专项突破卷：圆锥曲线中的定直线问题（原卷版）

专题突破卷21圆锥曲线中的定直线问题

堡题好嵬

章题粤各个击破_______________________

题型一：椭圆中的定直线问题

1.已知椭圆C：J+y2=l的左右顶点分别为A,B,过r>t，o］的直线与椭圆C交于区F

两点(异于左右顶点)，直线AE,8尸相交于点P.

(1)求证：点P在定直线上；

(2)线段EF的中点为求AOMP面积的最大值.

2.已知椭圆C：±+*=1(。>6>0)的右顶点为43,0),离心率为好，过点P(3,2)的直

ab3

线/与C交于M,N两点.

11

(1)若C的上顶点为8,直线BM,8N的斜率分别为《，k2,求7+厂的值；

(2)过点/且垂直于x轴的直线交直线AN于点。证明：线段的中点在定直线上.

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3.已知椭圆C:[+]=l(a>b>0)的左、右焦点分别为片,心，上、下顶点分别为4,4,四

ab

边形AfjAK的面积为2石且有一个内角为三.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵若以线段FR为直径的圆与椭圆C无公共点，过点A(l,3)的直线与椭圆C交于p,Q两点

(点P在点。的上方)，线段PQ上存在点M,使得蔚=岗，求段的最小值•

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4.己知椭圆石:亍+方=1(°>6>0)的短轴长为2月，左、右顶点分别为"，过右焦点

尸(1,0)的直线/交椭圆E于42两点(不与C,。重合)，直线AC与直线3D交于点T.

⑴求椭圆E的方程；

⑵求证：点T在定直线上.

22

5.已知椭圆C：I+当=l(a>。>O)的左、右焦点分别为6,月,M(l,l)是C上一点,且点M到

ab

点用出的距离之和为2G.

(1)求C的方程；

(2)斜率为;的直线/与C交于43两点，则改1么5的外心是否在一条定直线上？若在,求

出该直线的方程；若不在，请说明理由.

6.已知椭圆C的两个顶点分别为A(0,l)、B(O-l),焦点在无轴上，离心率为手，直线

/:y=Ax-g(Z<0)与椭圆C交于M、N两点.

⑴求椭圆C的方程；

(2)当上变化时，是否存在过点A的定直线机，使直线加平分NM4N?若存在，求出该定直

线的方程；若不存在，请说明理由.

22

7.已知椭圆r京+5=1(°>0)的右焦点为尸(i,o),过点/且不垂直于坐标轴的直线交r于

AB两点，「在两点处的切线交于点Q.

(1)求证：点。在定直线上，并求出该直线方程；

⑵设点M为直线。。上一点，且求|A"|的最小值.

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8.已知椭圆C：2+方=l(a>6>0)的左、右焦点分别为耳,E，Q(LL5)是C上一点，

4

tan/居。弱=§.点片，层分别为C的上、下顶点，直线心>=履+1与C相交于两点,

直线M综八名交于点P

⑴求C的标准方程；

⑵证明点P在定直线4上，并求直线加耳围成的三角形面积的最小值.

9.平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形ABCD的顶点AB分别在x轴和y轴上滑动，

且加=2西+立而，记动点p的轨迹为曲线r.

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⑴求r的方程；

⑵过点E(4,l)的动直线/与曲线「交于不同的两点M,N时，在线段MN上取点Q,满足

|两丽|=|西"就|.试探究点。是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若

不是，说明理由.

10.已知椭圆C：5+*l(a>b>0)的离心率为当，点4-2,0)在c上.

(1)求C的方程；

⑵过点2(-2,1)的直线交C于P,Q两点,过点尸作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M,

证明：线段PM的中点在定直线上.

题型二：双曲线中的定直线问题

11.已知双曲线C:=-y2=im>])的右焦点为尸，过点尸的直线/交双曲线c于点A,B,

a

且|的最小值为半.

(1)求C的方程；

⑵若p(-V5,o),A,8均在C的右支上且.ABP的外心落在y轴上，求直线/的方程.

12.动点尸(X,y)与定点尸(2,0)的距离和它到定直线/:》=；的距离的比是2,记动点尸的轨

迹为曲线C.

(1)求C的方程；

⑵过R(-2,0)的直线/与c交于两点，且丽=4踮(a>0),若点M满足病="丽，证

明：点M在一条定直线上.

13.在平面直角坐标系即中，O为坐标原点，A(-l,0),5(1,0),动点尸满足人队=3,设

点p的轨迹为曲线r.

⑴求曲线「的方程；

(2)过点C(l,l)的直线/与曲线r在y轴右侧交于不同的两点M,N,在线段上取异于点M,

N的点。，满足|C"|・|DV|=|MD|"CN|.证明：点。在定直线上.

14.已知双曲线C的中心为坐标原点。，C的一个焦点坐标为耳(0,3),离心率为6.

⑴求C的方程；

(2)设C的上、下顶点分别为4，4,若直线/交C于加(石,乂)，N(程％),且点N在第一

3

象限，M%>。，直线AM与直线&N的交点尸在直线>=《上，证明：直线MN过定点.

2

15.已知双曲线C:尤2-1_=1的左、右顶点分别是4,4,直线/与C交于两点(不与4

3一

重合)，设直线4M,4N,/的斜率分别为勺,占,左，且(匕+&)左=-6.

(D判断直线/是否过x轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.

(2)若M,N分别在第一和第四象限内，证明：直线"A与N4的交点尸在定直线上.

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16.已知双曲线C：二-*■=/>0),直线/在％轴上方与％轴平行，交双曲线。于

4B两点，直线/交y轴于点D当/经过C的焦点时，点A的坐标为(6,4).

⑴求C的方程；

(2)设。。的中点为是否存在定直线/,使得经过加的直线与C交于P,Q,与线段A8

交于点MPM=APN，血=4的均成立；若存在，求出/的方程；若不存在，请说明理

由.

17.已知曲线C上的动点尸满足IP耳1尸81=2,且耳(—2,0),尖(2,0).

(1)求C的方程；

(2)若直线A3与C交于A、8两点，过A、8分别做C的切线，两切线交于点P.在以下两

个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.

①直线A3经过定点加(4,0)；

②点尸'在定直线x上.

4

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18.已知双曲线C：]-}=l(a>0,6>0)的离心率为过点E。,。)的直线/与C左右

两支分别交于M,N两个不同的点（异于顶点）.

（1）若点尸为线段的中点，求直线0P与直线斜率之积（。为坐标原点）；

⑵若48为双曲线的左右顶点，且|AB|=4,试判断直线AN与直线的交点G是否在

定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由

19.已知双曲线C:左、右焦点分别为G，鸟，点尸坐

标为（3,1）,且图•朋=6.

⑴求双曲线C的方程；

⑵过点P的动直线/与C的左、右两支分别交于两点若点M在线段AB上，满足

品\AP\=隔\BP\，证明：”在定直线上•

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20.已知月、分别为双曲线G：当-==1（。＞0,。＞0）的上、下焦点，其中K坐标为（0,2）

点M（石,0）是双曲线G上的一个点.

⑴求双曲线G的方程；

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⑵己知过点尸（4,1）的直线与6：当-三=1（。＞0,。＞0）上支交于不同的4、2两点，在线段

ab

AB上取点Q,满足|44］。理=|4。|­|尸耳，证明：点Q总在某条定直线上.

题型三：抛物线中的定直线问题

21.已知抛物线C:/=2px（p＞0）,过点0（0,2）的直线/与C交于不同的两点A,反当直线/

的倾斜角为135°时，|A3|=4回.

⑴求C的方程;

\DA\AE\

⑵在线段AB上取异于点A3的点E,且满足*5=得试问是否存在一条定直线，使得

邛

点E恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.

22.已知抛物线。:产=29(°>0)的焦点为歹，过尸作互相垂直的直线4,4,分别与C交于

A,B和RE两点(A,。在第一象限)，当直线乙的倾斜角等于45°时，四边形AD3E的面积

为32.

⑴求C的方程；

⑵设直线AD与BE交于点。，证明：点。在定直线上.

23.若抛物线1的方程为V=4x,焦点、为F,设尸,。是抛物线T上两个不同的动点.

⑴割尸耳=3,求直线Pf■的斜率；

(2)设尸。中点为R,若直线尸。斜率为母，证明R在一条定直线上.

24.已知抛物线C：j=y,过点E(0,2)作直线交抛物线C于A,B两点,过A,2两点分别

作抛物线C的切线交于点P.

(1)证明：尸在定直线上；

(2)若f为抛物线C的焦点，证明：^PFA=Z.PFB.

25.已知抛物线C:y2=4x的焦点为尸，直线4：y=K(x+2)与直线/2：y=&(x+2)与抛物

线C分别交于点P,Q和点R,S.

(1)若勺=；，求△尸。尸的面积；

(2)若直线PS与衣。交于点A,证明：点A在定直线上.

26.已知抛物线E：y=2px(p>0),过点(-1,0)的两条直线乙、乙分别交E于A、B两点和

C、。两点.当乙的斜率为:时，|钻|=2跳.

(1)求£的标准方程；

(2)设G为直线与2C的交点，证明：点G在定直线上.

27.已知抛物线C：V=2x,过尸(1,0)的直线与C相交于A,B两点，其中。为坐标原点.

(1)证明：直线OA,。8的斜率之积为定值；

(2)若线段的垂直平分线交y轴于且tanZAA*与，求直线A8的方程.

28.已知抛物线G：/=2/(2>0)和圆6：(》+1)2+产=2,倾斜角为45。的直线乙过G的焦点

且与Q相切.

⑴求p的值：

⑵点M在G的准线上，动点A在G上，C在A点处的切线/2交y轴于点B,设丽=疝+砺，

求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程.

29.已知直线丫=履+1与抛物线C：Y=8y交于A,B两点,分别过A,8两点作C的切线,

两条切线的交点为。.

(1)证明点。在一条定直线上；

⑵过点。作y轴的平行线交C于点E线段AB的中点为P,

①证明：E为Z)产的中点；

②求VADE面积的最小值.

30.已知直线'=履+1与抛物线C：尤2=8y交于A,2两点，分别过A,8两点作C的切线,

两条切线的交点为D

（1）证明点。在一条定直线上；

⑵过点。作y轴的平行线交C于点E,求VADE面积的最小值.

窿小时制/

22

1.椭圆C:工+1=1（。＞。＞0）的左右焦点分别为不工，焦距为20，点M为椭圆上位于

ab

X轴上方的一点，MFXMK=Q,且△岬乙的面积为2.

⑴求椭圆C的方程；

TT

（2）过点尸2的直线/与椭圆交于A，8两点，且=求直线/的方程.

2.已知3（-l,0）,C（l,0）为VA8C的两个顶点，P为VABC的重心，边AC,上的两条中线

长度之和为6.

（1）求点P的轨迹C的方程.

⑵已知点N（T0）,E（—2,0）,F（2,0）,直线PN与曲线C的另一个公共点为。，直线研与

F。交于点求证：当点尸变化时，点“恒在一条定直线上.

丫221

3.已知椭圆。：三十七=1（〃〉力＞0）的左、右顶点分别为4,4,且|4阕=4,离心率为彳,

cib2

过点M（3,0）的直线/与椭圆C顺次交于点°,P.

⑴求椭圆C的方程;

（2）是否存在定直线无=/与直线&P交于点G,使4,G,Q共线.

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4.已知双曲线E:=-3=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为我|、F?,寓局=2指且双曲

ab

线E经过点A(6,2).

⑴求双曲线E的方程；

⑵过点P(2,l)作动直线/,与双曲线的左、右支分别交于点M、N,在线段上取异于

\PM\\MH\.

点M、N的点“，满足।〉入了|='求证：点”怛在一条定直线上.

\PN\

5.在直角坐标平面内，已知人(-2,0),5(2,0),动点P满足条件：直线2与直线PB的斜

率之积等于记动点P的轨迹为E.

⑴求E的方程；

⑵过点C(4,0)作直线/交E于M,N两点，直线AM与3N交点。是否在一条定直线上？

若是，求出这条直线方程；若不是，说明理由.

6.己知双曲线C:0-斗=1.>0力>0)的右焦点为网2,0),渐近线方程为>=±瓜.