中考数学专项复习：平行线加中点模型及雨伞模型（含答案及解析）

平行线加中点模型及雨伞模型

模型一平行线加中点模型

模型讲解：如图AB〃CD,E为AD的中点，延长CE交AB于点F,则4AEF丝4DEC

（一）模型识别及应用：当图形中有中点，有平行线时，可用此模型，即有中点有平行线时，图中就

有全等三角形。

典例1（2023秋•甘井子区月考）如图，AB//CF,£为£＞尸的中点，48=10,CF=6,则.

针对训练

1.（2023•灌桥区校级三模）如图，在口/BCD中，延长CD至点E,使DE=DC,连接BE交AD于点F,

交4C于点G,则也迺的值是（）

S&CEF

2.（2021秋•泌阳县期末）如图，在△NCD中，ZCAD=90°,AC=6,AD=IO,AB//CD,£是CD上一

点，BE交4D于点F,若AB=DE,则图中阴影部分的面积为

CED

(二)模型构建及应用(图中有中点及平行线时，可以构建8字全等。仅有中点时，可以作

平行线，构建全等三角形)

典例2如图，四边形N8OC中，,点。为5D的中点，AB+CD=AC.

(1)求证：CO平分/NCD；(2)求证：/O平分OAVOC.

针对训练

1.(2021•椒江区校级开学)如图，已知N8=12,ABLBC,垂足为点8,ABLAD,垂足为点，，AD=5,

2.阅读理解

(1)如图①，△/8C中，。是2C中点，连接4D,直接回答SMBD与SJQC相等吗？—(S表示面积)；

应用拓展

(2)如图②，已知梯形N2C。中，AD//BC,£是N2的中点，连接EC,试利用上题得到的结论

说明S^DEC—S^ADE+S/^EBC；

解决问题

(3)现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过。点的直线，将这块

模型二雨伞模型（角平分线加垂直模型）

模型讲解：如图，OP平分NMON,AC，于C,延长AC交ON于点B,

贝!]△OAC丝/XOBC,OA=OB,AC=BC

0

（一）模型识别及应用：当图形中有角平分线且有垂直于这条角平分线的线时，可用此模型。

典例1（2023•开州区校级开学）如图，是△48C的角平分线，过点C作CELAD,垂足为点E,延

长CE与48相交于点尸，连接D尸，若NA4C=60°,/2=40°,则NAD尸的度数为°.

针对训练

1.（2023秋•镇海区期末）如图，D为A4BC内一点,CD平分N/C3,BELCD,垂足为。，交NC于点E,

NA=NABE.若/C=10,BC=6,则2。的长为（）

3.（2020秋•市中区校级月考）如图，△NBC中，点。，E在边8c上，N/8C的平分线垂直于垂足

2

为N,NZC3的平分线垂直于4。，垂足为若BC=7,MN/则△48。的周长为（）

A.19B.18C.17D.16

（二）模型的构建及应用：通过延长垂直于角平分线的垂线段角的另一边或延长线相交构建雨伞模型

典例2（2021秋•昭阳区期末）如图，为△48C的角平分线.

（1）如图1,若CE_L/。于点足交48于点£,45=8,AC=5.则BE

(2)如图2,若NC=2/B,点£在48上，S.AE=AC,AB=a,AC=b,求CD的长；(用含a、6的

式子表示）

(3)如图3,BGLAD,点G在的延长线上，连接CG,若4/06的面积是7,求△NBC的面积.

针对训练

1.如图是//BC的平分线，，尸_L8P于P,连接PC,若△NBC的面积为5cm2,则△P3C的面积为（）

C.3cm2D.不能确定

2.（2022•青秀区校级三模）如图:。为△A8C内一点，CD平分/ACB,BDLCD,NA=NABD,若BD

=1,BC=3,则NC的长为（）

3.（2021•越秀区模拟）如图所示，M是△48C的边3c的中点，AN平分/BAC,BNLAN于前N,且

=8,MN=3,则NC的长是()

A.12B.14C.16D.18

5.(2022秋•安溪县期中)［问题情境］

利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分/MON.点/为上一点，过点/作

AC±OP,垂足为C,延长NC交ON于点2,易证△49C丝△80C,则NC=2C.其分析过程如下：

在△/OC和△20C中，

OP平分/MONnN/OC=ZBOC

OC=OC

AC±OP^>ZOCA=ZOCB^9Q°

♦△AOCmLBOC()

在括号内填写全等判定方法字母简称

=AC=BC()

在括号内填写理由依据

［问题探究］

如图2,△NBC中，AB=AC,NBAC=90°,CD平分N/C2,BELCD,垂足E在CD的延长线上.证

明：CD=2BE；

［拓展延伸］

1

如图3,在中，AB=AC,ZBAC=90°,。在线段5c上，向8C左侧作N5D£=R/C5,BEL

DE于E,DE交AB于F,试探究BE和。尸之间的数量关系，并证明你的结论.

平行线加中点模型及雨伞模型

模型一平行线加中点模型

模型讲解：如图AB〃CD,E为AD的中点，延长CE交AB于点F,则4AEF丝4DEC

(一)模型识别及应用：当图形中有中点，有平行线时，可用此模型，即有中点有平行线时，图中就

有全等三角形。

典例1(2023秋•甘井子区月考)如图，AB//CF,£为。尸的中点，4B=10,CF=6,则.

【思路引领】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是。尸的中点，所以根据

得出△4OE0ZXCFE,从而得出/Z)=CR已知C户的长，那么8。的长就不难求出.

【解答】-：AB//FC,

：.ZADE=ZEFC,

是DF的中点，

：.DE=EF,

在△/£)£与△CW中，

,^ADE=乙EFC

DE=EF,

./.AED=乙CEF

:.LADE之4CFE(ASA),

：.AD=CF,

'：AB=\0,CF=6,

：.BD=AB-AD=W-6=4.

故答案为：4.

【总结提升】此题目主要考查全等三角形的判方法的掌握.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求

证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.

针对训练

1.（2023•浦桥区校级三模）如图，在口/BCD中，延长CD至点E,使DE=DC,连接交于点尸,

交NC于点G,则竺好的值是（）

S^CEF

【思路引领】根据平行四边形的性质得=AB//CD,由。£=QC得45=。。再根据平行线的性

质得/EDF=NBAF,NDEF=NABF,以此可通过4s4证明△。£产也A45R得至！JS&4.=SZ^)£F,由

SACEF=2SADEF=2S“BF艮口可求解.

【解答】解：・・•四边形48。。为平行四边形，

:・AB=CD,AB//CD,

•:DE=CD,

:・AB=DE,

9：AB//CD,

：.ZEDF=ZBAF,ZDEF=ZABF,

在ADEF和中，

ZDEF=/.ABF

DE=AB,

Z-EDF=Z-BAF

:•△DEFQAABF(ASA)f

••S/\ABF=S/\DEF9

•；CD=DE,

••S^CEF—2S/\DEF=2S"BF,

.S△力BA_1

S^CEF2

故选：D.

【总结提升】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质

是解题关键.

2.（2021秋•泌阳县期末）如图，在中，ZCAD=90°,AC=6,AD=IO,AB//CD,£是CD上一

点，BE交AD于点、F,若AB=DE,则图中阴影部分的面积为.

【思路引领】证明48/尸丝△成犷（44S）,贝US△诩F=SAEDF,利用割补法可得阴影部分面积.

【解答】W：-：AB//CD,

ZBAD=ZD,

在△B/尸和△ED厂中，

,^BAD=ZD

Z.AFB=乙DFE,

AB=DE

:・ABAF咨LEDF（AAS）,

SABAF=SAEDF,

，图中阴影部分面积=s四边形0CEF+S△胡尸=$n48=-2,AC,AD=2X6X10=30.

故答案为：30.

【总结提升】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积计算方法，熟练掌握

全等三角形的判定是解决问题的关键.

（二）模型构建及应用（图中有中点及平行线时，可以构建8字全等。仅有中点时，可以作

平行线，构建全等三角形）

典例2如图，四边形4BOC中，,点。为AD的中点，AB+CD^AC.

（1）求证：CO平分N/CD；

（2）求证：/。平分/A4C,OALOC.

【思路引领】(1)延长/O交的延长线于E.只要证明△/8O名△£。。，推出力。=。£,AB=DE,

由4c=/8+CQ,CE=CD+DE=CD+AB,推出C4=CE,由CM=OE,推出OC平分N4CZ).

(2)由C4=CE,推出NC4E=N£,由N£=NH4E,推出NC4O=NCMB,即04平分NCZ8,根据

等腰三角形三线合一即可证明OCLQ4.

【解答】证明：(1)延长40交CQ的延长线于瓦

VZD=ZABD=90°,

：.ZCDB+ZABD=90°,

：.AB//CE,

：./BAO=/E,

在△/BO和△EDO中，

A.BAO=Z-E

Z.AOB=NE。。，

OB=OD

：.AABO咨LEDO,

：.AO=OE,AB=DE,

•：AC=AB+CD,CE=CD+DE=CD+AB,

：.CA=CE,9：OA=OE,

：.OC平分N4CD

(2)・：CA=CE,

；./CAE=/E,

9：/E=/BAE,

：・/CAO=/OAB,

：.OA平分NC48,

•:CA=CE,OA=OE,

：.CO±AO.

【总结提升】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角

的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

针对训练

1.（2021•椒江区校级开学）如图，已知N8=12,ABLBC,垂足为点8,AB±AD,垂足为点，，AD=5,

【思路引领】延长NE交8c于点尸，由“NS4”可证丝△尸EC,可得/。=尸。=5,AE=EF,由

勾股定理可求/尸的长，即可求NE的长.

【解答】解：如图，延长NE交BC于点尸，

•.•点£是。。的中点

：.DE=CE,

'：ABLBC,ABLAD

C.AD//BC

ZADE=ZBCE且DE=CE,NAED=ZCEF

：.^\AED<AFEC(ASA)

:.AD=FC=5,AE=EF

：.BF=BC-FC=5

：.在RtZ\4BF中，AF=>/AB2+BF2=13

【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题

的关键.

2.阅读理解

(1)如图①，△NBC中，。是8C中点，连接直接回答与相等吗？(S表示

面积)；

应用拓展

(2)如图②，己知梯形/BCD中，AD//BC,E是N2的中点，连接。£、EC,试利用上题得到的结论

说明S&DEC=S“DE+SAEBC；

解决问题

(3)现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过。点的直线，将这块

试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置.

【思路引领】⑴由于△N3D与等底同高，根据三角形的面积公式即可得出必/BD与相等；

(2)延长DE交C8的延长线于点尸，根据44s证明则。S&DAE=S&FBE,又

由(1)的结论可得S"EC=S»EC,代入即可说明SADEC=S»DE+SZXEBC;

(3)取48的中点£,连接DE并延长，交C2的延长线于点R则S梯形"8=5A8月，再取CF的中点

G,作直线。G,贝IjSz\CDG=S"»G=S梯形ADGB=梯形ABCQ,故直线。G即可将这块试验田分割成面积相

等的两块.

【解答】解：(1)如图①，过点4作于£

•.•。是3c中点，

：.BD=CD,

11

又‘:S"BD=1・BD・AE,S"DC=],CD・AE,

••SAABD=S/\ADC•

故答案为相等;

(2)如图②，延长。£交。5的延长线于点尸.

:后是的中点，：.AE=BE.

,:AD〃BC,：・/ADE=/BFE.

在AD4E与AFBE中,

^ADE=乙BFE

Z.AED=乙BEF,

AE=BE

：.ADAE^/\FBE(AAS\

：.DE=FE,S/\DAE=S^FBE,

是。F中点，

••S/\DEC=SAFEC=SABFE+SAEBC=S/\ADE+SAEBC，

S/\DEC=SAADE+S4EBC；

（3）如图所示:

取的中点E,连接DE并延长，交CB的延长线于点凡取CF的中点G,作直线。G,

则直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块.

【总结提升】本题考查了三角形的面积，全等三角形的判定与性质，梯形的性质，作图-应用与设计作

图，（2）中通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

模型二雨伞模型（角平分线加垂直模型）

模型讲解：如图，OP平分NMON,ACL于C,延长AC交ON于点B,

贝！|△OAC丝ZkOBC,OA=OB,AC=BC

o

(-)模型识别及应用：当图形中有角平分线且有垂直于这条角平分线的线时，可用此模型。

典例1(2023•开州区校级开学)如图，4D是△45C的角平分线，过点。作垂足为点£,延

长C£与48相交于点尸，连接。尸，若N氏4C=60°,Z5=40°,则N5Q/的度数为40°.

【思路引领】首先利用已知条件可以证明相丝△/(?£,然后利用全等三角形的性质和等腰三角形的

性质可以求出N/CQ=N/阳，最后利用四边形的内角和求出NC。月即可解决问题.

【解答】解：・・・/。是△48。的角平分线，

・•・/E4D=NCAD,

9：CELAD,

：.ZAEF=ZAEC=90°,

在AAFE和中，

乙凡40=ACAD

AE=AE，

.Z.AEF=AEC

:•△AFE/dACE(ASA),

:・EF=CE,AF=CF,

：./AFE=/ACE,

9：CE.LAD,

：・CD=FD,

：./DFC=DCF,

：./AFD=/ACD,

VZBAC=60°,N5=40°，

：.ZACD=ZAFD=\SO°-60°-40°=80°,

：.ZCDF=360°-ABAC-ZACD-ZAFD=140°,

AZBDF=1SO°-ZCDF=1SO°-140°=40°.

故答案为：40.

【总结提升】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也利用了角平分线的性质、等腰三角形的

性质及四边形的内角和，有一定的综合性.

针对训练

1.（2023秋•镇海区期末）如图，Q为A4BC内一点,CD平分/ACB,BE上CD,垂足为交/C于点£,

NA=NABE.若4C=10,BC=6,则BZ）的长为（）

【思路引领】根据CD平分N4C5,BELCD,证出△8QC四△EQC,得至lj即可.

【解答】解：,・・。。平分N4C以

・•・/BCD=/ECD,

•:BE工CD,

：.ZBDC=ZEDC=90°,

•：CD=CD,

:•△BDgXEDC(ASA)f

:・BC=CE=6,BD=DE,

又,:—ABE,

：.AE=BE,

,：AC=10,BC=6,

：.AE=AC-CE=4,

：.BE=AE=4f

1

：.BD=^BE=2,

故选：B.

【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据已知并结合图形分析是解题的关键.

3.（2020秋•市中区校级月考）如图，△N8C中，点。，E在边8C上，N48C的平分线垂直于垂足

为N,/NC8的平分线垂直于4D,垂足为若BC=1,MN=2则△NBC的周长为（）

A.19B.18C.17D.16

【思路引领】证明△NRV四△EBN,根据全等三角形的性质得到AN=NE,同理可得。=CD,

根据三角形中位线定理求出DE,根据三角形的周长公式计算，得到答案.

【解答】解：；BN平分N4BC,

/ABN=/EBN,

在和△E8N中，

2ABN=乙EBN

BN=BN,

/ANB=乙ENB=90°

AABN<4EBN（ASA）,

：.BA=BE,AN=NE,

同理可得：CA=CD,AM=MD,

"：AN=NE,AM=MD,MN=^,

：.DE=2MN=3,

：.AABC^]^^z=AB+BC+AC^BE+BC+CD=BC+BC+DE=17,

故选：C.

【总结提升】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于

第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

（二）模型的建构：通过延长垂直于角平分线的垂线段构建雨伞模型

典例2（2021秋•昭阳区期末）如图，4D为△N2C的角平分线.

（1）如图1,若CE_L/D于点凡交N8于点£,48=8,AC=5.贝U3E=.

(2)如图2,若NC=2/B,点、E在48上,S.AE=AC,AB=a,AC=b,求CD的长；(用含a、6的

式子表示)

(3)如图3,8G_L/D,点G在的延长线上，连接CG,若A/CG的面积是7,求△NBC的面积.

【思路引领】(1)利用ASA证明丝得出AE=AC=5,再利用BE=AB-AE即可求得答案；

(2)利用S/S证明△NED也△NCD,得出NZED=NC,ED=CD,由题意可得出BE=AB-AE=a-b,

再利用等角对等边证得。E=8£,即可得出答案；

(3)延长/C、BG交于H,先证明A/BG丝△///<?(ASA),得出：BG=GH,S"BG=S“HG,利用等

底等高的两个三角形面积相等可得SACEG=SACGH,遗SKBG=SACGH=*,即可得出答案.

【解答】解：(1)平分/B/C,

NEAF=ZCAF,

'：CE±AD,

：.ZAFE=ZAFC=90a,

AEAF=ACAF

在尸和△/CF中，lAF=AF

/AFE=/.AFC

：.^AEF^^ACF(ASA),

：.AE=AC=5,

'：AB=S,

:.BE=AB-AE=8-5=3；

故答案为：3.

(2)平分/R4C,

ZEAD=ZCAD,

AE=AC

在AAED和△"£)中，卜E4D=ACAD,

.AD=AD

AAAED^/\ACD(SAS),

：.ZAED=ZC,ED=CD,

*：AE=AC,AB=a,AC=b,

.\BE=AB-AE=a-b,

在△BDE中，NAED=NB+/BDE,

：.ZC=ZB+ZBDEf

,:/C=2/B,

：./B=/BDE,

:.DE=BE=a-b,

.\CD=a-b；

(3)如图，延长ZC、BG交于H,

9：AD平分NBAC,

：./BAG=/HAG,

■:BGLAD,

：・/AGB=/AGH=90°,

ZBAG=乙HAG

在△/5G和中，\AG=AG

JLAGB=2LAGH

・•・△ABG/LAHG(ASA),

:♦BG=GH,S/^ABG=S/\AHG9

设SACBG=SACGH=X,

•:S"CG=7,

S/\AGH=S"CG+S/\CGH=1，

S/xABG=S"HG=7+x,

.♦S/^ABH=:2(7+X)■—14H-2x»

'.S^ABC=S^ABH-〈S&CBG+S&CGH)=14+2X-(x+x)=14.

【总结提升】本题考查了角平分线定义，三角形面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性

质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键.

针对训练

1.如图,5。是N4BC的平分线,4尸_15尸于P,连接PC,若△48。的面积为5cm2,则△心C的面积为()

A.2cm2B.2.5cm2C.3cm2D.不能确定

【思路引领】延长4月交3C于点。，证明会△£＞尸5(ASA)得到/尸=3尸，根据三角形中线的性

质即可求解.

【解答】解：延长/尸交8C于点。，

・.・5尸是N/5C的平分线，AP上BP,

：.ZABP=ZDBPfZAPB=ZDPB=90°,

/-ABP=乙DBP

在与△。必中，［BP=BP，

zAPB=Z-DPB

•••△APBmADPB(4&4),

:・AP=DP,

・11

••S/\BDP—~^S^,ABDfSACDP='^S/\ADCf

111?

S/\PBC=SABDP^S4CDP=2s△CZX4+心ABDA=2s△48C=2.5(cm1).

故选：B.

【总结提升】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，正确作出辅助线构造全等

三角形是解题的关键.

2.（2022•青秀区校级三模）如图：。为△N3C内一点，CZ（平分//C8,BDLCD,ZA=ZABD,若BD

=1,BC=3,则/C的长为（）

A.5B.4C.3D.2

【思路引领】延长AD交/C于E,如图，利用CD平分N/C3,ADLCD先判断△BCE为等腰三角形得

到DE=AD=1,CE=CB=3,再证明E/=E8=2,然后计算4E+CE即可.

【解答】解：延长AD交NC于E,如图，

平分//C5,BDVCD,

△BCE为等腰三角形，

：.DE=BD=l,CE=CB=3,

'：/A=/ABD,

：.EA=EB=2,

：.AC=AE+CE=2+3=5.

故选：A.

【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判

定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.

3.（2021•越秀区模拟）如图所示，M是△48C的边2c的中点，AN平分NBAC,BNLAN于氤N,且48

=8,MN=3,则NC的长是（）

A.12B.14C.16D.18

【思路引领】延长8N交NC于。，证明△ZA®四根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计

算即可.

【解答】解：延长交NC于。，

在AANB和△/ND中，

《NAB=ANAD

{AN=AN,

IKANB=乙AND=90°

44NB冬LAND,

：.AD=AB=S,BN=ND,

•:M是44BC的边3C的中点，

：.DC=2MN=6,

：.AC=AD+CD=14,

故选:B.

【总结提升】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

4.(2022秋•安溪县期中)［问题情境］

利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1,OP平货/MON.点A为OM上一点,过点/作

ACVOP,垂足为C,延长NC交ON于点8,易证则NC=8C.其分析过程如下：

在△/OC和△BOC中，

OP平分NMONn/A0C=ZBOC

OC=OC

AC±OP^ZOCA=ZOCB=90°

二△AOC咨ABOC()

在括号内填写全等判定方法字母简称

=4C=BC()

在括号内填写理由依据

［问题探究］

如图2,ZUBC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,CD平分/4CB,BELCD,垂足E在。的延长线上.证

明：CD=2BE-,

［拓展延伸］

1

如图3,在△NB