专项训练：PISA类解直角三角形的应用（原卷版）-2024-2025学年浙教版九年级数学下册

PISA类解直角三角形的应用

1.（2024•温州模拟）“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器.某“圭表”示意图如图所示，ACLBC,NC=3米,

测得某地夏至正午时“表”的影长CD=1米，冬至时的正午太阳高度角N/2C=a,则夏至到冬至，影长差

的长为（）

表

北（子）南（午）

圭f

冬立春春分立夏夏

至立冬秋分立秋至

线

线

A.(3sina-1)米B.品D米

D

C.(3tana-1)米+1)米

C.x-10=xtan50°D.x=(x+10)sin50°

3.（2024•瑞安市二模）如图，在中，ZACB=90°，以其三边为边向外作正方形，记△ZBC的面积为

Si，三个正方形的面积和为必，过点C作CM」尸G于点连结CG交48于点N,设N45C=a,NMCG=0,

若端）2=tana，tanB'则$2为（

A.AB.C.3D.

4488

4.（2024•嘉善县一模）为了改善自己书房的照明，小明在书房内圆桌中央的上方安装了一个吊灯，根据小明的设

计，吊灯到桌面的距离可以调节，这样桌面上的光线亮度可以根据不同需要加以选择.根据光学中的相关定律,

电灯/到圆桌边缘3的照度I=ksinB,其中《是电灯的发光强度“为常数且左＞0）,/是电灯到圆桌边缘的

I2

距离，0是电灯到圆桌边缘的光线与桌面所成的角.当0=60°时，电灯的照度记作/],当电灯到圆桌距离与圆

桌半径相等时，电灯的照度记作A，则土=.

12

5.（2024春•乐清市期中）如图1是某位游客拍摄的景区缆车实景图.如图2是该段索道抽象出的平面示意图，索

道N8的倾斜角为30°,长度/8=82米，其两端由BC、AD两座等高的支架架设，这一时刻索道之间如图

均匀分布着五个车厢，车厢的宽高之比（PN：MN）是2：3,若点J,L,。恰好在同一直线上，KC=21米，

贝!JMN=米.

图1图2

6.（2024•鹿城区一模）图1是一个水平地面上的长方体密封容器，内部装有水，其正方形底面的边CD=8cm,棱

上标有刻度，水面与交于点读得DW=30c"?,如图2将容器放在斜坡上，此时水面分别与ND,

BC交于点、N,P（NP〃OF）,读得DN=25cm.若容器厚度不计，贝UtanNEOP=.

7.（2024•湖北模拟）图1是临安区一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图

形，AC^40cm,则双翼边缘端点C与。之间的距离为（用含a的三角函数表示）.

图1

8.（2024•鹿城区校级开学）利用无人机探照灯测量坡面的角度.如图，一架无人机探照灯在点。处，测得它的下

边缘光线以落在坡脚点/处，上边缘光线。5落在斜坡点3处，此时无人机离地面12米，将无人机沿水平方

向前进5米到达点£处，探照灯的上下边缘光线EC,£8落在斜坡3,C处，AD//BE,DB//CE,此时点£恰

好在/的正上方，现测得BC&AB，则tan/5/N=.

9.（2023秋•乐清市校级期中）图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“工型”托架N-C-E用于放置

手机，支架8。两端分别与托架和底座（其厚度忽略不计）相连，支架8端可调节旋转角度，已知

6cm,AB=2BD=4BC,支架调整到图2位置时，/BDM=60°,/ABD=120°.因实际需要，现将支架2端

角度调整为//8。=150。，如图3所示，则点/的位置较原来的位置上升高度为cm.

10.（2024•鹿城区校级开学）新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源，综合车辆的动力控制和驱动方

面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.如图1是某新能源汽车侧面示意图，图2是

该车后备厢开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm）,l.AC=BD,AF〃BE,sin/BAF=0.8,箱盖开

起过程中，点C,尸不随箱盖转动，点8,D,E绕点/沿逆时针方向转动相同角度，分别到点夕，D',

E'的位置，气簧活塞杆。随之伸长CO',已知直线E',CD'=Hc。，则CD=cm.

3

B'E，

力i105cm

4

B

E

图1图2

11.（2023秋•义乌市期末）有一长杆花艺剪如图1所示，上刀片与上把手固定在长杆上，把手杆“GE的点G

固定在48上，NEGH大小不变，当手握N2G8两边时，GE绕着点G旋转，带动杆反，杆反再带动刀片杆

CD尸绕固定点。旋转，且/CD尸=90°.图2是该花艺剪自然张开状态下的示意图，CD、族都与N5平行，

测得。尸=5cm,CD=20cm,FE、间的距离为1c加，当杆"GE绕点G逆时针旋转a时，花艺剪完全闭合，

点。落在48边上，如图3所示，此时GEL/2,且斯还是与48平行，则sina=.

（图1）

（图2）（图3）

12.（2023秋•新化县期末）小明家的脚踏式垃圾桶如图，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角N/BC=50°,为节

省家里空间，小明想把垃圾桶放到桌下，经测量桌子下沿离地面高55CM垃圾桶高2。=33.工加，桶盖直径BC=

28.2cm,当垃圾桶放到桌下踩踏板时，桶盖完全打开有没有碰到桌子下沿？（参考数据：sin50°仁0.76,cos50。

心0.64,tan50°-1.19）

13.（2024•下城区校级模拟）如图，氨气球位于西溪湿地慢生活街区，是目前唯一由我国自主研发、制造的载人观

光氢气球，也是杭州目前唯一的高空氧气球体验项目.从气球/上测得正前方的河流的两岸8,C的俯角分别为

75°,30°,此时气球的高是60加，求河流的宽度2c的长度.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：

sin75°^0.97,cos75°心0.26,tan75°弋3.73,通仁1.73)

14.（2024•温岭市一模）如图，某电脑显示器由显示屏（矩形/BCD）和支架组成，显示屏对角线/C中点。固定

在支架直杆。尸一端处，显示屏可绕点。顺时针或逆时针旋转，已知N8=36c%,ZBAC=58°.

（1）求3c长度；

（2）为避免在旋转过程中显示屏与支架平台即发生磕碰，则支架直杆。P的最小值是.

（结果精确到1cm,参考数据：tan58°^1.60,cos58°=0.53,sin58°七0.85）

15.（2024•青田县校级模拟）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1,某社区服务中心在文化活动室

墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC,遮阳篷长

为5米，与水平面的夹角为16°.

（1）求点/到墙面2c的距离；

（2）当太阳光线与地面CE的夹角为45°时，量得影长。为1.8米，求遮阳篷靠墙端离地高的长.（结

果精确到0.1米；参考数据：sinl6°仁0.28,cosl6°仁0.96,tanl6°^0.29）

16.（2023秋•浙江期末）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如图是小红同学安装的化学实验装置，安装

要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管/8=24"7,试管倾斜角。

3

为10°.

（1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度（结果精确到0.1C/M）；

（2）实验时，当导气管紧贴水槽九W,延长8〃交CN的延长线于点R且（点C,D,N,尸在一条

直线上），经测得：DE=2736cm,MN=8cm,ZABM=145°,求线段ON的长度（结果精确到0.1cm）.（参考

数据：sin10°-0.17,coslO°仁0.98,tanlO°心0.18）

17.（2024•浙江模拟）如图1是我国古代提水的器具桔椽，创造于春秋时期.它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架

在作为杠杆的竹梯上.大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水

桶.其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井.当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就

会回到井里.如图2是桔棒的示意图，大竹竿/8=6米，。为N8的中点，支架。。垂直地面EF.

图1图2图3

（1）当水桶在井里时，ZAOD=120°,求此时支点。到小竹竿NC的距离（结果精确到0.1机）；

（2）如图3,当水桶提到井口时，大竹竿48旋转至小丛的位置，小竹竿NC至小。1的位置，此时/小。。=

143°,求点/上升的高度（结果精确到0.1加）.

（参考数据：百七1.73,sin37°20.6,cos37°^0.8,tan37°20.75）

18.（2024春•镇海区校级期末）小明在周末去方特游乐园乘坐了海盗船，海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项

目，它的主体是由一个大型的船身和两侧的摇摆机械臂构成.游客坐在船内，随着机械的运动，仿佛置身于一场

海盗航海的冒险之中.当它静止时，我们可以把它抽象成如图1所示的图形，中心转轴点。位于铅垂线OC上,

两条摆臂和均匀分布在铅垂线两侧，它们的长度相同.

小明在乘坐过程中遇到了下列问题:

（1）如图2,当海盗船右侧船头转到最高点）时，左侧船头H看最高点⑶的仰角为23°,即=

23°,已知两摆臂之间的夹角9=50°,求海盗船的最大摆角NC。9的度数.

（温馨提示：在△4。®,由OH=。9可得NO48=N。匠4）

（2）如图3,已知转轴。到地面的距离。。=10加，在乘坐的过程中，当海盗船右侧船头在位置尸时，此时测得

点P到地面的距离小=7〃?；当左侧船头摆动到点P处时，PO±P'O.求点P到OC的距离.

图2图3

19.(2024•龙湾区二模)如图1,拐尺与水平尺是生活中重要的测量工具.图2是某排水管道系统的部分实物图,

图3是其示意图.已知管道N8与8C的长度相同，8C与地面平行.现将拐尺和水平尺放在上，使PN

//AD,测得MN=12厘米，MP=5厘米.

(1)求tan/2/D的值.

(2)若/。=12.5米，求C到地面的距离CD的长.

20.（2024•海宁市校级模拟）综合与实践：测算校门所在斜坡的坡度.

【背景】如图1,某学校校门在一道斜坡上，该校兴趣小组想要测量斜坡的坡度.

图1图2

【素材1】校门前的斜坡上铺着相同的长方形石砖，如图2,从测量杆到校门所在位置在斜坡上有15块

地砖.

【素材2】在点/处测得仰角tan/l=_l,俯角tan/2=工；在点2处直立一面镜子，光线8。反射至斜坡CE

95

的点N处，测得点2的仰角tan/3=-L；测量杆上N8BC=5：8,斜坡CE上点N所在位置恰好是第9块地

24

砖右边线.

【讨论】只需要在/I,Z2,/3中选择两个角，再通过计算，可得CE的坡度.

任务1分析规划选择两个测量角的正切值：_________和—____.（填

“Nl”，“N2”或“N3）

求NE：CN的值.

任务2推理计算求坡度tan/ECM的值.

21.（2024•浙江模拟）我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1）,记入射角为a,折射角

为（3,我们把〃=卓吗胸为水的折射率.为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2,为一圆柱形

sinP

敞口容器的纵切面，BC=32cm,容器未盛水时激光笔从。处发射光线，点O,A,C恰好共线，此时

53°.往容器内注水，当水面所到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G处，测得CG=

7c加.（参考数据：sin53°七生,cos53°七3,tan53°七三）

553

（1）求容器的高度/8

（2）求水的折射率

（3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3,当光斑G'移动到3C的三等分点处（CG,=1CB）,

求水面上升的高度EE'（结果精确到0.1cm）

入射角a

O\A

译

22.（2024•浙江模拟）某项目学习小组研究一款挡雨棚，首先将挡雨棚抽象为柱体，如图1所示，底面N2C与小为Q

全等且平行，△/8C与△小与。各边表示挡雨棚支架，支架44i，BB[,C。垂直于平面/2C.雨滴下落方向与

外墙（所在平面）所成角为30。（即//。8=30。），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形/4QO（。，Q分别在

CA,Q4的延长线上）.

（1）若。4=1.5加，AC=0.3m,/4=2加，小组成员对曲线段BC有两种假设，分别为：

①挡雨板（曲面8SQC）的面积可以近似为线段8c与线段881长的乘积，且//C8=60°.

②曲线2c近似为以点。为圆心的圆弧.

请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1m2）.

（2）如图2,设N8垂直墙面（AB±AC）,支架线段N4下0.1米处有一矩形的窗，上、下窗框平行于/小，上、

下窗框所在直线分别与C。相交于点E,F.若43=0.6加，窗的上、下框距离斯=1"，请问下雨时，雨滴会打

进窗内吗？若雨滴会打进窗内，请说明雨棚N8外沿需要加长多少米，才能使雨滴不会打进窗内；若雨滴不会打

进窗内，请写出雨滴落点距点尸的最小距离（参考数据：向心1.732,精确到0.01〃?）.

图I图2

23.（2024•杭州三模）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态.小海买了一辆自行车作为代步工具,

各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为26cm,图2是该自行车的车架示意图，立管AB=24cm,上

管/C=32c加，且它们互相垂直，座管/E可以伸缩，点/、B、E在同一条直线上，且/48。=75°.

（1）求下管2C的长；

（2）若后下叉8。与地面平行，座管/£伸长到13c%，求座垫E离地面的距离.（结果精确到lew,参考数据

sin75°七0.97,cos75°心0.26,tan75°心3.73)

24.（2024•湖州一模）用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形N2CD,AB^lGcm,

DA=2cm.该沙发与地面的空隙为矩形EFGH,EF=55ctn,HE=12cm.拖把杆为线段（W,长为45c加，。为

OC的中点，与。C所成角a的可变范围是14°WaW90°,当a大小固定时，若经过点G,或点/与

点E重合，则此时N尸的长即为沙发底部可拖最大深度.

（1）如图1,当a=30°时，求沙发底部可拖最大深度/尸的长.（结果保留根号）

（2）如图2,为了能将沙发底部地面拖干净，将a减小到14°,请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度

4F的长能否达到55c加？（sinl4°=0.24,cosl4°』0.97,tanl4°20.25）

25.（2024•杭州二模）小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组

成，镜面可绕两固定点转动.如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点工,

8所在直线经过镜面的圆心。，如图3是其侧面示意图.现测得底座最高点/到桌面高为18c〃z,C为镜面上的

最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）CD为16cm.

（1）在镜面转动的过程中，求镜面上的点。到桌面的最短距离（即图3中。〃的长）.

（2）如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得/。。〃=160°.求此时镜面上的点。到桌面的距离.（精确到0.1cm,

参考数据：sin70°^0.94,cos70°^0.34,tan70°仁2.75.）

26.（2023秋•鹿城区期中）根据以下素材，探索完成任务

探究纸伞中的数学问题

素材1我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1,伞

不管是张开还是收拢，/尸是伞柄，伞骨

且/£=岂8,AF=LC,DE=

33

p

DF,。点为伞圈.

图1

素材2伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收A

拢时伞骨的示意图，此时伞圈。滑动到E(F)

。的位置，且/、E、D'三点共线.测得D'

4D'=50cm,AE=20cm,伞完全张开时N

B/C=120°,如图1所示（参考值：屈5P

]2

心24.49）.8

素材3项目化学习小组同学经过研究发现：雨往

往是斜打的，且都是平行的.如图3,某

B

一天，雨线8M与地面夹角为60°,小明