中考数学专项复习：轴对称综合题-线段、面积、角度问题（含答案及解析）

轴对称综合题一线段、面积、角度问题（专项培优训练）

试卷满分：100分考试时间：120分钟试卷难度：中等

试卷说明：本套试卷结合人教版数学八年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问

题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强

化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。

一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（本题2分）（2022秋•山西吕梁•八年级统考期末）如图，直线。是一条输气管道，M,N是管道同侧

的两个村庄，现计划在直线々上修建一个供气站。，向“，N两村庄供应天然气.在下面四种方案中，铺设

管道最短的是（）

2.（本题2分）（2018•天津河北•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线/是一三象限的

角平分线，点P的坐标为（3』），点M是直线/上的动点，点N是x轴上的动点，则PM+MN的最小值为（）

3.（本题2分）（2023秋•重庆南川•八年级统考期末）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个

图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字（）的格子内.

A.1B.2C.3D.4

4.（本题2分）（2023春•内蒙古巴彦淖尔•八年级统考期末）如图，一次函数>=履+。的图象与x轴、y

轴分别交于点A（2,0）,8（0,4）,点C,。分别是OA,的中点，尸是上一动点，则PD+PC的最小

5.（本题2分）（2023春•福建漳州•八年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，在"C中，AB=AC,

BC=6,S11Ase=18,。是BC中点，EF垂直平分AB,交AB于点E,交AC于点尸，在EF上确定一点P,

使+最小，则这个最小值为（）

C.9D.12

6.（本题2分）（2023秋•新疆乌鲁木齐•八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期末）如图，已知/AOB

的大小为a,P是—403内部的一个定点，且OP=5,点£、产分别是。4、08上的动点，若PE尸周长

的最小值等于5,则£=（）

oB

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.（本题2分）（2022秋•全国•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点4-2,2）,8（2,6）,点p为x轴

上一点，当PA+P2的值最小时，三角形P4B的面积为（）

A.1B.6C.8D.12

8.（本题2分）（2022秋•河北邢台•八年级校考阶段练习）现需要在某条街道/上修建一个核酸检测点P,

向居住在A,B小区的居民提供核酸检测服务，要使P到A,8的距离之和最短，则核酸检测点P符合题意

的是（）

BB

・♦

/P1P

9.（本题2分）（2022秋•河南信阳•八年级校考阶段练习）如图，在中，ZACB=90。，AC=6,

BC=8,AB=1O,AD是44c的平分线.若P,。分别是A。和AC上的动点，则PC+尸。的最小值是（）

C.2.4D.4.8

10.（本题2分）（2022秋•河北邯郸•八年级校考阶段练习）如图，直线〃?表示一条河，点M、N表示两

个村庄，计划在〃，上的某处修建一个水泵向两个村庄供水.在下面四种铺设管道的方案中，所需管道最短

二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.

11.（本题2分）（2023・浙江•八年级假期作业）如图，点P关于OB的对称轴分别为C、D,连接CO,

交。4于M,交OB于N.ZAOB=46°,求ZMPN=

12.（本题2分）（2023秋•宁夏石嘴山•八年级校考期末）在.ABC中，AB^AC,BC=5,=15,ADJ.BC

于点。，EF垂直平分AB,交AB于点E,交AC于点F，在EF上确定一点P,使PB+PD最小，则这个

最小值为.

13.（本题2分）（2023秋•江苏连云港•八年级统考期末）如图，在中RABC,NC=90。，ZB=60°,点

£）在BC上，M=4,点P、E分别是AC、AB上动点，当OP+EP的值最小时，3E=5,则AB的长为.

14.（本题2分）（2023秋・湖北黄石•八年级统考期末）如图，已知NAO8=30。，OC平分/A03,在。4

上有一点M,OM=10V3cm,现要在。。,上分别找点Q,N,使QM+QN最小，则其最小值为cm.

15.（本题2分）（2022秋•湖南岳阳•八年级校考期中）如图，直线/垂直平分,ABC的AB边，在直线/上

任取一动点O,连结。4、OB、OC.若。4=5,则。3=.若AC=9,BC=6,贝|BOC的最小

周长是.

16.（本题2分）（2023春•河南开封•八年级校考阶段练习）如图，在周长为16的菱形ABCD中，点£、尸

分别在边AB、AO上，AE=LAF=3,尸为2。上一动点，则线段EP+股长度的最小值为.

A

17.（本题2分）（2022春・湖南娄底•八年级娄底一中校考阶段练习）如图，在45c中，ZC=90°,44=30。,

BC=1,直线加垂直平分AC,点P为直线加上的动点，则P8+PC的最小值是.

18.（本题2分）（2023秋•河北沧州•八年级统考期末）如图，已知点点E分别是等边三角形ABC中BC,

边的中点，匹=5,点/是AD由动点，则8歹+所的最小值__________.

19.（本题2分）（2022秋•湖北十堰•八年级十堰市实验中学校考期中）如图，等边ABC中，。为AC中

点，点尸、。分别为必AD上的点，BP=AQ=4,QD=3,在2。上有一动点£,则PE+QE的最小值

为.

20.（本题2分）（2023秋•山西晋城•八年级统考期末）如图，在ASC中，AB=AC^13,BC=10,AD

为中线，点£在中线上运动，但不与点4。重合，点厂在N8上运动，但不与点48重合，连接8E

和EF.则BE+EF的最小值是

三、解答题：本大题共8小题，21-22题每小题6分，23-28题每小题8分，共60分.

21.（本题6分）（2023•江苏•八年级假期作业）如图所示.

1111111111A

-5-4^2-41,O12345x

--T-1—r-s-rr--i-1----r—i—i

(1111II।।।

14

r-4,--j--I--------

।।।।I**iiiii

u-1-J--L_—

1111r-J।।।।t

11111d।।।।।

j—T—i—i—r-fcf—~i—r-T—i—i

,1111iiii।

(I)作出ABC关于y轴对称的图形4A片G；

(2)在X轴上确定一点P,使得P4+PC最小;

⑶求出ABC的面积.

22.（本题6分）（2023春•广东河源•八年级统考开学考试）如图已知平面直角坐标系中

A（-l,3）,B（2,O）,C（-3,-l）

Ay

（i）在图中作出ABC关于y轴的对称图形△A4G，并写出点A，Bt,G的坐标.

（2）在>轴上找一点P,使R4+PC最短，并求出p点的坐标.

23.（本题8分）（2023秋•八年级课时练习）如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地《吃草，然后赶

羊到小河4饮水，之后再回到8处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明

吃草与饮水的位置.

24.（本题8分）（2023秋•八年级课时练习）如图，四边形ABCD为正方形，M,N分别是AB,BC边

的中点，请在对角线AC上找一点P,使尸河+PN的值最小（不写作法，保留作图痕迹）.

25.（本题8分）（2023秋•山西阳泉•八年级统考期末）如图，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（-6,4）,

B（T,O）,C（-2,2）.

（1）作ABC关于y轴的轴对称图形得△A4G，画出图形，并直接写出点A的坐标」

（2）已知点尸是X轴上一点，则p\+PC的最小值是

26.（本题8分）（2023春•四川南充•八年级南部县第二中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱

形。4BC的对角线06在x轴上，已知点A（4,2）,点。在Q4上，坐标为（2,m）,在05上求作一点P,

⑴求点尸的坐标；

（2）求PD+PA最小值.

27.（本题8分）（2023春•湖北襄阳•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系犬。V中，点。是坐标原

点，直线=与直线AC:y=-2x+6交于点N,两直线与x轴分别交于点明可和C（2,0）.

（1）求直线AB和直线AC的解析式；

（2）点尸是y轴上一点，当R4+PC最小时，求点P的坐标.

28.（本题8分）（2023春・广西南宁•八年级统考期末）已知直线/为x+y=8,点P（x,y）在/上，且x>0,y>0,

点A的坐标为(4,0).

(1)设△OAP的面积为S,求S与尤的函数关系式，并直接写出x的取值范围;

(2)当S=10时，求点P的坐标；

(3)在直线/上有一点使OM+M4的和最小，求点M的坐标.

轴对称综合题一线段、面积、角度问题（专项培优训练）

试卷满分：100分考试时间：120分钟试卷难度：中等

试卷说明：本套试卷结合人教版数学八年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问

题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强

化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。

一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（本题2分）（2022秋•山西吕梁•八年级统考期末）如图，直线。是一条输气管道，M,N是管道同侧

的两个村庄，现计划在直线。上修建一个供气站O,向“，N两村庄供应天然气.在下面四种方案中，铺设

【答案】C

【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离.

【详解】解：作点M关于直线a的对称点加’，连接交直线a于。.

根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短.

故选：C.

【点睛】本题考查了最短路径的数学问题.这类问题的解答依据是"两点之间，线段最短”.由于所给的条件

的不同，解决方法和策略上又有所差别.

2.（本题2分）（2018•天津河北•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线/是一三象限的

角平分线，点P的坐标为（3,1）,点M是直线/上的动点，点N是x轴上的动点，则PM+MN的最小值为（）

C.4D.5

【答案】B

【分析】作N点关于/的对称点N',根据对称性可得=故欲使尸河+W最小要保证p、M、N'

是一三象限的角分线,

••.X轴与》轴关于/对称，

作N点关于/的对称点N',

则N'必在》轴上，目MN二MN,

欲使PM+MN最小，

只需尸M+最小，

欲使PM+MN'最小至少要保证P、M、N'三点共线,

此时最小值为PN',恰为P点到y轴的连接，

点到直线的连线中垂线段最短，

故轴时取得最小值，

此时PN'=3,

故选B.

【点睛】此题主要考查对称性的应用，解题的关键是作N点关于/的对称点N',再根据对称性求解.

3.（本题2分）（2023秋・重庆南川•八年级统考期末）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个

图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字（）的格子内.

【答案】C

【分析】从阴影部分图形的各顶点向虚线作垂线并延长相同的距离找对应点，然后顺次连接各点可得答案.

【详解】如图所示，

把阴影涂在图中标有数字3的格子内所组成的图形是轴对称图形.

故选：c.

【点睛】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质，基本作法：①先确定图

形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点.

4.（本题2分）（2023春•内蒙古巴彦淖尔•八年级统考期末）如图，一次函数>=履+。的图象与x轴、〉

轴分别交于点4（2,0）,8（0,4）,点C,。分别是。4,的中点，尸是上一动点，则PD+PC的最小

A.V5B.4C.2A/2D.20+2

【答案】c

【分析】如图，作点C关于y轴的对称点C',连接尸C',连接C'Z）,交y轴于点口，由对称知，PC=PC,

由两点之间线段最短，可知当C'，P，O三点共线时，PD+PC=PD+Pa=OD取最小值；由中位线定理,

CD//OB,CD=2,△△C'CD中，CC'=2,Cf）=SJCD2+CCf=25/2.

【详解】解：如图，作点C关于y轴的对称点C,连接PC',连接C'£>,交y轴于点口.由对称知，PC=PC,

：.PD+PC="+伊C0,当C',P,D三点共线时，PD+PC=PD+PCkC0,取最小值，

VC,D分别是以，AB的中点

CD=—OB=4=2

/.CD//OB,22

/.DDCO=DC（OP=90°

RtACCD中，CC<t=IOC=2

...Cf£>=\/CD2+CCi=V22+22=2V2

故选：C.

【点睛】本题考查轴对称，勾股定理，两点之间线段最短，运用轴对称知识作出辅助线，将求线段和最小

值转化为求线段长是解题的关键.

5.（本题2分）（2023春•福建漳州•八年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，在"C中，AB=AC,

BC=6,S^c=18,。是中点，EP垂直平分AB,交AB于点E,交AC于点尸，在EF上确定一点P,

使PB+PD最小,则这个最小值为（）

A

C.9D.12

【答案】B

【分析】连接8尸,根据垂直平分线的性质以及轴对称的性质即可求解.

【详解】解：如图所示：连接8尸

18

AB=AC,BC=6,ABC=,。是BC中点，

.•.ADI3c于点。，

:.AD=6,

：所垂直平分AS,

.•.点P到A,B两点的距离相等，

••AD的长度=PB+PD的最小值，

即尸8+PO的最小值为6,

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道AD的长

度=9+尸。的最小值是解题的关键.

6.（本题2分）（2023秋•新疆乌鲁木齐•八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期末）如图，己知/AOB

的大小为a,P是NAOB内部的一个定点，且OP=5,点E、B分别是。4、08上的动点，若PEP周长

的最小值等于5,则。=（）

瓦

，p

B

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】设点P关于8的对称点为C,关于08的对称点为〃，当点E、尸在⑦上时，尸所的周长为

PE+EF+FP=CD,此时周长最小，根据8=5可得出「COD是等边三角形，进而可求出。的度数.

【详解】解：如图，作点P关于8的对称点C,关于08的对称点。，连接。，交。4于E,08于尸.

此时，.尸所的周长最小.

连接。C,OD,PE,PF.

点P与点C关于以对称，

垂直平分尸C,

:.ZCOA=ZAOP9PE=CE,OC=OP,

同理，可得=PF=DF,OD=OP.

:.NCOA+NDOB=NAOP+NBOP=NAOB=a,OC=OD=OP=5f

NCOD=2a

又：PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5,

.•.OC=OD=CD=5,

•••CO。是等边三角形，

/.2a=60°,

/.or=30°

故选：A.

【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键.要使［PEF的周长最小，

通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决.

7.(本题2分)(2022秋•全国•八年级期末)如图，在平面直角坐标系中，点4-2,2)，8(2,6),点p为无轴

上一点，当PA+PB的值最小时，三角形P4B的面积为()

A.1B.6C.8D.12

【答案】B

【分析】如图，作点A关于x轴的对称点A,连接A8交x轴于点P,连接AP,此时尸A+PB的值最小，进

而根据SPAB=S~5'IA4-P,即可求解.

【详解】如图，作点A关于X轴的对称点A,连接A2交x轴于点P,连接AP,此时PA+PB的值最小，

由图可知，点P坐标为(-1,0),

..A(-2,2),8(2,6),A'(-2,-2),P(-l,0)

•，

«_sx4x4-—x4xl=6

^PAB=^AA'B-^AA'P=22,

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键.

8.（本题2分）（2022秋•河北邢台•八年级校考阶段练习）现需要在某条街道/上修建一个核酸检测点P,

向居住在A,B小区的居民提供核酸检测服务，要使P到A,B的距离之和最短，则核酸检测点P符合题意

的是（）

【答案】A

【分析】作A点关于直线I的对称点，连接对称点和点B交I于点P,进而根据轴对称性质解答即可.

【详解】解：作A点关于直线I的对称点，连接对称点和点B交I于点P,P即为所求；

故选：A.

【点睛】此题考查轴对称中的最短路线问题，关键是作A点关于直线I的对称点.

9.（本题2分）（2022秋・河南信阳•八年级校考阶段练习）如图，在RtA4BC中，ZACB=90。，AC=6,

BC=8,AB=1O,AD是N54C的平分线.若分别是A。和AC上的动点，则尸C+尸。的最小值是（）

【答案】D

【分析】由题意可以把Q反射到A8的。点，如此尸C+PQ的最小值问题即变为c与线段上某一点o

的最短距离问题，最后根据"垂线段最短”的原理得解.

【详解】解：如图，作Q关于AP的对称点。，连接尸0,过点C作CM±9于点M,则PQ=P0,所以。、

P、C三点共线时，CO=PC+PO=PC+PQ此时PC+PQ有可能取得最小值,

当C0垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小,

PC+PQ的最小值即为C"的长度,

l

Sv.nr=-ABxCM=-ACxCB

V4BC22

叱小4.8

即PC+尸0的最小值为4.8,故D正确.

【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴反射把线段和最小的问题转化为线段外一

点到线段某点连线段最短问题是解题关键.

10.（本题2分）（2022秋•河北邯郸•八年级校考阶段练习）如图，直线机表示一条河，点〃、N表示两

个村庄，计划在加上的某处修建一个水泵向两个村庄供水.在下面四种铺设管道的方案中，所需管道最短

的方案是（图中实线表示铺设的管道）（）

【答案】D

【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离.

【详解】解：作点M关于直线m的对称点加'，连接M0'交直线m于Q,

根据两点之间，线段最短，可知选项D修建的管道最短，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了最短路径问题，这类问题的解答依据是"两点之间，线段最短”.由于所给的条件的

不同，解决方法和策略上又有所差别.

二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.

11.（本题2分）（2023•浙江•八年级假期作业）如图，点P关于。4、03的对称轴分别为C、D,连接CD,

交。4于交OB于N.ZAOB=46°,求NMPN=.

【答案】88。归8度

［分析】首先求出/C+/D=46。证明NPNAf=ND+NOPN2=2ND,/PMN=/C+/CPM=2NC,,

推出/PW+NPMM=92。，可得结论.

【详解】解：关于°A、的对称轴分别为C、D,

:.PM=CM,PN=DN,NC=NCPM,ND=NDPN,

­;ZAOB=46°,

ZCPD=180°—46°=134°,

•••/C+/D=46°，

...ZPNM=ZD+ZDPN2=2ND,^PMN=ZC+ZCPM=2NC

：,NPMN+/PNM=2x46°=92°,

.ZMPN=180°-（ZPMN+ZPNM）=180°-92°=88°

故答案为：88。.

【点睛】本题考查轴对称，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活

运用所学知识解决问题.

12.（本题2分）（2023秋•宁夏石嘴山•八年级校考期末）在：ABC^,AB=AC,BC=5,=15,ADJ.BC

于点D,EF垂直平分AB,交AB于点E,交AC于点产，在EF上确定一点P,使尸B+PD最小，则这个

最小值为.

【答案】6

【分析】连接^尸,根据垂直平分线的性质以及轴对称的性质即可求解.

【详解】解：如图所示：连接8尸

AB=AC,BC=5,SAABC=15,ADS3C于点。,

:.AD=6,

E/垂直平分A8,

.•.点P到A,B两点的距离相等，

•••AO的长度=PB+PD的最小值，

即尸2+尸。的最小值为6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道AD的长

度=P3+P。的最小值是解题的关键.

13.（本题2分）（2023秋•江苏连云港•八年级统考期末）如图，在中RABC,ZC=90°,/3=60。，点

。在2C上，BD=4,点P、E分别是AC、A8上动点，当。尸+EP的值最小时，跖=5,则A8的长为.

【答案】14

【分析】根据动点的运动，当点。、尸、/（E关于AC的对称点）三点共线且于点£时,

。尸+£尸=。尸+/＞史=。£的值最小，再根据等边三角形的性质，即可求出答案.

【详解】如图所示，以AC为对称轴作VA*C,E的对称点为尽；

DP+EP=DP+PE',

当。、P、E'三点共线且OEU42'时，。尸+即=。尸+/^'=。£的值最小，

DE'1AB',NB=NB'=60。,BE=B'E'=5,

B'D=2B'E'=IO,

：,B'B=B'D+BD=14,

ZB=Z5,=6O°,

.•.△ABB是等边三角形，

AB=B'B=14,

故答案为14.

【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，等边三角形和直角三角形的知识，解题的关键是掌握轴对称最短

路径问题，等边三角形的性质和直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半.

14.（本题2分）（2023秋•湖北黄石•八年级统考期末）如图，已知NAOB=30。，OC平分N49B，在。4

上有一点M,OM=106cm,现要在OC,上分别找点Q,N,使QM+QN最小，则其最小值为cm.

【答案】5君

【分析】作M关于0c的对称点P,过点P作尸NLQ4于N,交0c于Q,则此时的值最小，可

求。尸=OM=106cm,PQ=MQ/PNO=90。,再根据含30。角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】作M关于0c的对称点P,过点P作/WQ4于N,交℃于Q,则此时QM+QN的值最小，

VZAOB=30°,OC平分NA03,在。4上有一点反，

关于0c对称，

点P在上，

•OP=OM=10芯cmPQ=MQZPNO=90°

••，，，

PAf=-OP=-xloV3=5V3cm

22,

.QM+QN=PQ+QN=PN=5^3cm

••，

故答案为：50.

【点睛】本题考查了含3。°角的直角三角形的性质，轴对称一最短路线问题，垂线段最短的应用，能够确定

0，N的位置是解题的关键.

15.（本题2分）（2022秋•湖南岳阳•八年级校考期中）如图，直线/垂直平分ABC的AB边，在直线/上

任取一动点0,连结。4、OB、OC.若。4=5,则03=.若AC=9,BC=6,贝!I8OC的最小

周长是.

【分析】根据直线/是A8边的垂直平分线，则49=30,O8+OC=AC最小，此时的周长有最小值

为3C+AC,进而即可求解.

【详解】当直线/与AC的交点为0时（即点°移到AC上时），如图,

:直线/是AB边的垂直平分线，

:.AO=BOf

CO+BO=CO+AO-AC,止匕时OB+OC—AC最小，

BOC的周长=5O+OC+8C=AB+AC,

此时IBOC的周长有最小值为BC+AC,

：AC=9,8c=6,

•••30c周长的最小值为15

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键.

16.（本题2分）（2023春・河南开封•八年级校考阶段练习）如图，在周长为16的菱形ABCD中，点£、/

分别在边A5、AD上，AE=1,A歹=3,P为8。上一动点，则线段EP+长度的最小值为.

【答案】4

【分析】在℃上截取DG=FD,连接EG,则EG与BD的交点为p,EG的长就是EP+4的最小值，据

此即可求解.

【详解】解：•••菱形MCO的周长为16,

AB=BC=CD=DA=4,

在°C上截取DG=ED,连接EG,则EG与8。的交点为P.

：.PF=PG,

EP+FP=PG+PE=EG,即EG的长就是EP+FP的最小值,

.-.DG=FD=AD-AF=4-3=1,

•••AE=1,

：.GD=AE,

：.四边形.GO是平行四边形

.-.EG=AD=4_

故答案为：4.

【点睛】本题考查了轴对称，理解菱形的性质，对角线所在的直线是菱形的对称轴是关键.

17.（本题2分）（2022春•湖南娄底•八年级娄底一中校考阶段练习）如图，在QABC中，/C=90。，NA=30。,

BC=1,直线加垂直平分AC,点P为直线加上的动点，则P8+PC的最小值是.

【答案】2

【分析】根据直线m垂直平分&C,得到点A与C关于直线m对称，设直线m与A8的交点为D,当点P

与D重合时，P3+PC的值最小，且最小值是AB的长度，根据直角三角形的性质得到结论.

【详解】解：：直线m垂直平分AC,

点A与C关于直线m对称，

设直线m与A8的交点为D,

当点P与D重合时，P3+PC的值最小，此时尸4=PC则P3+PC最小值是A8的长度，

•.•在：ABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=I,

AB=2BC^2,

...P3+PC的最小值是2,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，含30度角的直角三角形以及线段垂直平分线的性质，解题

的关键是找到点P所在的位置.

18.（本题2分）（2023秋•河北沧州•八年级统考期末）如图，已知点。，点E分别是等边三角形ABC中8C,

边的中点，瓦>=5,点/是AO由动点，则+所的最小值___________.

【答案】5君

【分析】根据已知条件得出等边三角形的边长为10，连接CE,CF,根据轴对称的性质，得出

BF+EF=CF+EF>EC,当斤在线段EC上时，取得最小值，最小值为EC的长，勾股定理即可求解.

【详解】解：・・,点。，点E分别是等边三角形中3C,A3边的中点，ED=5,

・ADLBC,BD=CD=BE

ZEBD=60°

：.BE。是等边三角形,

ED=BE=EA=-AB

-2

BE=BD=-BC=5

.・AB=2ED=102,

如图，连接CE,CT,则'+班'=b+EFNEC,当P在线段EC上时，取得最小值，最小值为EC的长,

•.♦E为AB的中点,

CE1AB

...CE=NBC。-BE?=V102-52=54

即BF+EF的最小值为5省.

故答案为：56.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，轴对称的性质，含3。度角的直角三角形的

性质等知识点的综合运用，熟练掌握以上知识是解题的关键.

19.（本题2分）（2022秋・湖北十堰•八年级十堰市实验中学校考期中）如图，等边ABC中，。为AC中

点，点尸、。分别为必AD上的点，BP=AQ=4,QD=3,在2。上有一动点£,则PE+QE的最小值

【答案】10

【分析】作点Q关于3。的对称点°,，连接尸°交于E,连接Q",此时PE+E2的值最小.最小值

PE+QE=PE+EQ=PQ

【详解】如图，•・・.0是等边三角形,

:.BA=BC,ZA=60°

・.・D为AC中点，

.・.BDJ_AC,

作点Q关于刈＞的对称点a,连接PQ'交8。于E,连接。石，此时尸E+EQ的值最小.最小值

PE+QE=PE+EQf=PQ

BP=AQ=4QD=3

AAD=DC=AQ+QD=JQD=D0=3

・CQ,=CD-DQ,=4=BP

••，

.・・AP=AQ=10

・.・ZA=60°,

・・・△A尸。'是等边三角形，

...PQ=PA=10

...PE+QE的最小值为io.

故答案为：1°.

【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决

最短问题，属于中考常考题型.

20.（本题2分）（2023秋・山西晋城•八年级统考期末）如图，在：ABC中，AB=AC=13,BC=10,AD

为中线，点£在中线AD上运动，但不与点4。重合，点/在48上运动，但不与点48重合，连接BE

和EF.则BE+EF的最小值是

【答案】13

【分析】根据等腰三角形三线合一性质可得ADS3C,得到点B、点C关于直线AD对称，过c作b工脑

交于F,则此时BE+EF=CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：'/R=AC=13,点D是BC的中点，

:.AD±BC,

...点B、点C关于直线A。对称，

过C作CF1AB交AD于E,则此时班+EF=EC+£F=CF的值最小，

A

clBCAD10x12120

AB1313,

120

.•.BE+M的最小值为13,

120

故答案为：13.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，垂线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利

用垂线段最短来解答本题.

三、解答题：本大题共8小题，21-22题每小题6分，23-28题每小题8分，共60分.

21.（本题6分）（2023•江苏•八年级假期作业）如图所示.

⑴作出ABC关于y轴对称的图形△A4G；

⑵在无轴上确定一点P,使得及1+PC最小；

（3）求出ABC的面积.

7

【答案】⑴见解析；⑵见解析；⑶5

【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；

（2）过x轴作点A的对称点A，，连接AC,与x轴交于点P,此时点尸即为所求;

（3）利用割补法求三角形的面积即可.

【详解】（1）解：如图，耳G即为所求.

作法：1.41，2），8（3,1）,以4,4）关于》轴的对称点分别为4（-12），4（-3/）6（=1,4）,

2.顺次连接小综G,

故即为所求.

（2）解：如（1）中图，点P即为所求.

作法：1.作点AQ2）关于x轴的对称点AU-2）,

2.连接AC交x轴于点p,

故点P即为所求.

1117

/、―现ABC=3x3一一x2xl一一x3xl一一x2x3=-

（3）解:2222

7

的面积为5.

【点睛】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键.

22.（本题6分）（2023春•广东河源•八年级统考开学考试）如图已知平面直角坐标系中

A（-l,3）,B（2,O）,C（-3,-l）

⑴在图中作出关于y轴的对称图形△A4G，并写出点A,Bt,c的坐标.

（2）在y轴上找一点p,使9+PC最短，并求出p点的坐标.

【答案】⑴图见解析，AM）,4（-2,o）,q（3,-i）

⑵尸（。,2）

【分析】（1）找出他c三个顶点关于》轴的对称点坐标，再连接对称点即可得到片G,根据坐标系

写出点4,耳，G的坐标即可求解;

（2）连接A。，交）轴于p,这时PA+PC最短，利用待定系数法先求出直线A。的解析式，再求出与,轴

的交点即可.

【详解】（I）解：如图所示，作：的三个顶点关于＞轴的对称点坐标4*G连接A4、46、B©

即得到△4旦£,

■:直线经过A(L3)和C(一3,-1),

k+b=3k=i

-3k+b=-1,解得:6=2

;•直线4c解析式为：＞=了+2

当x=o时，y=2,

.•.尸（0,2）

【点睛】本题结合最短问题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称图形性质，掌握这些性质，数

形结合进行计算是解此题的关键.

23.（本题8分）（2023秋•八年级课时练习）如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地《吃草，然后赶

羊到小河4饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明

吃草与饮水的位置.

草地

小河

【答案】见解析

【分析】作点A关于乙的对称点E,点B关于4的对称点尸，连接EP,分别交4，&于点C,D,即可得

出答案.

【详解】解：如图，作点A关于4的对称点E,点B关于4的对称点尸，连接EF,分别交£占于点C,D.

小河

点C为吃草的位置，点。为饮水的位置，则AC-CD-D3是他走的最短路线.

【点睛】本题考查轴对称-最短问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

24.（本题8分）（2023秋•八年级课时练习）如图，四边形ABCD为正方形，M,N分别是AB,BC边

的中点，请在对角线AC上找一点P,使PN+PN的值最小（不写作法，保留作图痕迹）.

［分析】连接8。交AC于。，连接N尸并延长交于T,由对称轴的性质可知当点P与点。重合时，P"+PN

的值最小.

【详解】解：如图所示，点尸即为所求.

连接8。交AC于0,连接N?并延长交于T,

由正方形的对称性可知M、T关于AC对称，

/.PM=PT,

:.PM+PN=PT+PN,

.•.当P、T、M三点共线时，PT+PN最小,即PM+PN最小，此时点P与点。重合.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键.

25.（本题8分）（2023秋・山西阳泉•八年级统考期末）如图，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（-6,4）,

B（-4,0）,C（-2,2）.

⑴作MC关于〉轴的轴对称图形得AH与c，画出图形，并直接写出点A的坐标」

(2)已知点尸是X轴上一点，则PA.+PC的最小值是

【答案】⑴画图见解析，4(64)

(2)10

【分析】(1)分别确定A,B,C关于y轴对称的对称点A,用，G,再顺次连接即可,再根据a的位置

可得其坐标；

(2)如图，作4关于x轴的对称点G,连接CG,交无轴于尸，可得PA=PG,则/科+PC=PG+PC=CG

此时最短，再利用勾股定理进行计算即可.

【详解】(1)解：如图，^4片G即为所求作的三角形；

...4(6,4).

(2)如图，作4关于X轴的对称点G,连接CG,交x轴于P,

.PA=PG

••，

...PA+PC=PG+PC=CG,此时最短，

如图，构造直角三角形CGK,

由勾股定理可得：CG=JCK2+KG2=J62+8'=1O,

...PA+PC的最小值是I。.

【点睛】本题考查的是画轴对称，坐标与图形，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，熟练的运用轴对

称的性质进行画图是解本题的关键.

26.（本题8分）（2023春•四川南充•八年级南部县第二中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱

形。4BC的对角线在x轴上，已知点A（4,2）,点。在Q4上，坐标为（2,机），在08上求作一点尸，

（1）求点P的坐标；

⑵求PD+PA最小值.

【答案】⑴【3

⑵了

【分析】（1）连接0C,交08于点尸，连接AP,则M=PC,则点尸即为所求，进而求得RC的坐标,

得出8的直线解析式，即可求解；

（2）勾股定理求得。的长，即可求解.

【详解】（1）解：如图所示，连接°C,交于点P,连接AP,则/%=PC,

•・・点A",2）

k=」

设直线3的解析式为、=依，则42,

1

y=­x

・,・直线必的解析式为2,

当九=2时，y=i,

.3）；

•.•四边形。RC是菱形，

AC关于x轴对称，

...C（4,一2）

设直线CD的解析式为y=S+d,

3

c=——

\2c+d=12

贝ij14c+d=_2,解得:d=4

y=——x+4

・,•直线8的解析式为2

8

x=­

当y=o时，3

（2）解：由（1）可得。（2』），C（4，-2）,PD+PA=PC+PD=CD,

QPPD+PA的最小值为C