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文档简介

动点与平行四边形存在性问题

一、典例解析

例1.12020•浙江湖州】如图,已知在平面直角坐标系无Oy中,抛物线》=-炉+6尤+0(00)的顶点为D,与y轴

的交点为C.过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧),点8在AC的延长线上,连结04,

OB,DA和。A

(1)如图1,当AC〃x轴时,

①已知点A的坐标是(-2,1),求抛物线的解析式;

②若四边形A08D是平行四边形,求证:b2=4c.

(2)如图2,若b=-2,生=3,是否存在这样的点A,使四边形A08D是平行四边形?若存在,求出点A的

AC5

坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解:(1)①:AC〃x轴,点A的坐标是(-2,1),

二点C的坐标是(0,1)

把点A(-2,1),C(0,1)的坐标分别代入抛物线解析式得,

-4-2Z?+c=1b=-2

,解得:

c=lc=1

即抛物线解析式为:产-/-2尤+1

②过点D作DELx轴于点E,交AB于点F,

•/AC//x轴,

JEF=OC=c,

,・,点D的坐标是c+

b1

:.DF=DE-EF=一,

4

V四边形AO3O是平行四边形,

JAD=BO,AD//OB,

:.ZDAF=ZOBC.

*.•ZAFD=ZBCO=90°9

:.XAFDmABCO,

:.DF=O,C.

b2

—=c,即b1=4c.

4

(2)由题意,顶点。的坐标是Gl,c+1),

设点A的坐标是(优,-trr-2m+c),m<0.

过点。作。无轴于点E,交AB于点R

贝!]ZAFD=ZEFC=NBCO.

V四边形是平行四边形,

AD=BO,AD//OB,

:.ZDAF=ZOBC.

:.^AFD^/\BCO(AAS),

:.AF=BC,DF=OC.

过点A作轴于点M,交DE于点N,

・•・△ANbs-7

・ANFNAFBC3

**AM-CM-G4-AC-5

AM=-mfAN=AM-NM=-m-lf

:.~m~2=1,解得:"Z=2.5

—m5

・••点A的纵坐标是c-9<c

4

・••点M的坐标(0,c--)

4

点N的坐标是(-1,c--)

4

59

:.MC=-,DN=-

44

・•・DF=OC=c,

9

JFN=DN-DF=--c

4

9_

*=里得:解得:c=1.5

5CM55

4

51

c——=—

44

故点A的坐标为(-2.5,-),

4

即存在这样的点4使四边形是平行四边形.

例2.12020•辽阳】如图,抛物线y=a/-2底+c(aWO)过点。(0,0)和A(6,0).点3是抛物线的

顶点,点。是x轴下方抛物线上的一点,连接。2,OD.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图②,在(2)的条件下,抛物线的对称轴交x轴于点C,交线段0。于点E,点P是线段上的

动点(点f不与点。和点8重合),连接EF,将沿EF折叠,点8的对应点为点8,△EEB,与△O8E

的重叠部分为△EFG,在坐标平面内是否存在一点",使以点E,F,G,X为顶点的四边形是矩形?若存

【解析】解:⑴把点。(0,0)和A(6,0)代入厂"中,

得到136a-12b+c=0'

/3

解得卜=百,

c=0

二抛物线的解析式为y=最2.2V3X.

(2)当NEF.G=90°时,点H在第一象限,此时G,B',O重合,由题意OF=BE可得/(|,-孥),

3

E(3,-V3),利用平移的性质可得H(一,—

22

7

当/EGQ9。。时'点”在对称轴右侧,由题意吁小可得『2,-2向,利用平移的性质可得以5,

L3

当/以花=90°时,点”在对称轴左侧,点次在对称轴上,由题意可得尸(1,-V3),G(-,

—苧),利用平移的性质,可得-竽).

综上所述,满足条件的点H的坐标为EW)或("-挛)或《,-孥).

222322

例3.12020•黑龙江牡丹江】如图,已知直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点3,线段。4的长是方程

7光—18=0的一个根,.请解答下歹U问题:

2

(1)求点A,5的坐标;

(2)直线EF交九轴负半轴于点石,交y轴正半轴于点尸,交直线于点。.若。是郎的中点,OE=6,

反比例函数>=幺图象的一支经过点C,求左的值;

X

(3)在(2)的条件下,过点C作CD_LOE,垂足为。,点”在直线AB上,点N在直线CD上.坐标平

面内是否存在点P,使以。,M,N,P为顶点的四边形是正方形?若存在,请写出点P的个数,并直

接写出其中两个点尸的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】解:(1)•.•线段的长是方程的一个根,

解得:x=9或-2(舍),而点A在x轴正半轴,

.-.A(9,0),

OB=-OA,

2

(2)OE=6,

:.E(-6,0),

设直线项的表达式为y=将点A和3的坐标代入,

,(1

0=9k+bk=——

得:9,解得:°2,

—=b.9

7b=—

INI2

1Q

二.AB的表达式为:y-——x+—,

22

点C是EF的中点,

.••点C的横坐标为-3,代入中,y=6,

则C(-3,6),

.,反比例函数y=(经过点C,

x

贝1]左=一3><6=—18;

(3)存在点尸,使以D,M,N,P为顶点的四边形是正方形,

如图,共有5种情况,

在四边形。M/2中,

%和点A重合,

,必(9,0),

此时4(9,12);

在四边形。吕2乂中,点3和M重合,

可知M在直线y=尤+3上,

y=x+3

联立:,19-

"-I*

解得:「,

[y=4

,A(1,O),

同理可得:^(9,-12),4(-7,4),月(-15,0).

故存在点尸使以。,M,N,P为顶点的四边形是正方形,

点P的坐标为4(9,12),舄(9,-12),鸟(1,0),乙(-7,4),^(-15,0).

例4.12020•重庆A卷】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线>=/+区+。与直线AB相交于A,B两

点,其中A(—3,—4),B(0,—1).

(1)求该抛物线的函数表达式;

(2)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线〉=%/+4苫+4侬/0),平移后的抛物线与原抛物线

相交于点C,点D为原抛物线对称轴上.的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E

为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

备用图

【答案】见解析.

【解析】解:(1)•••抛物线过4(一3,-4),B(O,-1)

.f9-3/?+c=-4

c=-l

:.b=4

y=+4x—1

(2)4(-1,2*2(1,-3*3(-3,76-2)£4(-3,-4-后)

则平移后的抛物线表达式为:y=x2—5,

联立y=x2-5,y=f+4x-l得:C(-1,-4)

设D(-2,m),

当ABCD为等腰三角形时,存在点E,使以点8,C,D,E为顶点的四边形为菱形,

①当BC=CD时,由对称性知,m=-l,此时E(-1,2).

②当BC=BD时,贝I]BC2=BD2,即10=4+(m+1)2,解得:m=-l+.s/6,或m=-l-#,

由平移得:此时E(-3,-4-76),(-3,-4+6)

③当BD=CD时,4+(m+1)2=1+(m+4)2,解得:m=-2,

此时E(1,-3).

二、刻意练习

Q

1.12020•湖南常德】如图,已知抛物线y=a?过点A(-3,-

(1)求抛物线的解析式;

a

(2)已知直线/过点A,M(0)且与抛物线交于另一点8,与y轴交于点C,求证:MC2=MA-MB-,

2

(3)若点P,D分别是抛物线与直线I上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行

四边形,求所有符合条件的尸点坐标.

【答案】见解析.

【解析】解:(1)把点A(-3,;)代入y=加,

Q

得,一=9〃,

4

,_1

••a-----,

4

抛物线的解析式为X2.

(2)设直线1的解析式为:y=kx+b,

9

-=-3k+bk=--

42

则,解得:<

3

Q=-k+b

24

即直线1的解析式为:y=-l1x+-3

24

当x=0时,y=—,即C(0,—),

44

y=—x2X=1x=-3

,4,解得:V

联立1或<9,

13

V=——x+—

I24

AB(1,-).

4

过点A作A4i_Lx轴于Ai,过8作831,工轴于31,贝ij55i〃OC〃A4i,

.BMCMI

**CA7-AM-3

故MC2=MA^MB.

13

:.D(r,-),

24

整理得:户+2-6=0或5+2,=0,

解得t=-\-币或t=-1+不或£=-2或%=0(舍),

--

P(1A/792+——)或(-1+92-——)或(-2,1).

22

2.【2020•安徽】在数学探究活动中,敏敏进行了如下操作:如图,将四边形ABCD沿过点A的直线折叠,

使得点B落在CD上的点Q处,折痕为AP,再将APCQ,4ADQ分别沿PQ、AQ折叠,此时点C,D落

在AP上的同一点R处,请完成下列探究:

(1)ZPAQ=____________

An

(2)当四边形APCD是平行四边形时,——的值为

QR

【答案】⑴30°;⑵6

【解析】解:

由折叠性质知,/DQR=/AQR,ZCQP=ZPQR

.\ZAQR+ZPQR=90°,

.,.ZB=ZAQP=90°,

由/C=/QRP,ZD=ZQRA,ZQRP+ZQRA=180°

得:ZC+ZD=180°,

;.AD〃BC,

ZDAB=90°,

由/DAQ=/PAQ=NBAR,得:ZPAQ=30°.

(2)若四边形APCD是平行四边形,贝|AD=PC,AP=CD,

由折叠知,DQ=CE=QR,

由(1)知,ZPAB=30°,ZB=90°

所以,AP=CD=^-AB,

3

.".QR=icD=—AB,—=73.

23QR

故答案为:(1)30。;(2)

3.12020•甘肃天水】如图所示,抛物线y=a/+加:+c(aWO)与x轴交于A、8两点,与y轴交于点C,且

点A的.坐标为A(-2,0),点C的坐标为C(0,6),对称轴为直线尤=1.点。是抛物线上一个动点,设

点。的横坐标为根(l<m<4),连接AC,BC,DC,DB.

(1)求抛物线的函数表达式;

3

(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的一时,求相的值;

4

(3)在(2)的条件下,若点/是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点

使得以点8,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说

明理由.

【答案】见解析.

,

【解析】解:(1),由题意得:\4a-2b+c=0

“=6

a=--T

b=3,

{c=6

二抛物线的函数表达式为:y=-%2+|x+6;

(2)过点£>作DE,无轴于E,交BC于G,过点C作矶)交互(的延长线于R

:点A的坐标为(-2,0),点C的坐标为(0,6),

:.OA=2,OC=6,

11

:.SMOC=20A・OC=x2X6=6,

••S/\BCD—^AOC—4x6=

当y=0时,—#+全+6=0,

解得:xi=-2,X2=4,

.,.点B的坐标为(4,0),

设直线BC的函数表达式为:y=kx+n,优=北+九,

16二九

解得:卜=一2,

(兀=6

直线BC的函数表达式为:y=—|^x+6,

:点。的横坐标为根(l<m<4),

工点。的坐标为:(加,一薪之+藐+6),点G的坐标为:(m,—1m+6),

DG=—ym2+7rm+6-(—-^m+6)=--Tnr+3mCF=m,BE=4-m,

4ZZ4f

〔1In

;・SABCD=SACDG+S/\BDG=]DG。CF+/DG。BE=]DGXQCF+BE)=—々加?+6机,

・329

・\—2机+6m=2,

解得:m\—\(舍去),加2=3,

:・m的值为3.

(3)由(2)知D(3,—),B(4,0),

4

33

设M(m,0),N(n,--n2+-n+6),

42

①当四边形BNDM是平行四边形时,

3+4=m+n

<1533,解得:n=3(舍)或n=-l,m=8

——=——n+—n+6

〔442

即M(8,0);

②当四边形BDMN是平行四边形时,

根+4=〃+3

<39315,解得:n=l+\/14n=l-^/14,m=y/14m=-A/14

——n+—〃+6-l=0

I424

即M(瓜0)、(-A/U,0);

③当四边形BDNM是平行四边形时,

n+4=m+3

<3。315,解得:n=3(舍)或n=-l,m=0,

——n+—〃+6=—

〔424

即M(0,0).

综上所述,满足条件的M坐标为(8,0)、(V14,0)>(0,0).

4.【2020•广西玉林】如图,已知抛物线:yi=-/-2尤+3与无轴交于A,2两点(A在B的左侧),与y轴

交于点C.

(1)直接写出点A,B,C的坐标;

(2)将抛物线声经过向右与向下平移,使得到的抛物线”与x轴交于8,B两点(8在8的右侧),顶点。

的对应点为点D1,若/8。8=90。,求点8的坐标及抛物线y2的解析式;

(3)在(2)的条件下,若点。在x轴上,则在抛物线yi或”上是否存在点尸,使以夕,C,Q,P为顶点

的四边形是平行四边形?,如果存在,求出所有符合条件的点尸的坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解:(1)在yi=-2x+3中,令yi=0,解得x=-3或1,

.".A(-3,0),B(1,0),

令尤=0,得至!jy=3,

:.C(0,3).

(2)设平移后的抛物线的解析式为y=-(x-a)2+b,

过点。作。7/_LO9于H.,连接8。,B'D'.

•..。是抛物线的顶点,

:.D'B=D'B',D'(a,b),

':NBD'B'=90°,D'HLBB',

:・D'H=BH=HB'=b,

••ci1+。,

又-(x-a)2+b,经过8(1,0),

'.b=(1-a)2,

解得a=2或1(舍),b=l,

:.B'(3,0),

y2=-(x-2)2+l=-X2+4X-3.

(3)①2'(3,0),C(0,3),设Q(m,0),P(n,-n2-2n+3)

3=m+n」,人—

,解得:n=0(舍)或n=-2,即P(-2,3);

3=-“2-2”+3

八2ccc,解得:n=-1+近或n=-l-夕,即P(-l+/,-3),(-l->/7,-3);

0=-n-2〃+3+3

3+n=m4

,解得:n=0(舍)或n=-2,即P(-2,3);

3=—〃2_2〃+3

②&(3,0),C(0,3),设Q(m,0),P(n,-n2+4»-3)

3=m+n

3=-'此方程无实数解;

3+m=n

八2,cc,解得:n=0或n=4,即P(0,-3),(4,-3);

0=-n+4n-3+3

3+n=m,、一

3f此方程无实数解;

综上所述,满足条件的点P的坐标为(-2,3)或(-1—近,-3)或(-1+近,-3)或(0,-.3)或

(4,-3).

5.12020・贵州黔东南州】已知抛物线丫=正+州+c(a/0)与x轴交于A、3两点(点A在点3的左边),

与y轴交于点。(0,-3),顶点D的坐标为(1,-4).

(1)求抛物线的解析式.

(2)在y轴上找一点E,使得AE4c为等腰三角形,请直接写出点E的坐标.

(3)点尸是x轴上的动点,点。是抛物线上的动点,是否存在点尸、Q,使得以点尸、Q、B、。为顶

点,为一边的四边形是平行四边形?若存在,请求出点尸、。坐标;若不存在,请说明理由.

1;

cK-/

D

【答案】见解析.

【解析】解:⑴,.抛物线的顶点为(1,-4),

设抛物线的解析式为y=a(x-l)2-4,

将点C(0,-3)代入抛物线y=。(尤-Ip-4中,得。一4=一3,

即a=l,

抛物线的解析式为y=。(尤-I)?-4=/-2x-3;

(2)由(1)知,抛物线的解析式为y=f-2尤-3,

令y=0,贝"-2x-3=0,

x=-1或x=3,

8(3,0),A(-l,0),

令x=0,贝Uy=-3,

C(0,-3),

Ac=yfid,

设点E(0,〃z),则AE=,/"+l,CE=\m+3\,

AAGE是等腰三角形,

①当AC=4E时,a=荷+1,

.•.m=3或根=—3(点C的纵坐标,舍去),

,E(3,0),

②当AC=CE时,^0=\m+3\,

m=-3iy/lQ,

E(0,-3+而)或(0,-3-710),

③当AE=CE时,-Jm2+1=\m+3\,

4

/.JTI------,

3

4

即满足条件的点E的坐标为(0,3)、(0,-3+710),(0,-3-^10),(0,-1)

(3)存在,

D(1,-4,),B(3,0),

设P(m,0),Q(n,«2-2«-3),

①当四边形BDPQ是平行四边形时,

f3+m-l+n\m-2应-1\m=-2A/2-1

[0=n--2n-3-4]〃=l+2应n=1-272

即P(2A/2-1,0),Q(1+20,4)或P(-2夜-1,0),Q(1-2A/2,4)

②当四边形BDQP是平行四边形时

3+n=l+m,m=3

2»解得:1(舍)

0=n2-2n-3+4An=l

综上所述,P(2及一I,0),Q(1+2V2,4)或P(-2A/2-1,0),Q(l一2挺,4).

6.[2020•黑龙江大兴安岭】综合与探究

在平面直角坐标系中,抛物线y=#+fcc+c经过点A(-4,0),点M为抛物线的顶点,点8在y轴上,且

OA^OB,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图①.

(I)求抛物线的解析式;

(2)在坐标平面内是否存在点N,使以点A、。、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写

出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

图①

【答案】见解析.

【解析】解:

(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式得:

)

x16—4/+c=0=2

=0,

x4+2b+c=6

抛物线的表达式为:尸系+2x;

(2)存在,理由:

设点N(相,n),而点A、C、。的坐标分别为(-4,0)、(2,6)、(0,0),

①当AC为边时,

由平移得:0±6=m,0±6=几,解得:m=n=±6,

点N(6,6)或(-6,-6);

②当AC是对角线时,

-4+2=徵+0,6+0=〃+0,

解得:m—-2,〃=6,

点N(-2,6);

综上,点N的坐标为(6,6)或(-6,-6)或(-2,6).

7.12020糊北黄冈】已知抛物线>=以2+云+。与%轴交于点A(-1,0),点3(3,0),与y铀交于点C(0,

3).顶点为点。.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点尸在抛物线上,点。在x轴上,当以点。,C,P,。为顶点的四边形是平行四边形时,求点尸

的坐标;

【解析】解:(1)因为抛物线经过A(-b0),B(3,0),

可以假设抛物线的解析式为y=a(尤+1)(x-3),

把C(0,3)代入,可得a=-1,

二抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-/+2x+3.

当四边形P1QCD,四边形「2。20)是平行四边形时,点尸的纵坐标为1,

当y=l时,-?+2尤+3=1,

解得x=1+V3,

:.P1(1+V3,.1),尸2(1-V3,1),

当四边形P30OC,四边形P404DC是平行四边形时,点P的纵坐标为-1,

当y=1时,-x1+2x+3=-1,

解得x=1±V5,

:.P1(1+V5,-1),Pi(1-V5,-1),

综上所述,满足条件的点尸的坐标为(1+V3,1)或(1-V3,1)或(1-V5,-或(1+迷,-1).

8.【2020•湖南郴州】如图1,抛物线>=0?+法+3(°。0)与无轴交于A(-1,0),B(3,0),与y轴交

于点C.己知直线y=fcr+〃过2,C两点.

(1)求抛物线和直线BC的表达式;

(2)点P是抛物线上的一个动点.如图2,抛物线的对称轴/与x轴交于点£,过点E作EFLBC,垂足为

况点。是对称轴/上的一个动点,是否存在以点E,F,P,。为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求

出点尸,。的坐标;若不存在,请说明理由.

(图1)(图2)

【答案】见解析.

【解析】解:⑴把4(7,。),2(3,。)代入产门灰+3得:工鼠,

解得,忆厂

二・抛物线的表达式,>=-7+21+3,

.•.点C坐标为(0,3),

3fc+n=0

把8(3,0),C.(0,3)代入得:

n=—3

解得,C::3

直线BC的表达式:y=-x+3.

(2)存在,理由如下:过点尸作FGLO8于G,

・•・OE=1,

VB(3,0),C(0,3)

VOC=OB=3,NOCB=90°,

...△OCB是等腰直角三角形,

VZ£FB=90°,BE=OB-OE=2,

...AOCB是等腰直角三角形,

:.EG=GB=EG=1,

二点尸的坐标为(2,1),

当所为边时,

,:EFPQ为平行四边形,

:.QE=PF,QE//PF//y^i,

:.点P的横坐标与点F的横坐标同为2,

当x=2时,y=-22+2><2+3=3,

点尸的坐标为(2,3),

:.QE=PF=3-1=2,

点。的坐标为(1,2);

当所为对角线时,

0

尸为平行四边形,

:.QE=PF,QE〃PF〃轴,

同理求得:点尸的坐标为(2,3),

:.QE=PF=3-1=2,

点。的坐标为(1,-2);

综上,点P的标为(2,3),点。的坐标为(1,2)或(1,-2).

9.12020•江苏苏州】如图,二次函数>=^+笈的图象与x轴正半轴交于点A,平行于x轴的直线/与该

抛物线交于B、。两点(点3位于点C左侧),与抛物线对称轴交于点0(2,-3).

(1)求》的值;

(2)设P、Q是x轴上的点(点尸位于点Q左侧),四边形PBCQ为平行四边形.过点P、0分别作入轴

的垂线,与抛物线父于点P(X[,%)、Q'(.X2>y2)■若[y?1=2,求不、电的值.

【答案】见解析.

【解析】解:(1)直线与抛物线的对称轴交于点0(2,-3),

故抛物线的对称轴为x=2,即工6=2,解得:b=T,

2

故抛物线的表达式为:y=x2-4x;

(2)把》=-3代入y=/-4x并解得x=i或3,

点、B、C的坐标分别为(1,-3)、(3,-3),则BC=2,

:四边形PBCQ为平行四边形,

PQ=BC-2,故三-为=2,

又;%=却-4番,%=¥-4龙2,1%一力1=2,

故|(X;-4%])-(巷—4%)=2,|%+%2—41=1•

玉+%2=5或2+%2=—3,

_3

-2

由解得;

%+%=5=7

-2

由解得,

[石+/2=35

2

10.【2020•青海】如图1(注:与图2完全相同)所示,抛物线y=-#+6x+c经过8、。两点,与x轴

的另一个交点为A,与y轴相交于点C.

(1)求抛物线的解析式.

(2)设抛物线的顶点为求四边形ABWC的面积.(请在图1中探索)

(3)设点。在y轴上,点P在抛物线上.要使以点A、8、P、。为顶点的四边形是平行四边形,求所有满

足条件的点尸的坐标.(请在图2中探索)

5X5

55

--

22

图1图2

【答案】见解析.

【解析】解:(1)把2(3,0)和。(-2,-f)代入抛物线的解析式得,

9

+3b+C-

2-0

—2—2b+c=

・•・抛物线的解析式为:y=-2%2+%+];

1QQ

(2)令x=0,得y=—.^x2+x+=2?

3

・・・C(0,|),

令y=0,得y=_*%2+%+9=0,

解得,x=-L或x=3,

AA(-1,0),

,**y=—ix2+无+\=-i(x—l)2+2,

:.M(1,2),

S四边形ABA/CnSzxAOC+SaCOM+SziMOB

=2OA-OC+2OC-xM+2OB-yM

131319

=2X1X2+2X2X1+2X3X2=2;

(3)设。(0,n),

①当AB为平行四边形的边时,有AB〃尸。,AB=PQ,

。点在尸点左边时,则。(-4,"),

1Q

把。(-4,n)代入y=-2%2+%+才得n=-2~j

:.P(-4,一日0;

②。点在P点右边时,则。(4,〃),

把。(4,几)代入y=-2%2+%+.得几=——,

:.P(4,一|);

③当A3为平行四边形的对角线时,如图,AB与尸。交于点£

9:PE=QE,:.P(2,-n),

1QQ

把P(2,-n)代入y=—+%+a,得"=—2,

3

:.P(2,-).

2

综上,满足条件的尸点坐标_为:(-4,一2年1)或(4,一慨[)或3(2,

11.12020•山东荷泽】如图,抛物线,=加+法—6与X轴相交于A,5两点,与y轴相交于点C,04=2,

03=4,直线/是抛物线的对称轴,在直线/右侧的抛物线上有一动点。,连接AD,BD,BC,CD.

(1)求抛物线的函数表达式;

Q

(2)若点。在九轴的下方,当ABCD的面积是-时,求AABD的面积;

2

(3)在(2)的条件下,点M是x轴上一点,点N是抛物线上一动点,是否存在点N,使得以点8,D,

M,N为顶点,以3D为一边的四边形是平行四边形,若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】解:(1)OA=2,OB=4,

•.A(-2,0),8(4,0),

4〃一2〃-6=0

把A(-2,0),仅4,0)代入抛物线y=渥+云_6中得:

16。+4b-6=0

33

二抛物线的解析式为:尸丁丁-6;

(2)过。作。轴于G,交BC于H,

:.C(0,-6),

设的解析式为:y=kx+b,

::工屋解得:

则2,

b=-6

_3

:.BC的解析式为:y=-x-6,

2

333

设--x-6),则H(x,—x-6),

3333

/.DH=-x—6—(—%2—x—6)=—炉+3x,

2424

9

ABCD的面积是一,

2

19

-DH.OB=-,

22

1-32c、9

一x4x(—x+3x)=—,

242

解得:%=1或3,

••点O在直线/右侧的抛物线上,

.•.AABD的面积=,AB.r>G=」x6x"=";

2244

(3)分两种情况:

「.N的纵坐标为一,

4

当丁="时,即』/一31一6=",

4424

角军得:彳=1+旧或1-9,

NQ-旧,")或(1+&Z,

4

②如图,点N在x轴的下方时,四边形是平行四边形,此时M与O重合,

综上,点N的坐标为:(1-V14,")或(1+旧,”)或

444

12.12020•山东聊城】如图,二次函数,==。/+云+4的图象与工轴交于点A(-1,0),5(4,0),与y轴交于

点C,抛物线的顶点为。,其对称轴与线段3c交于点E,垂直于x轴的动直线/分别交抛物线和线段BC于

点尸和点歹,动直线/在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到5点.

(1)求出二次函数,=加+陵+4和所在直线的表达式;

(2)在动直线/移动的过程中,试求使四边形DEEP为平行四边形的点P的坐标;

【解析】解:(1)将点4-1,0),8(4,0),代入得,

0=a-b+4

得:

0=16a+4Z?+4

a=-1

解得:

b=3

二次函数的表达式为:y=-x2+3x+4,

当冗=0时,y=4,

/.C(0,4),

设BC所在直线的表达式为:y=mx+n,

将。(0,4)、B(4,0)代入y=+

4=〃

得:

0=4m+n

m=-l

解得:

n=4

_BC所在直线的表达式为:y=—x+4;

(2)。石_Lx轴,尸产_Lx轴,

:.DE//PF,

只要_DE=PF,四边形DEEP即为平行四边形,

2c,/3、225

y=-x+3x+4=-(x-—)+—,

.•.点。的坐标为:(1,亍),

将%=三3代3入y=—1+4,即>=—三+4=5三,

222

35

.••点E的坐标为:g,|),

八厂25515

DE=--------=——,

424

设点P的横坐标为,

则尸的坐标为:9-〃+3,+4),b的坐标为:&V+4),

/.PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t,

由DE=PF得:—r+4/=L,

4

解得:=-(不合题意舍去),t=~,

t1l2222

当/=*时,—』+3/+4=—(9)2+3X』+4=2,

2224

点尸的坐标为g5,亍91);

13[2020•四川甘孜州】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线>=丘+3分别交x轴、y轴于A,8两点,

经过A,8两点的抛物线y=-/+6x+c与x轴的正半轴相交于点C(1,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)若尸为线段上一点,ZAPO=ZACB,求AP的长;

(3)在(2)的条件下,设M是y轴上一点,试问:抛物线上是否存在点N,使得以A,P,M,N为顶点

的四边形为平行四边形?若存在,求出点N

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