专项突破卷：立体几何中的轨迹问题（解析版）

专题突破卷16立体几何中的轨迹问题

章题生颗嵬

求算在正方体中的轨迹

立体几何中的轨迹问题求算在长方体中的轨迹

求算在棱台中的轨迹

朦题生各个古武

题型一：求算在正方体中的轨迹

1.如图，在棱长为1的正方体ABC。-A瓦G2中，M为平面ABCD内一动点，则下列说法不正确的是（）

A.若M在线段AB上，则RM+MC的最小值为百五万

JT

B.平面AC2被正方体内切球所截，则截面面积为工

0

C.若GM与A3所成的角为：7F，则点”的轨迹为椭圆

4

D.对于给定的点M,过M有且仅有3条直线与直线R4RC所成角为60。

【答案】C

【分析】把矩形ABG自与正方形ABCO置于同一平面，求出RC长判断A；求出内切球球心到平面ACR,

求出截面小圆半径判断B；建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角建立方程判断C；利用异面直线所成角

的意义转化判断D.

【详解】对于A,正方体ABCD-A片GR的对角面MG，是矩形，把矩形ABCQ与正方形ABCD

置于同一平面，且在直线两侧，连接RC,则2M+MC2£>jC=J（应+1r+1="+2夜,

当且仅当“为RC与A3的交点时取等号，A正确;

对于B,令正方体内切球球心为。，连接O4,OC,OR,。为正方体的中心,

OA=OC=OD.=—,AC=AD\=D、C=血,正△4CR半径2x正义应=迈,

।2323

正三棱锥。-ACR底面AQ上的高无=J（正尸（如y力,又球。的半径为（

则被截得的圆的半径为，；）2-（点）2=半，面积为兀（骼）2=看，B正确;

对于C,建立空间直角坐标系，如图,

则A（l,0,0）,5（1,1,0）,G（0」/），设M（羽y。），有AB=（0,L0）CM=ayT,T），

,,……\C.M-AB\|y-l|V2..

贝1nssc孙=一ly+JZ,整理得-D-』，

则M的轨迹是双曲线，C错误；

jr

对于D,显然过M的满足条件的直线数目等于过2的满足条件的直线/的数目，ZADIC=~,

在直线/上取点P,使RP=RA=RC,不妨设NP〃A=1,贝！］ZP〃C=g,

则四面体ARCP是正四面体，P有两种可能，直线/也有两种可能，

若NPAA=T，贝I"只有一种可能，就是与/A2c的角平分线垂直的直线，所以直线/有三种可能，D正确.

故选：C

2.在棱长为2的正方体ABC。-4片£2中，点£为棱。2的中点，点厂是正方形CD2G内一动点（包括

边界），则（）

A.三棱锥A男尸的体积为定值

B.若用F//平面ABE,则点尸的轨迹长度是&

C.当点。在直线BG上运动时，A2+QC的最小值是2退

D.若点尸是棱G2的中点，则平面ABF截正方体所得截面的周长为2应+2有+2

【答案】AB

【分析】对A：由平面平行可得点尸到平面与4的距离为定值，结合体积公式即可得；对B：借助线面

平行的判定定理与性质定理与面面平行的性质定理可得平面用MV〃平面ABE,计算即可得点F的轨迹长

度；对C：将.8CG沿8G翻折到与△4GB在同一个平面，借助两点之间线段最短计算即可得；对D：画

出截面图形后计算即可得.

【详解】对于A：平面平面CDDg,则点尸到平面AB4A的距离为定值2,

114

则%w=%-4第=§X5X2X2X2=§,故A正确;

对于B：如图1,分别取GR、GC中点M,N,连接B、N,NE,MN,BM,

则NE//GR,且NE=CQ,又\BJ/CR,=CXDX,

故NE//A与且NE=A区，所以四边形A4NE是平行四边形，

所以A.E//4N,因为AN<2平面ABE,\Eu平面AtBE,

所以B|N//平面AfE,同理MN〃CR//A8,有MN〃平面AfE,

因为B、NcMN=N且都在面ByMN,所以平面gMN〃平面A,BE,

因为平面gMV1平面CE>2G=MN,

所以点尸的轨迹是线段"N,其长度为正，故B正确；

对于C,把BCG沿BG翻折到与△AGB在同一个平面（如图2所示）,

连接AC,则AC是A。+QC的最小值，

其中△AGB是边长为2&的等边三角形，

BCG是直角边为2的等腰直角三角形，

由对称性得AiC=AiQ+QC=2V2义与+插=娓+垃,

即A2+QC的最小值是"+0,故c错误；

对于D：如图3,由B选项知，四边形A2N/就是平面尸截正方体所得截面的图形,

其周长为直+20+石+石=30+26\故D错误.

故选：AB.

3.已知正方体428-4瓦&2的棱长为1,点尸满足APu/LS+4AAj，其中2eR,〃eR,贝。()

A.当几=〃时，则GP+PD的最小值为亚工^

B.过点P在平面ADR4内一定可以作无数条直线与CP垂直

C.若CJ与仞所成的角为£,则点尸的轨迹为双曲线

D.当2=1,时，正方体经过点A、P、G的截面面积的取值范围为.，&

【答案】ACD

【分析】对A,将平面A，。展开到与，A8G同一平面，由两点间线段最短得解；对B,当尸在2时，过尸

点只能作一条直线与CP垂直，可判断；对CD,以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点P坐标,

利用向量的坐标运算即可判断.

【详解】对于A,当时，AP=A(AD+A41)=2AD1,

所以点尸在线段A，上，

如图，将三角形AD,D与矩形RABa沿C2展成平面图形如下所示，

则线段。G即为弓尸+尸。的最小值,

3冗<—

2

利用余弦定理可知CtD=CM+DD;-2CQ•.cos1=2+鱼,

所以CQ=也+&，即GP+P。的最小值为正通，故A正确;

对于B,当P在2时，过点P在平面ADR4内只可以作一条直线与CP垂直，故B错误;

对于C,以D为原点，分别以ZMQCOR为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则0(0,0,0),q(0,1,1),A(l,0,0),仇1,1,0),P(x,0,z),得C]P=(x,-l,z-l),AD=(-1,0,0),

兀\qP-AD\|-x|五

cos_——________—=_______'_____—___

..4一,叩叫一ylx2+(z-l)2+l.2

对于D,当2=1时，AP=AD+〃A4inZ>P=〃AA,故点尸在线段。2上运动,

正方体经过点A、P、G的截面为平行四边形APC,〃，

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则A(l,0,0),G(0,1,1),A(1,0,1),尸(o,o,〃),

所以PG=(O,l,l—〃)，AC]=(T,1,1),PG，AC；=2-〃，

E=/+(i一〃y,|AC|=V3,

"PC,■AC,2〃2_24+2

所以点P到直线AG的距离为d=

、Ml3

于是当〃=；时备加=年，PAG的面积取最小值，此时截面面积为=

当〃=0或1时也邛，尸AG的面积取最大值，此时截面面积为生艮应，

所以正方体经过点A、P、G的截面面积的取值范围为四，加，故D正确.

故选：ACD.

4.已知正方体ABCO-ABIGD的棱长为2,点P为平面CDDC上一动点，贝。()

A.当点尸为。自的中点时，直线CP与AP所成角的余弦值为：

B.当点P在棱。2上时，AP+PG的最小值为百

C.当点p在正方形CD2G内时，若片尸与平面CD2G所成的角为45。，则点尸的轨迹长度为兀

D.当点尸在棱G2(不含顶点)上时，平面4尸8截此正方体所得的截面为梯形

【答案】ACD

【分析】对于A,连接AC,求出AP,CP,AC,再利用余弦定理解即可判断；对于B,将平面A41Ao

和平面CCQQ展成同一平面，结合图象即可判断；对于C,连接GP,根据与G■1平面CDDC,可得NB/G

即为与P与平面CD»G所成的角，进而可得出点P的轨迹，即可判断；对于D,连接C2,设c/=4GD，

O<A<1,过点尸作PQ//C2交CG于点2,连接BQ,证明PQ//AB即可判断.

【详解】对于A,连接AC,如图(1),当点尸为的中点时,

"==也2+『=逐,CP=dcif+DP?=j22+f=&，

AC=VCD2+AD2=展=20，

Ap2+cp2-ac2_5+5-8_1

所以直线CP与AP所成角的余弦值cosNAPC=

2APCP-275x75-5

故A正确;

对于B,当点尸在棱。2上时，将平面例口。和平面CCQQ展成同一平面，如图(2),

则AP+PC,的最小值为AQ=JAC2+CC="2+2?=2下,故B错误;

对于C,如图(3),连接GP，

因为点尸在正方形CDQG内,B£，平面CDD,C,,

所以NBFQ即为与P与平面CDDg所成的角，

若男尸与平面CDD,C,所成的角为45。，则tan/瓦尸G=弟=1，

所以GP=8CI=2,即点尸的轨迹是以G为圆心、以2为半径的;圆,

所以点P的轨迹长度为］X2TIX2=71,故C正确；

对于D,如图（4）,连接CR,

当点尸在棱GQ（不含顶点）上时，设G尸=彳6。，0<2<1,

过点P作PQHCD、交CC］于点。，连接BQ,

因为A。//BC且A2=8C,所以四边形ABCR为平行四边形，

所以PQ//4B,所以四边形APQ8为平面A/B截此正方体所得的截面,

因为尸Q〃C。，C1P=AC1D1,所以「。二^^广九^台，

所以截面四边形APQB为梯形，故D正确.

故选：ACD.

图(1)图(2)

图⑶图⑷

5.正四棱柱ABC。-A瓦CQ中，AAl=2AB=2,动点p满足AP=aAC+bAA,且a,6e（0,l）,则下列说

法正确的是（）

A.当。=：时，直线ACJ_平面8P与

B.当Q+b=l时，P5+P用的最小值为指

C.若直线BP与片A所成角为E，则动点尸的轨迹长为自

42

D.当4+处=1时，三棱锥尸-ABC外接球半径的取值范围是［曰，乎］

【答案】ABD

【分析】当时，由平面向量线性运算法则可知点尸在线段。。|上，根据正四棱柱特征利用线面垂直判

定定理即可证明直线ACL平面BP用；当a+b=l时，由共线定理可得点尸在线段CA上，根据对称性将

尸3+尸瓦的最值转化成平面几何问题，即可求得最小值；若直线3P与8。所成角为:，可知点尸的轨迹是

以。为圆心，半径为厂=变的半圆弧，即可计算出其轨迹长度；当。+力=1时，取的中点为E,由共

2

线定理可知P,C,E三点共线，几何法找出球心位置写出半径的表达式，利用函数单调性求其取值范围即可

得出结果.

【详解】对于A,取AC,3。相交于点。，AG的中点为0厂如下图所示：

11

当“时，即4尸=/4。+。惧=40+6招，Z>G(0,1),

由平面向量线性运算法则可知，点P在线段。。1上，

由正四棱柱ABCD-可得ACJ.BD,

且2耳JL平面ABCD,又ACu平面ABCD,所以BgLAC,

又BB、cBD=B,且24,8。匚平面8£>24，所以AC,平面；

又因为平面BP4与平面8nA4是同一平面，所以AC,平面BP4,即A正确；

对于B,当4+。=1时，由AP=aAC+ZMA利用共线定理可得，P,C，A三点共线,

即点P在线段CA上，

由对称性可知，线段CA上的点到2,用两点之间的距离相等，所以尸8+尸用=依+尸2；

取平面A8CA进行平面距离分析，如下图所示:

所以PB+PR2BR=户不正=&,当且仅当尸，员2三点共线时，等号成立,

此时点P为线段CA的中点，即尸B+尸片的最小值为"，故B正确；

对于C,由图可知，8A,BC与所成角都为

由APuqAC+bA^可知，点P在平面AACC］内，

若直线的与所成角为在线段。。|上取点《，使。々=。8,

4

7T

则直线与8D所成角为

4

则点尸的轨迹是以。为圆心，半径为r=变，且在平面A&CG内的半圆弧A《C,

2

如下图中细虚线所示：

对于D,当。+»=1时，取A4的中点为E,即A4,=2AE；

由AP=aAe+ZMA=aAC+»AE可知，P,C,E三点共线，

即点P在线段CE上，如下图所示:

易知三棱锥尸-ABC外接球球心在直线。。上，设球心为。2，|OQ|=/z；

作PQLAC于点。，设户0=xe(O,l),易知AE=1,AC=VL

由相似比可得依。|=|夜x|,|OQ|=,

设外接球半径为R,则改=/+(¥［=岳一日+(无-％)2,解得〃=若匚

所以心［生4+、叱-⑵+6,

(2J24

易知当x=］时，半径最小为尺=立；当x=0,时，半径最大为R=在;

322

又x6(0,1),所以半径的取值范围是即D正确.

故选：ABD.

6.在边长为2的正方体ABCO-ABCQi中，动点M满足AMnxAB+yAD+zM,(x,y,zeR且

x>0,y>0,z>0),下列说法正确的是()

A.当x=：,z=0,ye［0,l］时，用W+A®的最小值为如

B.当x=y=l,z=；时，异面直线浏/与C2所成角的余弦值为典

C.当x+y+z=l,且4知=浊时，则M的轨迹长度为生色

33

D.当x+y=l,z=0时，4W与平面ABQ所成角的正弦值的最大值为渔

3

【答案】AD

【分析】对于A,确定M的位置，利用侧面展开的方法，求线段的长，即可判断；对于B,利用平移法,

作出异面直线所成角，解三角形，即可判断；对于C,结合线面垂直以及距离确定点M的轨迹形状，即可

确定轨迹长度；对于D,利用等体积法求得M点到平面A耳，的距离，结合线面角的定义求得AM与平面

AA2所成角的正弦值，即可判断.

【详解】对于A,在A3上取点H,使在OC上取点K,使。K=

44

因为x=；,z=O,yG[0,1],即+故M点在上，

将平面用"KG与平面AHA。沿着“展开到同一平面内，如图：

连接与。交HK于P,此时民尸,。三点共线，即取到最小值即用。的长,

由于A"=，8=g:.B”=T，则即/==?

722

故做=|+1=3,.'.BXD=TCMT+AB=73+2=V13,

即此时丹加+ATO的最小值为a，A正确；

对于B,由于x=y=l,z=J时，则AMnAB+AD+gM=AC+gc£,

此时M为CQ的中点，取G2的中点为N,连接BM,MN,BN,

则MN//C?,故ZBMN即为异面直线BM与CDt所成角或其补角,

又MN=gcDi=五,BM=A/22+12=6BN=小陷y+（£》）?=A/8+T=3,

故cosNBMN=BM°+MN?-BN?(6+(3)-3?_Tio

IBMMN275.72-10

而异面直线所成角的范围为（0,曰,

故异面直线8M与C"所成角的余弦值为巫，B错误;

10

对于C,当无+y+z=l时，可得点M的轨迹在4加＞内（包括边界）,

由于CCi_L平面ABC£>,BDu平面ABCD,故CC|_L8。,

又3。LAC,ACC£=C,AC,CGu平面AC£,故3D2平面ACG，

AGu平面ACC］，故2。，AG，同理可证42LAG,

=平面Ad。，故A。，平面ABD,

114

设AG与平面AB。交于点p,由于匕1T配=KVABD=§X/x2x2x2=§,

4

ABD为边长为2④的正三角形，则点A到平面48。的距离为人尸=

若AM=,贝ljMP=NAM。-Apz=,

33

即M点落在以P为圆心，述为半径的圆上,

3

P点到三遍的距离为‘X立x2虚=逅＜逑,

3233

即M点轨迹是以P为圆心，逑为半径的圆的一部分，其轨迹长度小于圆的周长皿红，C错误;

33

对于D,因为40〃5。,5。^平面714。］,AAu平面A瓦A，故平面A耳2,

因为当％+y=l,z=。时，AM=AB+AD即M在BD上,

点M到平面A耳，的距离等于点B到平面人与2的距离，设点B到平面A耳A的距离为d,

1114

则％-物£）]=%-4期=耳5AB4=-x—x2x2x2=—f

ABQ为边长为20的正三角形，即;S4加•d=gX乎X（2应了X1,

解得

3

又M在8。上，当M为3。的中点时，AM取最小值&,

JT

设直线AM与平面ABXDX所成角为aee[0,今，

2A/32^/3r

则.A_d_亍,亍_",即A"与平面ABQI所成角的正弦值的最大值为空，D正确，

AMAM近33

故选：AD

7.在正方体ABCD-ABCQ]中，AB=1,点P满足CP=/LC£>+〃CG,其中;Ie[0』],〃c[0』],则下列结

论正确的是（）

A.当4P//平面时，男尸与毁所成夹角可能为三JT

B.当2=〃时，IDPI+IAP的最小值为一；二

C.若与尸与平面CGA。所成角为则点P的轨迹长度为£

42

D.当2=1时，正方体经过点4,Rd的截面面积的取值范围为冬6

【答案】AC

TV

【分析】A选项，当点户与点2重合时，满足4尸//平面4BD,与尸与C2所成夹角为：，A正确；B选

项，将两图形展开到同一平面内，由三点共线得至“。P+IAPI的最小值，由余弦定理求出最小值；C选项，

作出辅助线,得到点P的轨迹，求出轨迹长度;D选项，先得到点尸在线段上,从而得到正方体过点\,P,C

的截面，建立空间直角坐标系，得到点P到直线AC的距离，从而求出截面面积的取值范围.

【详解】如图1,因为CP=2CZ）+〃CG,4c[0,1],〃e[0,1],

所以尸点在正方形CDDC内（包含四个端点）,

当点尸与点2重合时，B.PUBD,

因为B]P<Z平面AB。，HDu平面483,

所以用尸//平面AB3,

此时旦。=耳尸=CP=0,故△B|CP为等边三角形,

图1

当a=〃时，点尸在对角线CQ上，

将矩形ABCA和等腰直角三角形CDA折叠到同一平面内，如图2,

连接4。与RC于点尸,

由三点共线可知，|。?+14Pl的最小值即为4。的长,

其中A2=£)i£)=i,420=135°,

由余弦定理得

A。=NAD；+£>]£>2-2AR•RDcos135。=Jl+1-2x—5=也+a,B错误;

c选项，如图3,以G为圆心，CG的长为半径作圆，与正方形CDDC交于:圆弧,

TT

此时满足B】P与平面CQD.D所成角为:，

4

171

故则点P的轨迹长度等于7*2兀X1=彳，C正确;

42

D选项，如图4,当2=1时，CP=CD+〃CG,即CP-CD=〃CCi,故DP=〃CG,

故点尸在线段。2上,

在2片上取点打，使得B]H=PD,连接

则可证得A"=PC,CH=\P,四边形APS为平行四边形，

故正方体经过点4,P,C的截面为平行四边形AP"，

以A为坐标原点，所在直线分别为龙,y，z轴，建立空间直角坐标系,

则A(O,O,1),C(1,1,O),尸(O,l,〃),z/e[0,l],

\c(ia,-i)

其中m=[BB

网F+]+]亍F),AC=(i,i，o)-(o,o,1)=(1,

P\=(o,o,i)-(o,i,〃)=(o,,

则总公（。,"〃）号岑==%-2

则点P到直线AC的距离〃=,尸屋_（%."『=]+°一〃）2一[手〃一竿

故截面面积为卜岛e半，血,D错误.

故选：AC

8.已知正方体的棱长均为2,E为线段A4的中点,4尸=243+〃4。,其中4〃目0,1],则下列

选项正确的是（）

A.当〃=g时,APLER

B.当2=〃时,4尸+尸。的最小值为0+逐

C.若直线用户与平面ABCD所成角为。则点尸的轨迹长度为g

42

D.当；I+〃=1时,正方体被平面截的图形最大面积为40

【答案】AD

【分析】将〃=g代入AP=2AB+〃AD，将A.P,ER用AAAD,AB表示,计算其数量积是否为0即可证明;将

f代入可知点尸在AC上，且在平面A41cC上滔AADC沿着AC向下翻折至与平面441c（共面，点D翻

折后变为D2，过2向AC作垂线，垂足为。，可知D?在MN上，且为MV中点，所以同尸+尸。最小值为AA，根据

长度关系解出即可;由直线男尸与平面抽。所成角为J可得，2用尸为等腰直角三角形，即8尸=2,可得尸的

轨迹为以8为圆心2为半径的圆上，且在平面ABCD内,进而可求其轨迹长度，判断正误;由几+〃=1，可得

尸，瓦。三点共线,分尸在0。上运动和尸在08上运动两种情况下，讨论截面面积的大小情况，求出最值，即可

判断正误.

【详解】由题知正方体ABC。-A4G2的棱长均为2,

当〃=；时,

止匕时APE。[=（AA+AP）•（胡+AO+D，）

=1^A+2AB+1Ar>j-（AD+j1-AA1

2

=4A,AD+—?ljA,AAj+AA.B,AD+—71A3,+—A.D,AD+—AD,AAj

）八

=——1x4/+—1x4=0,

22

所以4P，£D],

即选项A正确；

当2=〃时,AP=几（AB+AD）=AAC.

所以点尸在AC上，且点P在平面MGC上,

分别将4A,GC延长至M,N,

使得A〃=CN=及，

将AADC沿着AC向下翻折至与平面A416c共面,

点D翻折后变为D2，过D2向AC作垂线，垂足为。，如图所示:

因为AD=DC=2,AO_LDC,

所以AZ>2=&C=2,AD,±UGAADC=AAD2C,

因为2。，AC,所以。为AC中点，且2。=血，

因为平面A41G。1平面ABCD,且平面A41G。c平面ABCD=AC,

AC,所以D2O1平面ABC。，

所以2。〃A4]〃CG,又因为D2O=V2=AM=CN,

所以2在政v上,且为跖v中点,4尸+尸。=42+尸3,

在平面A41cle中，连接A3交AC于点P时,\P+PD2取最小值,

因为AC=2应，所以3河=枕,

止匕时A3=7(AM)2+(A^)2

=42+可+（形）j=18+402员式,

故选项B错误；

因为BBi±面ABCD,所以4P耳为直线BtP与面ABCD的平面角,

当直线用尸与平面ABCD所成角为时，

4

即NBPBi=:7T,因为网_LBP,所以/BBJ=7:T,

44

所以8瓦尸为等腰直角三角形，因为B片=2,所以的=2,

因为AP=4AB+〃AD,由平面向量基本定理可知P在平面ABCD内,

所以尸的轨迹为以B为圆心2为半径的圆上，且在平面ABCD内，

所以点尸的轨迹长度为!义2兀X2=TT,

故选项C错误；

因为"=彳48+〃4。,其中4〃€[0』.

因为彳+〃=1,所以尸,民。三点共线，

连接AC交于点。，

当点尸在。。上运动时，延长"交CD于点

则正方体被平面尸4,截的图形为AAHR,

由图可知，当P点运动到。点时，截面为△am,此时截面积最大,

因为正方体棱为2,所以AA=2&=AC=CA，

止匕时截面积最大为20x2应x走=2岔，

22

当点P在OB上运动时，延长AP交CO于点"

过点L做AZ）,的平行线交CG于点。，连接D,Q,

再过点L做A2的垂线，垂足为R,如图所示：

由题可知,此时截面为等腰梯形AD.QL.

记CL=X,X£[0,2],则CQ=%,3L=GQ=2-x,AD[=2&,

AL=DQ=^4+(2-x)2,LQ=瓜,

所以AR=AD「LQ=2后一缶

22

2

2\/z-、

LR=《A已-AR。=4+(2-x)2~

2J

(AD.+LQ^LR(2&+缶).j6-2x+gx2

所以54402=

2

2

(x+2)<(X2-4X+12')_H2广g2)2+8)

44

_1(X+2)2-(X-2)2+8(X+2)2I(X2-4)2+8(X+2)2

44

X4-8X2+16+8X2+32X+32f+32x+48

44

J+32x+48

令〃x)=,xe[0,2],

4

所以广（力=丁+8>0,所以〃x）在［0,2］单调递增,

所以〃x）4/（2）=32,

故脏心后=4啦，因为S<4应，

所以正方体被平面PAR截的图形最大面积为4点,

即选项D正确.

故选:AD

题型二：求算在长方体中的轨迹

9.长方体ABCD-ABC中，AB=2AD=2AA,=2,"为棱AB的中点，平面4"。上一动点N满足

NANM=90,则下列说法正确的是（）

A.长方体外接球的表面积为67rB.DM±ACj

C.A到平面AMD距离为2叵D.N的轨迹长度为亚兀

33

【答案】AD

【分析】计算出长方体的外接球直径,结合球体表面积公式可判断A选项；利用空间向量法可判断BC选

项；分析可知，点N的轨迹为圆，求出圆的周长，可判断D选项.

【详解】对于A选项，长方体ABCO-ABIGD的外接球直径为

2R=y]AB2+AD2+A4）2=J4+1+1=屈,

所以，长方体ABCD-ABCQ[外接球的表面积为S=4成2=TIX（2R）2=6无，A对;

对于B选项，以点。为坐标原点，DA,DC、D2所在直线分别为x、V、z轴建立如下图所示的空间直

则A(l,0,0)、A(I，。」)、。(。，。，。)、M(U,0)、G(0,2,1),

所以，AC,=(-1,2,1),DM=(l,l,0),则相'=-1+2=1-0,B错;

对于C选项，设平面AMD的法向量为"=(x，y，z),

=(1,0,1),贝I],取x=l,可得”=(1,-1,-I),且D4=(l,o,o),

n•=x+z=0

所以，点A到平面4"。的距离为d==J=组，c错；

\n\733

对于D选项，取线段AM的中点E,因为NAW=90，则NE=[AM=?，

22

因为E为AM的中点，且点A到平面A"。的距离为且，

3

故点E到平面4加。的距离为£,

6

所以，点N的轨迹是平面截以点E为球心，半径为;的球所得圆，

且截面圆的半径为—Jgj-=中，

因此，点N的轨迹长度为2兀x4l=如兀，D对.

63

故选：AD.

10.在长方体ABCO-A4G2中，AB=3,AD=AA,=4,P是线段上的一动点，则下列说法正确的是

()

A.A尸〃平面ABCB.4尸与平面BCG4所成角的正切值的最大值是述

3

C.4尸+PC的最小值为如+20D.以A为球心，5为半径的球面与侧面BCG用的交线长是2兀

【答案】ACD

【分析】由平面与平面平行，可得直线与平面平行即可判断A,根据线面角定义找出线面角，当成最短时，

可求线面角的正切的最大值判断B,根据展开图，转化为求AC,利用余弦定理求解即可判断C,根据球面

与侧面交线为圆弧的四分之一即可求解即可判断D.

【详解】对于A,如图，

在长方体中，\CJIAC,4G0平面ARC,ACu平面ADXC,所以AG〃平面ARC,同理可得AB〃平面ADtC,

又A2cAG=A，所以平面ABC]〃平面ADC，A/U平面a^G，所以AP〃平面ADC，所以A正确；

对于B,因为平面BCC4,所以4尸与平面BCCg所成角为NA尸与，如图,

当时，瓦尸最小，NA尸耳的正切值最大，tanNAPBi=篝=^=当,所以B错误;

对于C,将aAC用沿BG翻折与，BCG在同一个平面，且点4,C在直线BC1的异侧，如图,

此时4B=4G=5,CB=CG=4,Bq=4^2^BCtC=45°,

52+(40)2-5?咨所以sin“避=平，

所以cosN&G8=

2x5x4拒

5?+4?-4c2

故cosZAQC=cos(ZACjB+45°)=----------=

2x5x4

解得&c=JF7+2夜，所以4尸+PC的最小值为a7+2忘，所以c正确;

对于D,如图,

由于平面BCG与，所以交线为以B为圆心，半径为4的四分之一圆周，

所以交线长为2兀，所以D正确，

故选：ACD.

11.如图所示，在长方体-AB1G2中，AB=AD=2,AAl=l,点E是棱CD上的一个动点，F是

BC的中点，BM=；BB1,给出下列命题，其中真命题的（）.

A.当E是CD的中点时，过EEM的截面是四边形

B.当点£是线段C。的中点时，点P在底面A2C。所在平面内，且MP//平面AEG，点。是线段MP

的中点，则点。的轨迹是一条直线

C.对于每一确定的£,在线段上存在唯一的一点M使得2H_L平面AEG

D.过点M做长方体A2CZ）-的外接球的截面，则截面面积的最小值为葺

【答案】BD

【分析】延长总和AD交于F,取。2的三等分点连接4加'，证得平面A/F'M与平面为同一

个平面，连接ME,得到过平面跳河的截面为五边形五可判定A不正确；取4与的中点G,连

接AG,GG，取A3的中点为N,连接gN,CN,证得平面〃平面AECQ,得到HZ//HF,进而得

到点。的轨迹,可判定B正确；以D为原点，建立的空间直角坐标系，设E(0,m,0),HQ,”,0),其中。Wm,〃V2,

结合A〃SG=0,求得，的值，可判定C不正确；先求得长方体的外接球的半径为R,结合球的性质，求

得截面圆的面积最小值，可判定D正确.

【详解】对于A中，延长fE和AD交于尸，连接A尸与。2交于连接并延长可得

三点共线，连接AM,如图所示，平面A/PM与平面EW为同一个平面，连接ME,可平面与长

方体的各个面的交线分别为4〃，板，尸E，四'，/&,

所以过平面的截面为五边形4M短加r,所以A不正确；

对于B中，在长方体ABC。-A片GR中，取A4的中点G,连接AG,GG，

取A3的中点为N,连接21N,CN,则CW/ME,BtN//AG

再取以L分别为A®,BC的三等分点，连接.，可得BF//CN,

又由M为8片的三等分点，所以MH//B3,所以MH〃AG,HF//AE,

因为平面AECQ,AGu平面AEC£,所以M"//平面AEQG,

同理可证："F//平面AECQ,

MH「］HF=H且MH,HFu平面MHF,所以平面MHF〃平面AECQ,

当点尸在HF上时，此时MPu平面AfflF,所以MP〃平面AECQ,

取Affl,狼的中点",乙，可得HZ//HF,

又由。为AP的中点，所以点。的轨迹为直线所以B正确；

对于C中，如图所示，以。为原点，建立的空间直角坐标系,

则4(2,0,0),E(0,l,0),M(2,2,1),C,(0,2,1),D,(0,0,1),

设E(0,m,0),8(2,〃,0),其中0<s〃42,

可得A"=(2,〃,一1),AE=(—2/0),AC；=(-2,2,1),

若DtHI平面AEG,则DtH垂直于平面AEG的所有直线,

由DtH-AC1=(2,n,—1)•(—2,2,1)=—4+2/7—1=0,可得〃=3,

因为0V〃V2,所以不成立，所以C不正确；

对于D中，设长方体的外接球的半径为R,可得R亚百直=：,

22

球心为。，可得球心的坐标为0(1」,g),

贝U\OM\=^(2-1)2+(2-1)2+(1-1)2=居,

当OM与该长方体的外接球的截面圆垂直时，截面面积取得最小值，

设截面圆的半径为「,可得r=柝二丽『=m=孝，

所以截面圆的面积的最小值为兀产=无•(也了=—,所以D正确.

12.如图，透明塑料制成的长方体容器AB。-44G2内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上,

再将容器以8c为轴顺时针旋转，则()

A.有水的部分始终是棱柱

B.水面所在四边形EPG8为矩形且面积不变

C.棱A2始终与水面平行

D.当点X在棱CZ）上且点G在棱CG上（均不含端点）时，BE3尸不是定值

【答案】AC

【分析】利用棱柱的几何特征判断A；根据水面矩形变化情况判断B；利用线面平行的判定判断C；利用盛

水的体积判断D作答.

【详解】对于A,有水部分的几何体，有两个面都垂直于3C,这两个面始终平行，而AD〃3C,

并且BC始终与水面平行，即有房〃3<7,若点〃在棱上，由面面平行的性质知，

EH//FG,若点X在棱CD上，EH//BC,因此该几何体有两个面互相平行，其余各

面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，A