,
^OAB=AOBA=|(1800-AAOB)=20°,乙OCB=乙OBC,
是切线,
:.^OCP=90°,即NOCB+48cp=90。,
■:乙BCP=35°,
:.上OBC=Z.OCB=55°,
Z./.ABC=Z.ABO+AOBC=75°,
•..四边形4BCD是O。的内接四边形,
:.^ADC=180°-乙ABC=105°,
故答案为:105。.
15.(2024・四川广元•中考真题)如图,在AaBC中,AB=5,tanzC=2,贝UAC+的最大值为
C
【答案】5V2
【分析】过点B作BO垂足为D,如图所示,利用三角函数定义得到ac+?BC=ac+£)c,延长oc到
E,使EC=CD=x,连接BE,如图所示,从而确定4C+,BC=aC+DC=4C+CE=4E,NE=45。,
再由辅助圆-定弦定角模型得到点E在0。上运动,4E是o。的弦,求ZC+^BC的最大值就是求弦4E的最
大值,即4E是直径时,取到最大值,由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案.
【详解】解:过点B作BD14C,垂足为D,如图所示:
C
B-:tanz.C=2,
.•.在RtABCD中,设DC=x,贝1]BD=2%,由勾股定理可得BC=而%,
ACH----BC=AC+DC,
延长DC到E,使EC=CD=x,连接BE,如图所示:
BAC+^-BC=AC+DC=AC+CE=AE,
•・,BD1DE,DE=2x=BD,
.•.△BDE是等腰直角三角形,则NE=45。,
在△ABE中,AB=5,NE=45。,由辅助圆-定弦定角模型,作AABE的外接圆,如图所示:
••・由圆周角定理可知,点E在。。上运动,AE是。。的弦,求47+当BC的最大
值就是求弦AE的最大值,根据圆的性质可知,当弦4E过圆心0,即4E是直径时,弦最大,如图所示:
•.YE是。。的直径,
/.ABE=90°,
•••NE=45°,
△ABE是等腰直角三角形,
•••AB=5,
BE=AB=5,则由勾股定理可得4E=y/AB2+BE2=5&,即AC+的最大值为5企,
故答案为:5V2.
【点睛】本题考查动点最值问题,涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、
圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识,熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题
的关键.
16.(2024・吉林长春・中考真题)如图,4B是半圆的直径,4C是一条弦,。是4C的中点,于点E,
交4C于点F,DB交AC于点G,连结2D.给出下面四个结论:
①4ABD=NDAC;
®AF=FG;
③当。G=2,GB=3时,FG=~
④当附=2/®,4B=6时,△DFG的面积是
上述结论中,正确结论的序号有.
【答案】①②③
【分析】如图:连接。C,由圆周角定理可判定①;先说明NBDE=〃G。、乙=可得DF=FG、
AF=FD,即4F=FG可判定②;先证明A4DGf可得丝=丝,即,竺一=丝,代入数据可得a。=V10,
BDADOG+BGAD
然后运用勾股定理可得4G=旧,再结合/F=FG即可判定③;如图:假设半圆的圆心为O,连接。RC。,CD,
易得乙40。=乙D0C=60°,从而证明^AODAODC是等边三角形,即/DC。是菱形,然后得到乙D4C=
404。=30。,再解直角三角形可得DG=2百,根据三角形面积公式可得S-DG=6旧,最后根据三角形的
中线将三角形平分即可判定④.
【详解】解:如图:连接DC,
・・・。是我的中点,
:.AD=流,
:.AABD=L.DAC,即①正确;
•・・/B是直径,
:.LADB=90°,
A^.DAC+^AGD=90°,
9:DE1AB
工乙BDE+乙ABD=90°,
VZ-ABD=ADAC,
:•乙BDE=4/GD,
:.DF=FG,
■:乙BDE+/.ABD=90°,2BDE+^ADE=90°,
:./.ADE=/LABD,
*.•/,ABD=A.DAC,
:./-ADE=^DAC,
:.AF=FD,
.・・/F=FG,即②正确;
在aADG和
(AADG=匕BDA=90°
t乙DAG=/-DBA'
△ADGBDAj
.ADGD日ADGD
・.BD—AD"DG+BG-AD"
.AD=总,即/£)=V10,
**2+3
:.AG=yjAD2+DG2=旧,
9:AF=FG,
.\FG=即③正确;
如图:假设半圆的圆心为O,连接。2C。,CD,
•・,郎=2加,AB=6,。是的中点,
1
:.AD=疣=严,
ALAOD=乙DOC=60°,
:。/=OD=OC,
△AOD,^,ODC是等边二角形,
AOA=AD=CD=OC=OD=3,即4DC。是菱形,
A/-DAC=Z,OAC=-^LDAO=30°,
2
・・Z08=90°,
.'.tan/.DAC=tan30°=即当=等,解得:DG=V3,
•••SAADG=豺。•OG=[x3x旧=9,
':AF=FG
故答案为:①②③.
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定
与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点,灵活运用相关知识成为解题的关键.
三.解答题(共9小题,满分72分,其中17、18、19题每题6分,20题、21题每题7分,22题8分,23
题9分,24题10分,25题13分)
17.(2024•江苏南通・中考真题)如图,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,与BC相切于点D
B
(1)求图中阴影部分的面积;
(2)设。4上有一动点尸,连接CP,BP.当CP的长最大时,求的长.
【答案】(1)6—If兀
(2)|V41
【分析】本题考查了切线的性质,勾股定理的逆定理,扇形的面积公式等知识,解题的关键是:
(1)连接4D,利用勾股定理的逆定理判定得出NB4C=90。,利用切线的性质得出4。,8C,利用等面积
法求出4D=音,然后利用S阴影=S^ABC-S扇形求解即可;
(2)延长C4交04于P,连接BP,则CP最大,然后在RtAABP中,利用勾股定理求解即可.
':AB=3,AC=4,BC=5,
:.AB2+AC2=32+42=25=52=BC2,
:./.BAC=90°,
与04相切于D
:.AD1BC,
':S^ABC=\AD-BC=\AC-AB,
1VU7TXI—
阴影=S"BC-S扇形=-x3x4——
(2)解:延长C4交04于尸,连接BP,此时CP最大,
由(1)知:Z.BAC=/.PAB=90°,AP=AD=y,
:.PB=y/AP2+AB2=|V41.
18.(2024•江苏镇江•中考真题)如图,将△ABC沿过点4的直线翻折并展开,点C的对应点C'落在边4B上,
折痕为4。,点。在边4B上,。。经过点4、D.若乙4c8=90。,判断BC与。。的位置关系,并说明理由.
【答案】BC与。。相切,理由见解析
【分析】连接OD,由等腰三角形的性质得N04D=再由折叠的性质得NC4D=4。4£>,进而证明
ACWOD,则=乙4cB=90。,因此。。,BC,然后由切线的判定即可得出结论.
【详解】解:BC与。。相切.
证明:连接。D.
":OA=OD,
S.AOAD=/.ODA.
':图形沿过点A的直线翻折,点C的对应点C'落在逅1B上,
ACAD=Z04D.
Z.CAD=/.ODA.
:.AC\\OD.
由乙4cB=90。,得NODC=90°,即001BC.
与O。相切.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识,
熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键.
19.(2024・山东济宁・中考真题)如图,AABC三个顶点的坐标分别是4(1,3),B(3,4),C(1,4).
yk.
]j]y!i\
~6123456x
(1)将A4BC向下平移2个单位长度得AaiBiCi,画出平移后的图形,并直接写出点名的坐标;
(2)将AaiBiCi绕点/逆时针旋转90。得△42名。2・画出旋转后的图形,并求点G运动到点所经过的路径长.
【答案】(1)作图见解析,8式3,2)
(2)作图见解析,TT
【分析】本题考查了作图一平移变换和旋转变换,弧长公式,解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质,
(1)利用平移的性质作出对应点,再连线即可,
(2)利用旋转的性质分别作出时应点,再连线,G运动到点所经过的路径长即为弧长即可可求解
【详解】(1)解:△a/】G如下图所示:
(2)解:△&B1C2如上图所示:
G运动到点所经过的路径为:飞;°°=球箸=n
20.(2024・江苏无锡•中考真题)如图,4B是。。的直径,AaCD内接于。。,6=ETB,AB,CD的延长线
相交于点E,且
D
(1)求证:△CADCEA;
(2)求乙4DC的度数.
【答案】(1)见详解
(2)45°
【分析】本题主要考查了圆周角定理,相似三角形的判定以及性质,圆内接四边形的性质,等边对等角等
知识,掌握这些性质是解题的关键.
(1)由等弧所对的圆周角相等可得出NC4D=4028,再由等边对等角得出=等量代换可得出
ACAD=4E,又乙C=ZC,即可得出小CAD八CEA.
(2)连接BD,由直径所对的圆周角等于90。得出4WB=90。,设NCW==a,即NdE=2a,由
相似三角形的性质可得出Z2DC=^CAE=2a,再根据圆内接四边形的性质可得出2a+2a+90。=180°,
即可得出a的值,进一步即可得出答案.
【详解】(1)证明:=)8
Z.CAD=
":DEAD,
Z.DAB=Z-E,
Z-CAD=乙E,
XVzC=ZC
△CAD~△CEA,
(2)连接BD,如下图:
•・,4B为直径,
J.Z.ADB=90°,
设Z_C\4O=Z.DAB=a,
Z-CAE=2a,
由(1)知:△CADCEA
Z-ADC=Z-CAE=2a,
四边形是圆的内接四边形,
/.CAB+乙CDB=180°,
即2a+2a+90°=180°,
解得:a=22.5。
/.ADC=乙CAE=2x22.5°=45°
21.(2024・山东济南・中考真题)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后,对三角形的相似进行了
深入研究.
(一)拓展探究
如图1,在AABC中,^ACB=90°,CD1AB,垂足为D.
V乙ACB=90°Z.A+Z.B=90°
•・•CD1ABVN4=AAABCACD
・•・乙4OC=90°祭---
.•・乙4+Z.ACD=90°•••AC2=AD-AB
•••Z-B=①______
请完成填空:①______
(2)如图2,尸为线段CD上一点,连接4F并延长至点E,连接CE,当N4CE=4FC时,请判断AdEB的形
状,并说明理由.
(二)学以致用
(3)如图3,△ABC是直角三角形,乙4cB=90。,AC=2,8C=2伤,平面内一点。,满足4D=aC,连接CD
并延长至点E,且NCEB=NCBD,当线段BE的长度取得最小值时,求线段CE的长.
【答案】(1)①乙4CD;②啜;(2)A4EB是直角三角形,证明见解析;(3)2局
AD
【分析】(1)根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可;
(2)证明△ACF八AEC,得出竺=—,证明△4FDABE,得出乙4DF=AAEB=90°,即可得出答案;
AFAC
八2
(3)证明△CEBCBD,得出m=需,求出CD-CE=CB=(2伺之=24,以点4为圆心,2为半径作。4
则C,。都在04上,延长C4到&),使CE。=6,交04于Do,连接场以证明AECEo-^DOCD,得出“O。。=
LCE0E=90°,说明点E在过点Eo且与CEo垂直的直线上运动,过点B作BE,1%E,垂足为?,连接CE。根
据垂线段最短,得出当点E在点?处时,BE最小,根据勾股定理求出结果即可.
【详解】解:(1)•••^ACB=90°,
.•・4/+=90°,
CD1AB,
・•・(ADC=90°,
・•.AA+Z.ACD=90°,
•.・乙B=Z-ACD,
•・•Z.A=Zi4,
.*.△ABC~〉ACD,
AB_AC
••AC-ADf
AAC2=AD-AB;
(2)△ZEB是直角三角形;理由如下:
•・•^ACE=/-AFC,Z.CAE=AFAC
ACFAEC,
AC_AE
t—1,
AFAC
AAC2=AF-AE,
由⑴得心=AD-AB,
・•.AF-AE=ADAB,
AF_AD
••AB-AEf
vZ-FAD=乙BAE,
AFDABE,
・•.AADF=Z.AEB=90°,
・•.△NEB是直角三角形.
(3)•・•Z-CEB=乙CBD,乙ECB=(BCD,
•••△CEBCBD,
.CE_CB
••—,
CBCD
2
;.CD•CE=CB2=(2V6)=24,
如图,以点4为圆心,2为半径作04则C,。都在04上,延长C4到为,使CEo=6,交04于4,连接好已
则CDo=4,
・1%为04的直径,
:.乙CDDo=90°,
•••CD0-CE0=24=CD-CE,
,CDQ_cp_
f
**CE~CEo
乙ECE。=Z-DQCD,
•••△ECE0-△D°CD,
・•・Z.CDDQ=Z.CEQE=90。,
.••点E在过点好且与CE。垂直的直线上运动,
过点B作垂足为E',连接CE',
•••垂线段最短,
当点E在点O处时,BE最小,
即BE的最小值为BE,的长,
乙
•//.CE0E'=E°CB=4BER=90°,
.,•四边形是矩形,
BE'=CE0=6,
在Rt△CEoE'中根据勾股定理得:CE'=j(2V6)2+62=2V15,
即当线段BE的长度取得最小值时,线段CE的长为2后.
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质,圆周角定理,矩形的判定和性质,勾股定理,垂线段
最短,解题的关键是作出辅助线,熟练掌握三角形相似的判定方法.
22.(2024•江苏常州•中考真题)将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起,使点£、8分别
在边AC、DF1.(端点除外),边AB、EF相交于点G,边BC、DE相交于点〃.
77C77C
D
图2
(1)如图1,当E是边AC的中点时,两张纸片重叠部分的形状是;
(2)如图2,若EFII8C,求两张纸片重叠部分的面积的最大值;
(3)如图3,当AE>EC,FB>BD时,4E与FB有怎样的数量关系?试说明理由.
【答案】(1)菱形
(2)—cmz
(3MF=BF,理由见解析
【分析】(1)连接BE,CD,由等边三角形的性质可得N4C8=/EOF=60。,则8、D、C、E四点共圆,由
三线合一定理得到NBEC=90。,贝UBC为过B、D、C、E的圆的直径,再由DE=BC=6cm,得到DE为过
B、D、C,E的圆的直径,则点H为圆心,据此可证明NGEB=NEBH=NGBE=NBEH=30。,推出四边
形BHEG是平行四边形,进而可证明四边形BHEG是菱形,即两张纸片重叠部分的形状是菱形;
(2)由等边三角形的性质得到乙4BC=NDEF=4C=60。,AC=BC=6cm,则由平行线的性质可一推出
乙ABC=XHE,进而可证明四边形BHEG是平行四边形,再证明△EHC是等边三角形,则可设EH=CH=
2xcm,贝=(6-2x)cm,HT=^CH=xcm,由勾股定理得到£T=y/EH2-HT2=V3xcm,可得S重叠=
S四边形BHEG=BH-ET==—28(%—|)2+竽,则当x=决寸,S重叠有最大值,最大值为第cm2;
(3)过点B作BM_L4C于跖过点£T作EN1DF于N,连接BE,贝U4M=FN==3cm,EF=
AB=6cm,BE=BE,证明EN=BM,进而可证明Rt△NBE三Rt△MFS(HL),得到NB=ME,则FN+BN=
AM+ME,即4E=BF.
【详解】(1)解:如图所示,连接BE,CD
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