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文档简介
动点与平行四边形存在性问题
一、典例解析
例1.12020•浙江湖州】如图,已知在平面直角坐标系无Oy中,抛物线》=-炉+6尤+0(00)的顶点为D,与y轴
的交点为C.过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧),点8在AC的延长线上,连结04,
OB,DA和。A
(1)如图1,当AC〃x轴时,
①已知点A的坐标是(-2,1),求抛物线的解析式;
②若四边形A08D是平行四边形,求证:b2=4c.
(2)如图2,若b=-2,生=3,是否存在这样的点A,使四边形A08D是平行四边形?若存在,求出点A的
AC5
坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解:(1)①:AC〃x轴,点A的坐标是(-2,1),
二点C的坐标是(0,1)
把点A(-2,1),C(0,1)的坐标分别代入抛物线解析式得,
-4-2Z?+c=1b=-2
,解得:
c=lc=1
即抛物线解析式为:产-/-2尤+1
②过点D作DELx轴于点E,交AB于点F,
•/AC//x轴,
JEF=OC=c,
,・,点D的坐标是c+
b1
:.DF=DE-EF=一,
4
V四边形AO3O是平行四边形,
JAD=BO,AD//OB,
:.ZDAF=ZOBC.
*.•ZAFD=ZBCO=90°9
:.XAFDmABCO,
:.DF=O,C.
b2
—=c,即b1=4c.
4
(2)由题意,顶点。的坐标是Gl,c+1),
设点A的坐标是(优,-trr-2m+c),m<0.
过点。作。无轴于点E,交AB于点R
贝!]ZAFD=ZEFC=NBCO.
V四边形是平行四边形,
AD=BO,AD//OB,
:.ZDAF=ZOBC.
:.^AFD^/\BCO(AAS),
:.AF=BC,DF=OC.
过点A作轴于点M,交DE于点N,
・•・△ANbs-7
・ANFNAFBC3
**AM-CM-G4-AC-5
AM=-mfAN=AM-NM=-m-lf
:.~m~2=1,解得:"Z=2.5
—m5
・••点A的纵坐标是c-9<c
4
・••点M的坐标(0,c--)
4
点N的坐标是(-1,c--)
4
59
:.MC=-,DN=-
44
・•・DF=OC=c,
9
JFN=DN-DF=--c
4
9_
*=里得:解得:c=1.5
5CM55
4
51
c——=—
44
故点A的坐标为(-2.5,-),
4
即存在这样的点4使四边形是平行四边形.
例2.12020•辽阳】如图,抛物线y=a/-2底+c(aWO)过点。(0,0)和A(6,0).点3是抛物线的
顶点,点。是x轴下方抛物线上的一点,连接。2,OD.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图②,在(2)的条件下,抛物线的对称轴交x轴于点C,交线段0。于点E,点P是线段上的
动点(点f不与点。和点8重合),连接EF,将沿EF折叠,点8的对应点为点8,△EEB,与△O8E
的重叠部分为△EFG,在坐标平面内是否存在一点",使以点E,F,G,X为顶点的四边形是矩形?若存
【解析】解:⑴把点。(0,0)和A(6,0)代入厂"中,
得到136a-12b+c=0'
/3
解得卜=百,
c=0
二抛物线的解析式为y=最2.2V3X.
(2)当NEF.G=90°时,点H在第一象限,此时G,B',O重合,由题意OF=BE可得/(|,-孥),
3
E(3,-V3),利用平移的性质可得H(一,—
22
7
当/EGQ9。。时'点”在对称轴右侧,由题意吁小可得『2,-2向,利用平移的性质可得以5,
L3
当/以花=90°时,点”在对称轴左侧,点次在对称轴上,由题意可得尸(1,-V3),G(-,
—苧),利用平移的性质,可得-竽).
综上所述,满足条件的点H的坐标为EW)或("-挛)或《,-孥).
222322
例3.12020•黑龙江牡丹江】如图,已知直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点3,线段。4的长是方程
7光—18=0的一个根,.请解答下歹U问题:
2
(1)求点A,5的坐标;
(2)直线EF交九轴负半轴于点石,交y轴正半轴于点尸,交直线于点。.若。是郎的中点,OE=6,
反比例函数>=幺图象的一支经过点C,求左的值;
X
(3)在(2)的条件下,过点C作CD_LOE,垂足为。,点”在直线AB上,点N在直线CD上.坐标平
面内是否存在点P,使以。,M,N,P为顶点的四边形是正方形?若存在,请写出点P的个数,并直
接写出其中两个点尸的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】解:(1)•.•线段的长是方程的一个根,
解得:x=9或-2(舍),而点A在x轴正半轴,
.-.A(9,0),
OB=-OA,
2
(2)OE=6,
:.E(-6,0),
设直线项的表达式为y=将点A和3的坐标代入,
,(1
0=9k+bk=——
得:9,解得:°2,
—=b.9
7b=—
INI2
1Q
二.AB的表达式为:y-——x+—,
22
点C是EF的中点,
.••点C的横坐标为-3,代入中,y=6,
则C(-3,6),
.,反比例函数y=(经过点C,
x
贝1]左=一3><6=—18;
(3)存在点尸,使以D,M,N,P为顶点的四边形是正方形,
如图,共有5种情况,
在四边形。M/2中,
%和点A重合,
,必(9,0),
此时4(9,12);
在四边形。吕2乂中,点3和M重合,
可知M在直线y=尤+3上,
y=x+3
联立:,19-
"-I*
解得:「,
[y=4
,A(1,O),
同理可得:^(9,-12),4(-7,4),月(-15,0).
故存在点尸使以。,M,N,P为顶点的四边形是正方形,
点P的坐标为4(9,12),舄(9,-12),鸟(1,0),乙(-7,4),^(-15,0).
例4.12020•重庆A卷】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线>=/+区+。与直线AB相交于A,B两
点,其中A(—3,—4),B(0,—1).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线〉=%/+4苫+4侬/0),平移后的抛物线与原抛物线
相交于点C,点D为原抛物线对称轴上.的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E
为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
【答案】见解析.
【解析】解:(1)•••抛物线过4(一3,-4),B(O,-1)
.f9-3/?+c=-4
c=-l
:.b=4
y=+4x—1
(2)4(-1,2*2(1,-3*3(-3,76-2)£4(-3,-4-后)
则平移后的抛物线表达式为:y=x2—5,
联立y=x2-5,y=f+4x-l得:C(-1,-4)
设D(-2,m),
当ABCD为等腰三角形时,存在点E,使以点8,C,D,E为顶点的四边形为菱形,
①当BC=CD时,由对称性知,m=-l,此时E(-1,2).
②当BC=BD时,贝I]BC2=BD2,即10=4+(m+1)2,解得:m=-l+.s/6,或m=-l-#,
由平移得:此时E(-3,-4-76),(-3,-4+6)
③当BD=CD时,4+(m+1)2=1+(m+4)2,解得:m=-2,
此时E(1,-3).
二、刻意练习
Q
1.12020•湖南常德】如图,已知抛物线y=a?过点A(-3,-
(1)求抛物线的解析式;
a
(2)已知直线/过点A,M(0)且与抛物线交于另一点8,与y轴交于点C,求证:MC2=MA-MB-,
2
(3)若点P,D分别是抛物线与直线I上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行
四边形,求所有符合条件的尸点坐标.
【答案】见解析.
【解析】解:(1)把点A(-3,;)代入y=加,
Q
得,一=9〃,
4
,_1
••a-----,
4
抛物线的解析式为X2.
(2)设直线1的解析式为:y=kx+b,
9
-=-3k+bk=--
42
则,解得:<
3
Q=-k+b
24
即直线1的解析式为:y=-l1x+-3
24
当x=0时,y=—,即C(0,—),
44
y=—x2X=1x=-3
,4,解得:V
联立1或<9,
13
V=——x+—
I24
AB(1,-).
4
过点A作A4i_Lx轴于Ai,过8作831,工轴于31,贝ij55i〃OC〃A4i,
.BMCMI
**CA7-AM-3
故MC2=MA^MB.
13
:.D(r,-),
24
整理得:户+2-6=0或5+2,=0,
解得t=-\-币或t=-1+不或£=-2或%=0(舍),
--
P(1A/792+——)或(-1+92-——)或(-2,1).
22
2.【2020•安徽】在数学探究活动中,敏敏进行了如下操作:如图,将四边形ABCD沿过点A的直线折叠,
使得点B落在CD上的点Q处,折痕为AP,再将APCQ,4ADQ分别沿PQ、AQ折叠,此时点C,D落
在AP上的同一点R处,请完成下列探究:
(1)ZPAQ=____________
An
(2)当四边形APCD是平行四边形时,——的值为
QR
【答案】⑴30°;⑵6
【解析】解:
由折叠性质知,/DQR=/AQR,ZCQP=ZPQR
.\ZAQR+ZPQR=90°,
.,.ZB=ZAQP=90°,
由/C=/QRP,ZD=ZQRA,ZQRP+ZQRA=180°
得:ZC+ZD=180°,
;.AD〃BC,
ZDAB=90°,
由/DAQ=/PAQ=NBAR,得:ZPAQ=30°.
(2)若四边形APCD是平行四边形,贝|AD=PC,AP=CD,
由折叠知,DQ=CE=QR,
由(1)知,ZPAB=30°,ZB=90°
所以,AP=CD=^-AB,
3
.".QR=icD=—AB,—=73.
23QR
故答案为:(1)30。;(2)
3.12020•甘肃天水】如图所示,抛物线y=a/+加:+c(aWO)与x轴交于A、8两点,与y轴交于点C,且
点A的.坐标为A(-2,0),点C的坐标为C(0,6),对称轴为直线尤=1.点。是抛物线上一个动点,设
点。的横坐标为根(l<m<4),连接AC,BC,DC,DB.
(1)求抛物线的函数表达式;
3
(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的一时,求相的值;
4
(3)在(2)的条件下,若点/是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点
使得以点8,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说
明理由.
【答案】见解析.
,
【解析】解:(1),由题意得:\4a-2b+c=0
“=6
a=--T
b=3,
{c=6
二抛物线的函数表达式为:y=-%2+|x+6;
(2)过点£>作DE,无轴于E,交BC于G,过点C作矶)交互(的延长线于R
:点A的坐标为(-2,0),点C的坐标为(0,6),
:.OA=2,OC=6,
11
:.SMOC=20A・OC=x2X6=6,
••S/\BCD—^AOC—4x6=
当y=0时,—#+全+6=0,
解得:xi=-2,X2=4,
.,.点B的坐标为(4,0),
设直线BC的函数表达式为:y=kx+n,优=北+九,
16二九
解得:卜=一2,
(兀=6
直线BC的函数表达式为:y=—|^x+6,
:点。的横坐标为根(l<m<4),
工点。的坐标为:(加,一薪之+藐+6),点G的坐标为:(m,—1m+6),
DG=—ym2+7rm+6-(—-^m+6)=--Tnr+3mCF=m,BE=4-m,
4ZZ4f
〔1In
;・SABCD=SACDG+S/\BDG=]DG。CF+/DG。BE=]DGXQCF+BE)=—々加?+6机,
・329
・\—2机+6m=2,
解得:m\—\(舍去),加2=3,
:・m的值为3.
(3)由(2)知D(3,—),B(4,0),
4
33
设M(m,0),N(n,--n2+-n+6),
42
①当四边形BNDM是平行四边形时,
3+4=m+n
<1533,解得:n=3(舍)或n=-l,m=8
——=——n+—n+6
〔442
即M(8,0);
②当四边形BDMN是平行四边形时,
根+4=〃+3
<39315,解得:n=l+\/14n=l-^/14,m=y/14m=-A/14
——n+—〃+6-l=0
I424
即M(瓜0)、(-A/U,0);
③当四边形BDNM是平行四边形时,
n+4=m+3
<3。315,解得:n=3(舍)或n=-l,m=0,
——n+—〃+6=—
〔424
即M(0,0).
综上所述,满足条件的M坐标为(8,0)、(V14,0)>(0,0).
4.【2020•广西玉林】如图,已知抛物线:yi=-/-2尤+3与无轴交于A,2两点(A在B的左侧),与y轴
交于点C.
(1)直接写出点A,B,C的坐标;
(2)将抛物线声经过向右与向下平移,使得到的抛物线”与x轴交于8,B两点(8在8的右侧),顶点。
的对应点为点D1,若/8。8=90。,求点8的坐标及抛物线y2的解析式;
(3)在(2)的条件下,若点。在x轴上,则在抛物线yi或”上是否存在点尸,使以夕,C,Q,P为顶点
的四边形是平行四边形?,如果存在,求出所有符合条件的点尸的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解:(1)在yi=-2x+3中,令yi=0,解得x=-3或1,
.".A(-3,0),B(1,0),
令尤=0,得至!jy=3,
:.C(0,3).
(2)设平移后的抛物线的解析式为y=-(x-a)2+b,
过点。作。7/_LO9于H.,连接8。,B'D'.
•..。是抛物线的顶点,
:.D'B=D'B',D'(a,b),
':NBD'B'=90°,D'HLBB',
:・D'H=BH=HB'=b,
••ci1+。,
又-(x-a)2+b,经过8(1,0),
'.b=(1-a)2,
解得a=2或1(舍),b=l,
:.B'(3,0),
y2=-(x-2)2+l=-X2+4X-3.
(3)①2'(3,0),C(0,3),设Q(m,0),P(n,-n2-2n+3)
3=m+n」,人—
,解得:n=0(舍)或n=-2,即P(-2,3);
3=-“2-2”+3
八2ccc,解得:n=-1+近或n=-l-夕,即P(-l+/,-3),(-l->/7,-3);
0=-n-2〃+3+3
3+n=m4
,解得:n=0(舍)或n=-2,即P(-2,3);
3=—〃2_2〃+3
②&(3,0),C(0,3),设Q(m,0),P(n,-n2+4»-3)
3=m+n
3=-'此方程无实数解;
3+m=n
八2,cc,解得:n=0或n=4,即P(0,-3),(4,-3);
0=-n+4n-3+3
3+n=m,、一
3f此方程无实数解;
综上所述,满足条件的点P的坐标为(-2,3)或(-1—近,-3)或(-1+近,-3)或(0,-.3)或
(4,-3).
5.12020・贵州黔东南州】已知抛物线丫=正+州+c(a/0)与x轴交于A、3两点(点A在点3的左边),
与y轴交于点。(0,-3),顶点D的坐标为(1,-4).
(1)求抛物线的解析式.
(2)在y轴上找一点E,使得AE4c为等腰三角形,请直接写出点E的坐标.
(3)点尸是x轴上的动点,点。是抛物线上的动点,是否存在点尸、Q,使得以点尸、Q、B、。为顶
点,为一边的四边形是平行四边形?若存在,请求出点尸、。坐标;若不存在,请说明理由.
1;
cK-/
D
【答案】见解析.
【解析】解:⑴,.抛物线的顶点为(1,-4),
设抛物线的解析式为y=a(x-l)2-4,
将点C(0,-3)代入抛物线y=。(尤-Ip-4中,得。一4=一3,
即a=l,
抛物线的解析式为y=。(尤-I)?-4=/-2x-3;
(2)由(1)知,抛物线的解析式为y=f-2尤-3,
令y=0,贝"-2x-3=0,
x=-1或x=3,
8(3,0),A(-l,0),
令x=0,贝Uy=-3,
C(0,-3),
Ac=yfid,
设点E(0,〃z),则AE=,/"+l,CE=\m+3\,
AAGE是等腰三角形,
①当AC=4E时,a=荷+1,
.•.m=3或根=—3(点C的纵坐标,舍去),
,E(3,0),
②当AC=CE时,^0=\m+3\,
m=-3iy/lQ,
E(0,-3+而)或(0,-3-710),
③当AE=CE时,-Jm2+1=\m+3\,
4
/.JTI------,
3
4
即满足条件的点E的坐标为(0,3)、(0,-3+710),(0,-3-^10),(0,-1)
(3)存在,
D(1,-4,),B(3,0),
设P(m,0),Q(n,«2-2«-3),
①当四边形BDPQ是平行四边形时,
f3+m-l+n\m-2应-1\m=-2A/2-1
[0=n--2n-3-4]〃=l+2应n=1-272
即P(2A/2-1,0),Q(1+20,4)或P(-2夜-1,0),Q(1-2A/2,4)
②当四边形BDQP是平行四边形时
3+n=l+m,m=3
2»解得:1(舍)
0=n2-2n-3+4An=l
综上所述,P(2及一I,0),Q(1+2V2,4)或P(-2A/2-1,0),Q(l一2挺,4).
6.[2020•黑龙江大兴安岭】综合与探究
在平面直角坐标系中,抛物线y=#+fcc+c经过点A(-4,0),点M为抛物线的顶点,点8在y轴上,且
OA^OB,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图①.
(I)求抛物线的解析式;
(2)在坐标平面内是否存在点N,使以点A、。、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写
出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
图①
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式得:
)
x16—4/+c=0=2
=0,
x4+2b+c=6
抛物线的表达式为:尸系+2x;
(2)存在,理由:
设点N(相,n),而点A、C、。的坐标分别为(-4,0)、(2,6)、(0,0),
①当AC为边时,
由平移得:0±6=m,0±6=几,解得:m=n=±6,
点N(6,6)或(-6,-6);
②当AC是对角线时,
-4+2=徵+0,6+0=〃+0,
解得:m—-2,〃=6,
点N(-2,6);
综上,点N的坐标为(6,6)或(-6,-6)或(-2,6).
7.12020糊北黄冈】已知抛物线>=以2+云+。与%轴交于点A(-1,0),点3(3,0),与y铀交于点C(0,
3).顶点为点。.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点尸在抛物线上,点。在x轴上,当以点。,C,P,。为顶点的四边形是平行四边形时,求点尸
的坐标;
【解析】解:(1)因为抛物线经过A(-b0),B(3,0),
可以假设抛物线的解析式为y=a(尤+1)(x-3),
把C(0,3)代入,可得a=-1,
二抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-/+2x+3.
当四边形P1QCD,四边形「2。20)是平行四边形时,点尸的纵坐标为1,
当y=l时,-?+2尤+3=1,
解得x=1+V3,
:.P1(1+V3,.1),尸2(1-V3,1),
当四边形P30OC,四边形P404DC是平行四边形时,点P的纵坐标为-1,
当y=1时,-x1+2x+3=-1,
解得x=1±V5,
:.P1(1+V5,-1),Pi(1-V5,-1),
综上所述,满足条件的点尸的坐标为(1+V3,1)或(1-V3,1)或(1-V5,-或(1+迷,-1).
8.【2020•湖南郴州】如图1,抛物线>=0?+法+3(°。0)与无轴交于A(-1,0),B(3,0),与y轴交
于点C.己知直线y=fcr+〃过2,C两点.
(1)求抛物线和直线BC的表达式;
(2)点P是抛物线上的一个动点.如图2,抛物线的对称轴/与x轴交于点£,过点E作EFLBC,垂足为
况点。是对称轴/上的一个动点,是否存在以点E,F,P,。为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求
出点尸,。的坐标;若不存在,请说明理由.
(图1)(图2)
【答案】见解析.
【解析】解:⑴把4(7,。),2(3,。)代入产门灰+3得:工鼠,
解得,忆厂
二・抛物线的表达式,>=-7+21+3,
.•.点C坐标为(0,3),
3fc+n=0
把8(3,0),C.(0,3)代入得:
n=—3
解得,C::3
直线BC的表达式:y=-x+3.
(2)存在,理由如下:过点尸作FGLO8于G,
・•・OE=1,
VB(3,0),C(0,3)
VOC=OB=3,NOCB=90°,
...△OCB是等腰直角三角形,
VZ£FB=90°,BE=OB-OE=2,
...AOCB是等腰直角三角形,
:.EG=GB=EG=1,
二点尸的坐标为(2,1),
当所为边时,
,:EFPQ为平行四边形,
:.QE=PF,QE//PF//y^i,
:.点P的横坐标与点F的横坐标同为2,
当x=2时,y=-22+2><2+3=3,
点尸的坐标为(2,3),
:.QE=PF=3-1=2,
点。的坐标为(1,2);
当所为对角线时,
0
尸为平行四边形,
:.QE=PF,QE〃PF〃轴,
同理求得:点尸的坐标为(2,3),
:.QE=PF=3-1=2,
点。的坐标为(1,-2);
综上,点P的标为(2,3),点。的坐标为(1,2)或(1,-2).
9.12020•江苏苏州】如图,二次函数>=^+笈的图象与x轴正半轴交于点A,平行于x轴的直线/与该
抛物线交于B、。两点(点3位于点C左侧),与抛物线对称轴交于点0(2,-3).
(1)求》的值;
(2)设P、Q是x轴上的点(点尸位于点Q左侧),四边形PBCQ为平行四边形.过点P、0分别作入轴
的垂线,与抛物线父于点P(X[,%)、Q'(.X2>y2)■若[y?1=2,求不、电的值.
【答案】见解析.
【解析】解:(1)直线与抛物线的对称轴交于点0(2,-3),
故抛物线的对称轴为x=2,即工6=2,解得:b=T,
2
故抛物线的表达式为:y=x2-4x;
(2)把》=-3代入y=/-4x并解得x=i或3,
点、B、C的坐标分别为(1,-3)、(3,-3),则BC=2,
:四边形PBCQ为平行四边形,
PQ=BC-2,故三-为=2,
又;%=却-4番,%=¥-4龙2,1%一力1=2,
故|(X;-4%])-(巷—4%)=2,|%+%2—41=1•
玉+%2=5或2+%2=—3,
_3
-2
由解得;
%+%=5=7
-2
由解得,
[石+/2=35
2
10.【2020•青海】如图1(注:与图2完全相同)所示,抛物线y=-#+6x+c经过8、。两点,与x轴
的另一个交点为A,与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)设抛物线的顶点为求四边形ABWC的面积.(请在图1中探索)
(3)设点。在y轴上,点P在抛物线上.要使以点A、8、P、。为顶点的四边形是平行四边形,求所有满
足条件的点尸的坐标.(请在图2中探索)
5X5
55
--
22
图1图2
【答案】见解析.
【解析】解:(1)把2(3,0)和。(-2,-f)代入抛物线的解析式得,
9
+3b+C-
2-0
—2—2b+c=
・•・抛物线的解析式为:y=-2%2+%+];
1QQ
(2)令x=0,得y=—.^x2+x+=2?
3
・・・C(0,|),
令y=0,得y=_*%2+%+9=0,
解得,x=-L或x=3,
AA(-1,0),
,**y=—ix2+无+\=-i(x—l)2+2,
:.M(1,2),
S四边形ABA/CnSzxAOC+SaCOM+SziMOB
=2OA-OC+2OC-xM+2OB-yM
131319
=2X1X2+2X2X1+2X3X2=2;
(3)设。(0,n),
①当AB为平行四边形的边时,有AB〃尸。,AB=PQ,
。点在尸点左边时,则。(-4,"),
1Q
把。(-4,n)代入y=-2%2+%+才得n=-2~j
:.P(-4,一日0;
②。点在P点右边时,则。(4,〃),
把。(4,几)代入y=-2%2+%+.得几=——,
:.P(4,一|);
③当A3为平行四边形的对角线时,如图,AB与尸。交于点£
9:PE=QE,:.P(2,-n),
1QQ
把P(2,-n)代入y=—+%+a,得"=—2,
3
:.P(2,-).
2
综上,满足条件的尸点坐标_为:(-4,一2年1)或(4,一慨[)或3(2,
11.12020•山东荷泽】如图,抛物线,=加+法—6与X轴相交于A,5两点,与y轴相交于点C,04=2,
03=4,直线/是抛物线的对称轴,在直线/右侧的抛物线上有一动点。,连接AD,BD,BC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
Q
(2)若点。在九轴的下方,当ABCD的面积是-时,求AABD的面积;
2
(3)在(2)的条件下,点M是x轴上一点,点N是抛物线上一动点,是否存在点N,使得以点8,D,
M,N为顶点,以3D为一边的四边形是平行四边形,若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】解:(1)OA=2,OB=4,
•.A(-2,0),8(4,0),
4〃一2〃-6=0
把A(-2,0),仅4,0)代入抛物线y=渥+云_6中得:
16。+4b-6=0
33
二抛物线的解析式为:尸丁丁-6;
(2)过。作。轴于G,交BC于H,
:.C(0,-6),
设的解析式为:y=kx+b,
::工屋解得:
则2,
b=-6
_3
:.BC的解析式为:y=-x-6,
2
333
设--x-6),则H(x,—x-6),
3333
/.DH=-x—6—(—%2—x—6)=—炉+3x,
2424
9
ABCD的面积是一,
2
19
-DH.OB=-,
22
1-32c、9
一x4x(—x+3x)=—,
242
解得:%=1或3,
••点O在直线/右侧的抛物线上,
.•.AABD的面积=,AB.r>G=」x6x"=";
2244
(3)分两种情况:
「.N的纵坐标为一,
4
当丁="时,即』/一31一6=",
4424
角军得:彳=1+旧或1-9,
NQ-旧,")或(1+&Z,
4
②如图,点N在x轴的下方时,四边形是平行四边形,此时M与O重合,
综上,点N的坐标为:(1-V14,")或(1+旧,”)或
444
12.12020•山东聊城】如图,二次函数,==。/+云+4的图象与工轴交于点A(-1,0),5(4,0),与y轴交于
点C,抛物线的顶点为。,其对称轴与线段3c交于点E,垂直于x轴的动直线/分别交抛物线和线段BC于
点尸和点歹,动直线/在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到5点.
(1)求出二次函数,=加+陵+4和所在直线的表达式;
(2)在动直线/移动的过程中,试求使四边形DEEP为平行四边形的点P的坐标;
【解析】解:(1)将点4-1,0),8(4,0),代入得,
0=a-b+4
得:
0=16a+4Z?+4
a=-1
解得:
b=3
二次函数的表达式为:y=-x2+3x+4,
当冗=0时,y=4,
/.C(0,4),
设BC所在直线的表达式为:y=mx+n,
将。(0,4)、B(4,0)代入y=+
4=〃
得:
0=4m+n
m=-l
解得:
n=4
_BC所在直线的表达式为:y=—x+4;
(2)。石_Lx轴,尸产_Lx轴,
:.DE//PF,
只要_DE=PF,四边形DEEP即为平行四边形,
2c,/3、225
y=-x+3x+4=-(x-—)+—,
.•.点。的坐标为:(1,亍),
将%=三3代3入y=—1+4,即>=—三+4=5三,
222
35
.••点E的坐标为:g,|),
八厂25515
DE=--------=——,
424
设点P的横坐标为,
则尸的坐标为:9-〃+3,+4),b的坐标为:&V+4),
/.PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t,
由DE=PF得:—r+4/=L,
4
解得:=-(不合题意舍去),t=~,
t1l2222
当/=*时,—』+3/+4=—(9)2+3X』+4=2,
2224
点尸的坐标为g5,亍91);
13[2020•四川甘孜州】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线>=丘+3分别交x轴、y轴于A,8两点,
经过A,8两点的抛物线y=-/+6x+c与x轴的正半轴相交于点C(1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若尸为线段上一点,ZAPO=ZACB,求AP的长;
(3)在(2)的条件下,设M是y轴上一点,试问:抛物线上是否存在点N,使得以A,P,M,N为顶点
的四边形为平行四边形?若存在,求出点N
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