中考数学专项复习：圆解答题培优训练（最值和定值问题30道）含答案及解析

圆解答题培优训练

精选最值和定值问题30道

【类型一最值问题】

1.如图，在。。中，点C是AB上的一点,作2D||BC交。。于点D,连接4B.

(1)求证：AC=BD-,

(2)连接B。并延长B。交。。于点E,交弦AD于点F,连接CE交4。于点G,连接ZE、4C,请根据题意画图.已

知BE=8,AB=4V3.

①若CE=4VL求AF的长度；

②若点C从点A沿至运动点B时，求线段BG的长度最小值.

2.如图，48是O。的直径，71B=4,CD是。。的弦；形的度数为75。，氏D的度数为15。，动点P在线段48上,

则点P在运动过程中：

⑴当PC=PD时，直接写出PC的长.

⑵求出PC+PD的最小值.

⑶当△PCD为以CD为斜边的Rt△时，直接写出点P到直线CD的距离.

3.如图，线段力B=6,C在线段AB的一个动点，以力C、BC为边作等边三角形△4CD和等边三角形ABCE,

O。外接△DCE,

E

（l）ZXDCE的外接圆的圆心是△DCE的（外心或内心）；点。的位置是否发生改变（变或不

变）.

（2）若4C=x,△£＞（7£为直角三角形时，求其的值.

⑶点。在△£）0后的内部，直接写出x的取值范围.

⑷求O。半径的最小值.

4.如图，。。为等边△4BC的外接圆，半径为2,点。在劣弧上运动（不与点4,8重合），连接DB,

DC.

（1）求证：DC是乙4D8的平分线；

（2）设线段DC的长为x,请你通过计算用含x的代数式表示四边形ADBC的面积S；

⑶若点分别在线段C4CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△0〃可

的周长有最小值，随着点。的运动，△DMN的周长的最小值也会发生变化，则在△DMN周长的所有最小值

中的最大值为.

5.如图，48是O。的直径，AB=6近M是4B的中点，0C上OD,ACOD绕点。旋转与A2MB的两边分别

交于E、F(点E、尸与点力、B、M均不重合),与。。分别交于P、Q两点.

(1)求证：0E=OF；

(2)连接PM、QM,试探究：在AC。。绕点。旋转的过程中，NPMQ是否为定值？若是，求出"MQ的大小；

若不是，请说明理由；

⑶连接EF,试探究：在AC。。绕点。旋转的过程中，AEFM的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值;

若不存在，请说明理由.

6.已知O。的直径为10,。为。。上一动点(不与/、8重合)，连接BD.

图I图2

⑴如图1,若/。=8,求AD的值；

(2)如图2,弦DC平分UDB,过点工作NE1CZ)于点E,连接2E.

①当△ADE为直角三角形时，求3E的值；

②在点。的运动过程中，的值是否存在最小值？若存在，请直接写出2E的最小值；若不存在，请说

明理由.

7.(1)问题发现：如图①，RtZiABC中，ZA=90°,AB=AC,求证：BC=V2AB

(2)问题探究：如图①，BC是。。的直径，点A在。。上，AB=AC,P为BmC上一动点(不与B,C重合),

求证：V2PA=PB+PC.请你根据图中所给的辅助线，请你给出具体画法并完成证明过程.

(3)类比迁移：如图②，。。的半径为3,点A,B在上，C为内一点，AB=AC,AB1AC,垂足为

A,求0C的最小值.

图①

8.如图1,点。为△/L8C的外接圆上的一动点(点。在江上，且不与点4,C重合)，乙4DB=4B4c=60°.

(1)求证：A42c是等边三角形;

(2)连接CD,探究4D,BD,CD三者之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图2,记BD与AC交于点E,过点E分别作风0」/2于点EN13C于点N,连接若48=6,

求"N的最小值.

9.综合与实践

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁/、B、C在半径为1的。。上静止不动，第四只

蚂蚁P在。。上的移动，并始终保持乙4PC=4CPB=60°.

⑴请判断△NBC的形状；"数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：△ABC是三角形；

（2广数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁P在。。上的移动时，线段24、PB、PC三者之间存在一种

数量关系：请你写出这种数量关系：,并加以证明；

（3）"数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁M同时随着蚂蚁P的移动而移动，且始终位于线

段PC的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是（不

写解答过程，直接写出结果）.

10.（1）如图1,A8是O。的弦，点P在。。上，当△刈8是直角三角形时，请在图1中画出点P的位置;

（2）如图2,O。的半径为4,4、B为O。外固定两点（。、2、B三点不在同一直线上），且。4=8,P为

O。上的一个动点（点P不在直线48上），以24和4B为邻边作平行四边形B43C,求BC最小值;

（3）如图3,4、B是。。上的两个点，过力点作射线AM14B,4M交。。于点C,若2B=3,AC=4,点D是

平面内的一个动点，且CD=2,E为80的中点,在点。的运动过程中，求线段4E长度的最大值与最小值.

图1

11.如图，是圆。的直径，AB=6,。是半圆力DB上的一点，C是弧BD的中点.

DD

备用图

(1)若NABD=30。，求BC的长和由弦BC、BD和弧CD围成的图形面积；

(2)若弧40的度数是120度，在半径。B上是否存在点P,使得PC+P0的值最小，如果存在，请在备用图

中面出P的位置，并求PC+PD的最小值，如果不存在，请说明理由.

12.如图，的直径AB=8,半径0C1AB,D为弧BC上一动点(不包括B、C两点)，DEIOC,DF1AB,

垂足分别为E、F.

(1)求EF的长.

(2)若点E为0c的中点，

①求弧CD的度数.

②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值.

13.AABC内接于I为其内心，AI的延长线交0。于D,连0D交BC于E.

(1)求证：0D1BC；

(2)若NBOC=NBIC,求NBAC的度数；

(3)①若DE=2,BE=4,①求。。的半径r.

②当点A在优弧BAC上移动时，是否有最小值，如有请求出最小值，如没有请说明理由.

14.如图，48是。。的直径，点C、。是O。上的点，且。D||BC,4C分另IJ与BD、。。相交于点E、F.

(1)求证：点。为"的中点；

(2)若。。的半径为5,^DOA=80°,求阴影部分的面积.

(3)若O。的半径为5,4。。4=80。，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+P。的最小值.

15.如图，48是O。的直径，弦CD1AB,ACAB=30°

备用图

(1)求证：△4CD是等边三角形.

(2)若点E是配的中点，连接4E,过点C作CF14E,垂足为F,若CF=2,求线段。尸的长;

(3)若。。的半径为4,点Q是弦4C的中点，点P是直线力B上的任意一点，将点P绕点C逆时针旋转60。得

点P',求线段P'Q的最小值.

16.如图，是。。的直径，点C、。是。。上的点，且。D||BC,AC分另IJ与BD、。。相交于点£、F.

⑴求证：点。为Af的中点；

(2)若CB=6,AB=10,求DF的长;

⑶若。。的半径为5,AD04=80。，点尸是线段力B上任意一点，试求出PC+PD的最小值.

17.已知：如图1,在平面直角坐标系中，A(2,-1),以M(-1,0)为圆心，以AM为半径的圆交y

轴于点B,连结BM并延长交OM于点C,动点P在线段BC上运动，长为|的线段PQIIx轴(点Q在点P右

侧)，连结AQ.

(1)求OM的半径长和点B的坐标；

(2)如图2,连结AC,交线段PQ于点N,

①求AC所在直线的解析式；

②当PN=QN时，求点Q的坐标；

(3)点P在线段BC上运动的过程中，请直接写出AQ的最小值和最大值.

18.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8,NCBA=30。，点D在线段AB上从点A运动到点B,点E与

点D关于AC对称，DHDE于点D,并交EC的延长线于点F.

(1)求证：CE=CF；

(2)求线段EF的最小值；

(3)当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积的大小是

19.如图，已知的直径AB=8,过A、B两点作OO的切线AD、BC.

D

(1)当AD=2,BC=8时，连接OC、OD、CD.

①求△COD的面积.

②试判断直线CD与。。的位置关系，并说明理由.

（2）若直线CD与。。相切于点E,设AD=x（x>0）,试用含X的式子表示四边形ABCD的面积S,并探索S

是否存在最小值，写出探索过程.

20.如图，半径为7的。。上有一动点B,点4为半径0E上一点，且力B最大为10,以为边向外作正方形

ABCD,连接DE.

（1）请直接写出04的长；

（2）过点4作4F10E,且4/=。2,连接FD,在点8的运动过程中，FD的长度会发生变化吗？变化请说

明理由，不变化请求出尸。的长；

（3）当点/,B,尸三点在一条直线上时，请直接写DE的长；

（4）请直接写出DE的最大值和最小值.

【类型二定值问题】

21.如图，已知P为正方形4BCD的外接圆的劣弧他上任意一点，求证：号詈为定值.

22.如图，四边形4BCD的四个顶点在。。上，对角线4C、BD交于点H且AC18。，0E1BC于点E.

⑵求证：4"2+B“2+c”2+。“2为定值.

23.AABC内接于。。，过点。作。”1BC于点H,延长。口交0。于点D连接力D.

(1)如图1,求证：4BAD=NG4D；

(2)如图2,若OH=DH,求NBAC的度数；

⑶如图3,在(2)的条件下，过点B作BK1AD于点K,连接HK,若HK=|,试说明线段AB与"的差为

定值.

24.如图1,E点为无轴正半轴上一点，0石交工轴于4B两点，交y轴于C、。两点，P点为劣弧死上一个动

点，且4(一2,0),E(2,0).

⑴品的度数为°；

(2)如图2,连结PC,取PC中点G,连结0G,贝UOG的最大值为

(3)如图3,连接24,PC.若CQ平分NPCD交PA于Q点，求线段AQ的长；

⑷如图4,连接24、PD,当P点运动时(不与B、C两点重合)，求证：/二为定值,并求出这个定值.

25.已知四边形4BCD内接于O。，AC1BD,垂足为£,CF1AB,垂足为尸，交BD于点G,连接4G.

⑴求证:CG=CD；

(2)如图1,若4G=4,BC=10,求。。的半径;

(3)如图2,连接OF,交AC于点“，若N4BD=30。,CH=6,试判断强+力是否为定值，若是，求出该定

CDCF

值；若不是，说明理由.

26.定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上,那么我们把这称为四点共圆.

图1图2图3

(1)下列几何图形的四个顶点构成四点共圆的有.(填序号)①平行四边形；②菱形；③矩形；④正

方形；⑤等腰梯形.

(2)已知△4BC中，乙1=40。，如图1,平面上一点D,使得/、B、C、。四点共圆，试求NADC的度数.

⑶若A42C的外接圆为O。，半径为r,平面上有两点E、F,分别与A43C的三个顶点构成四点共圆(E在

N5的左侧，尸点在/C的右侧)，如图2.①试判断乙以"-的值是否为定值？如果是，请求出这个

值；如果不是，请说明理由；②若2c弦的长度与O。的半径r之比为a：1,并且边经过圆心。，如

图3,试求五边形/E5CF的最大面积(用含r的式子表示).

27.如图，已知AB是。0中一条固定的弦，点C是优弧AB上一个动点（点C不与A,B重合）.

（1）设NACB的角平分线与劣弧AB交于点P,试猜想点P在弧上的位置是否会随点C的运动而发生变

化？请说明理由；

（2）如图②，设A®=8,O0的半径为5,在（1）的条件下，四边形ACBP的面积是否为定值？若是定值，

请求出这个定值；若不是定值，试确定四边形ACBP的面积的取值范围.

28.MN是。。上的一条不经过圆心的弦，MN=4,在劣弧MN和优弧MN上分别有点A,B（不与M,N重合）,

且用V=57V,连接

（1）如图1,4B是直径，4B交MN于点C,AABM=30°,求NCM。的度数；

（2）如图2,连接。过点。作交MN于点D,求证：ZMOD+2ZDMO=90°；

（3）如图3,连接AN,BN,试猜想4用・“3+47-'8的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是,

请说明理由.

29.如图，已知正方形4BCD的边长为1,正方形BEFG中，点E在力B的延长线上，点G在BC上，点。在线段

上，MXO>B0.以。F为半径的。。与直线4B交于点M、N.

图2

(1)如图1,若点。为4B中点，且点。，点C都在。。上，求正方形BEFG的边长.

(2)如图2,若点C在。。上，求证：以线段0E和EF1为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值.

(3)如图3,若点。在。。上，求证：DO1F0.

30.如图1,扇形408的半径为6,弧长为21T.

(1)求圆心角乙4。8的度数;

(2)如图2,将扇形40B绕点。逆时针旋转60。，连接AB,BC.

①判断四边形OABC的形状并证明；

②如图3,若NPOQ=60°,将NPOQ绕点。旋转，与AB,8C分别交于点MN(点M,N与点、A,B,C均不

重合)，判断MB+NB的值是否为定值，如果是定值请求出；如果不是，说明理由.

圆解答题培优训练

精选最值和定值问题30道

【类型一最值问题】

1.如图，在。。中，点C是AB上的一点，作力D||BC交。。于点。，连接4B.

(2)连接B。并延长8。交。。于点E,交弦4D于点尸，连接CE交2。于点G,连接ZE、2C,请根据题意画图.已

知BE=8,AB=4V3.

①若CE=4V2,求4F的长度；

②若点C从点A沿48运动点B时，求线段BG的长度最小值.

【答案】①见解析

(2)(1)276(2)2713-2

【分析】(1)根据力。IIBC,得到=进而得到Af=AD,即可得证；

(2)①根据题意，作出图形，根据圆周角定理，得至(UB4E=9(T,N8CE=90。，勾股定理求出4E,8c的

长，进而得到4BE=30。，ACEB=^CBE=45°,利用勾股定理求出4G,EG的长，进而得到FG的长，禾U用

力尸=4G+GF进行求解即可；②易得点G在以2E为直径的OH上，得到当B,G,H三点共线时，BG取得最小

值为BH-HG,进行求解即可.

【详解】(1)证明：以。IIBC,

••Z-DAB=Z-ABC,

・•.Af=舱,

•-AC—BD.

(2)解：①如图,

・•・BE是。。的直径，

••・484E=90°,4BCE=90。，

•••BE=8,AB=4V3,CE=4A/2,

ME=^BE2-AB2=4,BC=y/BE2-CE2=4vL

1

-

-'•smZ.EBA2CE=BC,

^Z-ABE=30°,Z.CEB=^CBE=45°,

'MD||BC,

.'.AEGF=乙ECB=90°,乙GFE=乙CBE=45°,

：^EGA=90°,Z-AGC=90°,乙GFE=乙GEF,

-Z.ACG=/.ABE=30°,

设4G=x,贝!J：CG=V3x>

■.EG=CE-CG=4V2-V3x,

22222

在RtZkAGE中,AE=EG+AG9即:4=x+(4V2-V3x),

解得：x=V6-/或％=V6+V2,

当％二巡+/，CG=V3(V6+V2)=3A/2+V6>CE,不符合题意,

•,•%=V6—V2,

•'-AG=V6—V2,CG—3A/2—V6,EG=V2+V6,

'-Z-GFE=Z.GEFf

••GF=EG=V2+V6,

'-AF—AG+GF—V6—V2+V2+V6=2A/6；

②由①可知：乙4GE=90。，

・••点G在以ZE为直径的上，贝lj：BG>BH-HG,

.•・当8,G,”三点共线时，BG取得最小值为BH—/7G,如图：

D

C

由①可知：AE=4,/.BAE=90°,

■■.AH=HG=2,BH=VXB2+AH2=2g,

此时BG=BH—HG=2V13-2.

【点睛】本题考查圆周角定理，解直角二角形，等腰二角形的判定和性质，熟练掌握等弧对等弦，同弧所

对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，是解题的关键.

2.如图，4B是。。的直径，4B=4,CD是。。的弦；配的度数为75。，附的度数为15。，动点P在线段4B上，

则点P在运动过程中：

⑴当PC=PD时，直接写出PC的长.

(2)求出PC+PD的最小值.

⑶当△PCD为以CD为斜边的Rt△时，直接写出点P到直线CD的距离.

【答案】⑴2

(2)273

⑶迎或日

【分析】(1)当PC=PD时，点P与点。重合，即可求解；

(2汝口图1,作点。关于28的对称点E,则点E在圆。上，连接CE交力B于点P,则点P为所求点，进而求解；

⑶当点P与点。重合时，△PCD为以CD为斜边的Rt△，当点P与点。不重合时，证明C、D、P、。四点共圆,

再利用解直角三角形的方法即可求解.

【详解】(1)•；此的度数为75。，的的度数为15。，

贝此COD=180°-75°-15°=90°,

当PC=PD时，点P与点。重合，

-1

贝i」PC=0C=y8=2.

(2)如图1,作点。关于48的对称点E,则点E在圆。上，连接CE交2B于点P,则点P为所求点,

理由：PC+PD=PC+PE=CE为最小，

­.•〃。。=90°,

•••NCED=45。，

・・・△CD。为等腰三角形，

•••ZCDO=45°,

•••弧BQ的度数为15。,

•••ZDOB=15°,Z.ODB=90°-15°=75°,

故4CDE=45°+75°=120°,

在△(：£)£■中，ZJ1DE=12O。，NCEO=45。，CD=y[2CO=2^2,

过点C作CH1DE交EC的延长线于点H,

•••CH=CDsinACDH=2A/2xy=V6,HD=^CD=V2,

在等腰直角三角形CHE中，=2百，

・•.PC+PD的最小值为2遍.

图1

(3)如图2,由(1)知NCOD=90。，

故当点P与点。重合时，△PCD为以CD为斜边的RtA

过点。作OG1CD,

此时△COD为等腰直角三角形，贝iJOG=1C£>=V2；

当点P与点。不重合时，则△p(?£)为直角三角形，

•••NC0D=NCPD=90。，故C、D、P、。四点共圆，其圆心为CD的中点G,

设该圆为圆G,

在圆G中，•:乙DCP、NDOP所对的弧均为户口，

•••乙DCP=£D0P=LD0B=15°,

连接GO、GP,过点P作PM，于点M,

贝|JOG=GP=&,

在等腰△GPC中，NMGP=2/DCP=30。，

在Rtz\GPM中，NMGP=30°,GP=V2,故P"=3GP=¥，

故点P到直线co的距离为企或日.

图2

【点睛】本题为圆的综合题，涉及到解直角三角形、点的对称性等，（3）中，确定C、。、P、。四点共圆是本

题解题的关键.

3.如图，线段力B=6,C在线段AB的一个动点，以AC、BC为边作等边三角形△2CD和等边三角形△8CE,

O。外接△DCE,

（^△DCE的外接圆的圆心是△DCE的（外心或内心）；点。的位置是否发生改变（变或不

变）.

⑵若AC=£，△DCE为直角三角形时，求x的值.

⑶点。在△DCE的内部，直接写出x的取值范围.

⑷求。。半径的最小值.

【答案】①外心、不变

(2)2或4

(3)2<x<4

(4)73

【分析】(1)根据三角形的外接圆的定义，即可求解；

(2)根据等边三角形的性质可得ADCE=60。，然后分两种情况：当NEDC=90。时，当4DEC=90。时，即

可求解；

(3)求出当圆心O在CE边上时，当圆心。在DE边上时，x的值，即可求解；

(4)分别作NC4D,CBE的平分线交于点P,可得点。与点P重合，连接。C,当。C14B时，OC最小，然后

根据直角三角形的性质求出OC,即可求解.

【详解】(1)解：△DCE的外接圆的圆心是的外心(外心或内心)；

如图，分别作NC4D,CBE的平分线交于点P,

•••△力。。和4都是等边三角形，

.•.力P垂直平分CD,BP垂直平分CE,AOAC=AOBC=30°,

•­•O。外接△DCE,

.・・点O在CO和CE的垂直平分线上，

二点。与点P重合，

.・•点。的位置是不变；

故答案为：外心、不变；

(2)解：•・•△4C0和△BCE都是等边三角形,

：.^ACD=乙BCE=60°,AC=CD,CE=CB,

:.乙DCE=60°,

当ZEDC=9O。时，ACED=30°,

■■.CD=-CE,

2

即ac=沏，

,-AB=6,

­-AC=2,

即％=2；

当乙DEC=90。时，乙CDE=30°,

-1-1

：.CE^-CD,即BC=》C,

22

"AB=6,

•'-AC=2,

即x=4；

(3)解：当圆心。在CE边上时，乙EDC=90°,

由(2)得：此时％=2；

当圆心。在DE边上时，ADEC=90°,

由(2)得：此时x=4；

.•.点。在△DCE的内部，x的取值范围为2<x<4；

(4)解：如图,连接OC,

由（1）得：当。C14B时，OC最小，

•••Z04C=NOBC=30°,AB=6,

■■.AC=BC=-AB=3,OA=2OC,

2

•••Vox2-OC2=V（2OC）2-OC2=V3OC=3,

解得：oc=V5,

即O。半径的最小值为百.

【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂径定理，熟练掌握

三角形的外接圆的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质是解题的关键.

4.如图，。。为等边△力BC的外接圆，半径为2,点。在劣弧上运动（不与点N,3重合），连接DB,

DC.

⑴求证：DC是〃DB的平分线；

⑵设线段DC的长为x,请你通过计算用含x的代数式表示四边形4DBC的面积S；

⑶若点分别在线段CB上运动（不含端点），经过探究发现，点。运动到每一个确定的位置，△DMN

的周长有最小值，随着点。的运动，△DMN的周长的最小值也会发生变化，则在△DMN周长的所有最小值

中的最大值为.

【答案】⑴见解析

（2B=枭2

（3）4A/3

【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等即可证明；

（2）在DA延长线上截取=BD,证明△4HC三△BDC（SAS）即可求解；

（3）作点D关于直线2C的对称点E,作点D关于直线BC的对称点F,根据对称性可得出当点E,点M,点

N,点F四点共线时，的周长有最小值，连接EF,交4C于M,交于N,连接CE,CF,DE,DF,

作CP1EF于P,再证明NECF=120°,EP=PF,即有NCEP=30°,即可得PC=|fC,PE=V3PC=yEC,

进而有EF=2PE=V3FC=V3CO,则可知CD为直径时，CD有最大值4,此时EF有最大值，问题随之得解.

【详解】（1）••・在等边△ABC中，有4c=BC,

••Z-BDC=Z.ADC,

.•・OC是乙408的平分线;

(2)在DA延长线上截取4H=BD,如图,

H

在等边△4BC中，有力C=BC,AACB=^ABC=/.CAB=60°,

•：Z-ABD=Z.ACD,

■.Z-HAC=Z.ADC+Z.ACD=/.ADC+/.ABD,

■.■/.ADC=/.ABC,

■■.Z.DBC=Z.ABD+/.ABC=/.ABD+/.ADC,

:/DBC=乙HAC,

■.■AH=BD,AC=BC,

三△BDC(SAS),

：.HC=DC,乙DCB=LHCA,

“DCB+^ACD=4ACB=60°,

：.^HCA+N力CD=60°,

・•.△CD”是等边三角形，

•••△4HC三△BDC(SAS),

.•・四边形4DBC的面积即是等边aCDH的面积，即S四边形ADBC=S&CDH，

下面推导等边三角形的面积公式：

正axyz的边长为u,过顶点x作XV1YZ,V为垂足，如图，

X

在正axyz中，有NY=60。，XZ=XY=YZ=u,

-XV1YZ,

1i

：,YV=VZ=-YZ=-u,^XVY=90°,

22

.•.在Rt△xyv中，有AV=Vxr2-YV2=Ju2-(|u)2=yii,

正axyz的面积为：S=[xYZxXV=彳/，

:边长DC=x,

•',S四边形4DBC=S&CDH=Y%2;

(3)如图，作点D关于直线力C的对称点E,作点D关于直线的对称点F,

F

•・・点D,点E关于直线4C对称，

：.EM=DM,同理DN=NF,

.•.△DMN的周长：DM+DN+MN=FN+EM+MN,

二当点E,点M,点N,点F四点共线时，△DMN的周长有最小值，

贝！J连接EF,交4c于M,交BC于N,连接CE,CF,DE,DF,作CP1EF于P,

即aDMN的周长最小值为EF,

•・・点D,点E关于直线4C对称，

-，-CE=CD,Z-ACE=Z.ACD,

・・,点D,点F关于直线对称，

；.CF=CD,乙DCB=^FCB,

.'-CD=CE=CF,4ECF=AACE+AACD+乙DCB+乙FCB=2么ACB=120°,

-CP1EF,CE=CF,Z.ECF=120°,

・・・EP=PF,乙CEP=30°,

：.PC=-EC,PE=y/3PC=—EC,

22

■.EF=2PE=V3£C=V3CD,

•••当CD有最大值时，EF有最大值，

・•・CD为。。的弦，。。半径为2,

・•.CD为直径时，CD有最大值4,

二最大值为4次.

即△DMN周长的所有最小值中的最大值为48.

【点睛】点评：本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性

质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

5.如图，4B是。。的直径，AB=6V2,M是4B的中点，0c1。。，ACOD绕点。旋转与△力MB的两边分别

交于E、F(点E、F与点4、B、M均不重合)，与O。分别交于P、Q两点.

(1)求证：0E=0F；

(2)连接PM、QM,试探究：在AC。。绕点。旋转的过程中，NPMQ是否为定值？若是，求出NPMQ的大小；

若不是，请说明理由；

⑶连接EF,试探究：在ACOD绕点。旋转的过程中，AEFM的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值;

若不存在，请说明理由.

【答案】⑴见解析

(2)是定值，135°

(3)2A/3+6

【分析】(1)根据圆周角定理由4B是。。的直径得N4MB=90°,由M是的中点得MB=阮4,于是可判

断△力MB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得4力BM=NB4M=N0M4=45。，OMVAB,

MB=^AB=6,再利用等角的余角相等得NBOE=NM0F,则△OBE三ZkOMF,所以。E=OF；

(2)根据圆周角定理得至UNBMQ=(N80Q,/.AMP=^/.AOP,则Z_8MQ+N4MP=((zBOQ+N40P)=

45°,所以NPMQ=4BMQ+N4MB+Z71MP=135。；

(3)易得△OEF为等腰直角三角形，则EF=&OE,再由△08E三△OMF得BE=MF,所以△EFM的周

长=5尸+MF+ME=EF+MB=/。E+6,根据垂线段最短得当OE1时，OE最小，此时OE=jfiM=

3,所以的周长的最小值为2b+6.

【详解】(1)证明：•MB是。。的直径，

Z.AMB=90°,

M是脑的中点，

•••MB=MA,

•••MA=MB,

・•.A4MB为等腰直角三角形，

•••AABM=^BAM=45°,NOMA=45。，OM1AB,MB=—AB=—X6^/2=6,

22

••・乙MOE+乙BOE=90°,

•••乙COD=90°,

・•・Z.MOE+Z.MOF=90°,

•••乙BOE=Z-MOF,

在AOBE和AOMF中，

NOBE=Z.OMF

OB=OM,

Z.BOE=乙MOF

・•.\OBE=AOMFQLSZ),

OE=OF；

(2)解：NPMQ为定值.

11

•・•(BMQ=/0Q,/.AMP=^AOP,

・•.Z.BMQ+乙4Mp=jQBOQ+4/OP),

•・•(COD=90°,

・•・/.BOQ+^AOP=90°,

・•・(BMQ+4AMP=ix90°=45°,

・•・乙PMQ=(BMQ+AAMB+匕AMP=45°+90°=135°；

(3)解：AEFM的周长有最小值.

OE=OF,

・•.AOEF为等腰直角三角形，

EF=V2OF,

•••ROBE三AOMF,

BE=MF,

：.AEFM的周长=EF+MF+ME

=EF+BE+ME

=EF+MB

=V2OE+6,

当。EIBM时，OE最小，此时OE=(x6=3,

•­.AEFM的周长的最小值为3夜+6.

【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质；运用全等三角形

的判定解决线段相等是解题的关键.

6.己知。。的直径为10,。为O。上一动点（不与/、3重合），连接ND、BD.

/-----

A/\一

B

图2

⑴如图1,若4D=8,求AD的值；

(2)如图2,弦DC平分乙4DB,过点/作于点£,连接8E.

①当为直角三角形时，求8E的值；

②在点。的运动过程中，的值是否存在最小值？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说

明理由.

【答案】⑴6；

⑵①5或2«,②存在最小值，皿竽&

【分析】(1)利用圆周角定理和勾股定理求解即可；

(2)①ABED为直角三角形，分两种情况：当N8E£»=90。或当ND8E=90。，分别进行求解即可；

②取AC中点F,过F作尸于H,利用圆周角定理得乙40090。，用勾股定理求出AC,利用直角三角形

性质求EF,然后求出BF长，最后在A8EF中利用三角形中边的关系得出BE的最小值.

【详解】(1)解：如图［，•.28为。。的直径，

■■^.ADB=90°,

■■.BD^AB2-AD2^102-82=6；

故BD的值为6.

(2)解：①•••乙4。8=90。，DC平分乙40B,

1

•••乙ADC=^BDC=-乙/。8=45°,

当NBEO=90。时，如图2,

,ME1CD,

・••乙4£7”90。，

・・・24ED+/BEO=90°+90°=180°,

・••点E在AB上，

vZ^DC=45°,

.­.zD^E=90°-45°=45°,

・・・A4B0是以AB为斜边的等腰直角三角形，

・••点E与0重合，

11

.*.BE=-7lB=-xlO=5；

22

当乙DBE=90°时，如图3,

•••NBDC=45°,

-'-BE=BD,

：.DE^BE2+BD2=y/2BE,

■.■AE1CD,^ADC=45°,

-,-AE=DE=y/2BE,

■■.AD=y/AE2+DE2=V2DE=2BE,

又•.•N4DB=90°,

AD2+BD2=AB2BP(2BE)2+BE2=102,

解得8E=2«(BE=-2小舍去)

综上所述，BE的长为5或26；

②在点D的运动过程中，BE存在最小值，解答如下：

如图3,连接OC、AC,取AC中点F,连接EF、BF,过点F作FHL4B于H,

-'-CO=AO=2-AB=5,

•.•ZX£>C=45°,

.'./.A0C=2^ADC=90o,

-AO=COf

'.AC=y/AO2+CO2=V52+52=5V2,△。心45°,

•ME1CZ),F为AC中点，

：

.EF=AF=2-AC=—2,

•・・/0AC=45°,F”148,

.■.AH=FH=^-AF=l，

5is

.•.BF=VFH2+B/72=Jg)2+(y)2=等

-：BE>BF-EF(当且仅当点E在线段BF上时等号成立)，

...BE2迎钟即B糜亚当，

222

••.BE的最小值是膂名

【点睛】此题是一道圆的综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理、直角三角形的性质、三角形中边的

关系等知识，熟练利用这些性质进行逻辑推理和运用分类的思想方法是解此题的关键.

7.（1）问题发现：如图①，RtaABC中，ZA=90°,AB=AC,求证：BC=V2AB

（2）问题探究：如图①，BC是。。的直径，点A在。。上，AB=AC,P为BTTlC上一动点（不与B,C重合），

求证：/PA=PB+PC.请你根据图中所给的辅助线，请你给出具体画法并完成证明过程.

（3）类比迁移：如图②，。。的半径为3,点A,B在上，C为内一点，AB=AC,AB1AC,垂足为

A,求0C的最小值.

【答案】（1）见解析；

（2）见解析；（3）3V2-3

【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理即可证明；

（2）将4ACP绕点A顺时针旋转90。到aABCl的位置,由旋转的性质可得：NQBASCA,AP=AQ,PC=QB,

根据圆的内接四边形的性质可证点Q,点B,点P共线，根据勾股定理可证&PA=PQ=PB+PC；

（3）连接OA,将ZkOAC绕点A顺时针旋转90oSAEAB,连接OB,OE,则可得EB=OC,AE=OA=3,ZEAB=ZOAC,

根据勾股定理可求0E=3^,根据三角形三边关系可得BE2OE-OB=3&-3（当点B在0E上时，取等号），即

可求0C的最小值.

【详解】解：(1)vzA=90°,AB=AC,

••.△ABC是等腰直角三角形，

■.BC=y/AB2+AC2=y[2AB-,

(2)将4ACP绕点A顺时针旋转90。到△ABQ的位置.

证明如下：:BC是直径

.­•ZBAC=90°=ZBPC

•••AB=AC

•••NACB=NABC=45°

由旋转可得NQBA=NPCA,PA=AQ,PC=QB

­.•ZPCA+ZPBA=180°

.­.ZQBA+ZPBA=180°

・•.Q,B,P三点共线

.•.NQAB+NBAP=NBAP+NPAC=90°

；.QP2=AP2+AQ2=2AP2

••.QP=&AP=QB+BP=PC+PB,

.­•V2AP=PC+PB；

(3)如图2：连接OA,将△OAC绕点A顺时针旋转90。至AEAB,连接OB,OE,

•■•AB1AC

.­•ZBAC=90°

由旋转可得：EB=OC,AE=OA=3,ZEAB=ZOAC

.-.ZEAB+ZBAO=ZBAO+ZOAC=90°

.,.在RtAOAE中，OE=VAE2+4。2=3&,

■•-BE>OE-OB=3V2-3(当点B在OE上时，取等号)

•■•OC最小值是3v^-3.

【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理.三角

形的三边关系等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决

问题，属于中考压轴题.

8.如图1,点。为A48C的外接圆上的一动点(点。在M上，且不与点C重合)，^ADB=ABAC=60°.

(1)求证：A42c是等边二角形；

(2)连接CD,探究4D,BD,CD三者之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图2,记BD与4c交于点E,过点E分别作于点/，ENLBC于点、N,连接若48=6,

求的最小值.

【答案】(1)见解析

⑵BD=AD+CD,理由见解析

【分析】(1)由圆周角定理得出NABC=60。，由等边三角形的判定可得出结论；

(2)把4BCD绕点B逆时针旋转至△BAM,如图1,证出4BDM是等边三角形，由等边三角形的性质可得

出结论；

(3)取BE的中点0,以。为圆心，0B的长为半径作圆，连接0M,0N,过点。作0HlMN于点H,求出

ZM0H=izM0N=60o,由直角三角形的性质求出BE的长，则可得出答案.

【详解】(1)证明：•••ZACB=ZADB=6O°,ZBAC=60°,

.-.ZABC=60°,

••.△ABC是等边三角形；

(2)解：BD=AD+CD.

理由如下：

把4BCD绕点B逆时针旋转至△BAM,如图1,

D

B

图1

•・•四边形ABCD是圆内接四边形，

・,ZBCD+NBAD=180°,

vZBAM=ZBCD,

.-.ZBAD+ZBAM=180°,

，M,A,D二点共线，

vBD=BM,4D=60°,

・•.△BDM是等边三角形，

••.BD=DM=MA+AD=CD+AD；

(3)W：如图2,取BE的中点0,以。为圆心，0B的长为半径作圆,

D

B

图2

vMElAB,NE1CB,

••.M,N在圆。上，

连接0M,0N,过点。作0H1MN于点H,

•••NABC=60°,

.-.ZMON=60ox2=120°,

.-.ZMOH=-ZMON=60°,

2

...MO=r=4E,MH=—r=—BE,

224

BE,

2

.•.当BE1AC时，BE最小，止匕时BE的最小值为苧X6=3百，

''-MN的最小值为?X3A/3=|-

【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定

和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握等边三角形的判定与性

质.

9.综合与实践

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁/、B、C在半径为1的。。上静止不动，第四只

蚂蚁P在。。上的移动，并始终保持乙4PC=乙CPB=60°.

备用图

⑴请判断△ABC的形状；"数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：△4BC是三角形；

(2广数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁P在。。上的移动时，线段24、PB、PC三者之间存在一种

数量关系：请你写出这种数量关系：,并加以证明；

(3)"数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁M同时随着蚂蚁P的移动而移动，且始终位于线

段PC的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是(不

写解答过程，直接写出结果).

【答案】⑴等边

(2)PC=PA+PB；证明见解析

【分析】(1)根据圆周角定理可得内,对应的圆周角为60。，即2BC=60。、ABAC=60°,说明△ABC为

等边三角形即可；

(2)如图，在PC上截取PD=AP,连接4D,先说明△4PD为等边三角形可得力。=AP=PD,AADP=60°,

^ADC=120°,进而证明AAPB'△4DC(AAS)可得BP=CD,最后根据等量代换即可解答；

(3)如图：M的轨迹是以。C为直径的圆，设圆心为0，，连接80，，过0"作。'N1BC于N,过。作O'N1BC,

OQ1BC,根据题意可得ONIIOQ,然后说明O'N是三角形。QC的中位线，进而得到CQ=2CN=：B；再根

据中点的定义可得8c=2CQ=V3,利用勾股定理可得=子,最后根据线段的和差即可解答.

【详解】(1)解：；“PC=乙CPB=60°,

北对应的圆周角为60。，

•••4ABC=60°,4BAC=60°,

•••/.ACB=180°-60°-60°=60°,

・•.△4BC为等边三角形.

故答案为：等边.

(2)解：如图，在PC上截取PD=AP,连接4D,

•••AAPC=60°,

・•.△4PD为等边三角形，

AD=AP=PD,2LADP=60°,AADC=120°,

vAAPB=AAPC+ABPC=120°,

:.Z-ADC=Z.APB,

在△/PB和△ADC中，

2APB=/.ADC

/-ABP=^ACD,

、AP=A