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文档简介
PISA类解直角三角形的应用
1.(2024•温州模拟)“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器.某“圭表”示意图如图所示,ACLBC,NC=3米,
测得某地夏至正午时“表”的影长CD=1米,冬至时的正午太阳高度角N/2C=a,则夏至到冬至,影长差
的长为()
表
北(子)南(午)
圭f
冬立春春分立夏夏
至立冬秋分立秋至
线
线
A.(3sina-1)米B.品D米
D
C.(3tana-1)米+1)米
C.x-10=xtan50°D.x=(x+10)sin50°
3.(2024•瑞安市二模)如图,在中,ZACB=90°,以其三边为边向外作正方形,记△ZBC的面积为
Si,三个正方形的面积和为必,过点C作CM」尸G于点连结CG交48于点N,设N45C=a,NMCG=0,
若端)2=tana,tanB'则$2为(
A.AB.C.3D.
4488
4.(2024•嘉善县一模)为了改善自己书房的照明,小明在书房内圆桌中央的上方安装了一个吊灯,根据小明的设
计,吊灯到桌面的距离可以调节,这样桌面上的光线亮度可以根据不同需要加以选择.根据光学中的相关定律,
电灯/到圆桌边缘3的照度I=ksinB,其中《是电灯的发光强度“为常数且左>0),/是电灯到圆桌边缘的
I2
距离,0是电灯到圆桌边缘的光线与桌面所成的角.当0=60°时,电灯的照度记作/],当电灯到圆桌距离与圆
桌半径相等时,电灯的照度记作A,则土=.
12
5.(2024春•乐清市期中)如图1是某位游客拍摄的景区缆车实景图.如图2是该段索道抽象出的平面示意图,索
道N8的倾斜角为30°,长度/8=82米,其两端由BC、AD两座等高的支架架设,这一时刻索道之间如图
均匀分布着五个车厢,车厢的宽高之比(PN:MN)是2:3,若点J,L,。恰好在同一直线上,KC=21米,
贝!JMN=米.
图1图2
6.(2024•鹿城区一模)图1是一个水平地面上的长方体密封容器,内部装有水,其正方形底面的边CD=8cm,棱
上标有刻度,水面与交于点读得DW=30c"?,如图2将容器放在斜坡上,此时水面分别与ND,
BC交于点、N,P(NP〃OF),读得DN=25cm.若容器厚度不计,贝UtanNEOP=.
7.(2024•湖北模拟)图1是临安区一地铁站入口的双翼闸机,双翼展开时示意图如图2所示,它是一个轴对称图
形,AC^40cm,则双翼边缘端点C与。之间的距离为(用含a的三角函数表示).
图1
8.(2024•鹿城区校级开学)利用无人机探照灯测量坡面的角度.如图,一架无人机探照灯在点。处,测得它的下
边缘光线以落在坡脚点/处,上边缘光线。5落在斜坡点3处,此时无人机离地面12米,将无人机沿水平方
向前进5米到达点£处,探照灯的上下边缘光线EC,£8落在斜坡3,C处,AD//BE,DB//CE,此时点£恰
好在/的正上方,现测得BC&AB,则tan/5/N=.
9.(2023秋•乐清市校级期中)图1为手机支架实物图,图2为它的侧面示意图,“工型”托架N-C-E用于放置
手机,支架8。两端分别与托架和底座(其厚度忽略不计)相连,支架8端可调节旋转角度,已知
6cm,AB=2BD=4BC,支架调整到图2位置时,/BDM=60°,/ABD=120°.因实际需要,现将支架2端
角度调整为//8。=150。,如图3所示,则点/的位置较原来的位置上升高度为cm.
10.(2024•鹿城区校级开学)新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源,综合车辆的动力控制和驱动方
面的先进技术,形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.如图1是某新能源汽车侧面示意图,图2是
该车后备厢开起侧面示意图,具体数据如图所示(单位:cm),l.AC=BD,AF〃BE,sin/BAF=0.8,箱盖开
起过程中,点C,尸不随箱盖转动,点8,D,E绕点/沿逆时针方向转动相同角度,分别到点夕,D',
E'的位置,气簧活塞杆。随之伸长CO',已知直线E',CD'=Hc。,则CD=cm.
3
B'E,
力i105cm
4
B
E
图1图2
11.(2023秋•义乌市期末)有一长杆花艺剪如图1所示,上刀片与上把手固定在长杆上,把手杆“GE的点G
固定在48上,NEGH大小不变,当手握N2G8两边时,GE绕着点G旋转,带动杆反,杆反再带动刀片杆
CD尸绕固定点。旋转,且/CD尸=90°.图2是该花艺剪自然张开状态下的示意图,CD、族都与N5平行,
测得。尸=5cm,CD=20cm,FE、间的距离为1c加,当杆"GE绕点G逆时针旋转a时,花艺剪完全闭合,
点。落在48边上,如图3所示,此时GEL/2,且斯还是与48平行,则sina=.
(图1)
(图2)(图3)
12.(2023秋•新化县期末)小明家的脚踏式垃圾桶如图,当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角N/BC=50°,为节
省家里空间,小明想把垃圾桶放到桌下,经测量桌子下沿离地面高55CM垃圾桶高2。=33.工加,桶盖直径BC=
28.2cm,当垃圾桶放到桌下踩踏板时,桶盖完全打开有没有碰到桌子下沿?(参考数据:sin50°仁0.76,cos50。
心0.64,tan50°-1.19)
13.(2024•下城区校级模拟)如图,氨气球位于西溪湿地慢生活街区,是目前唯一由我国自主研发、制造的载人观
光氢气球,也是杭州目前唯一的高空氧气球体验项目.从气球/上测得正前方的河流的两岸8,C的俯角分别为
75°,30°,此时气球的高是60加,求河流的宽度2c的长度.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:
sin75°^0.97,cos75°心0.26,tan75°弋3.73,通仁1.73)
14.(2024•温岭市一模)如图,某电脑显示器由显示屏(矩形/BCD)和支架组成,显示屏对角线/C中点。固定
在支架直杆。尸一端处,显示屏可绕点。顺时针或逆时针旋转,已知N8=36c%,ZBAC=58°.
(1)求3c长度;
(2)为避免在旋转过程中显示屏与支架平台即发生磕碰,则支架直杆。P的最小值是.
(结果精确到1cm,参考数据:tan58°^1.60,cos58°=0.53,sin58°七0.85)
15.(2024•青田县校级模拟)为建设美好公园社区,增强民众生活幸福感,如图1,某社区服务中心在文化活动室
墙外安装遮阳篷,便于社区居民休憩.在如图2的侧面示意图中,遮阳篷靠墙端离地高记为BC,遮阳篷长
为5米,与水平面的夹角为16°.
(1)求点/到墙面2c的距离;
(2)当太阳光线与地面CE的夹角为45°时,量得影长。为1.8米,求遮阳篷靠墙端离地高的长.(结
果精确到0.1米;参考数据:sinl6°仁0.28,cosl6°仁0.96,tanl6°^0.29)
16.(2023秋•浙江期末)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如图是小红同学安装的化学实验装置,安装
要求为试管略向下倾斜,试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管/8=24"7,试管倾斜角。
3
为10°.
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度(结果精确到0.1C/M);
(2)实验时,当导气管紧贴水槽九W,延长8〃交CN的延长线于点R且(点C,D,N,尸在一条
直线上),经测得:DE=2736cm,MN=8cm,ZABM=145°,求线段ON的长度(结果精确到0.1cm).(参考
数据:sin10°-0.17,coslO°仁0.98,tanlO°心0.18)
17.(2024•浙江模拟)如图1是我国古代提水的器具桔椽,创造于春秋时期.它选择大小两根竹竿,大竹竿中点架
在作为杠杆的竹梯上.大竹竿末端悬挂一个重物,前端连接小竹竿(小竹竿始终与地面垂直),小竹竿上悬挂水
桶.其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力,从而提水出井.当放松大竹竿时,小竹竿下降,水桶就
会回到井里.如图2是桔棒的示意图,大竹竿/8=6米,。为N8的中点,支架。。垂直地面EF.
图1图2图3
(1)当水桶在井里时,ZAOD=120°,求此时支点。到小竹竿NC的距离(结果精确到0.1机);
(2)如图3,当水桶提到井口时,大竹竿48旋转至小丛的位置,小竹竿NC至小。1的位置,此时/小。。=
143°,求点/上升的高度(结果精确到0.1加).
(参考数据:百七1.73,sin37°20.6,cos37°^0.8,tan37°20.75)
18.(2024春•镇海区校级期末)小明在周末去方特游乐园乘坐了海盗船,海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项
目,它的主体是由一个大型的船身和两侧的摇摆机械臂构成.游客坐在船内,随着机械的运动,仿佛置身于一场
海盗航海的冒险之中.当它静止时,我们可以把它抽象成如图1所示的图形,中心转轴点。位于铅垂线OC上,
两条摆臂和均匀分布在铅垂线两侧,它们的长度相同.
小明在乘坐过程中遇到了下列问题:
(1)如图2,当海盗船右侧船头转到最高点)时,左侧船头H看最高点⑶的仰角为23°,即=
23°,已知两摆臂之间的夹角9=50°,求海盗船的最大摆角NC。9的度数.
(温馨提示:在△4。®,由OH=。9可得NO48=N。匠4)
(2)如图3,已知转轴。到地面的距离。。=10加,在乘坐的过程中,当海盗船右侧船头在位置尸时,此时测得
点P到地面的距离小=7〃?;当左侧船头摆动到点P处时,PO±P'O.求点P到OC的距离.
图2图3
19.(2024•龙湾区二模)如图1,拐尺与水平尺是生活中重要的测量工具.图2是某排水管道系统的部分实物图,
图3是其示意图.已知管道N8与8C的长度相同,8C与地面平行.现将拐尺和水平尺放在上,使PN
//AD,测得MN=12厘米,MP=5厘米.
(1)求tan/2/D的值.
(2)若/。=12.5米,求C到地面的距离CD的长.
20.(2024•海宁市校级模拟)综合与实践:测算校门所在斜坡的坡度.
【背景】如图1,某学校校门在一道斜坡上,该校兴趣小组想要测量斜坡的坡度.
图1图2
【素材1】校门前的斜坡上铺着相同的长方形石砖,如图2,从测量杆到校门所在位置在斜坡上有15块
地砖.
【素材2】在点/处测得仰角tan/l=_l,俯角tan/2=工;在点2处直立一面镜子,光线8。反射至斜坡CE
95
的点N处,测得点2的仰角tan/3=-L;测量杆上N8BC=5:8,斜坡CE上点N所在位置恰好是第9块地
24
砖右边线.
【讨论】只需要在/I,Z2,/3中选择两个角,再通过计算,可得CE的坡度.
任务1分析规划选择两个测量角的正切值:_________和—____.(填
“Nl”,“N2”或“N3)
求NE:CN的值.
任务2推理计算求坡度tan/ECM的值.
21.(2024•浙江模拟)我们在科学课中学过,光从空气射入水中会发生折射现象(如图1),记入射角为a,折射角
为(3,我们把〃=卓吗胸为水的折射率.为了观察光的折射现象,进行如下实验:如图2,为一圆柱形
sinP
敞口容器的纵切面,BC=32cm,容器未盛水时激光笔从。处发射光线,点O,A,C恰好共线,此时
53°.往容器内注水,当水面所到达容器高度一半时,激光笔在容器底面光斑落在点G处,测得CG=
7c加.(参考数据:sin53°七生,cos53°七3,tan53°七三)
553
(1)求容器的高度/8
(2)求水的折射率
(3)若继续往容器内注水,光斑会往左侧移动,如图3,当光斑G'移动到3C的三等分点处(CG,=1CB),
求水面上升的高度EE'(结果精确到0.1cm)
入射角a
O\A
译
22.(2024•浙江模拟)某项目学习小组研究一款挡雨棚,首先将挡雨棚抽象为柱体,如图1所示,底面N2C与小为Q
全等且平行,△/8C与△小与。各边表示挡雨棚支架,支架44i,BB[,C。垂直于平面/2C.雨滴下落方向与
外墙(所在平面)所成角为30。(即//。8=30。),挡雨棚有效遮挡的区域为矩形/4QO(。,Q分别在
CA,Q4的延长线上).
(1)若。4=1.5加,AC=0.3m,/4=2加,小组成员对曲线段BC有两种假设,分别为:
①挡雨板(曲面8SQC)的面积可以近似为线段8c与线段881长的乘积,且//C8=60°.
②曲线2c近似为以点。为圆心的圆弧.
请分别计算这两种假设下挡雨板的面积(精确到0.1m2).
(2)如图2,设N8垂直墙面(AB±AC),支架线段N4下0.1米处有一矩形的窗,上、下窗框平行于/小,上、
下窗框所在直线分别与C。相交于点E,F.若43=0.6加,窗的上、下框距离斯=1",请问下雨时,雨滴会打
进窗内吗?若雨滴会打进窗内,请说明雨棚N8外沿需要加长多少米,才能使雨滴不会打进窗内;若雨滴不会打
进窗内,请写出雨滴落点距点尸的最小距离(参考数据:向心1.732,精确到0.01〃?).
图I图2
23.(2024•杭州三模)倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态.小海买了一辆自行车作为代步工具,
各部件的名称如图1所示,该自行车的车轮半径为26cm,图2是该自行车的车架示意图,立管AB=24cm,上
管/C=32c加,且它们互相垂直,座管/E可以伸缩,点/、B、E在同一条直线上,且/48。=75°.
(1)求下管2C的长;
(2)若后下叉8。与地面平行,座管/£伸长到13c%,求座垫E离地面的距离.(结果精确到lew,参考数据
sin75°七0.97,cos75°心0.26,tan75°心3.73)
24.(2024•湖州一模)用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示,拖把头为矩形N2CD,AB^lGcm,
DA=2cm.该沙发与地面的空隙为矩形EFGH,EF=55ctn,HE=12cm.拖把杆为线段(W,长为45c加,。为
OC的中点,与。C所成角a的可变范围是14°WaW90°,当a大小固定时,若经过点G,或点/与
点E重合,则此时N尸的长即为沙发底部可拖最大深度.
(1)如图1,当a=30°时,求沙发底部可拖最大深度/尸的长.(结果保留根号)
(2)如图2,为了能将沙发底部地面拖干净,将a减小到14°,请通过计算,判断此时沙发底部可拖最大深度
4F的长能否达到55c加?(sinl4°=0.24,cosl4°』0.97,tanl4°20.25)
25.(2024•杭州二模)小兴同学在母亲节来临之际,为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜,由镜面与底座组
成,镜面可绕两固定点转动.如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图,镜面为圆形,底座上的固定点工,
8所在直线经过镜面的圆心。,如图3是其侧面示意图.现测得底座最高点/到桌面高为18c〃z,C为镜面上的
最高点,且直径(边框视为镜面的一部分)CD为16cm.
(1)在镜面转动的过程中,求镜面上的点。到桌面的最短距离(即图3中。〃的长).
(2)如图4小兴妈妈通过转动镜面,测得/。。〃=160°.求此时镜面上的点。到桌面的距离.(精确到0.1cm,
参考数据:sin70°^0.94,cos70°^0.34,tan70°仁2.75.)
26.(2023秋•鹿城区期中)根据以下素材,探索完成任务
探究纸伞中的数学问题
素材1我国纸伞制作工艺十分巧妙,如图1,伞
不管是张开还是收拢,/尸是伞柄,伞骨
且/£=岂8,AF=LC,DE=
33
p
DF,。点为伞圈.
图1
素材2伞圈D能沿着伞柄滑动,如图2是完全收A
拢时伞骨的示意图,此时伞圈。滑动到E(F)
。的位置,且/、E、D'三点共线.测得D'
4D'=50cm,AE=20cm,伞完全张开时N
B/C=120°,如图1所示(参考值:屈5P
]2
心24.49).8
素材3项目化学习小组同学经过研究发现:雨往
往是斜打的,且都是平行的.如图3,某
B
一天,雨线8M与地面夹角为60°,小明
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