中考数学总复习提升综合训练：圆（测试）含答案及解析

章节综合训练六圆

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（2024.西藏.中考真题）如图，4C为。。的直径，点B,。在。。上，AABD=60°,CD=2,贝必。的长

C.2V3D.4

2.（2024•江苏徐州•中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘4BCD内，若飞锤落在镖盘内各点

的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（）

A.-B.-C.-D.—

4322

3.（2024•山西中考真题）如图，已知△ABC,以AB为直径的。。交BC于点与4C相切于点A,连接OD.若

ZXOD=80°,贝此C的度数为（）

4.（2024・江苏无锡・中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面积为（）

A.6nB.12nC.15KD.24Tl

5.（2024・山东济宁•中考真题）如图，分别延长圆内接四边形48CD的两组对边，延长线相交于点E,F.若

/.E=54°41z,ZF=43°19\则乙4的度数为（）

E

A.42°B.41°20'C.41°D.40°20'

6.（2024•山东济宁・中考真题）如图，边长为2的正六边形4BCDEF内接于。。，则它的内切圆半径为（）

A.1B.2C.V2D.V3

7.（2024・湖南长沙・中考真题）如图,在O。中，弦AB的长为8,圆心。至必8的距离。E=4,则。。的半

B.4V2C.5D.5V2

8.（2024.山东泰安.中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆。，的一个直径端点与半圆。的圆

心重合，若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是（）

4「4V3

A.我一百B.-71C.|兀-8D.-71---

334

9.（2024.内蒙古通辽.中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点。为正六边形4BCDEF的中心，EF||x轴,

点E在双曲线y=§（k为常数，k>0）±,将正六边形4BCDEF向上平移百个单位长度，点。恰好落在双曲线

上，则k的值为（）

10.（2024•江苏苏州•中考真题）如图，矩形4BCD中，AB=陋,BC=1,动点E,尸分别从点A,C同时

出发，以每秒1个单位长度的速度沿4B,CD向终点B,。运动，过点E,尸作直线/,过点A作直线/的垂

线，垂足为G,贝必G的最大值为（）

A.V3B.—C.2D.1

2

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（2024•江苏徐州・中考真题）如图，4B是O。的直径，点C在的延长线上，与。。相切于点D,若

12.（2024.江苏徐州•中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4;rcm2,圆心角0

为90。，圆锥的底面圆的半径为.

13.（2024.山东泰安.中考真题）如图，48是。。的直径，是。。的切线，点C为。。上任意一点，点。为

4C的中点，连接BD交4C于点E,延长BD与4”相交于点F,若DF=1,tanB=|,则4E的长为.

14.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，四边形48C。是。。的内接四边形，点。在四边形48C。内部，过点

C作。。的切线交4B的延长线于点P,连接。4OB.若N40B=140°,LBCP=35。，则乙4DC的度数为.

15.（2024•四川广元・中考真题）如图，在△28C中，AB=5,tanzC=2,则4。+个8。的最大值为

16.（2024・吉林长春・中考真题）如图，是半圆的直径，4C是一条弦，。是AC的中点，于点E,

交2C于点尸，DB交4C于点G,连结4D.给出下面四个结论:

@Z-ABD=ADAC；

®AF=FG；

③当DG=2,GB=3时，FG=?

④当AS=2/tB,28=6时，ADFG的面积是次.

上述结论中，正确结论的序号有

其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23

题9分，24题10分，25题13分）

17.（2024江苏南通・中考真题）如图，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,与8C相切于点D

B

D

(1)求图中阴影部分的面积；

(2)设上有一动点尸，连接CP,BP.当CP的长最大时，求BP的长.

18.(2024•江苏镇江•中考真题)如图，将AABC沿过点4的直线翻折并展开，点C的对应点C'落在边4B上,

折痕为AD,点。在边4B上，。。经过点4、D.若N4C8=90。，判断8c与。。的位置关系，并说明理由.

19.(2024・山东济宁・中考真题)如图，AABC三个顶点的坐标分别是4(1,3),B(3,4),C(1,4).

yk.

6—r-

O123456x

(1)将443。向下平移2个单位长度得小公4。1，画出平移后的图形，并直接写出点名的坐标；

(2)将绕点/逆时针旋转90。得△42名。2・画出旋转后的图形，并求点Q运动到点。2所经过的路径长.

20.(2024・江苏无锡・中考真题)如图，4B是。。的直径，△4CD内接于O。，CD=ETB,AB,CD的延长线

相交于点E,且DE=4D.

⑵求N4DC的度数.

21.(2024.山东济南.中考真题)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了

深入研究.

(一)拓展探究

如图1,在AABC中，AACB=90°,CD1AB,垂足为D.

B

•・•Z-ACB=90°+ZB=90°

•・•CD1AB•・•Z.A=Z-A・•・△ABCACD

・•・乙ADC=90°-:②________

AC

匕A+乙ACD=90°AC2=AD-AB

•••Z-B=®______

请完成填空：①:

(2)如图2,9为线段CO上一点，连接4F并延长至点E,连接CE,当乙4CE=N4FC时，请判断A4EB的形

状，并说明理由.

(二)学以致用

(3)如图3,△ABC是直角三角形，乙4cB=90°,AC=2,BC=2乃，平面内一点D,满足4。=AC,连接CD

并延长至点E,且NCEB=NCBD,当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长.

22.(2024•江苏常州•中考真题)将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、2分别

在边AC、DF±(端点除外)，边AB、EF相交于点G,边BC、DE相交于点”.

(2)如图2,若EFII8C,求两张纸片重叠部分的面积的最大值；

(3)如图3,当4E>EC,尸8>8。时，2E与FB有怎样的数量关系？试说明理由.

23.(2022•江苏镇江•中考真题)如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm,

高为42.9cm.它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆.小明画出了它的主视图，是由上、下

底面圆的直径48、CD以及疣、"组成的轴对称图形，直线2为对称轴，点M、N分别是熊、的的中点，如

图2,他又画出了居所在的扇形并度量出扇形的圆心角NAEC=66。，发现并证明了点E在MN上.请你继续

完成MN长的计算.

参考数据：sin66。合春cos66。，,tan66。吟sin33。晦，cos33。嗯,tan33。“吴

24.（2024.山西.中考真题）阅读与思考

下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务.

关于“等边半正多边形，，的研究报告

博学小组

研究对象：等边半正多边形

研究思路：类比三角形、四边形，按“概念-性质-判定”的路径，由一般到特殊进行研究.

研究方法：观察（测量、实验）-猜想-推理证明

研究内容：

【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我

们称这个凸多边形为等边半正多边形.如图1,我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类

似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形...

【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：

概念理解：如图2,如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么4B=BC=CD=DE=EF=凡4,ZX=

NC=乙E,4B=AD=NF,且NA丰乙B.

性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：

内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为上。.

对角线：…

⑴直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：

(2)如图3,六边形4BCDEF是等边半正六边形.连接对角线2D,猜想NBAD与4凡4。的数量关系，并说明理

由；

(3)如图4,已知AACE是正三角形，。。是它的外接圆.请在图4中作一个等边半正六边形4BCDEF(要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).

25.(2024•山东日照・中考真题)如图1,48为。。的直径,28=12,C是O。上异于4B的任一点，连接AC,BC,

过点A作射线4D为射线4D上一点，连接CD.

【特例感知】

(1)若BC=6.则ac=.

(2)若点C,D在直线AB同侧，且乙4DC=NB,求证：四边形4BCD是平行四边形;

【深入探究】

若在点C运动过程中，始终有tan乙4DC=百，连接OD.

(3)如图2,当CD与。。相切时，求。。的长度;

(4)求。。长度的取值范围.

章节综合训练六圆

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

一.选择题（共10小题,满分30分，每小题3分）

1.（2024.西藏.中考真题）如图，4C为。。的直径，点B,。在。。上，AABD=60°,CD=2,贝必。的长

2V2C.2V3D.4

【答案】C

【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到N4CD=

AABD=60°,^ADC=90°,根据CD=2得到AC=2CD=4,最后根据勾股定理求解即可得到答案

【详解】解：•••封为O。的直径,

AADC=90°,

"：AD=AD,AABD=60°,

/.ACD=Z.ABD=60°,

^DAC=90°-60°=30°,

VCD=2,

：.AC=2CD=4,

：.AD=V42-22=2V3,

故选：C.

2.（2024•江苏徐州•中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘4BCD内，若飞锤落在镖盘内各点

的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（）

cD.立

43-12

【答案】c

【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键.设AB=2a,则圆的直径为2a,求出小正

方形的面积，即可求出几何概率.

【详解】解：如图：连接EG,HF,设48=2a,则圆的直径为2a,

:四边形EFGH是正方形，

EG=FH=AB=2a,

二.小正方形的面积为：1x2ax2a=2a2,

则飞镖落在阴影区域的概率为：篇="

故选：C.

3.（2024•山西中考真题）如图，已知△4BC,以4B为直径的。。交BC于点Z）,与4C相切于点4,连接OD.若

AAOD=80°,则NC的度数为（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出NB=

l^AOD=40°,有圆的切线定理可得出NB4C=90。，由直角三角形两锐角互余即可得出答案.

【详解】解：=加，

1

：.Z-B=-Z-AOD=40°.

2

以为直径的。。与ZC相切于点A,

A£.BAC=90°,

・"C=90。-40。=50。.

故选：D.

4.（2024.江苏无锡・中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面积为（）

A.6irB.12nC.15TTD.24n

【答案】B

【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面

积兀x底面半径x母线长.

【详解】解：S侧=nrl=7rx3x4=12兀，

故选：B.

5.（2024.山东济宁・中考真题）如图，分别延长圆内接四边形4BCD的两组对边，延长线相交于点E,F.若

/.E=54°41',ZF=43°19\则乙4的度数为（）

A.42°B.41020;C.41°D.40°20,

【答案】C

【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得〃BC+“DC=180。，乙4+NBCD=180。.根据三角形外

角定理可得乙4BC=NE+乙ECB,乙ADC=Z.F+乙DCF,由此可得NECB=41°,又由NECB+乙BCD=180°,

可得ZT!=Z_ECB,即可得解.

本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【详解】•••四边形ABCD是O。的内接四边形

A/.ABC+/.ADC=180°,Z.A+乙BCD=180°,

Z-ABC=Z-E+Z.ECB,Z-ADC=Z-F+乙DCF,

・•・乙E+乙ECB+ZF+乙DCF=180°,

•:乙ECB=^DCF,ZE=54°41\ZF=43°19\

/

...54。40+43°19+2Z.ECB=180°,

解得4ECB=41°,

•・•(ECB+乙BCD=180°,

・•.LA=乙ECB=41°.

故选：c

6.（2024・山东济宁・中考真题）如图，边长为2的正六边形4BCDEF内接于O0,则它的内切圆半径为（）

A.1B.2C.V2D.V3

【答案】D

【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；

连接。4,OF,作。G14F于G,证明△AOF是等边三角形，可得尸G=|4F=1,然后利用勾股定理求出。G

即可.

【详解】解：如图，连接。4。F，作。GJ.4F于G,

1

OF=OA,/LAOF=360°X士=60°,

6

**•△4。尸是等边三角形，

：.OF=OA=AF=2,

*：OG1/F,

：.FG=-AF=1,

2

OG=V212-I2=V3,

即它的内切圆半径为

故选：D.

7.（2024・湖南长沙•中考真题）如图，在。。中，弦4B的长为8,圆心。至!MB的距离OE=4,则。。的半

径长为（）

A.4B.4V2C.5D.5V2

【答案】B

【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到4E,再根据勾股定理求解即可.

【详解】解：：在。。中，弦4B的长为8,圆心。至IJ4B的距离。E=4,

1

AOELAB,AE=-AB=4,

2

在Rt△40E中，OA=y/OE2+AE2=V42+42=4夜，

故选：B.

8.（2024.山东泰安.中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆。'的一个直径端点与半圆。的圆

心重合，若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是（）

4/7Tc2B^4V3

AA.—71—V3B.-7TC.—Ti—V3D.—Ti-----

33334

【答案】A

【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面

积公式是关键.

如图:连接044。',作4B，。。吁点B,得三角形4。。堤等边三角形，求出4B=W，5=™=S扇形

匕力40，扇力zoo，

SA/OO,=早—V3＞再根据s阴影=S弓形40,+s扇形40,0,即可解答・

【详解】解：如图：连接。4A0',作于点2,

V0A=00'=A0'=2,

三角形4。。'是等边三角形，

：.^A00'=60°,0B=-00'=1,

2

•\AB=V22—l2=V3

•••S弓形40，=S扇形AOO，—SA400，=^^—2x%x；争一柢

；.S阳影=Sm花+S扇花=--V3+—=--V3.

阴影弓形40，扇形40,0333

故选：A.

9.（2024.内蒙古通辽.中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点。为正六边形4BCDEF的中心，EF||久轴，

点E在双曲线y=§（k为常数，k>0）±,将正六边形4BCDEF向上平移百个单位长度，点。恰好落在双曲线

上，贝味的值为（）

A.4A/3B.3V3C.2痘D.3

【答案】A

【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等

等，过点E作EHlx轴于”，连接0E,可证明AOED是等边三角形，则DE=。。，OH=DH=^0H,进

而得到EH=?OD,设。D=2zn,贝iJOH=zn,HE=gm,则E（m,V3m）,£>（2m,0）,即可得到点（2m,

V5）在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到k=2m•百=据此求解即可.

【详解】解：如图所示，过点E作EHLx轴于H,连接。E,

:原点。为正六边形4BCDEF的中心,

0E=0D,4E0D=—=60°,

6

△。£7）是等边二角形,

：.DE=0D,

•：EH1OD,

i

：.0H=DH=-0D.

2

：.EH=>JDE2-DH2=—0D,

2

设0。=2m,贝!J。"=m,HE=V3m,

V3m）,D（2m,0）,

・・,将正六边形尸向上平移四个单位长度，点。恰好落在双曲线上，

・••点（2m,8）在双曲线上，

又•・•点E也在双曲线上，

k=2m-V3=m-V3m,

解得zn=2或zn=0（舍去），

k=2m-V3=4V3,

故选：A.

10.（2024•江苏苏州・中考真题）如图，矩形/BCD中，AB=W,BC=1,动点E,产分别从点A,。同时

出发，以每秒1个单位长度的速度沿ZB,CO向终点3,。运动，过点E,尸作直线/,过点A作直线/的垂

线，垂足为G,贝lb4G的最大值为（）

A.遮B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角

三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键.

连接AC,BD交于点0,取04中点H,连接GH,根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹，从而

求出4G的最大值.

【详解】解：连接4C,BD交于点。，取。4中点H,连接GH,如图所示：

・・•四边形/BCD是矩形，

C./.ABC=90°,OA=OC,AB||CD,

.•.在RtAABC中，AC=7AB2+BC2=J（次J+M=2,

OA=OC=-AC=1,

2

*：AB||CD,

•••Z-EAO=Z.FCO,

在△ZOE与中，

（AE=CF

\z.EAO=Z.FCO

（OA=OC

.-.△71OE=ACOF（SAS）,

・•・Z-AOE=Z.COF,

E,0,F共线，

vAG1EF,“是OB中点，

.•.在RtAZG。中，GH=^AO=j,

G的轨迹为以H为圆心，|为半径即4。为直径的圆弧.

.•.4G的最大值为4。的长，即AGmax=AO=1.

故选：D.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（2024•江苏徐州•中考真题）如图，4B是O。的直径，点C在4B的延长线上，与。。相切于点D,若

【答案】35

【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解.连接。。，构造直角三角

形，利用04=。0,从而得出乙乙40的度数.

【详解】解：连接。。，

•・•。。与。。相切于点D,

・••乙0DC=90°,

•・•乙C=20°,

・♦・乙COD=70°；

vOA=OD,

1

.­.4ODA=Z.CAD=-Z.COD=35°,

2

故答案为：35

12.（2024•江苏徐州•中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为47ran2,圆心角6

为90。，圆锥的底面圆的半径为.

【答案】1cm

【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键.先根据扇形面积公

式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可.

【详解】解：设扇形的半径为Rem,弧长为tan,

解得：R=4（负值舍去），

则?X4=4TT,

解得：Z=2TT,

二・圆锥的底面圆的半径为：27r+（2TT）=l（cm）,

故答案为：1cm.

13.（2024.山东泰安.中考真题）如图，是。。的直径，AH是。。的切线，点C为。。上任意一点，点。为

4c的中点，连接BD交4C于点E,延长BD与相交于点F,若DF=1,tanB=贝ME的长为.

【答案】V5

【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是

解题关键.

先证=可得△DAFsADBA从而得到丝="=tanB=工，求得AD=2,再运用勾股定理可得

ADBD2

AF=正,再根据圆周角定理以及角的和差可得乙4/。=乙4/。，最后根据等角对等边即可解答.

【详解】解：・・,/B是。。的直径，

：.AADB=90°,

・・,/月是O。的切线，

:,乙BAF=90°,

Z.DAF=乙ABD=90°-40Z3,

△DAF^△DBA,

.DFAD1

••——tanBD——f

ADBD2

9：DF=1,

：.AD=2,

：.AF=VS,

・・•点。为耻的中点，

：.AD=CD,

A/.ABD=ADAC=Z.DAF,

*：^ADE=^ADF=90°,

：.90°-ADAE=90°-匕DAF,SPAAED=^.AFD,

•.AE=AF=V5.

故答案为：V5.

14.（2024.内蒙古包头.中考真题）如图，四边形4BCD是。。的内接四边形，点。在四边形48co内部，过点

。作。。的切线交48的延长线于点P,连接。4。瓦若乙4。8=140。，48cp=35°,则乙4DC的度数为.

【答案】105(7105度

【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接。C,利用等边对

等角得出N048=Z0B4=20。，乙OCB=LOBC,利用切线的性质可求出NOBC=NOCB=55。，然后利用

圆内接四边形的性质求解即可.

【详解】解：连接。C,

VOA=OB=OC,/.AOB=140°,

^OAB=AOBA=|(1800-AAOB)=20°,乙OCB=乙OBC,

是切线，

：.^OCP=90°,即NOCB+48cp=90。，

■:乙BCP=35°,

:.上OBC=Z.OCB=55°,

Z./.ABC=Z.ABO+AOBC=75°,

•..四边形4BCD是O。的内接四边形，

：.^ADC=180°-乙ABC=105°,

故答案为：105。.

15.(2024・四川广元•中考真题)如图，在AaBC中，AB=5,tanzC=2,贝UAC+的最大值为

C

【答案】5V2

【分析】过点B作BO垂足为D,如图所示，利用三角函数定义得到ac+?BC=ac+£)c,延长oc到

E,使EC=CD=x,连接BE,如图所示，从而确定4C+，BC=aC+DC=4C+CE=4E,NE=45。，

再由辅助圆-定弦定角模型得到点E在0。上运动，4E是o。的弦，求ZC+^BC的最大值就是求弦4E的最

大值，即4E是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案.

【详解】解：过点B作BD14C,垂足为D,如图所示：

C

B-：tanz.C=2,

.•.在RtABCD中，设DC=x,贝1]BD=2%,由勾股定理可得BC=而％,

ACH----BC=AC+DC,

延长DC到E,使EC=CD=x,连接BE,如图所示:

BAC+^-BC=AC+DC=AC+CE=AE,

•・,BD1DE,DE=2x=BD,

.•.△BDE是等腰直角三角形，则NE=45。，

在△ABE中，AB=5,NE=45。，由辅助圆-定弦定角模型，作AABE的外接圆，如图所示:

••・由圆周角定理可知，点E在。。上运动，AE是。。的弦，求47+当BC的最大

值就是求弦AE的最大值，根据圆的性质可知，当弦4E过圆心0,即4E是直径时，弦最大，如图所示:

•.YE是。。的直径,

/.ABE=90°,

•••NE=45°,

△ABE是等腰直角三角形，

•••AB=5,

BE=AB=5,则由勾股定理可得4E=y/AB2+BE2=5&，即AC+的最大值为5企，

故答案为：5V2.

【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、

圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题

的关键.

16.（2024・吉林长春・中考真题）如图，4B是半圆的直径，4C是一条弦，。是4C的中点，于点E,

交4C于点F,DB交AC于点G,连结2D.给出下面四个结论：

①4ABD=NDAC；

®AF=FG；

③当。G=2,GB=3时，FG=~

④当附=2/®,4B=6时，△DFG的面积是

上述结论中，正确结论的序号有.

【答案】①②③

【分析】如图：连接。C,由圆周角定理可判定①；先说明NBDE=〃G。、乙=可得DF=FG、

AF=FD,即4F=FG可判定②；先证明A4DGf可得丝=丝，即，竺一=丝,代入数据可得a。=V10,

BDADOG+BGAD

然后运用勾股定理可得4G=旧,再结合/F=FG即可判定③;如图:假设半圆的圆心为O,连接。RC。,CD,

易得乙40。=乙D0C=60°,从而证明^AODAODC是等边三角形，即/DC。是菱形，然后得到乙D4C=

404。=30。，再解直角三角形可得DG=2百，根据三角形面积公式可得S-DG=6旧，最后根据三角形的

中线将三角形平分即可判定④.

【详解】解：如图：连接DC,

・・・。是我的中点，

：.AD=流,

：.AABD=L.DAC,即①正确；

•・・/B是直径，

：.LADB=90°,

A^.DAC+^AGD=90°,

9：DE1AB

工乙BDE+乙ABD=90°,

VZ-ABD=ADAC,

:•乙BDE=4/GD,

：.DF=FG,

■:乙BDE+/.ABD=90°,2BDE+^ADE=90°,

：./.ADE=/LABD,

*.•/,ABD=A.DAC,

：./-ADE=^DAC,

：.AF=FD,

.・・/F=FG,即②正确；

在aADG和

(AADG=匕BDA=90°

t乙DAG=/-DBA'

△ADGBDAj

.ADGD日ADGD

・.BD—AD"DG+BG-AD"

.AD=总，即/£）=V10,

**2+3

：.AG=yjAD2+DG2=旧，

9：AF=FG,

.\FG=即③正确；

如图：假设半圆的圆心为O,连接。2C。,CD,

•・,郎=2加，AB=6,。是的中点，

1

：.AD=疣=严，

ALAOD=乙DOC=60°,

:。/=OD=OC,

△AOD,^,ODC是等边二角形，

AOA=AD=CD=OC=OD=3,即4DC。是菱形，

A/-DAC=Z,OAC=-^LDAO=30°,

2

・・Z08=90°,

.'.tan/.DAC=tan30°=即当=等，解得：DG=V3,

•••SAADG=豺。•OG=[x3x旧=9，

'：AF=FG

故答案为：①②③.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定

与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键.

三.解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23

题9分，24题10分，25题13分）

17.（2024•江苏南通・中考真题）如图，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,与BC相切于点D

B

(1)求图中阴影部分的面积;

(2)设。4上有一动点尸，连接CP,BP.当CP的长最大时，求的长.

【答案】(1)6—If兀

(2)|V41

【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是:

(1)连接4D,利用勾股定理的逆定理判定得出NB4C=90。，利用切线的性质得出4。，8C,利用等面积

法求出4D=音，然后利用S阴影=S^ABC-S扇形求解即可；

(2)延长C4交04于P,连接BP,则CP最大，然后在RtAABP中，利用勾股定理求解即可.

'：AB=3,AC=4,BC=5,

：.AB2+AC2=32+42=25=52=BC2,

：./.BAC=90°,

与04相切于D

：.AD1BC,

'：S^ABC=\AD-BC=\AC-AB,

1VU7TXI—

阴影=S"BC-S扇形=-x3x4——

(2)解：延长C4交04于尸，连接BP,此时CP最大,

由（1）知：Z.BAC=/.PAB=90°,AP=AD=y,

：.PB=y/AP2+AB2=|V41.

18.（2024•江苏镇江•中考真题）如图，将△ABC沿过点4的直线翻折并展开，点C的对应点C'落在边4B上,

折痕为4。，点。在边4B上，。。经过点4、D.若乙4c8=90。，判断BC与。。的位置关系，并说明理由.

【答案】BC与。。相切，理由见解析

【分析】连接OD,由等腰三角形的性质得N04D=再由折叠的性质得NC4D=4。4£>,进而证明

ACWOD,则=乙4cB=90。，因此。。，BC,然后由切线的判定即可得出结论.

【详解】解：BC与。。相切.

证明：连接。D.

"：OA=OD,

S.AOAD=/.ODA.

'：图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点C'落在逅1B上,

ACAD=Z04D.

Z.CAD=/.ODA.

：.AC\\OD.

由乙4cB=90。,得NODC=90°,即001BC.

与O。相切.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识,

熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键.

19.(2024・山东济宁・中考真题)如图，AABC三个顶点的坐标分别是4(1,3),B(3,4),C(1,4).

yk.

]j]y!i\

~6123456x

(1)将A4BC向下平移2个单位长度得AaiBiCi，画出平移后的图形，并直接写出点名的坐标；

(2)将AaiBiCi绕点/逆时针旋转90。得△42名。2・画出旋转后的图形，并求点G运动到点所经过的路径长.

【答案】(1)作图见解析，8式3,2)

(2)作图见解析，TT

【分析】本题考查了作图一平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质，

(1)利用平移的性质作出对应点，再连线即可，

(2)利用旋转的性质分别作出时应点，再连线，G运动到点所经过的路径长即为弧长即可可求解

【详解】(1)解：△a/】G如下图所示：

(2)解:△&B1C2如上图所示：

G运动到点所经过的路径为：飞;°°=球箸=n

20.(2024・江苏无锡•中考真题)如图，4B是。。的直径，AaCD内接于。。，6=ETB,AB,CD的延长线

相交于点E，且

D

(1)求证：△CADCEA；

(2)求乙4DC的度数.

【答案】(1)见详解

(2)45°

【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等

知识，掌握这些性质是解题的关键.

(1)由等弧所对的圆周角相等可得出NC4D=4028,再由等边对等角得出=等量代换可得出

ACAD=4E,又乙C=ZC,即可得出小CAD八CEA.

(2)连接BD,由直径所对的圆周角等于90。得出4WB=90。，设NCW==a,即NdE=2a,由

相似三角形的性质可得出Z2DC=^CAE=2a,再根据圆内接四边形的性质可得出2a+2a+90。=180°,

即可得出a的值，进一步即可得出答案.

【详解】(1)证明：=)8

Z.CAD=

"：DEAD,

Z.DAB=Z-E,

Z-CAD=乙E,

XVzC=ZC

△CAD~△CEA,

(2)连接BD,如下图：

•・,4B为直径,

J.Z.ADB=90°,

设Z_C\4O=Z.DAB=a,

Z-CAE=2a,

由(1)知：△CADCEA

Z-ADC=Z-CAE=2a,

四边形是圆的内接四边形,

/.CAB+乙CDB=180°,

即2a+2a+90°=180°,

解得：a=22.5。

/.ADC=乙CAE=2x22.5°=45°

21.（2024・山东济南・中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了

深入研究.

（一）拓展探究

如图1,在AABC中，^ACB=90°,CD1AB,垂足为D.

V乙ACB=90°Z.A+Z.B=90°

•・•CD1ABVN4=AAABCACD

・•・乙4OC=90°祭---

.•・乙4+Z.ACD=90°•••AC2=AD-AB

•••Z-B=①______

请完成填空：①______

（2）如图2,尸为线段CD上一点，连接4F并延长至点E,连接CE,当N4CE=4FC时，请判断AdEB的形

状，并说明理由.

（二）学以致用

（3）如图3,△ABC是直角三角形，乙4cB=90。,AC=2,8C=2伤，平面内一点。，满足4D=aC,连接CD

并延长至点E,且NCEB=NCBD,当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长.

【答案】(1)①乙4CD；②啜；(2)A4EB是直角三角形，证明见解析；(3)2局

AD

【分析】(1)根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可；

(2)证明△ACF八AEC,得出竺=—,证明△4FDABE,得出乙4DF=AAEB=90°,即可得出答案；

AFAC

八2

(3)证明△CEBCBD,得出m=需，求出CD-CE=CB=(2伺之=24,以点4为圆心,2为半径作。4

则C,。都在04上，延长C4到&)，使CE。=6,交04于Do,连接场以证明AECEo-^DOCD,得出“O。。=

LCE0E=90°,说明点E在过点Eo且与CEo垂直的直线上运动，过点B作BE，1%E,垂足为？，连接CE。根

据垂线段最短，得出当点E在点？处时，BE最小，根据勾股定理求出结果即可.

【详解】解：(1)•••^ACB=90°,

.•・4/+=90°,

CD1AB,

・•・(ADC=90°,

・•.AA+Z.ACD=90°,

•.・乙B=Z-ACD,

•・•Z.A=Zi4,

.*.△ABC~〉ACD,

AB_AC

••AC-ADf

AAC2=AD-AB；

(2)△ZEB是直角三角形；理由如下：

•・•^ACE=/-AFC,Z.CAE=AFAC

ACFAEC,

AC_AE

t—1,

AFAC

AAC2=AF-AE,

由⑴得心=AD-AB,

・•.AF-AE=ADAB,

AF_AD

••AB-AEf

vZ-FAD=乙BAE,

AFDABE,

・•.AADF=Z.AEB=90°,

・•.△NEB是直角三角形.

（3）•・•Z-CEB=乙CBD,乙ECB=（BCD,

•••△CEBCBD,

.CE_CB

••—，

CBCD

2

；.CD•CE=CB2=（2V6）=24,

如图，以点4为圆心，2为半径作04则C,。都在04上，延长C4到为，使CEo=6,交04于4,连接好已

则CDo=4,

・1%为04的直径，

:.乙CDDo=90°,

•••CD0-CE0=24=CD-CE,

,CDQ_cp_

f

**CE~CEo

乙ECE。=Z-DQCD,

•••△ECE0-△D°CD,

・•・Z.CDDQ=Z.CEQE=90。，

.••点E在过点好且与CE。垂直的直线上运动，

过点B作垂足为E',连接CE',

•••垂线段最短，

当点E在点O处时，BE最小，

即BE的最小值为BE，的长，

乙

•//.CE0E'=E°CB=4BER=90°,

.,•四边形是矩形，

BE'=CE0=6,

在Rt△CEoE'中根据勾股定理得：CE'=j（2V6）2+62=2V15,

即当线段BE的长度取得最小值时，线段CE的长为2后.

【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段

最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.

22.(2024•江苏常州•中考真题)将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点£、8分别

在边AC、DF1.(端点除外)，边AB、EF相交于点G,边BC、DE相交于点〃.

77C77C

D

图2

(1)如图1,当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是；

(2)如图2,若EFII8C,求两张纸片重叠部分的面积的最大值；

(3)如图3,当AE>EC,FB>BD时，4E与FB有怎样的数量关系？试说明理由.

【答案】(1)菱形

(2)—cmz

(3MF=BF,理由见解析

【分析】(1)连接BE,CD,由等边三角形的性质可得N4C8=/EOF=60。，则8、D、C、E四点共圆，由

三线合一定理得到NBEC=90。，贝UBC为过B、D、C、E的圆的直径，再由DE=BC=6cm,得到DE为过

B、D、C,E的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明NGEB=NEBH=NGBE=NBEH=30。，推出四边

形BHEG是平行四边形，进而可证明四边形BHEG是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形；

(2)由等边三角形的性质得到乙4BC=NDEF=4C=60。，AC=BC=6cm,则由平行线的性质可一推出

乙ABC=XHE,进而可证明四边形BHEG是平行四边形，再证明△EHC是等边三角形，则可设EH=CH=

2xcm,贝=(6-2x)cm,HT=^CH=xcm,由勾股定理得到£T=y/EH2-HT2=V3xcm,可得S重叠=

S四边形BHEG=BH-ET==—28(％—|)2+竽，则当x=决寸，S重叠有最大值，最大值为第cm2；

(3)过点B作BM_L4C于跖过点£T作EN1DF于N,连接BE,贝U4M=FN==3cm,EF=

AB=6cm,BE=BE,证明EN=BM,进而可证明Rt△NBE三Rt△MFS(HL),得到NB=ME,则FN+BN=

AM+ME,即4E=BF.

【详解】(1)解：如图所示，连接BE,CD