中考数学专项复习讲义：动点与平行四边形存在性问题题型

动点与平行四边形存在性问题

一、典例解析

例1.12020•浙江湖州】如图，已知在平面直角坐标系无Oy中，抛物线》=-炉+6尤+0(00)的顶点为D,与y轴

的交点为C.过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点8在AC的延长线上，连结04,

OB,DA和。A

(1)如图1,当AC〃x轴时，

①已知点A的坐标是(-2,1),求抛物线的解析式；

②若四边形A08D是平行四边形，求证：b2=4c.

(2)如图2,若b=-2,生=3,是否存在这样的点A,使四边形A08D是平行四边形？若存在，求出点A的

AC5

坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)①：AC〃x轴，点A的坐标是(-2,1),

二点C的坐标是(0,1)

把点A(-2,1),C(0,1)的坐标分别代入抛物线解析式得，

-4-2Z?+c=1b=-2

,解得:

c=lc=1

即抛物线解析式为：产-/-2尤+1

②过点D作DELx轴于点E,交AB于点F,

•/AC//x轴，

JEF=OC=c,

,・,点D的坐标是c+

b1

：.DF=DE-EF=一,

4

V四边形AO3O是平行四边形,

JAD=BO,AD//OB,

：.ZDAF=ZOBC.

*.•ZAFD=ZBCO=90°9

：.XAFDmABCO,

：.DF=O,C.

b2

—=c,即b1=4c.

4

(2)由题意，顶点。的坐标是Gl，c+1),

设点A的坐标是(优，-trr-2m+c),m<0.

过点。作。无轴于点E,交AB于点R

贝!]ZAFD=ZEFC=NBCO.

V四边形是平行四边形，

AD=BO,AD//OB,

：.ZDAF=ZOBC.

：.^AFD^/\BCO(AAS),

：.AF=BC,DF=OC.

过点A作轴于点M,交DE于点N,

・•・△ANbs-7

・ANFNAFBC3

**AM-CM-G4-AC-5

AM=-mfAN=AM-NM=-m-lf

：.~m~2=1,解得："Z=2.5

—m5

・••点A的纵坐标是c-9<c

4

・••点M的坐标(0,c--)

4

点N的坐标是(-1,c--)

4

59

：.MC=-,DN=-

44

・•・DF=OC=c,

9

JFN=DN-DF=--c

4

9_

*=里得:解得：c=1.5

5CM55

4

51

c——=—

44

故点A的坐标为(-2.5,-),

4

即存在这样的点4使四边形是平行四边形.

例2.12020•辽阳】如图，抛物线y=a/-2底+c(aWO)过点。(0,0)和A(6,0).点3是抛物线的

顶点，点。是x轴下方抛物线上的一点，连接。2,OD.

(1)求抛物线的解析式；

（2）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C,交线段0。于点E,点P是线段上的

动点（点f不与点。和点8重合），连接EF,将沿EF折叠，点8的对应点为点8,△EEB，与△O8E

的重叠部分为△EFG,在坐标平面内是否存在一点"，使以点E,F,G,X为顶点的四边形是矩形？若存

【解析】解：⑴把点。（0,0）和A（6,0）代入厂"中，

得到136a-12b+c=0'

/3

解得卜=百，

c=0

二抛物线的解析式为y=最2.2V3X.

（2）当NEF.G=90°时，点H在第一象限，此时G,B',O重合，由题意OF=BE可得/（|,-孥）,

3

E（3,-V3）,利用平移的性质可得H（一，—

22

7

当/EGQ9。。时'点”在对称轴右侧，由题意吁小可得『2,-2向，利用平移的性质可得以5,

L3

当/以花=90°时，点”在对称轴左侧，点次在对称轴上，由题意可得尸（1,-V3）,G（-,

—苧），利用平移的性质，可得-竽）.

综上所述，满足条件的点H的坐标为EW）或（"-挛）或《，-孥）.

222322

例3.12020•黑龙江牡丹江】如图，已知直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点3,线段。4的长是方程

7光—18=0的一个根，.请解答下歹U问题：

2

（1）求点A,5的坐标；

（2）直线EF交九轴负半轴于点石，交y轴正半轴于点尸，交直线于点。.若。是郎的中点，OE=6,

反比例函数＞=幺图象的一支经过点C,求左的值；

X

（3）在（2）的条件下，过点C作CD_LOE,垂足为。，点”在直线AB上，点N在直线CD上.坐标平

面内是否存在点P,使以。，M,N,P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直

接写出其中两个点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】解：(1)•.•线段的长是方程的一个根,

解得：x=9或-2(舍)，而点A在x轴正半轴，

.-.A(9,0),

OB=-OA,

2

(2)OE=6,

：.E(-6,0),

设直线项的表达式为y=将点A和3的坐标代入，

,(1

0=9k+bk=——

得：9，解得：°2,

—=b.9

7b=—

INI2

1Q

二.AB的表达式为：y-——x+—，

22

点C是EF的中点，

.••点C的横坐标为-3,代入中，y=6,

则C(-3,6),

.,反比例函数y=(经过点C,

x

贝1］左=一3><6=—18；

(3)存在点尸，使以D,M,N,P为顶点的四边形是正方形,

如图，共有5种情况，

在四边形。M/2中，

%和点A重合，

，必(9,0),

此时4(9,12)；

在四边形。吕2乂中，点3和M重合,

可知M在直线y=尤+3上，

y=x+3

联立：,19-

"-I*

解得：「，

[y=4

，A(1,O)，

同理可得：^(9,-12),4(-7,4),月(-15,0).

故存在点尸使以。，M,N,P为顶点的四边形是正方形，

点P的坐标为4(9,12),舄(9,-12),鸟(1,0),乙(-7,4),^(-15,0).

例4.12020•重庆A卷】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线＞=/+区+。与直线AB相交于A,B两

点，其中A(—3,—4),B(0,—1).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线〉=%/+4苫+4侬/0),平移后的抛物线与原抛物线

相交于点C,点D为原抛物线对称轴上.的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E

为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

【答案】见解析.

【解析】解：(1)•••抛物线过4(一3,-4),B(O,-1)

.f9-3/?+c=-4

c=-l

：.b=4

y=+4x—1

(2)4(-1,2*2(1,-3*3(-3,76-2)£4(-3,-4-后)

则平移后的抛物线表达式为：y=x2—5,

联立y=x2-5,y=f+4x-l得：C(-1,-4)

设D(-2,m),

当ABCD为等腰三角形时，存在点E,使以点8,C,D,E为顶点的四边形为菱形,

①当BC=CD时，由对称性知，m=-l,此时E(-1,2).

②当BC=BD时，贝I]BC2=BD2,即10=4+(m+1)2,解得：m=-l+.s/6,或m=-l-#，

由平移得：此时E(-3,-4-76),(-3,-4+6)

③当BD=CD时，4+(m+1)2=1+(m+4)2,解得：m=-2,

此时E(1,-3).

二、刻意练习

Q

1.12020•湖南常德】如图，已知抛物线y=a?过点A（-3,-

（1）求抛物线的解析式;

a

(2)已知直线/过点A,M(0)且与抛物线交于另一点8,与y轴交于点C,求证：MC2=MA-MB-,

2

(3)若点P,D分别是抛物线与直线I上的动点，以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行

四边形，求所有符合条件的尸点坐标.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)把点A(-3,；)代入y=加,

Q

得，一=9〃，

4

,_1

••a-----,

4

抛物线的解析式为X2.

(2)设直线1的解析式为：y=kx+b,

9

-=-3k+bk=--

42

则，解得：＜

3

Q=-k+b

24

即直线1的解析式为：y=-l1x+-3

24

当x=0时，y=—，即C(0,—),

44

y=—x2X=1x=-3

,4，解得：V

联立1或＜9，

13

V=——x+—

I24

AB(1,-).

4

过点A作A4i_Lx轴于Ai,过8作831，工轴于31,贝ij55i〃OC〃A4i,

.BMCMI

**CA7-AM-3

故MC2=MA^MB.

13

：.D(r,-),

24

整理得：户+2-6=0或5+2，=0,

解得t=-\-币或t=-1+不或£=-2或％=0（舍），

--

P（1A/792+——）或（-1+92-——）或（-2,1）.

22

2.【2020•安徽】在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形ABCD沿过点A的直线折叠,

使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP,再将APCQ,4ADQ分别沿PQ、AQ折叠，此时点C,D落

在AP上的同一点R处，请完成下列探究：

(1)ZPAQ=____________

An

（2）当四边形APCD是平行四边形时，——的值为

QR

【答案】⑴30°；⑵6

【解析】解:

由折叠性质知，/DQR=/AQR,ZCQP=ZPQR

.\ZAQR+ZPQR=90°,

.,.ZB=ZAQP=90°,

由/C=/QRP,ZD=ZQRA,ZQRP+ZQRA=180°

得：ZC+ZD=180°,

；.AD〃BC,

ZDAB=90°,

由/DAQ=/PAQ=NBAR,得：ZPAQ=30°.

(2)若四边形APCD是平行四边形，贝|AD=PC,AP=CD,

由折叠知，DQ=CE=QR,

由(1)知,ZPAB=30°,ZB=90°

所以，AP=CD=^-AB,

3

.".QR=icD=—AB,—=73.

23QR

故答案为：(1)30。；(2)

3.12020•甘肃天水】如图所示，抛物线y=a/+加:+c(aWO)与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C,且

点A的.坐标为A(-2,0),点C的坐标为C(0,6),对称轴为直线尤=1.点。是抛物线上一个动点，设

点。的横坐标为根(l<m<4),连接AC,BC,DC,DB.

(1)求抛物线的函数表达式；

3

（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的一时，求相的值；

4

（3）在（2）的条件下，若点/是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点

使得以点8,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说

明理由.

【答案】见解析.

,

【解析】解：（1），由题意得：\4a-2b+c=0

“=6

a=--T

b=3,

{c=6

二抛物线的函数表达式为：y=-%2+|x+6；

（2）过点£＞作DE,无轴于E,交BC于G,过点C作矶）交互（的延长线于R

:点A的坐标为（-2,0）,点C的坐标为（0,6）,

：.OA=2,OC=6,

11

：.SMOC=20A・OC=x2X6=6,

••S/\BCD—^AOC—4x6=

当y=0时，—#+全+6=0,

解得：xi=-2,X2=4,

.,.点B的坐标为（4,0）,

设直线BC的函数表达式为：y=kx+n,优=北+九，

16二九

解得：卜=一2,

(兀=6

直线BC的函数表达式为：y=—|^x+6,

:点。的横坐标为根(l<m<4),

工点。的坐标为:(加，一薪之+藐+6),点G的坐标为：(m,—1m+6),

DG=—ym2+7rm+6-(—-^m+6)=--Tnr+3mCF=m,BE=4-m,

4ZZ4f

〔1In

；・SABCD=SACDG+S/\BDG=]DG。CF+/DG。BE=]DGXQCF+BE)=—々加？+6机,

・329

・\—2机+6m=2，

解得：m\—\(舍去)，加2=3,

:・m的值为3.

(3)由(2)知D(3,—),B(4,0),

4

33

设M(m,0),N(n,--n2+-n+6),

42

①当四边形BNDM是平行四边形时，

3+4=m+n

<1533，解得：n=3(舍)或n=-l,m=8

——=——n+—n+6

〔442

即M(8,0)；

②当四边形BDMN是平行四边形时，

根+4=〃+3

<39315，解得：n=l+\/14n=l-^/14,m=y/14m=-A/14

——n+—〃+6-l=0

I424

即M(瓜0)、(-A/U,0);

③当四边形BDNM是平行四边形时，

n+4=m+3

<3。315,解得：n=3(舍)或n=-l,m=0,

——n+—〃+6=—

〔424

即M(0,0).

综上所述，满足条件的M坐标为(8,0)、(V14,0)>(0,0).

4.【2020•广西玉林】如图，已知抛物线：yi=-/-2尤+3与无轴交于A,2两点(A在B的左侧)，与y轴

交于点C.

(1)直接写出点A,B,C的坐标；

(2)将抛物线声经过向右与向下平移，使得到的抛物线”与x轴交于8,B两点(8在8的右侧)，顶点。

的对应点为点D1,若/8。8=90。，求点8的坐标及抛物线y2的解析式；

(3)在(2)的条件下，若点。在x轴上，则在抛物线yi或”上是否存在点尸，使以夕，C,Q,P为顶点

的四边形是平行四边形？,如果存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)在yi=-2x+3中，令yi=0,解得x=-3或1,

.".A(-3,0),B(1,0),

令尤=0,得至!jy=3,

：.C(0,3).

(2)设平移后的抛物线的解析式为y=-(x-a)2+b,

过点。作。7/_LO9于H.,连接8。，B'D'.

•..。是抛物线的顶点，

：.D'B=D'B',D'(a,b),

'：NBD'B'=90°,D'HLBB',

：・D'H=BH=HB'=b,

••ci1+。，

又-(x-a)2+b,经过8(1,0),

'.b=(1-a)2,

解得a=2或1（舍），b=l,

：.B'(3,0),

y2=-(x-2)2+l=-X2+4X-3.

(3)①2'(3,0),C(0,3),设Q(m,0),P(n,-n2-2n+3)

3=m+n」,人—

,解得：n=0(舍)或n=-2,即P(-2,3)；

3=-“2-2”+3

八2ccc，解得：n=-1+近或n=-l-夕，即P(-l+/,-3),(-l->/7,-3);

0=-n-2〃+3+3

3+n=m4

,解得：n=0(舍)或n=-2,即P(-2,3)；

3=—〃2_2〃+3

②&(3,0),C(0,3),设Q(m,0),P(n,-n2+4»-3)

3=m+n

3=-'此方程无实数解;

3+m=n

八2,cc，解得：n=0或n=4,即P(0,-3),(4,-3)；

0=-n+4n-3+3

3+n=m,、一

3f此方程无实数解;

综上所述，满足条件的点P的坐标为（-2,3）或（-1—近，-3）或（-1+近，-3）或（0,-.3）或

(4,-3).

5.12020・贵州黔东南州】已知抛物线丫=正+州+c（a/0）与x轴交于A、3两点（点A在点3的左边），

与y轴交于点。（0,-3）,顶点D的坐标为（1,-4）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）在y轴上找一点E,使得AE4c为等腰三角形，请直接写出点E的坐标.

（3）点尸是x轴上的动点，点。是抛物线上的动点，是否存在点尸、Q,使得以点尸、Q、B、。为顶

点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点尸、。坐标；若不存在，请说明理由.

1;

cK-/

D

【答案】见解析.

【解析】解：⑴,.抛物线的顶点为(1,-4),

设抛物线的解析式为y=a(x-l)2-4,

将点C(0,-3)代入抛物线y=。(尤-Ip-4中，得。一4=一3,

即a=l,

抛物线的解析式为y=。(尤-I)?-4=/-2x-3；

(2)由(1)知，抛物线的解析式为y=f-2尤-3,

令y=0,贝"-2x-3=0,

x=-1或x=3,

8(3,0),A(-l,0),

令x=0,贝Uy=-3,

C(0,-3),

Ac=yfid,

设点E(0,〃z),则AE=，/"+l,CE=\m+3\,

AAGE是等腰三角形，

①当AC=4E时，a=荷+1,

.•.m=3或根=—3(点C的纵坐标，舍去)，

，E(3,0),

②当AC=CE时，^0=\m+3\,

m=-3iy/lQ,

E(0,-3+而)或(0,-3-710),

③当AE=CE时，-Jm2+1=\m+3\,

4

/.JTI------,

3

4

即满足条件的点E的坐标为(0,3)、(0,-3+710),(0,-3-^10),(0,-1)

(3)存在,

D(1,-4,),B(3,0),

设P(m,0),Q(n,«2-2«-3),

①当四边形BDPQ是平行四边形时，

f3+m-l+n\m-2应-1\m=-2A/2-1

[0=n--2n-3-4]〃=l+2应n=1-272

即P(2A/2-1,0),Q(1+20,4)或P(-2夜-1,0),Q(1-2A/2,4)

②当四边形BDQP是平行四边形时

3+n=l+m,m=3

2»解得:1(舍)

0=n2-2n-3+4An=l

综上所述，P(2及一I,0),Q(1+2V2,4)或P(-2A/2-1,0),Q(l一2挺，4).

6.[2020•黑龙江大兴安岭】综合与探究

在平面直角坐标系中，抛物线y=#+fcc+c经过点A(-4,0),点M为抛物线的顶点，点8在y轴上，且

OA^OB,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图①.

(I)求抛物线的解析式；

(2)在坐标平面内是否存在点N,使以点A、。、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写

出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

图①

【答案】见解析.

【解析】解:

(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式得:

)

x16—4/+c=0=2

=0,

x4+2b+c=6

抛物线的表达式为：尸系+2x；

(2)存在，理由:

设点N(相，n),而点A、C、。的坐标分别为(-4,0)、(2,6)、(0,0),

①当AC为边时,

由平移得：0±6=m，0±6=几，解得：m=n=±6,

点N(6,6)或(-6,-6)；

②当AC是对角线时,

-4+2=徵+0,6+0=〃+0,

解得：m—-2,〃=6,

点N(-2,6)；

综上，点N的坐标为(6,6)或(-6,-6)或(-2,6).

7.12020糊北黄冈】已知抛物线>=以2+云+。与％轴交于点A(-1,0),点3(3,0),与y铀交于点C(0,

3).顶点为点。.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点尸在抛物线上，点。在x轴上，当以点。，C,P,。为顶点的四边形是平行四边形时，求点尸

的坐标;

【解析】解：(1)因为抛物线经过A(-b0),B(3,0),

可以假设抛物线的解析式为y=a(尤+1)(x-3),

把C(0,3)代入，可得a=-1,

二抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-/+2x+3.

当四边形P1QCD,四边形「2。20)是平行四边形时，点尸的纵坐标为1,

当y=l时，-?+2尤+3=1,

解得x=1+V3,

：.P1(1+V3,.1),尸2(1-V3,1),

当四边形P30OC,四边形P404DC是平行四边形时，点P的纵坐标为-1,

当y=1时，-x1+2x+3=-1,

解得x=1±V5,

：.P1(1+V5,-1),Pi(1-V5,-1),

综上所述，满足条件的点尸的坐标为(1+V3,1)或(1-V3,1)或(1-V5,-或(1+迷，-1).

8.【2020•湖南郴州】如图1,抛物线＞=0?+法+3(°。0)与无轴交于A(-1,0),B(3,0),与y轴交

于点C.己知直线y=fcr+〃过2,C两点.

(1)求抛物线和直线BC的表达式；

(2)点P是抛物线上的一个动点.如图2,抛物线的对称轴/与x轴交于点£,过点E作EFLBC,垂足为

况点。是对称轴/上的一个动点，是否存在以点E,F,P,。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求

出点尸，。的坐标；若不存在，请说明理由.

(图1)(图2)

【答案】见解析.

【解析】解：⑴把4(7,。)，2(3,。)代入产门灰+3得：工鼠，

解得,忆厂

二・抛物线的表达式，＞=-7+21+3,

.•.点C坐标为(0,3),

3fc+n=0

把8(3,0),C.(0,3)代入得:

n=—3

解得,C：：3

直线BC的表达式：y=-x+3.

(2)存在，理由如下：过点尸作FGLO8于G,

・•・OE=1,

VB（3,0）,C（0,3）

VOC=OB=3,NOCB=90°,

...△OCB是等腰直角三角形，

VZ£FB=90°,BE=OB-OE=2,

...AOCB是等腰直角三角形，

:.EG=GB=EG=1,

二点尸的坐标为（2,1）,

当所为边时，

,：EFPQ为平行四边形，

：.QE=PF,QE//PF//y^i,

：.点P的横坐标与点F的横坐标同为2,

当x=2时，y=-22+2><2+3=3,

点尸的坐标为（2,3）,

:.QE=PF=3-1=2,

点。的坐标为（1,2）；

当所为对角线时，

0

尸为平行四边形，

：.QE=PF,QE〃PF〃轴，

同理求得：点尸的坐标为（2,3）,

：.QE=PF=3-1=2,

点。的坐标为（1,-2）；

综上，点P的标为（2,3）,点。的坐标为（1,2）或（1,-2）.

9.12020•江苏苏州】如图，二次函数>=^+笈的图象与x轴正半轴交于点A,平行于x轴的直线/与该

抛物线交于B、。两点（点3位于点C左侧）,与抛物线对称轴交于点0（2,-3）.

(1)求》的值;

(2)设P、Q是x轴上的点(点尸位于点Q左侧)，四边形PBCQ为平行四边形.过点P、0分别作入轴

的垂线，与抛物线父于点P(X[,%)、Q'(.X2>y2)■若[y?1=2,求不、电的值.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)直线与抛物线的对称轴交于点0(2,-3),

故抛物线的对称轴为x=2,即工6=2,解得：b=T,

2

故抛物线的表达式为：y=x2-4x；

(2)把》=-3代入y=/-4x并解得x=i或3,

点、B、C的坐标分别为(1,-3)、(3,-3),则BC=2,

:四边形PBCQ为平行四边形，

PQ=BC-2,故三-为=2,

又；％=却-4番，%=¥-4龙2，1%一力1=2,

故|（X；-4%］）-（巷—4%）=2,|%+%2—41=1•

玉+%2=5或2+%2=—3，

_3

-2

由解得；

%+%=5=7

-2

由解得,

［石+/2=35

2

10.【2020•青海】如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y=-#+6x+c经过8、。两点，与x轴

的另一个交点为A,与y轴相交于点C.

（1）求抛物线的解析式.

（2）设抛物线的顶点为求四边形ABWC的面积.（请在图1中探索）

（3）设点。在y轴上，点P在抛物线上.要使以点A、8、P、。为顶点的四边形是平行四边形，求所有满

足条件的点尸的坐标.（请在图2中探索）

5X5

55

--

22

图1图2

【答案】见解析.

【解析】解：（1）把2（3,0）和。（-2,-f）代入抛物线的解析式得,

9

+3b+C-

2-0

—2—2b+c=

・•・抛物线的解析式为：y=-2%2+%+］；

1QQ

(2)令x=0,得y=—.^x2+x+=2?

3

・・・C(0,|),

令y=0,得y=_*%2+%+9=0,

解得，x=-L或x=3,

AA(-1,0),

,**y=—ix2+无+\=-i(x—l)2+2,

：.M(1,2),

S四边形ABA/CnSzxAOC+SaCOM+SziMOB

=2OA-OC+2OC-xM+2OB-yM

131319

=2X1X2+2X2X1+2X3X2=2;

（3）设。（0,n）,

①当AB为平行四边形的边时，有AB〃尸。，AB=PQ,

。点在尸点左边时，则。（-4,"）,

1Q

把。（-4,n）代入y=-2%2+%+才得n=-2~j

：.P（-4,一日0；

②。点在P点右边时，则。（4,〃），

把。（4,几）代入y=-2%2+%+.得几=——,

：.P（4,一|）；

③当A3为平行四边形的对角线时，如图，AB与尸。交于点£

9：PE=QE,：.P（2,-n）,

1QQ

把P（2,-n）代入y=—+%+a，得"=—2，

3

：.P（2,-）.

2

综上，满足条件的尸点坐标_为：（-4,一2年1）或（4,一慨[）或3（2,

11.12020•山东荷泽】如图，抛物线,=加+法—6与X轴相交于A,5两点，与y轴相交于点C,04=2,

03=4,直线/是抛物线的对称轴，在直线/右侧的抛物线上有一动点。，连接AD,BD,BC,CD.

（1）求抛物线的函数表达式；

Q

（2）若点。在九轴的下方，当ABCD的面积是-时，求AABD的面积；

2

(3)在(2)的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N,使得以点8,D,

M,N为顶点，以3D为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】解：(1)OA=2,OB=4,

•.A(-2,0),8(4,0),

4〃一2〃-6=0

把A(-2,0),仅4,0)代入抛物线y=渥+云_6中得:

16。+4b-6=0

33

二抛物线的解析式为：尸丁丁-6；

(2)过。作。轴于G,交BC于H,

：.C(0,-6),

设的解析式为：y=kx+b,

::工屋解得:

则2，

b=-6

_3

:.BC的解析式为：y=-x-6，

2

333

设--x-6),则H(x,—x-6),

3333

/.DH=-x—6—(—%2—x—6)=—炉+3x,

2424

9

ABCD的面积是一，

2

19

-DH.OB=-,

22

1-32c、9

一x4x(—x+3x)=—，

242

解得：％=1或3,

••点O在直线/右侧的抛物线上，

.•.AABD的面积=，AB.r>G=」x6x"="；

2244

（3）分两种情况：

「.N的纵坐标为一，

4

当丁="时，即』/一31一6="，

4424

角军得：彳=1+旧或1-9,

NQ-旧,")或(1+&Z,

4

②如图，点N在x轴的下方时，四边形是平行四边形，此时M与O重合,

综上，点N的坐标为：(1-V14,")或(1+旧，”)或

444

12.12020•山东聊城】如图，二次函数,==。/+云+4的图象与工轴交于点A(-1,0),5(4,0),与y轴交于

点C,抛物线的顶点为。，其对称轴与线段3c交于点E,垂直于x轴的动直线/分别交抛物线和线段BC于

点尸和点歹，动直线/在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到5点.

(1)求出二次函数,=加+陵+4和所在直线的表达式;

(2)在动直线/移动的过程中，试求使四边形DEEP为平行四边形的点P的坐标;

【解析】解：(1)将点4-1,0),8(4,0),代入得,

0=a-b+4

得:

0=16a+4Z?+4

a=-1

解得:

b=3

二次函数的表达式为：y=-x2+3x+4,

当冗=0时，y=4,

/.C(0,4),

设BC所在直线的表达式为：y=mx+n,

将。(0,4)、B(4,0)代入y=+

4=〃

得:

0=4m+n

m=-l

解得:

n=4

_BC所在直线的表达式为：y=—x+4；

(2)。石_Lx轴，尸产_Lx轴，

:.DE//PF,

只要_DE=PF,四边形DEEP即为平行四边形,

2c，/3、225

y=-x+3x+4=-(x-—)+—,

.•.点。的坐标为:(1,亍)，

将％=三3代3入y=—1+4,即>=—三+4=5三，

222

35

.••点E的坐标为：g,|),

八厂25515

DE=--------=——,

424

设点P的横坐标为，

则尸的坐标为：9-〃+3,+4),b的坐标为：&V+4),

/.PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t,

由DE=PF得:—r+4/=L,

4

解得：=-(不合题意舍去)，t=~,

t1l2222

当/=*时，—』+3/+4=—(9)2+3X』+4=2,

2224

点尸的坐标为g5,亍91)；

13[2020•四川甘孜州】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线>=丘+3分别交x轴、y轴于A,8两点,

经过A,8两点的抛物线y=-/+6x+c与x轴的正半轴相交于点C(1,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若尸为线段上一点，ZAPO=ZACB,求AP的长；

(3)在(2)的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N,使得以A,P,M,N为顶点

的四边形为平行四边形？若存在，求出点N