中考数学专项复习：圆的基本性质（知识串讲+热点考题+习题训练）含答案及解析

圆的基本性质

会考点归纳

【考点1］圆的认识.

【考点2】点与圆的位置关系.

【考点3】确定圆的条件.

【考点4】三角形的外接圆与外心

【考点5】生活中的旋转现象.

【考点6】旋转的性质.

【考点7】坐标与图形变化-旋转.

【考点8］作图-旋转变换；作图-平移变换.

【考点9】垂径定理

【考点10］垂径定理的应用.

【考点11］圆心角、弧、弦的关系.

【考点12］圆周角定理

【考点13］圆内接四边形的性质；

【考点14］正多边形和圆

【考点15］弧长的计算.

【考点16］扇形面积计算

圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形

成的图形叫圆。这个固定的端点0叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以0点为圆心的圆记作。0,读作圆0。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。

1

【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆;

2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

3）半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

知识点2：圆的有关概念

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：右图中的AB）。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作读作圆

弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

知识点3：确定圆的条件

1.过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

知识点4：三角形的外接圆与外心

1.三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

2.三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形

的外心。

知识点5：旋转的概念

把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度,叫做图形的旋转,点0叫做旋转中心，

转动的角叫做旋转角（如下图中的/BOF）,如果图形上的点B经过旋转变为点F,那么这两

个点叫做对应点.

注意：（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因

而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图

形能够重合，这是判断旋转的关键。

2

(2)旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。

(3)旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。

知识点6：旋转的性质

旋转的性质：4

(1)对应点到旋转中心的距离相等。

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。夕72

(3)旋转前、后的图形全等。"C

注意：

(1)旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键.

(2)性质是通过学生操作验证得出的结论，性质(1)和(2)是旋转作图的关键，整个性

质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础.

(3)要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。

知识点7：旋转作图

(1)旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也

相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连

接得出旋转后的图形。

(2)旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中

心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.

知识点8：垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。，

推论1：1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(°

2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法(考点)：1)过圆心，作垂线，连半径，造Rta,用勾股，求长度;

2)有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分

知识点9:垂径定理的应用

经常为未知数，结合方程于勾股定理解答

3

知识点10：圆心角的概念

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,

所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。/云

二

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相

等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。

知识点11:圆角角的概念

圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=2圆心角）

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦

是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

知识点12：圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在（DO中，•.•四边ABCD是内接四边形

AZC+ZBAD=180°ZB+ZD=180°不\

ZDAE=ZCIo

B

AE

4

知识点13:圆内正多边形的计算

(1)正三角形

在。O中△ABC是正三角形，有关计算在RtABOD中进行：

0D:BD:0B=l：5.2；

(2)正四边形

同理，四边形的有关计算在WAQ4E中进行，OE:AE:OA=l:l:g：

(3)正六边形

同理，六边形的有关计算在舟公。45中进行，AB:OB:OA=l：y/3:2

知识点14:与正多边形有关的概念

1、正多边形的中心

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

知识点15:正多边形的对称性

1、正多边形的轴对称性

正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正

n边形的中心。

2、正多边形的中心对称性

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

5

3、正多边形的画法

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

知识点16：扇形的弧长和面积计算

扇形：(1)弧长公式：/=辿；(2)扇形面积公式：$=竺艾=工以

1803602

〃：圆心角R：扇形多对应的圆的半径/：扇形弧长5：扇形面积

注意：

⑴对于弧长公式，关键是要理解r的圆心角所对的弧长是圆周长的一!一,即

360

1.7rR

-----><2兀Rn=；

360180

(2)公式中的n表示1。圆心角的倍数，故n和180都不带单位，R为弧所在圆的半径;

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个

量就可以求出第三个量.

(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的」一，

360

_7TR2

-

即360'360；

(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其

中的两个量就可以求出第三个量.

知识点17：扇形与圆柱、圆锥之间联系

1、圆柱：

(1)圆柱侧面展开图

S表=S侧+2s底=2%泌+Inr1

(2)圆柱的体积：V=兀/h

2、圆锥侧面展开图

(1)S表=s恻+S底=17?厂+万户

(2)圆锥的体积：V=-^r2h

3

几nR

注意：圆锥的底周长=扇形的弧长(2Hr=-------)

180

6

点精讲

【考点1］圆的认识.

1.（2022秋•海珠区校级期中）下列说法错误的是（）

A.直径是圆中最长的弦

B.长度相等的两条弧是等弧

C.面积相等的两个圆是等圆

D.半径相等的两个半圆是等弧

2.（2022秋•林州市期中）已知O。的半径是5cm,则。。中最长的弦长是（）

A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm

3.（2022秋•岳麓区校级月考）如图，O。的弦48、半径。。延长交于点。，BD

=OA,若NZOC=105°,则/£>=度.

【考点2】点与圆的位置关系.

4.（2022秋•海陵区校级月考）。。的半径外=5°机，圆心到直线/的距离。/=

4cm,在直线/上有一点P,且W=3cm,则点尸（）

A.在O。内B.在。。上

C.在O。外D.可能在。。上或在。。内

5.（2022秋•沐阳县校级月考）一个点到圆的最小距离为6cm,最大距离为9cm,

则该圆的半径是（）

A.1.5cmB.7.5cm

C.1.5cm或75cmD.3cm或15。加

6.（2022秋•大荔县校级月考）如图，已知△ABC,4C=3,BC=4,ZC=90°,

以点。为圆心作OG半径为九

7

（1）当r取什么值时，点2、8在OC外.

（2）当r在什么范围时，点Z在OC内，点8在OC外.

【考点3】确定圆的条件.

20.（2022秋•拱墅区校级月考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎

片如图所示，为配到与原来大小-样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃

碎片应该是（）

A.第①块B.第②块C.第③块D.第④块

21.（2022秋•沐阳县校级月考）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点Z,B,

C,其中5点坐标为（4,4）,则该圆弧所在圆的圆心坐标为

J'小

22.（2022秋•工业园区校级月考）如图所示，破残的圆形轮片上，弦48的垂直

平分线交弧Z5于点C,交弦Z8于点。.已知：AB=24cm,CD=Scm.

（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求（1）中所作圆的半径.

8

【考点4】三角形的外接圆与外心

23.（2022春•崇川区校级月考）如图，已知。。的半径为2,△48C内接于OO,

NZC5=135°,则48=

24.（2022秋•桐乡市期中）如图，在平面直角坐标系x°v中，点Z的坐标为（0,

7）,点5的坐标为（0,3）,点C的坐标为（3,0）,那么△4BC的外接圆的

圆心坐标为.

25.（2022秋•大丰区校级月考）已知等腰三角形48C,如图.

（1）用直尺和圆规作△4BC的外接圆；

（2）设△4BC的外接圆的圆心为。，若/8。。=128°,求NA4c的度数.

26.（2022•福州模拟）如图，△NBC内接于。0；ZA=30°,过圆心O作OD

LBC,垂足为D若O。的半径为6,求。。的长.

9

【考点5】生活中的旋转现象.

2.（2023春•兴宾区期末）有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②传送带的移

动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.其中属

于旋转的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.（2023春•嘉定区期末）一天中钟表时针从上午6时到上午9时旋转的度数

为.

【考点6】旋转的性质.

4.（2023•东方一模）如图，将△48C绕点幺顺时针旋转60°得到若线

段48=4,则的长为（）

A.3B.4C.5D.6

5.（2023春•北林区期末）如图在△NBC中，NC=90°,Z^5C=40°，将△NBC

绕点5逆时针旋转得到,点C的对称点。恰好落在变48上，连

接44,，则NC44'度数是（）

6.（2023•二道区校级模拟）如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本

身没有字母）要想与原来图形重合，则绕圆心至少旋转（）

1

A

A.36°B.60°C.72°D.90°

7.（2023•武鸣区二模）如图，在△NBC中，ZCAB=16°,在同一平面内，将

△4BC绕点Z旋转到△Z8C的位置，使贝UNR48等于（）

A.28°B.30°C.36°D.38°

8.（2023春•檐州期末）如图，该图形围绕点。按下列角度旋转后，不能与其自

身重合的是（）

A.72°B.108°C.144°D.216°

9.（2023春•路南区期末）如图，在△ZC8中，ZC=90°,ZB=6Q°,BC=l,

△ZC5绕点Z顺时针旋转90°,得至点5,£之间的距离为（）

A.2B.V6C.2/2D.3

10.（2022秋•江门期末）如图，在RtZXZBC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC

=2,将△45C绕点C按逆时针方向旋转得到△48C,此时点4恰好在边4B

上，则点笈与点8之间的距离为（）

1

B'

A.4B.2依C.3D.

11.（2023春•开江县校级期末）如图，等边△48C中有一点P,且PA=3,PB

=4,PC=5,则N4P8的度数的为（）

135°C.120°D.165°

12.（2023•通榆县三模）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其

旋转角最小为度.

13.（2022秋•阜宁县期末）如图，正方形/BCD,是等边三角形，M是正

方形48CD对角线NC（不含点2）上任意一点，将线段绕点幺逆时针旋

转60°得到ZN,连接EN,DM.求证：EN=BM.

1

14.(2023春•江岸区校级月考)如图，将△48C绕点C顺时针旋转90°得到△

EDC.若点2、D、E在同一条直线上，且N/C8=25°,求/出与N5的

15.(2023春•开江县校级期末)如图，△4BC是等边三角形，点。在ZC边上,

将△BCD绕点C旋转得到△ZCE.

(1)求证：△CDE是等边三角形；

(2)若48=8,BD=1,求△4DE的周长.

16.(2023春•清远期末)如图，在△ZBC中，点£在8C边上，AE=AB,将线

段ZC绕Z点旋转到AF的位置，使得NC4F=/BAE,连接EF,EF与AC

交于点G.

(1)求证：BC=EF；

(2)若NZ5C=64。，ZACB=25°,求NZGE的度数.

F

BEC

1

17.(2023春•东营期末)如图，在RtZXZBC中，ZC=90°,将△NBC绕着点8

逆时针旋转得到△FSE,点C,Z的对应点分别为E,R点E落在氏4上，连

接4F.

(1)若NA4C=40°.则N84F的度数为；

(2)若ZC=8,BC=6,求ZF的长.

18.(2023春•渠县校级期末)阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图①等边△4BC内有一点P,若点尸到顶点45、C的距离分别为3,

4,5,求N4P8的度数.

为了解决本题，我们可以将△48尸绕顶点/旋转到△ZCP处，此时△/CP

^△48尸，这样就可以利用旋转变换，将三条线段以、PB、尸C转化到一个三

角形中，从而求出N4P5=；

(2)基本运用

1

请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题

已知如图②，△ZBC中，ZCAB=90°,AB=AC,E、尸为5c上的点且NENE

=45°,求证：EF=BR+FG

（3）能力提升

如图③，在中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°，点。为RtZUBC

内一点，连接2。,5。,。。,且/2。。=/。。5=/5。幺=120°,OA+OB+OC

的值.

【考点71坐标与图形变化-旋转.

26.（2023春•巴东县期中）在平面直角坐标系x0v中，已知幺（1,0）,C（-2,

1）,若将点C绕点Z顺时针旋转90°得到点C,则。的坐标为（）

A.（2,3）B.（1,2）C.（2,1）D.（3,2）

27.（2023春•达川区校级期末）如图在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直

角三角形Z05,ZOAB=90°,直角边ZO在x轴上，且20=1.将Rt4/05

绕原点0顺时针旋转90°得到等腰直角三角形Z1051,且AiO=2AO,再将

口△小。81绕原点。顺时针旋转90°得到等腰三角形/2。比,且22。=2由。…,

依此规律，得到等腰直角三角形Z2023O82023,则点比023的坐标（）

B.(22°22,-22022)

C.(22°23,_22023)D.(22022,22022)

1

28.(2023春•兴城市期中)如图所示，长方形4BCO的两边5C、CD分别在x

轴、y轴上，点C与原点重合，点Z(-1,2),将长方形48co沿x轴无滑

动向右翻滚，经过一次翻滚，点Z的对应点记为4；经过第二次翻滚，点Z

的对应点记为血；……，依次类推，经过第2023次翻滚，点Z的对应点出023

的坐标为()

斗

Ai--------D:----'

B(C)O1'!经

A.(3032,1)B.(3033,0)C.(3033,1)D.(3035,2)

29.(2023•阜新模拟)如图，把正方形铁片0Z5C置于平面直角坐标系中，顶点

A的坐标为(3,0),点P(1,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下

角的顶点按顺时针方向依次旋转90。，第一次旋转至图①位置，第二次旋转

至图②位置，…则正方形铁片连续旋转2024次后，点尸的坐标为()

第一次第二次

A.(6070,2)B.(6072,2)C.(6073,2)D.(6074,1)

【考点8］作图-旋转变换；作图-平移变换.

30.(2023春•舞钢市期中)如图1,把△48C绕着点。顺时针旋转后，顶点Z

旋转到了点D

(1)用尺规作图，作出△/C8旋转后的

1

(2)指出旋转角和旋转中心.

(3)在图2中，ADEF是△4BC绕着点P旋转得到的，点幺、B、C的对应

点分别是点。、E、F,请确定点尸的位置，并简要说明画图步骤.

31.(2023春•蒲城县期末)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长

度，建立平面直角坐标系，△4BC的三个顶点坐标分别为Z(1,0),B(1,

4),C(4,2).

(1)将△48C向左平移5个单位，再向上平移1个单位，画出平移后的△45Ci；

(2)画出将△48C绕原点。按顺时针方向旋转90°后的△/2历。2,并写出点

B的对应点B2的坐标.

32.(2023春•青秀区校级期末)△4BC在平面直角坐标系中如图所示.

(1)请画出△4BC关于原点。对称的△ZiBiCi,并写出小，81的坐标;

(2)将△ZiBiCi向右平移6个单位得到282c2,请画出△Z2及C2；

(3)△4BC与△/252C2关于点尸成中心对称，请直接写出点尸的坐标.

1

【考点9】垂径定理

7.（2022秋•如皋市校级月考）如图，在半径为5c机的O。中，弦AB=6cm,OC

8.（2022春•射洪市校级月考）如图，48是O。的弦，半径。CL45于点。，若

0）0的半径为5,48=8,则CD的长是（）

9.（2022•新乐市校级模拟）如图，AB,5c是。。的两条弦，AOLBC,垂足为

D,若O。的半径为5,BC=8,则48的长为（）

10.（2021秋•鼓楼区期末）往直径为52c机的圆柱形容器内装入一些水以后，截

面如图所示，若水面宽48=48c掰，则水的最大深度为（）

1

10cmC.16cmD.20cm

11.（2022•金华模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如

图所示，已知所=CO=4c机，则球的半径长是（）

.4D

/\

I、0I

\/

\/

、、一/

BC

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.4cm

12.（2022秋•桐庐县期中）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100c根，下

雨前水面宽为60c机，一场大雨过后，水面宽为80cm,则水位上升cm.

13.（2022秋•房县期中）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系

的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算

术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯

道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，

已知:锯口深为1寸，锯道25=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为一寸.

1

14.（2022秋•富阳区期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度48=60米,

拱高产。=18米.

（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；

（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4

米，即尸E=4米时，是否要采取紧急措施？

【考点11】圆心角、弧、弦的关系.

15.（2022•辉县市一模）如图，在。。中，AB=AC，ZAOB=4Q°,则NZQC

C.20°D.15°

16.（2021秋•金安区校级期末）如图，在O。中，若点。是窟的中点，N/=50°,

C.50°D.60°

17.（2022•莱州市一模）如图，48是半圆。的直径，以弦ZC为折痕折叠血后,

恰好经过点。，则N/OC等于（）

2

c

B

A、、-------'0

A.120°B.125°C.130°D.145°

18.（2022•汉川市模拟）如图，点Z,B,。在O。上，NZ=40度，NC=20度,

则N8=度

19.（2022春•射阳县校级月考）如图，在。。中，ZC为。。直径，5为圆上一

点，若NO5C=26°,则N/08的度数为

【考点12］圆周角定理

27.（2022•平南县二模）如图，A,B,C是。。上的三点，AB,ZC在圆心。的

两侧，若/45。=20°,ZACO=30°,则乙8OC的度数为（）

B.110°C.125°D.130°

28.（2022春•番禺区校级期中）如图，已知48是。。的直径，ZD=4Q°,则

/CAB的度数为（）

2

29.（2022春•靖江市校级月考）如图，点Z,B,C在。。上，N/=36°,ZC

A.100°B.72°C.64°D.36°

30.（2022秋•南岗区校级月考）如图，4B是O。的直径，C、。是。。上的两点,

分别连接ZC、BC、CD、OD.若NDO8=140°,则NZCD=（）

A.20°B.30°C.40°D.70°

31.（2022秋•环江县期末）如图，48是O。的直径，C,。是O。上的两点，若

ZBCD=28°,则NAB£(=

D

2

【考点131圆内接四边形的性质；

32.（2022秋•天门期中）如图，四边形内接于O。，若四边形4SC。是平

行四边形，则NZDC的大小为（）

A.45°B.50°C.60°D.75°

33.（2022•五通桥区模拟）如图，四边形45CD内接于O。，尸是加上一点，且命

=BC，连接CP并延长交的延长线于点E，连接ZC若N4BC=105

ZBAC=25°,则NE的度数为（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【考点14］正多边形和圆

47.（2022•乾安县模拟）如图，正五边形43CQE内接于O。，尸为镜上的一点

（点尸不与点。重合），则NCP。的度数为（）

48.（2022•玉溪模拟）正六边形4BCDEF内接于OO,正六边形的周长是12,则

O。的半径是（）

A.V3B.2C.272D.273

2

49.（2022秋•天宁区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六

边形O4BCDE绕点。顺时针旋转z,个45°,得到正六边形O4AGDE，，则正

六边形。闻品=2020）的顶点G的坐标是（）

A.（1,-B.（1,V3）C.（1,-2）D.（2,1）

【考点15］弧长的计算.

50.（2022秋•城中区校级月考）若扇形的圆心角为90°,半径为6,则该扇形的

弧长为（）

A.—TCB.2TCC.3TtD.6Tl

2

51.（2022•大冶市校级模拟）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上

滚动一个半径为10c机的圆盘，如图所示，48与是水平的，8C与水平面

的夹角为60°,其中幺3=60cm,CD=40cm,BC=40cm,那么该小朋友将圆

盘从Z点滚动到。点其圆心所经过的路线长为cm.

52.（2022•合肥模拟）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画

弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6c处则该莱洛三

角形的周长为cm.

2

【考点16］圆锥的计算

53.（2022秋•滨海县月考）如图，用一个半径为30cm,面积为BOOTIC/的扇形

铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）

A.5cmB.10cmC.20cmD.5ncm

54.（2022•双台子区校级开学）如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个

圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（）m.

C.V30D.

55.（2022•五通桥区模拟）如图，已知圆锥的高为遂，高所在直线与母线的夹

角为30°,圆锥的侧面积为

【考点171扇形面积的计算

56.（2022•温州校级开学）如图，在口ABCD中，AD=2,AB=4,ZA=30°,

以点Z为圆心，的长为半径画弧交Z8于点E,连接CE,则阴影部分的面

积是（结果保留7T）.

D

AE

2

57.（2021秋•岱岳区校级期末）如图，在△ZBC中，CA=CB,ZACB=90°,

48=2,点。为48的中点，以点。为圆心作圆心角为90°的扇形QEF,点

C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为.

E

58.（2022•兰山区一模）如图，C为半圆内一点，。为圆心，直径48长为2CM,

ZBOC=6Q°,NBC。=90°,将△BOC绕圆心。逆时针旋转至△"OC',

点C'在OZ上，则边5C扫过区域（图中阴影部分）的面积为c机2.（结

果保留n）

城专题训练

一.选择题（共11小题）

1.（2022秋•河西区校级期末）如图，48是O。的直径，BC=CD=DE-/COD

=34°,则NZE。的度数是（）

A.51°B.56°C.68°D.78°

2.（2022秋•隆回县期末）如图，在Rt/kZBC中，ZBAC=90°,将△ZBC绕点

Z顺时针旋转90°后得到△48,C（点8的对应点是点小，点C的对应

2

点是点C'）,连接CC'.若NC。B'=32°,则N8的大小是（）

C.77°D.87°

3.（2023春•古冶区期末）如图，将△4BC绕点C顺时针旋转90°得到若

点4D,E在同一条直线上，ZACB=20°,则NZDC的度数是（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

4.（2022秋•沈河区校级期末）下列语句中不正确的有（）

①相等的圆心角所对的弧相等；

②平分弦的直径垂直于弦；

③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；

④长度相等的两条弧是等弧.

A.3个B.2个C.1个D.4个

5.（2022秋•河西区校级期末）如图，AB是O。的直径，弦CDLAB于点E,

6.（2022秋•南开区校级期末）如图，在△48C中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

将△4BC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点、B落在点

2

。处，则8、。两点间的距离为（）

A.V10B.2-72C.3D.275

7.（2022秋•孝感期末）如图，正方形048c的两边CM、0c分别在x轴、y轴

上，点。（5,3）在边48上，以C为中心，把△CD8旋转90°,则旋转后

点。的对应点。'的坐标是（）

C.(2,10)或(-2,0)D.(10,2)或(-2,0)

8.（2022秋•邯山区校级期末）如图，在半径为13c机的圆形铁片上切下一块高

为8c机的弓形铁片，则弓形弦Z5的长为（）

A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm

9.（2023•台江区校级模拟）如图，点8,C,。在。。上，若N8CD=130°,

则ZBOD的度数是（）

2

A.50°B.60°C.80°D.100°

10.（2023•东莞市校级二模）如图，O。是△4BC的外接圆，BC=2,/BAC=

30°,则劣弧前的长等于（）

A.等B.年C.誓2LD,号

11.（2018•邵阳）如图所示，四边形46CD为O。的内接四边形，ZBCD=120°,

则N80Q的大小是（）

A.80°B.120°C.100°D.90°

二.填空题（共9小题）

12.（2023春•泰山区校级期中）如图，半圆。的直径48=2,弦CD〃AB,ZCOD

=90°,则图中阴影部分的面积为.

13.（2022秋•鹤山市期末）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好

经过圆心。，则折痕48的长为cm.

2

o

14.（2022秋•赣州期末）如图，点4B,。在。。上，C。的延长线交48于点

D,ZA=50°,ZB=30°,则NZQC的度数为.

15.（2022秋•江北区校级期末）如图，直线y=等+4与x轴、y轴分别交于2、

8两点，把△N05绕点Z顺时针旋转90°后得到△Z。'B',则点）的坐

标是—.

16.（2023春•保德县校级期中）如图，将△4BC绕点。旋转60°得到B'

C,已知NC=6,8C=4,则线段25扫过图形（阴影部分）的面积为—.（结

果保留n）

17.（2023春•甘州区校级期中）如图，O。的半径为1cm,正六边形

内接于O。，则图中阴影部分面积为—cm2.（结果保留n）

3

■oD

RC

18.（2022秋•澄城县期末）如图，△NBC内接于O。，ZACB=90°,N/C5的

角平分线交O。于D若ZC=6,BD=5®则8c的长为.

19.（2016春•滦县期中）如图，在直角坐标系中，已知点N（-3,0）,B（0,4）,

对△048连续作旋转变换，依次得到三角形1、2、3、4-.则三角形2016

20.（2022秋•南沙区校级期末）如图，48是半圆。的直径，点C在半圆上，AB

=5,AC=4,。是黄上的一个动点，连接ZD.过点C作于E,连

接则8E的最小值是

三.解答题（共11小题）

21.（2023•东莞市校级一模）如图，已知48是。。的直径，C,。是。。上的点,

OC//BD,交2。于点E,连接BC.

3

(1)求证：AE=ED；

(2)若Z5=10,ZCBD=36°,求々的长.

22.(2022秋•麻章区期末)如图，△4BC三个顶点的坐标分别为幺(2,4),B

(1,1),C(4,3).

(1)请画出△4BC关于x轴对称的△NbBCi,并写出点4的坐标；

(2)请画出△48C绕点8逆时针旋转90°后的△Z/Cz；

(3)求出(2)中C点旋转到G点所经过的路径长(结果保留根号和TT).

23.(2022秋•夏邑县期末)如图，C,。是以48为直径的半圆上的两点，ZCAB

=ZDBA,连结5C,CD.

(1)求证：CD//AB.

(2)若48=4,ZACD=3Q°,求阴影部分的面积.

3

24.（2022秋•九龙坡区期末）如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆

弧型，跨度CO（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高幺5（弧的中点到弦的距离）

为0.8米.

（1）求该圆弧所在圆的半径;

（2）在修建中，在距大门边框的一端（点0.4米处将竖立支撑杆8G,求

支撑杆8G的高度.

25.（2023•南明区校级一模）如图，四边形Z5CD中，ZABC=ZADC=45°,

将绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到

△ACE.

（1）请求出旋转角的度数；

（2）请判断ZE与的位置关系，并说明理由；

（3）若ZD=2,CD=3,试求出四边形4BCD的对角线AD的长.

26.（2022秋•滨海新区校级期末）如图，AB是半圆。的直径，C、D是半圆。

上的两点，且。D〃5C,0。与ZC交于点£.

（1）若乙8=70°,求NC4。的度数；

（2）若Z5=4,AC=3,求。£的长.

3

D

C

27.(2023春•西湖区校级期中)(原创题)如图所示，扇形048从图①无滑动旋

转到图②，再由图②到图③，/。=60°,OA=1.

(1)求。点所运动的路径长；

(2)。点走过路径与直线£围成的面积.

28.(2023•婺城区模拟)如图，48是O。的直径，C是俞的中点，CEL4B于点

E,BD交CE于点F.

(1)求证：CF=BF；

(2)若C£>=6,AC=8,求O。的半径及CE的长.

29.(2022秋•无为市期末)如图，△8幺。是由45£。在平面内绕点3旋转60°

而得，^.ABLBC,BE=CE,连接。E.

(1)求证：△BDE2ABCE；

(2)试判断四边形Z5EQ的形状，并说明理由.

3

D

30.(2022秋•紫金县期末)如图，△ZBC中，Z5=ZC=2,/B4c=45°,AAEF

是由△4BC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、(方相交于点D.

(1)求证：BE=CF；

(2)当四边形幺5。尸为菱形时，求CD的长.

3

圆的基本性质

会考点归纳

【考点1］圆的认识.

【考点2】点与圆的位置关系.

【考点3】确定圆的条件.

【考点4】三角形的外接圆与外心

【考点5】生活中的旋转现象.

【考点6】旋转的性质.

【考点7】坐标与图形变化-旋转.

【考点8］作图-旋转变换；作图-平移变换.

【考点9】垂径定理

【考点10］垂径定理的应用.

【考点11］圆心角、弧、弦的关系.

【考点12］圆周角定理

【考点13］圆内接四边形的性质；

【考点14］正多边形和圆

【考点15］弧长的计算.

【考点16］扇形面积计算

圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形

成的图形叫圆。这个固定的端点0叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以0点为圆心的圆记作。0,读作圆0。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。

1

【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆;

2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

3）半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

知识点2：圆的有关概念厂、

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：右图中的AB）。\

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作读作圆

弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

知识点3：确定圆的条件

1.过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

知识点4：三角形的外接圆与外心

1.三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

2.三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形

的外心。

知识点5：旋转的概念

把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度,叫做图形的旋转,点0叫做旋转中心，

转动的角叫做旋转角（如下图中的/BOF）,如果图形上的点B经过旋转变为点F