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文档简介

专题突破卷16立体几何中的轨迹问题

章题生颗嵬

求算在正方体中的轨迹

立体几何中的轨迹问题求算在长方体中的轨迹

求算在棱台中的轨迹

朦题生各个古武

题型一:求算在正方体中的轨迹

1.如图,在棱长为1的正方体ABC。-A瓦G2中,M为平面ABCD内一动点,则下列说法不正确的是()

A.若M在线段AB上,则RM+MC的最小值为百五万

JT

B.平面AC2被正方体内切球所截,则截面面积为工

0

C.若GM与A3所成的角为:7F,则点”的轨迹为椭圆

4

D.对于给定的点M,过M有且仅有3条直线与直线R4RC所成角为60。

【答案】C

【分析】把矩形ABG自与正方形ABCO置于同一平面,求出RC长判断A;求出内切球球心到平面ACR,

求出截面小圆半径判断B;建立空间直角坐标系,利用异面直线夹角建立方程判断C;利用异面直线所成角

的意义转化判断D.

【详解】对于A,正方体ABCD-A片GR的对角面MG,是矩形,把矩形ABCQ与正方形ABCD

置于同一平面,且在直线两侧,连接RC,则2M+MC2£>jC=J(应+1r+1="+2夜,

当且仅当“为RC与A3的交点时取等号,A正确;

对于B,令正方体内切球球心为。,连接O4,OC,OR,。为正方体的中心,

OA=OC=OD.=—,AC=AD\=D、C=血,正△4CR半径2x正义应=迈,

।2323

正三棱锥。-ACR底面AQ上的高无=J(正尸(如y力,又球。的半径为(

则被截得的圆的半径为,;)2-(点)2=半,面积为兀(骼)2=看,B正确;

对于C,建立空间直角坐标系,如图,

则A(l,0,0),5(1,1,0),G(0」/),设M(羽y。),有AB=(0,L0)CM=ayT,T),

,,……\C.M-AB\|y-l|V2..

贝1nssc孙=一ly+JZ,整理得-D-』,

则M的轨迹是双曲线,C错误;

jr

对于D,显然过M的满足条件的直线数目等于过2的满足条件的直线/的数目,ZADIC=~,

在直线/上取点P,使RP=RA=RC,不妨设NP〃A=1,贝!]ZP〃C=g,

则四面体ARCP是正四面体,P有两种可能,直线/也有两种可能,

若NPAA=T,贝I"只有一种可能,就是与/A2c的角平分线垂直的直线,所以直线/有三种可能,D正确.

故选:C

2.在棱长为2的正方体ABC。-4片£2中,点£为棱。2的中点,点厂是正方形CD2G内一动点(包括

边界),则()

A.三棱锥A男尸的体积为定值

B.若用F//平面ABE,则点尸的轨迹长度是&

C.当点。在直线BG上运动时,A2+QC的最小值是2退

D.若点尸是棱G2的中点,则平面ABF截正方体所得截面的周长为2应+2有+2

【答案】AB

【分析】对A:由平面平行可得点尸到平面与4的距离为定值,结合体积公式即可得;对B:借助线面

平行的判定定理与性质定理与面面平行的性质定理可得平面用MV〃平面ABE,计算即可得点F的轨迹长

度;对C:将.8CG沿8G翻折到与△4GB在同一个平面,借助两点之间线段最短计算即可得;对D:画

出截面图形后计算即可得.

【详解】对于A:平面平面CDDg,则点尸到平面AB4A的距离为定值2,

114

则%w=%-4第=§X5X2X2X2=§,故A正确;

对于B:如图1,分别取GR、GC中点M,N,连接B、N,NE,MN,BM,

则NE//GR,且NE=CQ,又\BJ/CR,=CXDX,

故NE//A与且NE=A区,所以四边形A4NE是平行四边形,

所以A.E//4N,因为AN<2平面ABE,\Eu平面AtBE,

所以B|N//平面AfE,同理MN〃CR//A8,有MN〃平面AfE,

因为B、NcMN=N且都在面ByMN,所以平面gMN〃平面A,BE,

因为平面gMV1平面CE>2G=MN,

所以点尸的轨迹是线段"N,其长度为正,故B正确;

对于C,把BCG沿BG翻折到与△AGB在同一个平面(如图2所示),

连接AC,则AC是A。+QC的最小值,

其中△AGB是边长为2&的等边三角形,

BCG是直角边为2的等腰直角三角形,

由对称性得AiC=AiQ+QC=2V2义与+插=娓+垃,

即A2+QC的最小值是"+0,故c错误;

对于D:如图3,由B选项知,四边形A2N/就是平面尸截正方体所得截面的图形,

其周长为直+20+石+石=30+26\故D错误.

故选:AB.

3.已知正方体428-4瓦&2的棱长为1,点尸满足APu/LS+4AAj,其中2eR,〃eR,贝。()

A.当几=〃时,则GP+PD的最小值为亚工^

B.过点P在平面ADR4内一定可以作无数条直线与CP垂直

C.若CJ与仞所成的角为£,则点尸的轨迹为双曲线

D.当2=1,时,正方体经过点A、P、G的截面面积的取值范围为.,&

【答案】ACD

【分析】对A,将平面A,。展开到与,A8G同一平面,由两点间线段最短得解;对B,当尸在2时,过尸

点只能作一条直线与CP垂直,可判断;对CD,以点D为坐标原点建立空间直角坐标系,设出点P坐标,

利用向量的坐标运算即可判断.

【详解】对于A,当时,AP=A(AD+A41)=2AD1,

所以点尸在线段A,上,

如图,将三角形AD,D与矩形RABa沿C2展成平面图形如下所示,

则线段。G即为弓尸+尸。的最小值,

3冗<—

2

利用余弦定理可知CtD=CM+DD;-2CQ•.cos1=2+鱼,

所以CQ=也+&,即GP+P。的最小值为正通,故A正确;

对于B,当P在2时,过点P在平面ADR4内只可以作一条直线与CP垂直,故B错误;

对于C,以D为原点,分别以ZMQCOR为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),q(0,1,1),A(l,0,0),仇1,1,0),P(x,0,z),得C]P=(x,-l,z-l),AD=(-1,0,0),

兀\qP-AD\|-x|五

cos_——________—=_______'_____—___

..4一,叩叫一ylx2+(z-l)2+l.2

对于D,当2=1时,AP=AD+〃A4inZ>P=〃AA,故点尸在线段。2上运动,

正方体经过点A、P、G的截面为平行四边形APC,〃,

以。为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则A(l,0,0),G(0,1,1),A(1,0,1),尸(o,o,〃),

所以PG=(O,l,l—〃),AC]=(T,1,1),PG,AC;=2-〃,

E=/+(i一〃y,|AC|=V3,

"PC,■AC,2〃2_24+2

所以点P到直线AG的距离为d=

、Ml3

于是当〃=;时备加=年,PAG的面积取最小值,此时截面面积为=

当〃=0或1时也邛,尸AG的面积取最大值,此时截面面积为生艮应,

所以正方体经过点A、P、G的截面面积的取值范围为四,加,故D正确.

故选:ACD.

4.已知正方体ABCO-ABIGD的棱长为2,点P为平面CDDC上一动点,贝。()

A.当点尸为。自的中点时,直线CP与AP所成角的余弦值为:

B.当点P在棱。2上时,AP+PG的最小值为百

C.当点p在正方形CD2G内时,若片尸与平面CD2G所成的角为45。,则点尸的轨迹长度为兀

D.当点尸在棱G2(不含顶点)上时,平面4尸8截此正方体所得的截面为梯形

【答案】ACD

【分析】对于A,连接AC,求出AP,CP,AC,再利用余弦定理解即可判断;对于B,将平面A41Ao

和平面CCQQ展成同一平面,结合图象即可判断;对于C,连接GP,根据与G■1平面CDDC,可得NB/G

即为与P与平面CD»G所成的角,进而可得出点P的轨迹,即可判断;对于D,连接C2,设c/=4GD,

O<A<1,过点尸作PQ//C2交CG于点2,连接BQ,证明PQ//AB即可判断.

【详解】对于A,连接AC,如图(1),当点尸为的中点时,

"==也2+『=逐,CP=dcif+DP?=j22+f=&,

AC=VCD2+AD2=展=20,

Ap2+cp2-ac2_5+5-8_1

所以直线CP与AP所成角的余弦值cosNAPC=

2APCP-275x75-5

故A正确;

对于B,当点尸在棱。2上时,将平面例口。和平面CCQQ展成同一平面,如图(2),

则AP+PC,的最小值为AQ=JAC2+CC="2+2?=2下,故B错误;

对于C,如图(3),连接GP,

因为点尸在正方形CDQG内,B£,平面CDD,C,,

所以NBFQ即为与P与平面CDDg所成的角,

若男尸与平面CDD,C,所成的角为45。,则tan/瓦尸G=弟=1,

所以GP=8CI=2,即点尸的轨迹是以G为圆心、以2为半径的;圆,

所以点P的轨迹长度为]X2TIX2=71,故C正确;

对于D,如图(4),连接CR,

当点尸在棱GQ(不含顶点)上时,设G尸=彳6。,0<2<1,

过点P作PQHCD、交CC]于点。,连接BQ,

因为A。//BC且A2=8C,所以四边形ABCR为平行四边形,

所以PQ//4B,所以四边形APQ8为平面A/B截此正方体所得的截面,

因为尸Q〃C。,C1P=AC1D1,所以「。二^^广九^台,

所以截面四边形APQB为梯形,故D正确.

故选:ACD.

图(1)图(2)

图⑶图⑷

5.正四棱柱ABC。-A瓦CQ中,AAl=2AB=2,动点p满足AP=aAC+bAA,且a,6e(0,l),则下列说

法正确的是()

A.当。=:时,直线ACJ_平面8P与

B.当Q+b=l时,P5+P用的最小值为指

C.若直线BP与片A所成角为E,则动点尸的轨迹长为自

42

D.当4+处=1时,三棱锥尸-ABC外接球半径的取值范围是[曰,乎]

【答案】ABD

【分析】当时,由平面向量线性运算法则可知点尸在线段。。|上,根据正四棱柱特征利用线面垂直判

定定理即可证明直线ACL平面BP用;当a+b=l时,由共线定理可得点尸在线段CA上,根据对称性将

尸3+尸瓦的最值转化成平面几何问题,即可求得最小值;若直线3P与8。所成角为:,可知点尸的轨迹是

以。为圆心,半径为厂=变的半圆弧,即可计算出其轨迹长度;当。+力=1时,取的中点为E,由共

2

线定理可知P,C,E三点共线,几何法找出球心位置写出半径的表达式,利用函数单调性求其取值范围即可

得出结果.

【详解】对于A,取AC,3。相交于点。,AG的中点为0厂如下图所示:

11

当“时,即4尸=/4。+。惧=40+6招,Z>G(0,1),

由平面向量线性运算法则可知,点P在线段。。1上,

由正四棱柱ABCD-可得ACJ.BD,

且2耳JL平面ABCD,又ACu平面ABCD,所以BgLAC,

又BB、cBD=B,且24,8。匚平面8£>24,所以AC,平面;

又因为平面BP4与平面8nA4是同一平面,所以AC,平面BP4,即A正确;

对于B,当4+。=1时,由AP=aAC+ZMA利用共线定理可得,P,C,A三点共线,

即点P在线段CA上,

由对称性可知,线段CA上的点到2,用两点之间的距离相等,所以尸8+尸用=依+尸2;

取平面A8CA进行平面距离分析,如下图所示:

所以PB+PR2BR=户不正=&,当且仅当尸,员2三点共线时,等号成立,

此时点P为线段CA的中点,即尸B+尸片的最小值为",故B正确;

对于C,由图可知,8A,BC与所成角都为

由APuqAC+bA^可知,点P在平面AACC]内,

若直线的与所成角为在线段。。|上取点《,使。々=。8,

4

7T

则直线与8D所成角为

4

则点尸的轨迹是以。为圆心,半径为r=变,且在平面A&CG内的半圆弧A《C,

2

如下图中细虚线所示:

对于D,当。+»=1时,取A4的中点为E,即A4,=2AE;

由AP=aAe+ZMA=aAC+»AE可知,P,C,E三点共线,

即点P在线段CE上,如下图所示:

易知三棱锥尸-ABC外接球球心在直线。。上,设球心为。2,|OQ|=/z;

作PQLAC于点。,设户0=xe(O,l),易知AE=1,AC=VL

由相似比可得依。|=|夜x|,|OQ|=,

设外接球半径为R,则改=/+(¥[=岳一日+(无-%)2,解得〃=若匚

所以心[生4+、叱-⑵+6,

(2J24

易知当x=]时,半径最小为尺=立;当x=0,时,半径最大为R=在;

322

又x6(0,1),所以半径的取值范围是即D正确.

故选:ABD.

6.在边长为2的正方体ABCO-ABCQi中,动点M满足AMnxAB+yAD+zM,(x,y,zeR且

x>0,y>0,z>0),下列说法正确的是()

A.当x=:,z=0,ye[0,l]时,用W+A®的最小值为如

B.当x=y=l,z=;时,异面直线浏/与C2所成角的余弦值为典

C.当x+y+z=l,且4知=浊时,则M的轨迹长度为生色

33

D.当x+y=l,z=0时,4W与平面ABQ所成角的正弦值的最大值为渔

3

【答案】AD

【分析】对于A,确定M的位置,利用侧面展开的方法,求线段的长,即可判断;对于B,利用平移法,

作出异面直线所成角,解三角形,即可判断;对于C,结合线面垂直以及距离确定点M的轨迹形状,即可

确定轨迹长度;对于D,利用等体积法求得M点到平面A耳,的距离,结合线面角的定义求得AM与平面

AA2所成角的正弦值,即可判断.

【详解】对于A,在A3上取点H,使在OC上取点K,使。K=

44

因为x=;,z=O,yG[0,1],即+故M点在上,

将平面用"KG与平面AHA。沿着“展开到同一平面内,如图:

连接与。交HK于P,此时民尸,。三点共线,即取到最小值即用。的长,

由于A"=,8=g:.B”=T,则即/==?

722

故做=|+1=3,.'.BXD=TCMT+AB=73+2=V13,

即此时丹加+ATO的最小值为a,A正确;

对于B,由于x=y=l,z=J时,则AMnAB+AD+gM=AC+gc£,

此时M为CQ的中点,取G2的中点为N,连接BM,MN,BN,

则MN//C?,故ZBMN即为异面直线BM与CDt所成角或其补角,

又MN=gcDi=五,BM=A/22+12=6BN=小陷y+(£》)?=A/8+T=3,

故cosNBMN=BM°+MN?-BN?(6+(3)-3?_Tio

IBMMN275.72-10

而异面直线所成角的范围为(0,曰,

故异面直线8M与C"所成角的余弦值为巫,B错误;

10

对于C,当无+y+z=l时,可得点M的轨迹在4加>内(包括边界),

由于CCi_L平面ABC£>,BDu平面ABCD,故CC|_L8。,

又3。LAC,ACC£=C,AC,CGu平面AC£,故3D2平面ACG,

AGu平面ACC],故2。,AG,同理可证42LAG,

=平面Ad。,故A。,平面ABD,

114

设AG与平面AB。交于点p,由于匕1T配=KVABD=§X/x2x2x2=§,

4

ABD为边长为2④的正三角形,则点A到平面48。的距离为人尸=

若AM=,贝ljMP=NAM。-Apz=,

33

即M点落在以P为圆心,述为半径的圆上,

3

P点到三遍的距离为‘X立x2虚=逅<逑,

3233

即M点轨迹是以P为圆心,逑为半径的圆的一部分,其轨迹长度小于圆的周长皿红,C错误;

33

对于D,因为40〃5。,5。^平面714。],AAu平面A瓦A,故平面A耳2,

因为当%+y=l,z=。时,AM=AB+AD即M在BD上,

点M到平面A耳,的距离等于点B到平面人与2的距离,设点B到平面A耳A的距离为d,

1114

则%-物£)]=%-4期=耳5AB4=-x—x2x2x2=—f

ABQ为边长为20的正三角形,即;S4加•d=gX乎X(2应了X1,

解得

3

又M在8。上,当M为3。的中点时,AM取最小值&,

JT

设直线AM与平面ABXDX所成角为aee[0,今,

2A/32^/3r

则.A_d_亍,亍_",即A"与平面ABQI所成角的正弦值的最大值为空,D正确,

AMAM近33

故选:AD

7.在正方体ABCD-ABCQ]中,AB=1,点P满足CP=/LC£>+〃CG,其中;Ie[0』],〃c[0』],则下列结

论正确的是()

A.当4P//平面时,男尸与毁所成夹角可能为三JT

B.当2=〃时,IDPI+IAP的最小值为一;二

C.若与尸与平面CGA。所成角为则点P的轨迹长度为£

42

D.当2=1时,正方体经过点4,Rd的截面面积的取值范围为冬6

【答案】AC

TV

【分析】A选项,当点户与点2重合时,满足4尸//平面4BD,与尸与C2所成夹角为:,A正确;B选

项,将两图形展开到同一平面内,由三点共线得至“。P+IAPI的最小值,由余弦定理求出最小值;C选项,

作出辅助线,得到点P的轨迹,求出轨迹长度;D选项,先得到点尸在线段上,从而得到正方体过点\,P,C

的截面,建立空间直角坐标系,得到点P到直线AC的距离,从而求出截面面积的取值范围.

【详解】如图1,因为CP=2CZ)+〃CG,4c[0,1],〃e[0,1],

所以尸点在正方形CDDC内(包含四个端点),

当点尸与点2重合时,B.PUBD,

因为B]P<Z平面AB。,HDu平面483,

所以用尸//平面AB3,

此时旦。=耳尸=CP=0,故△B|CP为等边三角形,

图1

当a=〃时,点尸在对角线CQ上,

将矩形ABCA和等腰直角三角形CDA折叠到同一平面内,如图2,

连接4。与RC于点尸,

由三点共线可知,|。?+14Pl的最小值即为4。的长,

其中A2=£)i£)=i,420=135°,

由余弦定理得

A。=NAD;+£>]£>2-2AR•RDcos135。=Jl+1-2x—5=也+a,B错误;

c选项,如图3,以G为圆心,CG的长为半径作圆,与正方形CDDC交于:圆弧,

TT

此时满足B】P与平面CQD.D所成角为:,

4

171

故则点P的轨迹长度等于7*2兀X1=彳,C正确;

42

D选项,如图4,当2=1时,CP=CD+〃CG,即CP-CD=〃CCi,故DP=〃CG,

故点尸在线段。2上,

在2片上取点打,使得B]H=PD,连接

则可证得A"=PC,CH=\P,四边形APS为平行四边形,

故正方体经过点4,P,C的截面为平行四边形AP",

以A为坐标原点,所在直线分别为龙,y,z轴,建立空间直角坐标系,

则A(O,O,1),C(1,1,O),尸(O,l,〃),z/e[0,l],

\c(ia,-i)

其中m=[BB

网F+]+]亍F),AC=(i,i,o)-(o,o,1)=(1,

P\=(o,o,i)-(o,i,〃)=(o,,

则总公(。,"〃)号岑==%-2

则点P到直线AC的距离〃=,尸屋_(%."『=]+°一〃)2一[手〃一竿

故截面面积为卜岛e半,血,D错误.

故选:AC

8.已知正方体的棱长均为2,E为线段A4的中点,4尸=243+〃4。,其中4〃目0,1],则下列

选项正确的是()

A.当〃=g时,APLER

B.当2=〃时,4尸+尸。的最小值为0+逐

C.若直线用户与平面ABCD所成角为。则点尸的轨迹长度为g

42

D.当;I+〃=1时,正方体被平面截的图形最大面积为40

【答案】AD

【分析】将〃=g代入AP=2AB+〃AD,将A.P,ER用AAAD,AB表示,计算其数量积是否为0即可证明;将

f代入可知点尸在AC上,且在平面A41cC上滔AADC沿着AC向下翻折至与平面441c(共面,点D翻

折后变为D2,过2向AC作垂线,垂足为。,可知D?在MN上,且为MV中点,所以同尸+尸。最小值为AA,根据

长度关系解出即可;由直线男尸与平面抽。所成角为J可得,2用尸为等腰直角三角形,即8尸=2,可得尸的

轨迹为以8为圆心2为半径的圆上,且在平面ABCD内,进而可求其轨迹长度,判断正误;由几+〃=1,可得

尸,瓦。三点共线,分尸在0。上运动和尸在08上运动两种情况下,讨论截面面积的大小情况,求出最值,即可

判断正误.

【详解】由题知正方体ABC。-A4G2的棱长均为2,

当〃=;时,

止匕时APE。[=(AA+AP)•(胡+AO+D,)

=1^A+2AB+1Ar>j-(AD+j1-AA1

2

=4A,AD+—?ljA,AAj+AA.B,AD+—71A3,+—A.D,AD+—AD,AAj

)八

=——1x4/+—1x4=0,

22

所以4P,£D],

即选项A正确;

当2=〃时,AP=几(AB+AD)=AAC.

所以点尸在AC上,且点P在平面MGC上,

分别将4A,GC延长至M,N,

使得A〃=CN=及,

将AADC沿着AC向下翻折至与平面A416c共面,

点D翻折后变为D2,过D2向AC作垂线,垂足为。,如图所示:

因为AD=DC=2,AO_LDC,

所以AZ>2=&C=2,AD,±UGAADC=AAD2C,

因为2。,AC,所以。为AC中点,且2。=血,

因为平面A41G。1平面ABCD,且平面A41G。c平面ABCD=AC,

AC,所以D2O1平面ABC。,

所以2。〃A4]〃CG,又因为D2O=V2=AM=CN,

所以2在政v上,且为跖v中点,4尸+尸。=42+尸3,

在平面A41cle中,连接A3交AC于点P时,\P+PD2取最小值,

因为AC=2应,所以3河=枕,

止匕时A3=7(AM)2+(A^)2

=42+可+(形)j=18+402员式,

故选项B错误;

因为BBi±面ABCD,所以4P耳为直线BtP与面ABCD的平面角,

当直线用尸与平面ABCD所成角为时,

4

即NBPBi=:7T,因为网_LBP,所以/BBJ=7:T,

44

所以8瓦尸为等腰直角三角形,因为B片=2,所以的=2,

因为AP=4AB+〃AD,由平面向量基本定理可知P在平面ABCD内,

所以尸的轨迹为以B为圆心2为半径的圆上,且在平面ABCD内,

所以点尸的轨迹长度为!义2兀X2=TT,

故选项C错误;

因为"=彳48+〃4。,其中4〃€[0』.

因为彳+〃=1,所以尸,民。三点共线,

连接AC交于点。,

当点尸在。。上运动时,延长"交CD于点

则正方体被平面尸4,截的图形为AAHR,

由图可知,当P点运动到。点时,截面为△am,此时截面积最大,

因为正方体棱为2,所以AA=2&=AC=CA,

止匕时截面积最大为20x2应x走=2岔,

22

当点P在OB上运动时,延长AP交CO于点"

过点L做AZ),的平行线交CG于点。,连接D,Q,

再过点L做A2的垂线,垂足为R,如图所示:

由题可知,此时截面为等腰梯形AD.QL.

记CL=X,X£[0,2],则CQ=%,3L=GQ=2-x,AD[=2&,

AL=DQ=^4+(2-x)2,LQ=瓜,

所以AR=AD「LQ=2后一缶

22

2

2\/z-、

LR=《A已-AR。=4+(2-x)2~

2J

(AD.+LQ^LR(2&+缶).j6-2x+gx2

所以54402=

2

2

(x+2)<(X2-4X+12')_H2广g2)2+8)

44

_1(X+2)2-(X-2)2+8(X+2)2I(X2-4)2+8(X+2)2

44

X4-8X2+16+8X2+32X+32f+32x+48

44

J+32x+48

令〃x)=,xe[0,2],

4

所以广(力=丁+8>0,所以〃x)在[0,2]单调递增,

所以〃x)4/(2)=32,

故脏心后=4啦,因为S<4应,

所以正方体被平面PAR截的图形最大面积为4点,

即选项D正确.

故选:AD

题型二:求算在长方体中的轨迹

9.长方体ABCD-ABC中,AB=2AD=2AA,=2,"为棱AB的中点,平面4"。上一动点N满足

NANM=90,则下列说法正确的是()

A.长方体外接球的表面积为67rB.DM±ACj

C.A到平面AMD距离为2叵D.N的轨迹长度为亚兀

33

【答案】AD

【分析】计算出长方体的外接球直径,结合球体表面积公式可判断A选项;利用空间向量法可判断BC选

项;分析可知,点N的轨迹为圆,求出圆的周长,可判断D选项.

【详解】对于A选项,长方体ABCO-ABIGD的外接球直径为

2R=y]AB2+AD2+A4)2=J4+1+1=屈,

所以,长方体ABCD-ABCQ[外接球的表面积为S=4成2=TIX(2R)2=6无,A对;

对于B选项,以点。为坐标原点,DA,DC、D2所在直线分别为x、V、z轴建立如下图所示的空间直

则A(l,0,0)、A(I,。」)、。(。,。,。)、M(U,0)、G(0,2,1),

所以,AC,=(-1,2,1),DM=(l,l,0),则相'=-1+2=1-0,B错;

对于C选项,设平面AMD的法向量为"=(x,y,z),

=(1,0,1),贝I],取x=l,可得”=(1,-1,-I),且D4=(l,o,o),

n•=x+z=0

所以,点A到平面4"。的距离为d==J=组,c错;

\n\733

对于D选项,取线段AM的中点E,因为NAW=90,则NE=[AM=?,

22

因为E为AM的中点,且点A到平面A"。的距离为且,

3

故点E到平面4加。的距离为£,

6

所以,点N的轨迹是平面截以点E为球心,半径为;的球所得圆,

且截面圆的半径为—Jgj-=中,

因此,点N的轨迹长度为2兀x4l=如兀,D对.

63

故选:AD.

10.在长方体ABCO-A4G2中,AB=3,AD=AA,=4,P是线段上的一动点,则下列说法正确的是

()

A.A尸〃平面ABCB.4尸与平面BCG4所成角的正切值的最大值是述

3

C.4尸+PC的最小值为如+20D.以A为球心,5为半径的球面与侧面BCG用的交线长是2兀

【答案】ACD

【分析】由平面与平面平行,可得直线与平面平行即可判断A,根据线面角定义找出线面角,当成最短时,

可求线面角的正切的最大值判断B,根据展开图,转化为求AC,利用余弦定理求解即可判断C,根据球面

与侧面交线为圆弧的四分之一即可求解即可判断D.

【详解】对于A,如图,

在长方体中,\CJIAC,4G0平面ARC,ACu平面ADXC,所以AG〃平面ARC,同理可得AB〃平面ADtC,

又A2cAG=A,所以平面ABC]〃平面ADC,A/U平面a^G,所以AP〃平面ADC,所以A正确;

对于B,因为平面BCC4,所以4尸与平面BCCg所成角为NA尸与,如图,

当时,瓦尸最小,NA尸耳的正切值最大,tanNAPBi=篝=^=当,所以B错误;

对于C,将aAC用沿BG翻折与,BCG在同一个平面,且点4,C在直线BC1的异侧,如图,

此时4B=4G=5,CB=CG=4,Bq=4^2^BCtC=45°,

52+(40)2-5?咨所以sin“避=平,

所以cosN&G8=

2x5x4拒

5?+4?-4c2

故cosZAQC=cos(ZACjB+45°)=----------=

2x5x4

解得&c=JF7+2夜,所以4尸+PC的最小值为a7+2忘,所以c正确;

对于D,如图,

由于平面BCG与,所以交线为以B为圆心,半径为4的四分之一圆周,

所以交线长为2兀,所以D正确,

故选:ACD.

11.如图所示,在长方体-AB1G2中,AB=AD=2,AAl=l,点E是棱CD上的一个动点,F是

BC的中点,BM=;BB1,给出下列命题,其中真命题的().

A.当E是CD的中点时,过EEM的截面是四边形

B.当点£是线段C。的中点时,点P在底面A2C。所在平面内,且MP//平面AEG,点。是线段MP

的中点,则点。的轨迹是一条直线

C.对于每一确定的£,在线段上存在唯一的一点M使得2H_L平面AEG

D.过点M做长方体A2CZ)-的外接球的截面,则截面面积的最小值为葺

【答案】BD

【分析】延长总和AD交于F,取。2的三等分点连接4加',证得平面A/F'M与平面为同一

个平面,连接ME,得到过平面跳河的截面为五边形五可判定A不正确;取4与的中点G,连

接AG,GG,取A3的中点为N,连接gN,CN,证得平面〃平面AECQ,得到HZ//HF,进而得

到点。的轨迹,可判定B正确;以D为原点,建立的空间直角坐标系,设E(0,m,0),HQ,”,0),其中。Wm,〃V2,

结合A〃SG=0,求得,的值,可判定C不正确;先求得长方体的外接球的半径为R,结合球的性质,求

得截面圆的面积最小值,可判定D正确.

【详解】对于A中,延长fE和AD交于尸,连接A尸与。2交于连接并延长可得

三点共线,连接AM,如图所示,平面A/PM与平面EW为同一个平面,连接ME,可平面与长

方体的各个面的交线分别为4〃,板,尸E,四',/&,

所以过平面的截面为五边形4M短加r,所以A不正确;

对于B中,在长方体ABC。-A片GR中,取A4的中点G,连接AG,GG,

取A3的中点为N,连接21N,CN,则CW/ME,BtN//AG

再取以L分别为A®,BC的三等分点,连接.,可得BF//CN,

又由M为8片的三等分点,所以MH//B3,所以MH〃AG,HF//AE,

因为平面AECQ,AGu平面AEC£,所以M"//平面AEQG,

同理可证:"F//平面AECQ,

MH「]HF=H且MH,HFu平面MHF,所以平面MHF〃平面AECQ,

当点尸在HF上时,此时MPu平面AfflF,所以MP〃平面AECQ,

取Affl,狼的中点",乙,可得HZ//HF,

又由。为AP的中点,所以点。的轨迹为直线所以B正确;

对于C中,如图所示,以。为原点,建立的空间直角坐标系,

则4(2,0,0),E(0,l,0),M(2,2,1),C,(0,2,1),D,(0,0,1),

设E(0,m,0),8(2,〃,0),其中0<s〃42,

可得A"=(2,〃,一1),AE=(—2/0),AC;=(-2,2,1),

若DtHI平面AEG,则DtH垂直于平面AEG的所有直线,

由DtH-AC1=(2,n,—1)•(—2,2,1)=—4+2/7—1=0,可得〃=3,

因为0V〃V2,所以不成立,所以C不正确;

对于D中,设长方体的外接球的半径为R,可得R亚百直=:,

22

球心为。,可得球心的坐标为0(1」,g),

贝U\OM\=^(2-1)2+(2-1)2+(1-1)2=居,

当OM与该长方体的外接球的截面圆垂直时,截面面积取得最小值,

设截面圆的半径为「,可得r=柝二丽『=m=孝,

所以截面圆的面积的最小值为兀产=无•(也了=—,所以D正确.

12.如图,透明塑料制成的长方体容器AB。-44G2内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,

再将容器以8c为轴顺时针旋转,则()

A.有水的部分始终是棱柱

B.水面所在四边形EPG8为矩形且面积不变

C.棱A2始终与水面平行

D.当点X在棱CZ)上且点G在棱CG上(均不含端点)时,BE3尸不是定值

【答案】AC

【分析】利用棱柱的几何特征判断A;根据水面矩形变化情况判断B;利用线面平行的判定判断C;利用盛

水的体积判断D作答.

【详解】对于A,有水部分的几何体,有两个面都垂直于3C,这两个面始终平行,而AD〃3C,

并且BC始终与水面平行,即有房〃3<7,若点〃在棱上,由面面平行的性质知,

EH//FG,若点X在棱CD上,EH//BC,因此该几何体有两个面互相平行,其余各

面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,即该几何体是棱柱,A

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