




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
专题突破卷16立体几何中的轨迹问题
章题生颗嵬
求算在正方体中的轨迹
立体几何中的轨迹问题求算在长方体中的轨迹
求算在棱台中的轨迹
朦题生各个古武
题型一:求算在正方体中的轨迹
1.如图,在棱长为1的正方体ABC。-A瓦G2中,M为平面ABCD内一动点,则下列说法不正确的是()
A.若M在线段AB上,则RM+MC的最小值为百五万
JT
B.平面AC2被正方体内切球所截,则截面面积为工
0
C.若GM与A3所成的角为:7F,则点”的轨迹为椭圆
4
D.对于给定的点M,过M有且仅有3条直线与直线R4RC所成角为60。
【答案】C
【分析】把矩形ABG自与正方形ABCO置于同一平面,求出RC长判断A;求出内切球球心到平面ACR,
求出截面小圆半径判断B;建立空间直角坐标系,利用异面直线夹角建立方程判断C;利用异面直线所成角
的意义转化判断D.
【详解】对于A,正方体ABCD-A片GR的对角面MG,是矩形,把矩形ABCQ与正方形ABCD
置于同一平面,且在直线两侧,连接RC,则2M+MC2£>jC=J(应+1r+1="+2夜,
当且仅当“为RC与A3的交点时取等号,A正确;
对于B,令正方体内切球球心为。,连接O4,OC,OR,。为正方体的中心,
OA=OC=OD.=—,AC=AD\=D、C=血,正△4CR半径2x正义应=迈,
।2323
正三棱锥。-ACR底面AQ上的高无=J(正尸(如y力,又球。的半径为(
则被截得的圆的半径为,;)2-(点)2=半,面积为兀(骼)2=看,B正确;
对于C,建立空间直角坐标系,如图,
则A(l,0,0),5(1,1,0),G(0」/),设M(羽y。),有AB=(0,L0)CM=ayT,T),
,,……\C.M-AB\|y-l|V2..
贝1nssc孙=一ly+JZ,整理得-D-』,
则M的轨迹是双曲线,C错误;
jr
对于D,显然过M的满足条件的直线数目等于过2的满足条件的直线/的数目,ZADIC=~,
在直线/上取点P,使RP=RA=RC,不妨设NP〃A=1,贝!]ZP〃C=g,
则四面体ARCP是正四面体,P有两种可能,直线/也有两种可能,
若NPAA=T,贝I"只有一种可能,就是与/A2c的角平分线垂直的直线,所以直线/有三种可能,D正确.
故选:C
2.在棱长为2的正方体ABC。-4片£2中,点£为棱。2的中点,点厂是正方形CD2G内一动点(包括
边界),则()
A.三棱锥A男尸的体积为定值
B.若用F//平面ABE,则点尸的轨迹长度是&
C.当点。在直线BG上运动时,A2+QC的最小值是2退
D.若点尸是棱G2的中点,则平面ABF截正方体所得截面的周长为2应+2有+2
【答案】AB
【分析】对A:由平面平行可得点尸到平面与4的距离为定值,结合体积公式即可得;对B:借助线面
平行的判定定理与性质定理与面面平行的性质定理可得平面用MV〃平面ABE,计算即可得点F的轨迹长
度;对C:将.8CG沿8G翻折到与△4GB在同一个平面,借助两点之间线段最短计算即可得;对D:画
出截面图形后计算即可得.
【详解】对于A:平面平面CDDg,则点尸到平面AB4A的距离为定值2,
114
则%w=%-4第=§X5X2X2X2=§,故A正确;
对于B:如图1,分别取GR、GC中点M,N,连接B、N,NE,MN,BM,
则NE//GR,且NE=CQ,又\BJ/CR,=CXDX,
故NE//A与且NE=A区,所以四边形A4NE是平行四边形,
所以A.E//4N,因为AN<2平面ABE,\Eu平面AtBE,
所以B|N//平面AfE,同理MN〃CR//A8,有MN〃平面AfE,
因为B、NcMN=N且都在面ByMN,所以平面gMN〃平面A,BE,
因为平面gMV1平面CE>2G=MN,
所以点尸的轨迹是线段"N,其长度为正,故B正确;
对于C,把BCG沿BG翻折到与△AGB在同一个平面(如图2所示),
连接AC,则AC是A。+QC的最小值,
其中△AGB是边长为2&的等边三角形,
BCG是直角边为2的等腰直角三角形,
由对称性得AiC=AiQ+QC=2V2义与+插=娓+垃,
即A2+QC的最小值是"+0,故c错误;
对于D:如图3,由B选项知,四边形A2N/就是平面尸截正方体所得截面的图形,
其周长为直+20+石+石=30+26\故D错误.
故选:AB.
3.已知正方体428-4瓦&2的棱长为1,点尸满足APu/LS+4AAj,其中2eR,〃eR,贝。()
A.当几=〃时,则GP+PD的最小值为亚工^
B.过点P在平面ADR4内一定可以作无数条直线与CP垂直
C.若CJ与仞所成的角为£,则点尸的轨迹为双曲线
D.当2=1,时,正方体经过点A、P、G的截面面积的取值范围为.,&
【答案】ACD
【分析】对A,将平面A,。展开到与,A8G同一平面,由两点间线段最短得解;对B,当尸在2时,过尸
点只能作一条直线与CP垂直,可判断;对CD,以点D为坐标原点建立空间直角坐标系,设出点P坐标,
利用向量的坐标运算即可判断.
【详解】对于A,当时,AP=A(AD+A41)=2AD1,
所以点尸在线段A,上,
如图,将三角形AD,D与矩形RABa沿C2展成平面图形如下所示,
则线段。G即为弓尸+尸。的最小值,
3冗<—
2
利用余弦定理可知CtD=CM+DD;-2CQ•.cos1=2+鱼,
所以CQ=也+&,即GP+P。的最小值为正通,故A正确;
对于B,当P在2时,过点P在平面ADR4内只可以作一条直线与CP垂直,故B错误;
对于C,以D为原点,分别以ZMQCOR为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则0(0,0,0),q(0,1,1),A(l,0,0),仇1,1,0),P(x,0,z),得C]P=(x,-l,z-l),AD=(-1,0,0),
兀\qP-AD\|-x|五
cos_——________—=_______'_____—___
..4一,叩叫一ylx2+(z-l)2+l.2
对于D,当2=1时,AP=AD+〃A4inZ>P=〃AA,故点尸在线段。2上运动,
正方体经过点A、P、G的截面为平行四边形APC,〃,
以。为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,
则A(l,0,0),G(0,1,1),A(1,0,1),尸(o,o,〃),
所以PG=(O,l,l—〃),AC]=(T,1,1),PG,AC;=2-〃,
E=/+(i一〃y,|AC|=V3,
"PC,■AC,2〃2_24+2
所以点P到直线AG的距离为d=
、Ml3
于是当〃=;时备加=年,PAG的面积取最小值,此时截面面积为=
当〃=0或1时也邛,尸AG的面积取最大值,此时截面面积为生艮应,
所以正方体经过点A、P、G的截面面积的取值范围为四,加,故D正确.
故选:ACD.
4.已知正方体ABCO-ABIGD的棱长为2,点P为平面CDDC上一动点,贝。()
A.当点尸为。自的中点时,直线CP与AP所成角的余弦值为:
B.当点P在棱。2上时,AP+PG的最小值为百
C.当点p在正方形CD2G内时,若片尸与平面CD2G所成的角为45。,则点尸的轨迹长度为兀
D.当点尸在棱G2(不含顶点)上时,平面4尸8截此正方体所得的截面为梯形
【答案】ACD
【分析】对于A,连接AC,求出AP,CP,AC,再利用余弦定理解即可判断;对于B,将平面A41Ao
和平面CCQQ展成同一平面,结合图象即可判断;对于C,连接GP,根据与G■1平面CDDC,可得NB/G
即为与P与平面CD»G所成的角,进而可得出点P的轨迹,即可判断;对于D,连接C2,设c/=4GD,
O<A<1,过点尸作PQ//C2交CG于点2,连接BQ,证明PQ//AB即可判断.
【详解】对于A,连接AC,如图(1),当点尸为的中点时,
"==也2+『=逐,CP=dcif+DP?=j22+f=&,
AC=VCD2+AD2=展=20,
Ap2+cp2-ac2_5+5-8_1
所以直线CP与AP所成角的余弦值cosNAPC=
2APCP-275x75-5
故A正确;
对于B,当点尸在棱。2上时,将平面例口。和平面CCQQ展成同一平面,如图(2),
则AP+PC,的最小值为AQ=JAC2+CC="2+2?=2下,故B错误;
对于C,如图(3),连接GP,
因为点尸在正方形CDQG内,B£,平面CDD,C,,
所以NBFQ即为与P与平面CDDg所成的角,
若男尸与平面CDD,C,所成的角为45。,则tan/瓦尸G=弟=1,
所以GP=8CI=2,即点尸的轨迹是以G为圆心、以2为半径的;圆,
所以点P的轨迹长度为]X2TIX2=71,故C正确;
对于D,如图(4),连接CR,
当点尸在棱GQ(不含顶点)上时,设G尸=彳6。,0<2<1,
过点P作PQHCD、交CC]于点。,连接BQ,
因为A。//BC且A2=8C,所以四边形ABCR为平行四边形,
所以PQ//4B,所以四边形APQ8为平面A/B截此正方体所得的截面,
因为尸Q〃C。,C1P=AC1D1,所以「。二^^广九^台,
所以截面四边形APQB为梯形,故D正确.
故选:ACD.
图(1)图(2)
图⑶图⑷
5.正四棱柱ABC。-A瓦CQ中,AAl=2AB=2,动点p满足AP=aAC+bAA,且a,6e(0,l),则下列说
法正确的是()
A.当。=:时,直线ACJ_平面8P与
B.当Q+b=l时,P5+P用的最小值为指
C.若直线BP与片A所成角为E,则动点尸的轨迹长为自
42
D.当4+处=1时,三棱锥尸-ABC外接球半径的取值范围是[曰,乎]
【答案】ABD
【分析】当时,由平面向量线性运算法则可知点尸在线段。。|上,根据正四棱柱特征利用线面垂直判
定定理即可证明直线ACL平面BP用;当a+b=l时,由共线定理可得点尸在线段CA上,根据对称性将
尸3+尸瓦的最值转化成平面几何问题,即可求得最小值;若直线3P与8。所成角为:,可知点尸的轨迹是
以。为圆心,半径为厂=变的半圆弧,即可计算出其轨迹长度;当。+力=1时,取的中点为E,由共
2
线定理可知P,C,E三点共线,几何法找出球心位置写出半径的表达式,利用函数单调性求其取值范围即可
得出结果.
【详解】对于A,取AC,3。相交于点。,AG的中点为0厂如下图所示:
11
当“时,即4尸=/4。+。惧=40+6招,Z>G(0,1),
由平面向量线性运算法则可知,点P在线段。。1上,
由正四棱柱ABCD-可得ACJ.BD,
且2耳JL平面ABCD,又ACu平面ABCD,所以BgLAC,
又BB、cBD=B,且24,8。匚平面8£>24,所以AC,平面;
又因为平面BP4与平面8nA4是同一平面,所以AC,平面BP4,即A正确;
对于B,当4+。=1时,由AP=aAC+ZMA利用共线定理可得,P,C,A三点共线,
即点P在线段CA上,
由对称性可知,线段CA上的点到2,用两点之间的距离相等,所以尸8+尸用=依+尸2;
取平面A8CA进行平面距离分析,如下图所示:
所以PB+PR2BR=户不正=&,当且仅当尸,员2三点共线时,等号成立,
此时点P为线段CA的中点,即尸B+尸片的最小值为",故B正确;
对于C,由图可知,8A,BC与所成角都为
由APuqAC+bA^可知,点P在平面AACC]内,
若直线的与所成角为在线段。。|上取点《,使。々=。8,
4
7T
则直线与8D所成角为
4
则点尸的轨迹是以。为圆心,半径为r=变,且在平面A&CG内的半圆弧A《C,
2
如下图中细虚线所示:
对于D,当。+»=1时,取A4的中点为E,即A4,=2AE;
由AP=aAe+ZMA=aAC+»AE可知,P,C,E三点共线,
即点P在线段CE上,如下图所示:
易知三棱锥尸-ABC外接球球心在直线。。上,设球心为。2,|OQ|=/z;
作PQLAC于点。,设户0=xe(O,l),易知AE=1,AC=VL
由相似比可得依。|=|夜x|,|OQ|=,
设外接球半径为R,则改=/+(¥[=岳一日+(无-%)2,解得〃=若匚
所以心[生4+、叱-⑵+6,
(2J24
易知当x=]时,半径最小为尺=立;当x=0,时,半径最大为R=在;
322
又x6(0,1),所以半径的取值范围是即D正确.
故选:ABD.
6.在边长为2的正方体ABCO-ABCQi中,动点M满足AMnxAB+yAD+zM,(x,y,zeR且
x>0,y>0,z>0),下列说法正确的是()
A.当x=:,z=0,ye[0,l]时,用W+A®的最小值为如
B.当x=y=l,z=;时,异面直线浏/与C2所成角的余弦值为典
C.当x+y+z=l,且4知=浊时,则M的轨迹长度为生色
33
D.当x+y=l,z=0时,4W与平面ABQ所成角的正弦值的最大值为渔
3
【答案】AD
【分析】对于A,确定M的位置,利用侧面展开的方法,求线段的长,即可判断;对于B,利用平移法,
作出异面直线所成角,解三角形,即可判断;对于C,结合线面垂直以及距离确定点M的轨迹形状,即可
确定轨迹长度;对于D,利用等体积法求得M点到平面A耳,的距离,结合线面角的定义求得AM与平面
AA2所成角的正弦值,即可判断.
【详解】对于A,在A3上取点H,使在OC上取点K,使。K=
44
因为x=;,z=O,yG[0,1],即+故M点在上,
将平面用"KG与平面AHA。沿着“展开到同一平面内,如图:
连接与。交HK于P,此时民尸,。三点共线,即取到最小值即用。的长,
由于A"=,8=g:.B”=T,则即/==?
722
故做=|+1=3,.'.BXD=TCMT+AB=73+2=V13,
即此时丹加+ATO的最小值为a,A正确;
对于B,由于x=y=l,z=J时,则AMnAB+AD+gM=AC+gc£,
此时M为CQ的中点,取G2的中点为N,连接BM,MN,BN,
则MN//C?,故ZBMN即为异面直线BM与CDt所成角或其补角,
又MN=gcDi=五,BM=A/22+12=6BN=小陷y+(£》)?=A/8+T=3,
故cosNBMN=BM°+MN?-BN?(6+(3)-3?_Tio
IBMMN275.72-10
而异面直线所成角的范围为(0,曰,
故异面直线8M与C"所成角的余弦值为巫,B错误;
10
对于C,当无+y+z=l时,可得点M的轨迹在4加>内(包括边界),
由于CCi_L平面ABC£>,BDu平面ABCD,故CC|_L8。,
又3。LAC,ACC£=C,AC,CGu平面AC£,故3D2平面ACG,
AGu平面ACC],故2。,AG,同理可证42LAG,
=平面Ad。,故A。,平面ABD,
114
设AG与平面AB。交于点p,由于匕1T配=KVABD=§X/x2x2x2=§,
4
ABD为边长为2④的正三角形,则点A到平面48。的距离为人尸=
若AM=,贝ljMP=NAM。-Apz=,
33
即M点落在以P为圆心,述为半径的圆上,
3
P点到三遍的距离为‘X立x2虚=逅<逑,
3233
即M点轨迹是以P为圆心,逑为半径的圆的一部分,其轨迹长度小于圆的周长皿红,C错误;
33
对于D,因为40〃5。,5。^平面714。],AAu平面A瓦A,故平面A耳2,
因为当%+y=l,z=。时,AM=AB+AD即M在BD上,
点M到平面A耳,的距离等于点B到平面人与2的距离,设点B到平面A耳A的距离为d,
1114
则%-物£)]=%-4期=耳5AB4=-x—x2x2x2=—f
ABQ为边长为20的正三角形,即;S4加•d=gX乎X(2应了X1,
解得
3
又M在8。上,当M为3。的中点时,AM取最小值&,
JT
设直线AM与平面ABXDX所成角为aee[0,今,
2A/32^/3r
则.A_d_亍,亍_",即A"与平面ABQI所成角的正弦值的最大值为空,D正确,
AMAM近33
故选:AD
7.在正方体ABCD-ABCQ]中,AB=1,点P满足CP=/LC£>+〃CG,其中;Ie[0』],〃c[0』],则下列结
论正确的是()
A.当4P//平面时,男尸与毁所成夹角可能为三JT
B.当2=〃时,IDPI+IAP的最小值为一;二
C.若与尸与平面CGA。所成角为则点P的轨迹长度为£
42
D.当2=1时,正方体经过点4,Rd的截面面积的取值范围为冬6
【答案】AC
TV
【分析】A选项,当点户与点2重合时,满足4尸//平面4BD,与尸与C2所成夹角为:,A正确;B选
项,将两图形展开到同一平面内,由三点共线得至“。P+IAPI的最小值,由余弦定理求出最小值;C选项,
作出辅助线,得到点P的轨迹,求出轨迹长度;D选项,先得到点尸在线段上,从而得到正方体过点\,P,C
的截面,建立空间直角坐标系,得到点P到直线AC的距离,从而求出截面面积的取值范围.
【详解】如图1,因为CP=2CZ)+〃CG,4c[0,1],〃e[0,1],
所以尸点在正方形CDDC内(包含四个端点),
当点尸与点2重合时,B.PUBD,
因为B]P<Z平面AB。,HDu平面483,
所以用尸//平面AB3,
此时旦。=耳尸=CP=0,故△B|CP为等边三角形,
图1
当a=〃时,点尸在对角线CQ上,
将矩形ABCA和等腰直角三角形CDA折叠到同一平面内,如图2,
连接4。与RC于点尸,
由三点共线可知,|。?+14Pl的最小值即为4。的长,
其中A2=£)i£)=i,420=135°,
由余弦定理得
A。=NAD;+£>]£>2-2AR•RDcos135。=Jl+1-2x—5=也+a,B错误;
c选项,如图3,以G为圆心,CG的长为半径作圆,与正方形CDDC交于:圆弧,
TT
此时满足B】P与平面CQD.D所成角为:,
4
171
故则点P的轨迹长度等于7*2兀X1=彳,C正确;
42
D选项,如图4,当2=1时,CP=CD+〃CG,即CP-CD=〃CCi,故DP=〃CG,
故点尸在线段。2上,
在2片上取点打,使得B]H=PD,连接
则可证得A"=PC,CH=\P,四边形APS为平行四边形,
故正方体经过点4,P,C的截面为平行四边形AP",
以A为坐标原点,所在直线分别为龙,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(O,O,1),C(1,1,O),尸(O,l,〃),z/e[0,l],
\c(ia,-i)
其中m=[BB
网F+]+]亍F),AC=(i,i,o)-(o,o,1)=(1,
P\=(o,o,i)-(o,i,〃)=(o,,
则总公(。,"〃)号岑==%-2
则点P到直线AC的距离〃=,尸屋_(%."『=]+°一〃)2一[手〃一竿
故截面面积为卜岛e半,血,D错误.
故选:AC
8.已知正方体的棱长均为2,E为线段A4的中点,4尸=243+〃4。,其中4〃目0,1],则下列
选项正确的是()
A.当〃=g时,APLER
B.当2=〃时,4尸+尸。的最小值为0+逐
C.若直线用户与平面ABCD所成角为。则点尸的轨迹长度为g
42
D.当;I+〃=1时,正方体被平面截的图形最大面积为40
【答案】AD
【分析】将〃=g代入AP=2AB+〃AD,将A.P,ER用AAAD,AB表示,计算其数量积是否为0即可证明;将
f代入可知点尸在AC上,且在平面A41cC上滔AADC沿着AC向下翻折至与平面441c(共面,点D翻
折后变为D2,过2向AC作垂线,垂足为。,可知D?在MN上,且为MV中点,所以同尸+尸。最小值为AA,根据
长度关系解出即可;由直线男尸与平面抽。所成角为J可得,2用尸为等腰直角三角形,即8尸=2,可得尸的
轨迹为以8为圆心2为半径的圆上,且在平面ABCD内,进而可求其轨迹长度,判断正误;由几+〃=1,可得
尸,瓦。三点共线,分尸在0。上运动和尸在08上运动两种情况下,讨论截面面积的大小情况,求出最值,即可
判断正误.
【详解】由题知正方体ABC。-A4G2的棱长均为2,
当〃=;时,
止匕时APE。[=(AA+AP)•(胡+AO+D,)
=1^A+2AB+1Ar>j-(AD+j1-AA1
2
=4A,AD+—?ljA,AAj+AA.B,AD+—71A3,+—A.D,AD+—AD,AAj
)八
=——1x4/+—1x4=0,
22
所以4P,£D],
即选项A正确;
当2=〃时,AP=几(AB+AD)=AAC.
所以点尸在AC上,且点P在平面MGC上,
分别将4A,GC延长至M,N,
使得A〃=CN=及,
将AADC沿着AC向下翻折至与平面A416c共面,
点D翻折后变为D2,过D2向AC作垂线,垂足为。,如图所示:
因为AD=DC=2,AO_LDC,
所以AZ>2=&C=2,AD,±UGAADC=AAD2C,
因为2。,AC,所以。为AC中点,且2。=血,
因为平面A41G。1平面ABCD,且平面A41G。c平面ABCD=AC,
AC,所以D2O1平面ABC。,
所以2。〃A4]〃CG,又因为D2O=V2=AM=CN,
所以2在政v上,且为跖v中点,4尸+尸。=42+尸3,
在平面A41cle中,连接A3交AC于点P时,\P+PD2取最小值,
因为AC=2应,所以3河=枕,
止匕时A3=7(AM)2+(A^)2
=42+可+(形)j=18+402员式,
故选项B错误;
因为BBi±面ABCD,所以4P耳为直线BtP与面ABCD的平面角,
当直线用尸与平面ABCD所成角为时,
4
即NBPBi=:7T,因为网_LBP,所以/BBJ=7:T,
44
所以8瓦尸为等腰直角三角形,因为B片=2,所以的=2,
因为AP=4AB+〃AD,由平面向量基本定理可知P在平面ABCD内,
所以尸的轨迹为以B为圆心2为半径的圆上,且在平面ABCD内,
所以点尸的轨迹长度为!义2兀X2=TT,
故选项C错误;
因为"=彳48+〃4。,其中4〃€[0』.
因为彳+〃=1,所以尸,民。三点共线,
连接AC交于点。,
当点尸在。。上运动时,延长"交CD于点
则正方体被平面尸4,截的图形为AAHR,
由图可知,当P点运动到。点时,截面为△am,此时截面积最大,
因为正方体棱为2,所以AA=2&=AC=CA,
止匕时截面积最大为20x2应x走=2岔,
22
当点P在OB上运动时,延长AP交CO于点"
过点L做AZ),的平行线交CG于点。,连接D,Q,
再过点L做A2的垂线,垂足为R,如图所示:
由题可知,此时截面为等腰梯形AD.QL.
记CL=X,X£[0,2],则CQ=%,3L=GQ=2-x,AD[=2&,
AL=DQ=^4+(2-x)2,LQ=瓜,
所以AR=AD「LQ=2后一缶
22
2
2\/z-、
LR=《A已-AR。=4+(2-x)2~
2J
(AD.+LQ^LR(2&+缶).j6-2x+gx2
所以54402=
2
2
(x+2)<(X2-4X+12')_H2广g2)2+8)
44
_1(X+2)2-(X-2)2+8(X+2)2I(X2-4)2+8(X+2)2
44
X4-8X2+16+8X2+32X+32f+32x+48
44
J+32x+48
令〃x)=,xe[0,2],
4
所以广(力=丁+8>0,所以〃x)在[0,2]单调递增,
所以〃x)4/(2)=32,
故脏心后=4啦,因为S<4应,
所以正方体被平面PAR截的图形最大面积为4点,
即选项D正确.
故选:AD
题型二:求算在长方体中的轨迹
9.长方体ABCD-ABC中,AB=2AD=2AA,=2,"为棱AB的中点,平面4"。上一动点N满足
NANM=90,则下列说法正确的是()
A.长方体外接球的表面积为67rB.DM±ACj
C.A到平面AMD距离为2叵D.N的轨迹长度为亚兀
33
【答案】AD
【分析】计算出长方体的外接球直径,结合球体表面积公式可判断A选项;利用空间向量法可判断BC选
项;分析可知,点N的轨迹为圆,求出圆的周长,可判断D选项.
【详解】对于A选项,长方体ABCO-ABIGD的外接球直径为
2R=y]AB2+AD2+A4)2=J4+1+1=屈,
所以,长方体ABCD-ABCQ[外接球的表面积为S=4成2=TIX(2R)2=6无,A对;
对于B选项,以点。为坐标原点,DA,DC、D2所在直线分别为x、V、z轴建立如下图所示的空间直
则A(l,0,0)、A(I,。」)、。(。,。,。)、M(U,0)、G(0,2,1),
所以,AC,=(-1,2,1),DM=(l,l,0),则相'=-1+2=1-0,B错;
对于C选项,设平面AMD的法向量为"=(x,y,z),
=(1,0,1),贝I],取x=l,可得”=(1,-1,-I),且D4=(l,o,o),
n•=x+z=0
所以,点A到平面4"。的距离为d==J=组,c错;
\n\733
对于D选项,取线段AM的中点E,因为NAW=90,则NE=[AM=?,
22
因为E为AM的中点,且点A到平面A"。的距离为且,
3
故点E到平面4加。的距离为£,
6
所以,点N的轨迹是平面截以点E为球心,半径为;的球所得圆,
且截面圆的半径为—Jgj-=中,
因此,点N的轨迹长度为2兀x4l=如兀,D对.
63
故选:AD.
10.在长方体ABCO-A4G2中,AB=3,AD=AA,=4,P是线段上的一动点,则下列说法正确的是
()
A.A尸〃平面ABCB.4尸与平面BCG4所成角的正切值的最大值是述
3
C.4尸+PC的最小值为如+20D.以A为球心,5为半径的球面与侧面BCG用的交线长是2兀
【答案】ACD
【分析】由平面与平面平行,可得直线与平面平行即可判断A,根据线面角定义找出线面角,当成最短时,
可求线面角的正切的最大值判断B,根据展开图,转化为求AC,利用余弦定理求解即可判断C,根据球面
与侧面交线为圆弧的四分之一即可求解即可判断D.
【详解】对于A,如图,
在长方体中,\CJIAC,4G0平面ARC,ACu平面ADXC,所以AG〃平面ARC,同理可得AB〃平面ADtC,
又A2cAG=A,所以平面ABC]〃平面ADC,A/U平面a^G,所以AP〃平面ADC,所以A正确;
对于B,因为平面BCC4,所以4尸与平面BCCg所成角为NA尸与,如图,
当时,瓦尸最小,NA尸耳的正切值最大,tanNAPBi=篝=^=当,所以B错误;
对于C,将aAC用沿BG翻折与,BCG在同一个平面,且点4,C在直线BC1的异侧,如图,
此时4B=4G=5,CB=CG=4,Bq=4^2^BCtC=45°,
52+(40)2-5?咨所以sin“避=平,
所以cosN&G8=
2x5x4拒
5?+4?-4c2
故cosZAQC=cos(ZACjB+45°)=----------=
2x5x4
解得&c=JF7+2夜,所以4尸+PC的最小值为a7+2忘,所以c正确;
对于D,如图,
由于平面BCG与,所以交线为以B为圆心,半径为4的四分之一圆周,
所以交线长为2兀,所以D正确,
故选:ACD.
11.如图所示,在长方体-AB1G2中,AB=AD=2,AAl=l,点E是棱CD上的一个动点,F是
BC的中点,BM=;BB1,给出下列命题,其中真命题的().
A.当E是CD的中点时,过EEM的截面是四边形
B.当点£是线段C。的中点时,点P在底面A2C。所在平面内,且MP//平面AEG,点。是线段MP
的中点,则点。的轨迹是一条直线
C.对于每一确定的£,在线段上存在唯一的一点M使得2H_L平面AEG
D.过点M做长方体A2CZ)-的外接球的截面,则截面面积的最小值为葺
【答案】BD
【分析】延长总和AD交于F,取。2的三等分点连接4加',证得平面A/F'M与平面为同一
个平面,连接ME,得到过平面跳河的截面为五边形五可判定A不正确;取4与的中点G,连
接AG,GG,取A3的中点为N,连接gN,CN,证得平面〃平面AECQ,得到HZ//HF,进而得
到点。的轨迹,可判定B正确;以D为原点,建立的空间直角坐标系,设E(0,m,0),HQ,”,0),其中。Wm,〃V2,
结合A〃SG=0,求得,的值,可判定C不正确;先求得长方体的外接球的半径为R,结合球的性质,求
得截面圆的面积最小值,可判定D正确.
【详解】对于A中,延长fE和AD交于尸,连接A尸与。2交于连接并延长可得
三点共线,连接AM,如图所示,平面A/PM与平面EW为同一个平面,连接ME,可平面与长
方体的各个面的交线分别为4〃,板,尸E,四',/&,
所以过平面的截面为五边形4M短加r,所以A不正确;
对于B中,在长方体ABC。-A片GR中,取A4的中点G,连接AG,GG,
取A3的中点为N,连接21N,CN,则CW/ME,BtN//AG
再取以L分别为A®,BC的三等分点,连接.,可得BF//CN,
又由M为8片的三等分点,所以MH//B3,所以MH〃AG,HF//AE,
因为平面AECQ,AGu平面AEC£,所以M"//平面AEQG,
同理可证:"F//平面AECQ,
MH「]HF=H且MH,HFu平面MHF,所以平面MHF〃平面AECQ,
当点尸在HF上时,此时MPu平面AfflF,所以MP〃平面AECQ,
取Affl,狼的中点",乙,可得HZ//HF,
又由。为AP的中点,所以点。的轨迹为直线所以B正确;
对于C中,如图所示,以。为原点,建立的空间直角坐标系,
则4(2,0,0),E(0,l,0),M(2,2,1),C,(0,2,1),D,(0,0,1),
设E(0,m,0),8(2,〃,0),其中0<s〃42,
可得A"=(2,〃,一1),AE=(—2/0),AC;=(-2,2,1),
若DtHI平面AEG,则DtH垂直于平面AEG的所有直线,
由DtH-AC1=(2,n,—1)•(—2,2,1)=—4+2/7—1=0,可得〃=3,
因为0V〃V2,所以不成立,所以C不正确;
对于D中,设长方体的外接球的半径为R,可得R亚百直=:,
22
球心为。,可得球心的坐标为0(1」,g),
贝U\OM\=^(2-1)2+(2-1)2+(1-1)2=居,
当OM与该长方体的外接球的截面圆垂直时,截面面积取得最小值,
设截面圆的半径为「,可得r=柝二丽『=m=孝,
所以截面圆的面积的最小值为兀产=无•(也了=—,所以D正确.
12.如图,透明塑料制成的长方体容器AB。-44G2内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,
再将容器以8c为轴顺时针旋转,则()
A.有水的部分始终是棱柱
B.水面所在四边形EPG8为矩形且面积不变
C.棱A2始终与水面平行
D.当点X在棱CZ)上且点G在棱CG上(均不含端点)时,BE3尸不是定值
【答案】AC
【分析】利用棱柱的几何特征判断A;根据水面矩形变化情况判断B;利用线面平行的判定判断C;利用盛
水的体积判断D作答.
【详解】对于A,有水部分的几何体,有两个面都垂直于3C,这两个面始终平行,而AD〃3C,
并且BC始终与水面平行,即有房〃3<7,若点〃在棱上,由面面平行的性质知,
EH//FG,若点X在棱CD上,EH//BC,因此该几何体有两个面互相平行,其余各
面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,即该几何体是棱柱,A
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 保安证考试全貌解析试题及答案
- 保障安全的基本知识保安证试题及答案
- 考试策略分析的保安证试题及答案
- 2025年保安证考试演练试题及答案
- 有效的保安证考试资料整合方法试题及答案
- 三级施工安全措施
- 养牛场可行性报告
- 应试技巧分享及保安证试题及答案
- 河北科技工程职业技术大学《工业总线与物联网》2023-2024学年第一学期期末试卷
- 黑龙江大学《德语论文写作导论》2023-2024学年第二学期期末试卷
- 含有逻辑谬论的句子
- 个人简历word模板免费4篇
- LNG汽车天然气发动机结构及工作原理
- 2023江苏省高考英语词汇表(3500-有序号-新增与变化)
- 新版PEP小学英语三到六年级各单元重点单词与句型汇总复习进程
- 稿件修改说明(模板)
- 终末期肾病常规血液透析导入治疗临床路径
- 2020正己烷安全管理规定
- 水利工程竣工验收鉴定书【范本模板】
- GB/T 25945-2010铝土矿取样程序
- 双向无人值守升级方案
评论
0/150
提交评论