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文档简介
专题突破卷21圆锥曲线中的定直线问题
堡题好嵬
章题粤各个击破_______________________
题型一:椭圆中的定直线问题
1.已知椭圆C:J+y2=l的左右顶点分别为A,B,过r>t,o]的直线与椭圆C交于区F
两点(异于左右顶点),直线AE,8尸相交于点P.
(1)求证:点P在定直线上;
(2)线段EF的中点为求AOMP面积的最大值.
2.已知椭圆C:±+*=1(。>6>0)的右顶点为43,0),离心率为好,过点P(3,2)的直
ab3
线/与C交于M,N两点.
11
(1)若C的上顶点为8,直线BM,8N的斜率分别为《,k2,求7+厂的值;
(2)过点/且垂直于x轴的直线交直线AN于点。证明:线段的中点在定直线上.
22
3.已知椭圆C:[+]=l(a>b>0)的左、右焦点分别为片,心,上、下顶点分别为4,4,四
ab
边形AfjAK的面积为2石且有一个内角为三.
(1)求椭圆C的标准方程;
⑵若以线段FR为直径的圆与椭圆C无公共点,过点A(l,3)的直线与椭圆C交于p,Q两点
(点P在点。的上方),线段PQ上存在点M,使得蔚=岗,求段的最小值•
22
4.己知椭圆石:亍+方=1(°>6>0)的短轴长为2月,左、右顶点分别为",过右焦点
尸(1,0)的直线/交椭圆E于42两点(不与C,。重合),直线AC与直线3D交于点T.
⑴求椭圆E的方程;
⑵求证:点T在定直线上.
22
5.已知椭圆C:I+当=l(a>。>O)的左、右焦点分别为6,月,M(l,l)是C上一点,且点M到
ab
点用出的距离之和为2G.
(1)求C的方程;
(2)斜率为;的直线/与C交于43两点,则改1么5的外心是否在一条定直线上?若在,求
出该直线的方程;若不在,请说明理由.
6.已知椭圆C的两个顶点分别为A(0,l)、B(O-l),焦点在无轴上,离心率为手,直线
/:y=Ax-g(Z<0)与椭圆C交于M、N两点.
⑴求椭圆C的方程;
(2)当上变化时,是否存在过点A的定直线机,使直线加平分NM4N?若存在,求出该定直
线的方程;若不存在,请说明理由.
22
7.已知椭圆r京+5=1(°>0)的右焦点为尸(i,o),过点/且不垂直于坐标轴的直线交r于
AB两点,「在两点处的切线交于点Q.
(1)求证:点。在定直线上,并求出该直线方程;
⑵设点M为直线。。上一点,且求|A"|的最小值.
22
8.已知椭圆C:2+方=l(a>6>0)的左、右焦点分别为耳,E,Q(LL5)是C上一点,
4
tan/居。弱=§.点片,层分别为C的上、下顶点,直线心>=履+1与C相交于两点,
直线M综八名交于点P
⑴求C的标准方程;
⑵证明点P在定直线4上,并求直线加耳围成的三角形面积的最小值.
9.平面直角坐标系xOy中,面积为9的正方形ABCD的顶点AB分别在x轴和y轴上滑动,
且加=2西+立而,记动点p的轨迹为曲线r.
33
⑴求r的方程;
⑵过点E(4,l)的动直线/与曲线「交于不同的两点M,N时,在线段MN上取点Q,满足
|两丽|=|西"就|.试探究点。是否在某条定直线上?若是,求出定直线方程;若
不是,说明理由.
10.已知椭圆C:5+*l(a>b>0)的离心率为当,点4-2,0)在c上.
(1)求C的方程;
⑵过点2(-2,1)的直线交C于P,Q两点,过点尸作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M,
证明:线段PM的中点在定直线上.
题型二:双曲线中的定直线问题
11.已知双曲线C:=-y2=im>])的右焦点为尸,过点尸的直线/交双曲线c于点A,B,
a
且|的最小值为半.
(1)求C的方程;
⑵若p(-V5,o),A,8均在C的右支上且.ABP的外心落在y轴上,求直线/的方程.
12.动点尸(X,y)与定点尸(2,0)的距离和它到定直线/:》=;的距离的比是2,记动点尸的轨
迹为曲线C.
(1)求C的方程;
⑵过R(-2,0)的直线/与c交于两点,且丽=4踮(a>0),若点M满足病="丽,证
明:点M在一条定直线上.
13.在平面直角坐标系即中,O为坐标原点,A(-l,0),5(1,0),动点尸满足人队=3,设
点p的轨迹为曲线r.
⑴求曲线「的方程;
(2)过点C(l,l)的直线/与曲线r在y轴右侧交于不同的两点M,N,在线段上取异于点M,
N的点。,满足|C"|・|DV|=|MD|"CN|.证明:点。在定直线上.
14.已知双曲线C的中心为坐标原点。,C的一个焦点坐标为耳(0,3),离心率为6.
⑴求C的方程;
(2)设C的上、下顶点分别为4,4,若直线/交C于加(石,乂),N(程%),且点N在第一
3
象限,M%>。,直线AM与直线&N的交点尸在直线>=《上,证明:直线MN过定点.
2
15.已知双曲线C:尤2-1_=1的左、右顶点分别是4,4,直线/与C交于两点(不与4
3一
重合),设直线4M,4N,/的斜率分别为勺,占,左,且(匕+&)左=-6.
(D判断直线/是否过x轴上的定点.若过,求出该定点;若不过,请说明理由.
(2)若M,N分别在第一和第四象限内,证明:直线"A与N4的交点尸在定直线上.
22
16.已知双曲线C:二-*■=/>0),直线/在%轴上方与%轴平行,交双曲线。于
4B两点,直线/交y轴于点D当/经过C的焦点时,点A的坐标为(6,4).
⑴求C的方程;
(2)设。。的中点为是否存在定直线/,使得经过加的直线与C交于P,Q,与线段A8
交于点MPM=APN,血=4的均成立;若存在,求出/的方程;若不存在,请说明理
由.
17.已知曲线C上的动点尸满足IP耳1尸81=2,且耳(—2,0),尖(2,0).
(1)求C的方程;
(2)若直线A3与C交于A、8两点,过A、8分别做C的切线,两切线交于点P.在以下两
个条件①②中选择一个条件,证明另外一个条件成立.
①直线A3经过定点加(4,0);
②点尸'在定直线x上.
4
22_
18.已知双曲线C:]-}=l(a>0,6>0)的离心率为过点E。,。)的直线/与C左右
两支分别交于M,N两个不同的点(异于顶点).
(1)若点尸为线段的中点,求直线0P与直线斜率之积(。为坐标原点);
⑵若48为双曲线的左右顶点,且|AB|=4,试判断直线AN与直线的交点G是否在
定直线上,若是,求出该定直线,若不是,请说明理由
19.已知双曲线C:左、右焦点分别为G,鸟,点尸坐
标为(3,1),且图•朋=6.
⑴求双曲线C的方程;
⑵过点P的动直线/与C的左、右两支分别交于两点若点M在线段AB上,满足
品\AP\=隔\BP\,证明:”在定直线上•
22
20.已知月、分别为双曲线G:当-==1(。>0,。>0)的上、下焦点,其中K坐标为(0,2)
点M(石,0)是双曲线G上的一个点.
⑴求双曲线G的方程;
22
⑵己知过点尸(4,1)的直线与6:当-三=1(。>0,。>0)上支交于不同的4、2两点,在线段
ab
AB上取点Q,满足|44]。理=|4。||尸耳,证明:点Q总在某条定直线上.
题型三:抛物线中的定直线问题
21.已知抛物线C:/=2px(p>0),过点0(0,2)的直线/与C交于不同的两点A,反当直线/
的倾斜角为135°时,|A3|=4回.
⑴求C的方程;
\DA\AE\
⑵在线段AB上取异于点A3的点E,且满足*5=得试问是否存在一条定直线,使得
邛
点E恒在这条定直线上?若存在,求出该直线;若不存在,请说明理由.
22.已知抛物线。:产=29(°>0)的焦点为歹,过尸作互相垂直的直线4,4,分别与C交于
A,B和RE两点(A,。在第一象限),当直线乙的倾斜角等于45°时,四边形AD3E的面积
为32.
⑴求C的方程;
⑵设直线AD与BE交于点。,证明:点。在定直线上.
23.若抛物线1的方程为V=4x,焦点、为F,设尸,。是抛物线T上两个不同的动点.
⑴割尸耳=3,求直线Pf■的斜率;
(2)设尸。中点为R,若直线尸。斜率为母,证明R在一条定直线上.
24.已知抛物线C:j=y,过点E(0,2)作直线交抛物线C于A,B两点,过A,2两点分别
作抛物线C的切线交于点P.
(1)证明:尸在定直线上;
(2)若f为抛物线C的焦点,证明:^PFA=Z.PFB.
25.已知抛物线C:y2=4x的焦点为尸,直线4:y=K(x+2)与直线/2:y=&(x+2)与抛物
线C分别交于点P,Q和点R,S.
(1)若勺=;,求△尸。尸的面积;
(2)若直线PS与衣。交于点A,证明:点A在定直线上.
26.已知抛物线E:y=2px(p>0),过点(-1,0)的两条直线乙、乙分别交E于A、B两点和
C、。两点.当乙的斜率为:时,|钻|=2跳.
(1)求£的标准方程;
(2)设G为直线与2C的交点,证明:点G在定直线上.
27.已知抛物线C:V=2x,过尸(1,0)的直线与C相交于A,B两点,其中。为坐标原点.
(1)证明:直线OA,。8的斜率之积为定值;
(2)若线段的垂直平分线交y轴于且tanZAA*与,求直线A8的方程.
28.已知抛物线G:/=2/(2>0)和圆6:(》+1)2+产=2,倾斜角为45。的直线乙过G的焦点
且与Q相切.
⑴求p的值:
⑵点M在G的准线上,动点A在G上,C在A点处的切线/2交y轴于点B,设丽=疝+砺,
求证:点N在定直线上,并求该定直线的方程.
29.已知直线丫=履+1与抛物线C:Y=8y交于A,B两点,分别过A,8两点作C的切线,
两条切线的交点为。.
(1)证明点。在一条定直线上;
⑵过点。作y轴的平行线交C于点E线段AB的中点为P,
①证明:E为Z)产的中点;
②求VADE面积的最小值.
30.已知直线'=履+1与抛物线C:尤2=8y交于A,2两点,分别过A,8两点作C的切线,
两条切线的交点为D
(1)证明点。在一条定直线上;
⑵过点。作y轴的平行线交C于点E,求VADE面积的最小值.
窿小时制/
22
1.椭圆C:工+1=1(。>。>0)的左右焦点分别为不工,焦距为20,点M为椭圆上位于
ab
X轴上方的一点,MFXMK=Q,且△岬乙的面积为2.
⑴求椭圆C的方程;
TT
(2)过点尸2的直线/与椭圆交于A,8两点,且=求直线/的方程.
2.已知3(-l,0),C(l,0)为VA8C的两个顶点,P为VABC的重心,边AC,上的两条中线
长度之和为6.
(1)求点P的轨迹C的方程.
⑵已知点N(T0),E(—2,0),F(2,0),直线PN与曲线C的另一个公共点为。,直线研与
F。交于点求证:当点尸变化时,点“恒在一条定直线上.
丫221
3.已知椭圆。:三十七=1(〃〉力>0)的左、右顶点分别为4,4,且|4阕=4,离心率为彳,
cib2
过点M(3,0)的直线/与椭圆C顺次交于点°,P.
⑴求椭圆C的方程;
(2)是否存在定直线无=/与直线&P交于点G,使4,G,Q共线.
22
4.已知双曲线E:=-3=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为我|、F?,寓局=2指且双曲
ab
线E经过点A(6,2).
⑴求双曲线E的方程;
⑵过点P(2,l)作动直线/,与双曲线的左、右支分别交于点M、N,在线段上取异于
\PM\\MH\.
点M、N的点“,满足।〉入了|='求证:点”怛在一条定直线上.
\PN\
5.在直角坐标平面内,已知人(-2,0),5(2,0),动点P满足条件:直线2与直线PB的斜
率之积等于记动点P的轨迹为E.
⑴求E的方程;
⑵过点C(4,0)作直线/交E于M,N两点,直线AM与3N交点。是否在一条定直线上?
若是,求出这条直线方程;若不是,说明理由.
6.己知双曲线C:0-斗=1.>0力>0)的右焦点为网2,0),渐近线方程为>=±瓜.
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