综合与实践（含答案）-2025年陕西中考数学复习题型专练

专题五综合与实践

题型1几何图形等分问题探究

类型1等分三角形面积

类型解读

等

分

三过顶点

角

形DF等分AABC的面积

面

积

问不过顶点

题

I_.

1【原创】⑴如图1,过4ABC的顶点A作一条直线，等分这个三角形的面积,

并说明理由.

(2)如图2,若D为AABC边AC上任意一点，过点D作一条直线，等分这个三角形

的面积，并说明理由.

R

图2

方法归纳

过三角形上任意一点等分该图形面积的两个关键步骤

⑴过哪7点就以哪一点为顶点构造三角形；

⑵构造三角形的过程中通过构造干行线的方式，借助“同底等圆”进行面积转化.

类型2等分四边形面积

等分四边形面积问题

规则四边形

不规则四边形

(平行四边形，菱形,

(梯形，一般四边形)

矩形，正方形)

取上、下底中点…不规则

对角线AC,/加交于点。所成线段的中点一梯形一-一般四边形一连对角线，平行转化

四边形

连接BD,过点A作AE〃BD,

正尸分别为反；的中点,为万尸的中点

4),3取CE的中点F,连接DF

过点。的直线平分四过点G的直线平分四DF平分四边形

边形ABCD的面积边形ABCD的面积ABCD的面积

2【原创好题】如图,M为平行四边形ABCD内任意一点，过点M作一条直线,

将平行四边形ABCD的面积分成相等的两部分,并说明理由.

解题指南

左“八〃4((1)连接对角线AC,BD,找出平行四边形ABCD的中心点°

作半分线〈

1(2)连接M0,构造直线M0与AD交于点E,与BC交于点F

、工日日、守产f(1)证明AOED与^OFB全等

证明过程\

1(2)证明四边形ABFE的面积与4ABD的面积相等

AD

R

,变式设问

1.问题探究

(1)请在图1中作出两条直线,使它们将圆的面积四等分.

(2)如图2,M是正方形ABCD内一定点,请在图2中作出两条直线(要求其中一条

直线必须过点M),使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.

问题解决

(3)如图3,在四边形ABCD中,AB〃CD,AB+CD=BC,P是AD的中点，如果

AB=a,CD=b，且b>a,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形

ABCD的面积分成相等的两部分?若存在，求出BQ的长;若不存在,请说明理由.

图3

3如图，在四边形ABCD中,AB与CD不平行,SAADC>SAABC,过点A能否作出

四边形ABCD的面积等分线?若能，请画出面积等分线，并给出证明;若不能，请说明

理由.

♦解题指南第一步，连接AC,将四边形ABCD看作两个三角形的组合.

第二步，将四边形转换为三角形，进行面积分割,具体操作步骤如下：

①过点B作AC的平行线，与DC的延长线交于点E,连接AE,根据“同底等高”可以

得至!JSAABC=SAAEC;②等面积转换:S四边形ABCD=S^ACD+SAABC=SAACD+SAAEC=SAAED.

第三步，将四边形ABCD的面积转化为△AED的面积之后,寻找中点平分即可.

A

B,

,变式设问

2.【原创好题】如图，若P为四边形ABCD边AD上的任意一点(不与点A,D重合),

过点P作一条直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分,并说明理由.

方法归纳

以特殊四边形为背景的面积平分问题的三点注意事项

(1)平分面积本质就是抓住图形的“中心对称性”；

(2)过任意一点平分特殊四边形面积时，只需找出该四边形的对称中心;

(3)连接任意点与对称中心的直线则平分特殊四边形，其证明思路就是运用全等进行等面

积转换.

类型3面积、周长等分问题

4【原创】如图,△ABC的面积为16,周长为20,sinB=|,能否在AB上找一点

E,在BC上找一点F,使得线段EF既平分△ABC的面积，又平分^ABC的周长?若

存在，请求出线段BF的长;若不存在,请说明理由.

*卜5(2024.交大附中模拟)【问题引出】

⑴如图1,在4ABC中,AB=BC=5,AC=8,若D为AC边上一点,BD平分△ABC的

面积，则BD的长为.

【问题延伸】

(2)如图2,在4ABC中,NABC=9(r,AB=BC=4,点D在BC边上，且BD=1,若P为

AC边上一点,DP平分△ABC的面积，求AP的长.

ACAc

图1图2

【问题拓展】

(3)如图3,四边形OABC在平面直角坐标系中，点A,B在第一象限，点C在x轴上,

已知NAOC=60o,NOAB=150o.NABC=12()o.OA=2,OC=10.若P为0C边上一点.

且BP平分四边形OABC的面积，求点P的坐标.

图3

I变式设问

(2024.铁一中模拟节选)拓展应用:如图,某公园的一块空地由三条道路围成，即线

段AB,BC,念.已知AB=160m,BC=120m,NABC=90。,念的圆心在AB边上，现规

划在空地上种植草坪，并从京的中点P修一条直路PM(点M在AB上).是否存在

PM,使PM平分该空地的面积?若存在，求出此时AM的长;若不存在,请说明理由.

P

AC

R

方法归纳

等分周长、面积问题的解题思路与步骤

整体思路:先假设，再计算,后验证，若方程有解，则成立;若方程无解，则不成立.

(1)借助平分周长，设出未知数X,用含有X的式子表示出“半周长”；

(2)借助平分面积，用含有x的式子表示出“半面积”图形的面积关系式，此时一定要注意

“高”的表示，可借助三角函数、相似三角形等知识进行代数式表示；

(3)构造方程求解即可.

题型2借助函数思想解决几何问题

类型1与线段相关问题

类型解读函数思想解决几何问题.

第一步:利用动点引入参数.

第二步:用参数表示相关线段长度.

第三步:利用几何方法构建代数关系(勾股定理、相似、三角函数)，表示目标线段.

第四步:利用函数性质求最值(注意参数的取值范围)

酹1【原创】如图，在平面直角坐标中，点A(6,0),以0A为边作四边形

OABC,AB=BC,在边0A上有一点M,且点M到四边形OABC的四个顶点距离相

等.设AB=m,四边形OABC的周长为n,请写出n与m之间的函数关系式,并探究n

是否存在最大值？

解题指南1.连接MC,MB,引出“辅助圆”.

2.连接AC与BM交于点D,并过点M作MNLAB,借助圆的相关性质及相似三角

形找出DM与m的关系.

3.运用0C与DM的关系求出m与n的关系式，并借助二次函数求最值.

OMA

,变式设问

如图,在平面直角坐标系中，已知A(0,4),B(l,0),C(4,0),D为线段BC上的动点，以AD

为边向右侧作正方形ADEF,连接CF,交DE于点求，求CP的最大值.

类型2与面积相关问题

酸2(2024.新城区期中节选)某公园内有一块梯形空地ABCD,如图所示,现计划

在该空地中种植花草，已知AD〃:BC,点E,F,P分别在边AB,CD,BC上，点A到BC

的距离为20m,AD=15m,NABC=45o,NDCB=75o,PF=PC,EP，BC.根据设计要求,

需要在AEFP区域内种植120元/n?的花卉，其余区域内种植草坪，为提高花卉区域

的观赏范围，需将△EFP的面积设计得尽可能大.试问△EFP的面积是否存在最大

值?若存在，求此时种植花卉的总费用;若不存在，请说明理由.(参考数据:tan75飞4)

解题指南⑴过点A作AM±BC于点M,过点D作DNLBC于点N,设BP=x.

(2)说明NEPF=60。,过点E作EGLPF于点6,由4EBP与AEPF的特殊性质说明

EP与PF的数量关系.

(3)借助三角形面积公式用含有x的式子表示出△EFP的面积，最后由二次函数的

性质可得最值.

I变式设问

问题解决

某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图，现规划在河畔的一处滩地上建

一个五边形河畔公园ABCDE.按设计要求,要在五边形河畔公园ABCDE内挖一

个四边形人工湖OPMN,使点O,P,M,N分别在边BC,CD,AE,AB上,且满足

BO=2AN=2CP,AM=OC.已知五边形ABCDE中,NA=NB=NC=90o,AB=800

米,BC=1200米,CD=600米,AE=900米.为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地

需要，想让人工湖面积尽可能小，请问是否存在符合设计要求的面积最小的四边形

人工湖OPMN?若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离;

若不存在,请说明理由.

3如图,某工厂有一块形如四边形ABCD的铁皮，其中NA=NB=90o,AD=8

dm,AB=20dm,BC=24dm.为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮BEFG(阴

影部分)备用，点E,F,G分别在AB,CD,BC上.设矩形铁皮的边FG=x(dm),矩形

BEFG的面积为S,求出S与x之间的函数关系式，并求矩形BEFG面积的最大值.

♦解题指南⑴过点D作DHLBC,与EF交于点M用含x的式子表示出DM的

长度.

(2)利用△DMF与△DHC相似，找出EF与x之间的函数关系式.

(3)利用矩形面积公式列出S与x之间的二次函数关系式，并求最值.

।变式设问

王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子;另一块是上底

为30cm,下底为120cm,高为60cm的直角梯形板子(如图1).王师傅想将这两块板

子裁成两块全等的矩形板材.他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分

别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE（如图2）.由于

受材料纹理的限制,要求裁出的矩形要以B为一个顶点.

⑴求FC的长.

（2）利用图2求出当矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（单位:cm）为多少时,

矩形的面积y（单位:cn?）最大，最大面积是多少？

（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长.

图1图2

方法归纳

内接矩形求面积问题的核心思路口诀

遇见平行想相似，

相似比例要运用，

对应边高也成比，

函数关系来构造，

最值增减性来套.

题型3构造辅助圆解决实际问题

类型1探究特殊角存在问题

1【原创】已知线段AB=a,根据要求作点M的轨迹，使得NAMB满足相对应

的角.

(1)当NAMB=30。时,找出点M的弧形轨迹，并求出点M轨迹所对应的圆的半径.

(2)当NAMB=45。时,找出点M的弧形轨迹，并求出点M轨迹所对应的圆的半径.

解题指南(1)任意作出一个NAMB,使得NAMB满足对应的度数.

(2)作4AMB的外接圆,AMB'即为点M满足的轨迹.

(3)确定其圆心为0,连接0A,0B,结合△0AB的形状特征，进行半径计算.

।变式设问

如图,某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD,其宽AB=20米，长BC=24米.为了

能够监控到礼堂的内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M

进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳,

还需要从点M出发的观测角NAMB=45。.请你通过所学知识进行分析，在墙面CD

区域内是否存在满足要求的点M?若存在，画出点M的示意图,并求出MC的长度;

若不存在,请说明理由.

方法归纳

探究特殊角顶点轨迹的步骤

(D找准特殊角所对的边；

(2)以此边为突破口,通过构造特殊三角形(如等腰直角三角形，等边三角形)；

(3)作三角形的外接圆，或者通过以特殊三角形中特殊角的顶点为圆心，三角形的腰长为

半径构造圆；

(4)利用圆周角定理及其推论找出特殊角，进而根据所作圆推断出特殊角顶点的轨迹弧即

可.

类型2利用圆的定义构造辅助圆求距离最值问题

类型解读

如图,A为圆外一点,在圆上找一点P,使得PA最小.

圆的定义:平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合.

构造思路:若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧.

2【原创好题】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,E,F分别是

AC和BD上的动点，且EF=6,P为EF的中点.已知AC=16,BD=12,连接BP,CP,求

△BPC面积的最大值与最小值.

解题指南探究△BPC面积的最值时，先找出点P的运动轨迹，具体操作步骤如

下：

(1)在菱形ABCD中,对角线AC,BD的关系为垂直，即ZAOB=90°.

(2)在4EOF中,P为EF的中点，且EF的长度一定，连接0P,则0PqEF,由于点P

随着EF的运动而运动，且点P到点0的距离始终为定值，则点P的轨迹为以0为

圆心，以3为半径的圆.

(3)探究△BPC面积的最值时，只需考虑点P所在的圆上的点到BC的距离的最值

即可.

I变式设问

如图,在矩形ABCD中,AD=2遮,AB=6,点E,F分别在边BC,CD上,且线段EF=2,G

是EF的中点，连接BG并延长交CD于点H,过点G作CD的平行线交BD于点I,

连接HI,BljABHI的面积是否存在最小值?若存在，求出△BHI面积的最小值;若不

存在,请说明理由.

方法归纳

构造辅助圆求距离最值问题的思路与方法

(1)利用圆的定义构造辅助圆思路:若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则该动点

轨迹是圆或圆弧；

(2)点、圆距离最值:如图1,Q是OO上的一个动点，则圆外一点P到圆上的最小距离是

PQi,最大距离是PQ2,其中P,O,QI,Q2四点共线；

(3)线、圆距离最值:如图2,P为OO上的任意一点，直线I为。O外一条直线，过点P作

PQ±1于点Q,则PQ的最大值为PiQ,PQ的最小值为P2Q.

图1图2

类型3利用“定边定角”探究几何最值问题

类型解读解题原理:定边所对角为定角等价于同弧（等弧）所对圆周角相等.

AB为定值,NP为定角，则点P的轨迹是一个圆弧.

第一步，找三角形外接圆，确定圆心位置.

常见特殊角找圆心:比如30°,45°,60°,120°.

第二步，确定最值类型，以圆心为参照,解决最值相关问题.

方向一:过圆心作垂直（面积相关）.

方向二:连圆心（线段相关）.

3【原创好题】如图，在△ABC中，顶角NA=a,BC=a^>UABC的最大面积为

多少？

二解题指南第一步，作△ABC的外接圆,并记圆心为点O;

第二步，过圆心O作BC的垂线，该垂线与京前交于点A：则A'B=A'C;

第三步，过点A作AELBC,交BC于点E,连接OA,根据点到直线的距离最短可以

得至UA'D=OA'+OD=OA+OD>AE;

第四步，结合圆心角与圆周角的关系可

知,NBOC=2NBAC=2NBAC,NBOC=2NBOD=2NCOD;

第五步，根据垂径定理可知,BD=CD与1BC=1*a,结合直角三角形的边角关系可知，在

RtABOD中,OD=T-n7vn=n-Z----,0B=―—>r>=o~^——；

'tanzBOD2tana"smzyBpOrD2sina,

第六步，根据三角形面积公式计算.

R

4【原创好题】⑴如图1,在RtAABC中,NC=9(r,AB=a，则RtAABC的最大

周长为多少？

(2)如图2,在4ABC中,NA=2a,BC=a4lUABC的最大周长为多少？

如图，在△ABC中,NBAC=6(r,BC边上的中线AD=6,求△ABC面积的最大

值.

解题指南⑴延长AD至点T,使得AD=DT,又BD=CD,证得四边形ABTC是平

行四边形.

(2)由AC//BT,ZBAC=60°,MZABT=120°.

⑶由AT=12,NABT=120。,即AT为定长,NABT为定值，得点B的轨迹为圆.

(4)利用定边定角求最值.

如图，在等边4ABC中,AB=6,M,N分别为BC,AC上的动点，且BM=CN,连接AM

和BN交于点P,求出△APB面积的最大值，并说明理由.

BMC.

16园林设计部门准备在奥体广场用鲜花拼成一个平行四边形的花卉展览场

地供市民观赏.如图，在平行四边形ABCD中,E为AD边上一点，且

DE=3AE,ZBEC=60°,AB=6米.为了种植更多的鲜花，要求四边形ABCD的面积尽

可能大.请问四边形ABCD的面积是否存在最大值?如果存在，求出四边形ABCD

面积的最大值;如果不存在,请说明理由.

变式设问

（2024.西安莲湖区模拟）如图，有一个矩形水池ABCD,BC=30m,AB=20m.设计者

想把水池分为四部分，分别是^AED,ACED,ABEC,△AEB,G为BC上的任意一

点，点E在AG上，且BF±AG,BF=2EF,^ACED区域养鱼，其他区域养虾.已知养

鱼的费用为1000元/nF养虾的费用为800元/n?,请问花费的最少费用是多少？

R

类型4利用“定高定角”探究几何最值问题

类型解读

在解决某类面积最值问题时，通过旋转、平移等变换将问题转换为某三角形面积

最小，可以发现三角形中:有定角和定角所对边上的高为定值时,可考虑引入圆，找

三角形的外接圆，利用半径+边心距的距离与高之间的关系可求出半径最小，如

图,NBAC=45。,由AO+OENAD,得R+^NAD,可求得半径最小，通过三角形三边关

系可求底边最小.

解决问题:求边最小，面积最小，周长最小.

7【原创好题】如图，在△ABC中,人口，：8。/：6人©=01人口=11,探究4ABC面积

的最小值.

解题指南(1)SAABC=^BCAD,其中AD为定值，要探究^ABC面积的最小值，只

需探究BC的最小值.

(2)作4ABC的外接圆0,连接0AQBQC,过点0作0ELBC,根据圆周角与圆心

11

角的关系可以得至UNB0E=NC0E昔NB0C/BAC甘NB0C.

(3)设圆0的半径为R,则在RtABOE中,OE=R.cosa,BE=Rsina,此时

BC=2BE=2R-sina.

(4)根据垂线段最短可知QA+OENAD,进而有R+Rcos妇h,解得R>^J?—.

ICzL-/JLA*

(5)根据半径R的最小值，得出BC的最小值，最后计算△ABC面积的最小值即可.

f卜8（2024.铁一中模拟节选）如图，矩形ABCD是某农业观光园的部分平面示意

图,AB=50,AD=80,AB边上的点E为休息区，且AE=20,三条观光小路EG,EF,FG（小

路宽度不计,F在AD边上,G在BC边上）拟将这个园区分成四个区域，用来种植不

同的蔬菜，根据实际需要,NFEG=60。,并且要求^EFG的面积尽可能小，是否存在

满足条件的△EFG?若存在，求出△EFG的面积的最小值;若不存在,请说明理由.

,变式设问

1.如图，正方形ABCD是绿地公园的一块空地，其边长为100米.公园设计部门为了

给儿童提供更舒适、更安全的活动场地，准备将空地中的四边形BEDF部分作为

儿童活动区，并用围栏挡起来，只留三个出入口，即点D,点E,点F,而且根据实际需

要,要使得NEDF=45。,并将儿童活动区（即四边形BEDF）划分为△DEF和^BEF

两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草.请问是否存在一种设计方

案，使得儿童活动区的面积最大?若存在，请求出儿童活动区面积的最大值;若不存

在,请说明理由.

2.某观光景区准备在景区内设计修建一个全民健身区.如图,△ABC为全民健身区

的大致示意图，并将全民健身区分成^BED,ADFC和四边形AEDF三部分，其中

在^BED和^DFC两区修建室外大型器材健身区，在四边形AEDF区域修建室内

健身休闲区.根据设计要求,NBAC=60。,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上，且

DE=DF,NEDF=120。,四边形AEDF的面积为200百平方米.为了节约修建成本，全

民健身区^ABC的面积是否存在最小值?若存在，请求出^ABC面积的最小值;若

不存在，请说明理由.

类型5探究最大张角问题

类型解族在某动点问题中，且动点在直线上运动时，从动点上观测某定长线段的角

度会发生变化，因此存在角度最大问题，或三角函数值最值问题,可考虑引入圆，利

用当AABP的外接圆与动点所在直线相切时，切点处观测的角度最大，最大张角分

为三类:①平行类;②垂直类一陕西15年25题;③斜交类.

问题解决:角度最大，余弦值最小，正弦值最大.

卜9【原创好题】问题提出

⑴如图1,在。。中，直线1过。O,P1,P2,P3分别为直线1上三点,P2为1与。。的交

点,AB为O0的弦,求证:NAPIB<NAP2B<NAP3B.

问题探究

(2)如图2,若AB是O0中的定弦，直线1是O0的切线，求证:切点P是直线1上满

足NAPB度数最大的唯一点.

解题指南在角度比较过程中，要注意寻找“中间角”当作媒介进行比较.

第⑴问中，以圆周角NAP2B当作媒介进行比较，根据三角形的一个外角等于与它

不相邻的两个内角的和及圆周定理可以得知NAP3B>NAP2B,NAP2B>NAPiB.

第(2)问中,在直线1上任取一点P,然后对比切点P与弦AB所形成的角即可，这一

过程也是利用圆周角作为“中间角”进行比对的.

卜1。问题发现

⑴如图1,点A和点B均在。0上，且NAOB=90。,点P和点Q均在射线AM上，

若NAPB=45。网点P与。0的位置关系是渚NAQB<45。,则点Q与。0

的位置关系是.

问题解决

如图2,在四边形ABCD中,AB=1,AD=2V2,P

是BC边上任意一点.

(2)当NAPD=45。时，求BP的长.

(3)是否存在点P,使得NAPD最大?若存在，请说明理由，并求出BP的长;若不存在,

也请说明理由.

解题指南(1)根据圆周角与圆心角的关系即可判断.

(2)构造斜边为AD的等腰直角三角形AOD,以0为圆心,0A为半径作。0交BC

于点P,P,易知NAPD=NAPD=45。.求出BP和BP的长即可解决问题.

(3)作线段AD的垂直平分线，交AD于点E,交BC于点F,点0在EF上，以0A的

长为半径作。0,当。。与BC相切于点P时,NAPD最大，求出此时BP的值即可.

।变式设问

1.如图，在四边形ABCD中,AD//BC,CD±BC,NABC=6(T,AD=8,BC=12.在四边形

ABCD的边AD上,是否存在一点P,使得cosZBPC的值最小?若存在，求出此时

cosZBPC的值;若不存在,请说明理由.

B1

2.如图，这是矩形足球场的示意图，其中宽AB=66米，球门EF=8米，且EB二FA.P,Q

分别为BC,AD上的点,BP=7米,NBPQ=135。.一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ

方向跑动,球员在PQ上的何处才能使射门角度(NEMF)最大?求出此时PM的长.

A9__,D

F

EM

BC

方法归纳

探究几何最值问题的方法

探究几何最值问题时，通常可采用比较的方式,即说明一个几何量是最大或者是最小时,

可随机找出一个与其相关的几何量进行对比.其方式如下：

对比所寻比参照角大

纪…“找参般-------4最大角

所探究目标角--------»

最小角

比参照角小

类型6利用切线性质探究最值问题

11【原创好题】如图,在矩形EBCF中，点A在边EF上运动,NBAC=a,BC=a,

则当点A运动到何处时，矩形EBCF的面积最大?并求出其最大面积.

解题指南（1）如图1,过点A作人口，：8。并作出4ABC的外接圆。0,根据

NBAC=a,BC=a，由“定边对定角”可知，点A的轨迹为BAC.

图1图2

(2)如图2,要求矩形EBCF面积的最大值，本质是探究BE或CF的最大值，当A为

丽C的中点(即EF的中点)时,AD最大,即矩形EBCF的宽最大，此时矩形EBCF

的面积最大.

变式设问

【原创好题】如图，有一片平面示意图为矩形ABCD的试验田，点N在AD上，点

M在CD上，连接MN,NB,MBAABN,ADMN,ABMC,ABMN为该试验田所划分

的四个区域.经过实地考察得知AB=3NA=60m,NNMB=45。.请你根据以上信息分

析试验田所在矩形ABCD是否存在最大面积.若存在，求出其最大值;若不存在，请

说明理由.

D

N

A

方法归纳

借助相切情况探究面积或者线段最值的本质要抓住的几个“题眼”

(1)当探究线段的最值时，观察这条线段的顶点是否为某个角度数一定的角的顶点，此时

可以借助该点的运动轨迹(多为圆弧)抓住相切条件.

(2)探究面积最值时，无论是四边形还是三角形，都要抓住“定边对定角”的条件，找出弧线

形运动轨迹,要使面积最大，那么对应的图形的高一定最大,而借助圆与直线的位置关系，只有

相切满足题目条件.

题型4与图形变换结合的问题探究

类型1“将军饮马”求最值——单动点问题

1(2024.西工大模拟节选)如图，在RtAABC中,NABC=9(T,AB=6,BC=8,D是

边AC的中点.以点A为圆心,2为半径在^ABC内部画弧，若P是上述弧上的动

点,Q是边BC上的动点，求PQ+QD的最小值.

解题指南(1)作点D关于BC的对称点D,将问题转化为点D到圆弧上的最短

距离.

(2)连接AD,AD与圆弧的交点P即为所找点，以AD为斜边构造直角^AD'E.

(3)借助三角形的相似关系与勾股定理计算PQ+QD的最小值.

A

BO

,变式设问

如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足SAPAB=|S矩形ABCD,

则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为多少?

方法归纳

单动点的“将军饮马”问题模型解读

模型分析:如图1,点A,点B为直线1同侧的两个定点,在直线1上找一点P,使得PA+PB

最小.

B

__4__________y：I

Z尔

图1图2

思路:如图2,点P满足PA+PB最小.

类型2“将军饮马”求最值——双动点问题

2如图,NA0B=6(T,P是NAOB内一定点，且0P=2.若M,N分别是射线OA,OB

上异于点0的动点，则△PMN周长的最小值是多少？

解题指南(1)作出点P关于OAQB的对称点F,E,连接EN,MF,根据对称性可知

PN=EN,PM=MF;

(2)CAPMN=PN+PM+MN=EN+MF+MN>EF;

(3)将4PMN的周长转为线段长后，结合对称性可

知,OP=OE=OF,NEOF=2NAOB=12。。,最后借助含有特殊角的等腰三角形性质计

算结果即可.

N久

O'MA

3(2024.西工大附中模拟节选)如图，矩形ABCD是某在建的公园示意图，其中

AB=200V3m,BC=400m.根据实际情况，需要在边DC的中点E处开一个东门，同

时根据设计要求，要在以点A为圆心，在公园内以10m为半径的圆弧上选一处点P

开一个西北门，还要在边BC上选一处点Q,在以Q为圆心，在公园内以10m为半

径的半圆的三等分点的M,N处开两个南门.线段PM,NE是要修的两条道路.为了

节约成本，希望PM+NE最小.试求PM+NE最小值及此时BQ的长.

解题指南(1)由M,N为半圆的三等分点可知MN的距离不变，将点E向左平移

MN长的单位得到E,并连接EM,进而得EN=EM,从而将问题转化为PM+E'M.

(2)作点A关于直线MN的对称点A；连接AM,由对称性可将PM+E'M转化为

AM+ME-AP,由两点之间线段最短，得A'M+ME,-AP=A,E,-AP.

(3)以AE为斜边构造直角三角形AEL,最后运用勾股定理计算出AE即可.

,变式设问

1.如图,NMON=30。,点A在射线OM上,OA=2,点D在射线ON±,OD=4,C是射线

OM上任意一点,B是射线ON上任意一点，则AB+BC+CD的最短长度为多少?

M

2.(2024.师大附中期中节选)如图，某社区广场有一块正方形花园ABCD,其中

AB=60m,E是CD的中点，现要在花园内规划几条小道,经社区广泛收集居民建议,

设计方案,修建四条小道AM,MN,NE,EA,其中M,N均在BC上，且N在M的右

边,MN=20m,要使得修建的小道AM+MN+NE+EA的值最小，试求此时CN的长和

AM+MN+NE+EA的最小值.

方法归纳

双动点的“将军饮马”问题模型解读

(1)模型分析:如图1,P为NAOB内部一定点，在NAOB的边OA上找一点E,边OB上找

一点F,使得△PEF的周长最小.

P,

图2

思路:如图2,(CAPEF)min=PlP2.

(2)模型分析:如图3,P,Q为NAOB内部两个定点，在NAOB的边0A上找一点E,边OB

上找一点F,使得四边形PEFQ的周长最小.

思路:如图4,(C四边形PEFQ)min=P'Q'+PQ.

(3)已知A,B两点,MN长为定值,求确定M,N位置使得AM+MN+NB值最小?

思路:考虑MN长为定值,故只要AM+BN的值最小即可.将AM平移使M,N重

合,AM=AN,将AM+BN转化为A'N+NB.

构造点A，关于MN的对称点A",连接A”B,可依次确定N,M位置.

类型3“两动一定”问题的探究

如图，在正方形ABCD中,AB=4,E是BC边的中点,F是CD边上的一点，且

DF=1.若M,N分别是线段AD,AE上的动点，则MN+MF的最小值为多少？

♦解题指南(1)作点F关于AD的对称点G,过点G作GNLAE,且GN与AD交

于点M.

(2)借助△ABEs/XMDFsaMNA,列出对应比例关系式，求出MN与MG即可.

I变式设问

(2024.西工大附中模拟节选)如图,四边形ABCD是一块板材，其中

AD/7BC,ZA=90°,AD=20cm,BC=40cm,AB=60cm,工人师傅想用这块板材裁剪

出一块四边形OMBN的部件，使得。是CD的中点，点M,N分别在AB,BC上，并

要求四边形OMBN部件的面积是四边形ABCD板材面积的去求裁剪长度

(OM+ON)的最小值.

方法归纳

根据对称变换探究点线最值模型解读

模型分析：如图1,M为/AOB内一定点,P为OA上任意一点,Q为OB上任意一点，找出

点P与点Q的位置，使得MP+PQ最小.

图1

思路:如图2,(MP+PQ)min=M'Q.

类型4“胡不归”模型求线段和最值问题

5【原创好题】如图,A为射线1的顶点,B为射线1上的一个动点,P为射线1

外一定点(位置固定).

(1)当PB+|AB最小时，确定点B的位置；

⑵当PB+yAB最小时，确定点B的位置；

(3)当PB+yAB最小时，确定点B的位置.

解题指南形式:PA+kPB的形式,0<k<l时,在射线外侧构造定角，如k=sina,或

借助特殊三角形的三边关系;当k>l时，提k后，再按上述步骤操作，将含有系数的线

段和最值计算问题转化为点到直线最值问题.

关键突破点当对应动点所在射线旋转30。，乎对应动点所在射线旋转45。,苧对应动

点所在射线旋转60°.

如图,A,B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B

到AC的距离为360km.今计划在铁路线AC上修一个中转站M,再在BM间修一

条笔直的公路.如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使

通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，求此时AM的长.

AC

方法归纳

“胡不归，，模型求线段的和最值的两点注意事项

探究“AB+k・CD(O<k<l)”这种类型的最值问题时，注意:①两条线段和的最值问题本质上

都是探究在“同一直线”上的问题；

②将系数k转化为1,这里的系数k就是对应变换射线的旋转角a的正弦值，即k=sina.

类型5利用旋转解决线段和问题——“费马点”探究

6【改编】如图,在锐角△ABC的内部找一点M,连接MA,MB,MC,并使得

MA+MB+MC最小.

解题指南(1)WAABM绕点B逆时针旋转60。得到△ABN,进而得△BMN的

形状为等边三角形；

(2)由旋转的性质可知△ABM手△ArBN,即AM=A'N,由此可得

MA+MB+MC=A'N+MN+MC>A'C;

(3)当点M,N在A'C上时，满足MA+MB+MC最小，此时在^ABC内的点M满足

ZAMB=ZBMC=ZAMC=120°.

A

M

B

变式设问

【原创好题】如图，某商业区的平面示意图为矩形ABCD,AD=a,AB=b.其中点A,D

为该商业区的两个污水排出口，生活用水供给口Q在BC上,市政部门为了合理控

制新建商业区的用水情况,拟在该商业区ABCD内安装一个用水总阀门P,且要求

总阀门P到供给口Q和两个出水口A,D所铺设的主管道PQ,PA,PD总和最短.请

你根据要求在图中找出点P的位置，并计算出所铺设管道PQ+PA+PD的最短长度

方法归纳

寻找“费马点”求最值思路

将所求最值线段所在三角形向图形外进行旋转

一将共点三线段转化为顺次连接形式

一以旋转所成等边三角形寻找费马点

一通过全等三角形对应边转化线段等量关系

一确定位置并计算

类型6利用图形间的旋转变换求最值问题

7【原创好题】(1)如图1,0为直线1外一定点,A为直线1上的一动点，连接

0A,将0A绕点0逆时针旋转至0B,其旋转角NA0B为定角，则点B的运动轨迹

如何?

(2)如图2,点A在O0上运动，将AB绕点A顺时针旋转到AD,其旋转角ZBAD为

定角，请说明点D的运动轨迹.

图1

C卜8(2024.西工大附中模拟节选)如图,四边形ABCD是某市在建的休闲广场，按

照设计要求，休闲广场要利用点B,D的两座凉亭,需建在BD的两边，且满足

sinNABC=g,sinNADC=|,BcWAB,经测量两座凉亭B,D之间的距离为500m,若

计划在建成的休闲广场内的△ACD区域内种植花卉,问能否使得种植花卉的面积

最大?若能,求出种植花卉的最大面积;若不能，请说明理由.

解题指南(1)由BC=^AB,这一条件为突破口淅△ABD绕点B进行旋转，并在

旋转过程中使得^ABD按照比例缩小，得到△BCE,即构造△BCE^ABAD.

(2)结合相似三角形的性质得到BE的长度，再由

43

sinNABC=sinNDBE=5，sinNADC=sinNBDE=Q,解出△BDE的边长DE.

(3)由于sinZABC与sinZADC的关系可知二者互余，再结合旋转性质可

知:NDCE=180°-(NBAD+NBCD)=90°.

(4)借助DE为固定边,NDCE为固定角，求出△DCE的面积最大值.

11

(5)过点A作AGLCD,最后由SAADC=]CD.AG甘ADcinNADCCD,转化为△DCE

的面积最大关系计算即可.

变式设问

1.【一题多解】如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为AB

边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小

值为.

2.(2024.高新一中开学考节选)如图，这是某公园的一个面积为2567rm2的圆形施工

区示意图，公园开发部门计划在该施工地内设计一个四边形区域ABCD作为儿童

户外拓展中心.按设计要求,A、B、C、D四个点都在圆上护栏AB=CD=16m,为

了让孩子们有更好的活动体验,四边形ABCD的面积越大越好,请求出四边形

ABCD面积的最大值.

3.(1)如图1,将两个含有30。角的直角三角板的60。角的顶点重合(其中

NBAC=NBA'C'=30°,NACB=NA'C'B=90。),绕点B旋转△CA'B,当旋转至CC'=4

时，求AA，的长.

(2)如图2,0为等腰RtAABC的斜边AB的中点,AC=BC=5夜,OE=2,连接BE,作

RtABEF,其中NBEF=90o,tan/EBF=；,连接AF,求四边形ACBF的面积的最大值.

4

图2

方法归纳

利用图形间的旋转变换求最值问题模型总结

(I)如图1.△APQ的形状固定，且A为定点，当点P在直线BC上运动时，点Q的运动轨迹

(2)如图3,A为定点，点P在圆O上运动,AP=AQ,且APLAQ,则点Q的运动轨迹为如图4

所示的。M;

(3)如图5,A为定点，点P在圆O上运动,AQ与AP之间的比值为定值，则点Q的运动轨迹

为如图6所示的OM.

类型7利用构造法解决几何应用问题

类型解读有一类线段和求最值问题，主要特征在两个动点（在不同线段上动），且运

动过程距离相等或距离成倍数关系，在此类问题中，可利用构造全等或者相似三角

形，进行线段的转移及放缩，将两条目标线段进行拼接，从而利用两点之间线段最

短进行求值.

题型一:构造全等

?如图，在等腰直角△ABC中,/©=90。八©=：6©=鱼足》为边人。：6（2上的两个

动点，且CF=AE,连接BE,AF,则BE+AF的最小值为.

1.如图，在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的动点，且BE=CF,

连接BF,DE,则BF+DE的最小值为.

2.如图，已知等边△ABC的边长为1,AF为高,D,E分别是AC,AF上的两个动点，且

AE=CD,则BD+CE的最小值为_________________.

HF

题型二:构造相似

陋10【一题多解】如图，在正方形ABCD中,M为AD上一点，且需=|,E,F分别

为BC,CD上的动点，且BE=2DF,若AB=4,求ME+2AF的最小值.

变式设问

1.如图，在矩形ABCD中,AB=15,AD=20,E,F分别为边BC,BD上的两动点，且

DF=2BE,则2AE+AF的最小值为

2.如图，在△ABC中,CDLAB于点D,AD=CD=4,E是CD上的一个动点,CE=2BD,

贝ljAE+2BC的最小值为.

C

A

ADR

题型三:图形拼凑

部11（2022.陕西中考节选）如图，现有一块△ABC形状板材,NACB为钝

角,NBAC=45。.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求

NBAP=15o,AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下：

①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D,连接CD;

②作CD的垂直平分线1,与CD交于点E;

③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线1于点P,连接AP,BP,MAABP.

请问,若按上述作法，裁得的^ABP型部件是否符合要求?请证明你的结论.

解题指南（1）将4ACD补充为正方形AFDC,然后连接PF,进而说明^APF为

等边三角形.

（2）借助补充后的图形中所蕴含特殊角度数即可推算NBAP的度数是否满足题意.

।变式设问

某次施工中,工人师傅需要画一个20。的角,但他手里只有一把带刻度的直角尺，工

程监理给出了下面简易的作图方法：

①画线段OB=15cm,再过它的中点C作m±OB;

②利用刻度尺在m上寻找点A,使得OA=15cm,再过点A作1〃OB;

③利用刻度尺过点O作射线，将射线与AC和1的交点分别记为点F、E,调节刻度

尺使FE=acm时（“口”内的数字被污染无法看清），则NEOB=20。；

你认为监理给的方法可行吗?如果可行，请写出“□”内的数字，并说明理由;如果不

可行,请给出可行的方案.

参考答案

题型1几何图形等分问题探究

类型1等分三角形面积

例1解析:⑴如图1,取边上的中点。，连接AD即可.

A

RDC.

图1