中考数学专项复习：一元二次方程及其应用（讲义4考点+4命题点15种题型）含答案及解析

第二章方程与不等式

第07讲一元二次方程及其应用

（思维导图+4考点+4命题点15种题型（含6种解题技巧））

01考情透视•目标导航命题点二根的判别式

＞题型01不解方程，判断一元二次方程根的情况

02知识导图•思维引航

•►题型02根据根的情况确定一元二次方程中字母

03考点突破•考法探究

的值/取值范围

考点-----元二次方程及解法•►题型03利用根的判别式求代数式的值

考点二根的判别式•►题型04以开放性试题的形式考查根的判别式

考点三一元二次方程根与系数的关系命题点三一元二次方程根与系数的关系

考点四一元二次方程的实际应用»题型01不解方程，求方程中参数的值

＞题型02不解方程，求出与方程两根有关的代数式

04题型精研•考向洞悉

的值

命题点——元二次方程及其解法

命题点四一元二次方程的实际应用

•►题型01已知一元二次方程的解求未知数/代数式

»题型01变化率问题

的值

»题型02几何图形问题

•►题型02选用合适的方法解一元二次方程

»题型03以真实问题情境为背景考查一元二次方

•►题型03以注重过程性学习的形式考有解一元二

程的实际应用

次方程

＞题型04以数学文化为背景考查一元二次方程的

■►题型04配方法的应用

实际应用

•►题型05以开放性试题的形式考直解一元二次方

程

考情透视•目标导航

中考考点考查频率新课标要求

理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数

★★

一元二次方程及其解法

字系数的一元二次方程

会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根

★

一元二次方程根的判别式

及两个实根是否相等

一元二次方程根与系数的关系★★了解一元二次方程的根与系数的关系

变化率问题★★

利润问题★★

能根据现实情境理解方程的意义；

一元二次方程的实

循环问题★能针对具体问题列出方程；

际应用

能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.

面积问题★

其它问题★

【考情分析1］本专题包括利用根的判别式确定一元二次方程解的情况、已知方程解的情况确定方程中未知

字母的值及利用根与系数关系求解某些特定形式的代数式的值，试题形式多样，难度一般，常与完全平方公

式的各种变形结合考查.

【考情分析2】一元二次方程的应用的考查多以解答题形式出现，难度一般，主要涉及的问题有变化率问题、

利润问题、几何图形问题等.解决实际问题时，要检验所求解是否满足实际意义，注意取舍.

【命题预测】本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根

与系数的关系X一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考

查，分值为12分左右.预计2025年各地中考还将继续考查上述的几个题型,复习过程中要多注意各基础考

点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了.

知识导图•思维引航

知

识

糕

理

元

二

次

方

程

及

其

应定义a#0易忽略

用a#0

根的判别式使用条件一■

学习误区

根与系数关系前提

学

法只有一个实根一兀一次方程

指

方程根的个数对方程类型的暗示有二个实根元二^方程

导

有实数根两种可能

首选直接平方法

其次考虑因式分解法

选用合适的方法解方程

对任何方程都能用公式法

有特殊要求时用配方法

实际应用审、设、列、解、验、答

考点突破•考法探究I

考点-----元二次方程及解法

一、一元二次方程基础

一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.

一元二次方程的一般形式：a/+6x+c=o（aKO）,它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项

式，等号右边是0.其中：a/是二次项，a是二次项系数，版是一次项，b是一次项系数，c是常数项.

【易错/热考】如果明确了a/+bx+c=0为一元二次方程，就隐含了a40这个条件.

一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.

判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，

则是方程的根；若不相等，则不是方程的根.

二、一元二次方程的解法

基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的

两个解就是原方程的解.

1.直接开平方法（基础）

例：形如a/=b（aWO）的一元二次方程：

当b>0时，则小=2=,x2=-此时方程有两个不相等的实数根；

当b=0时，则%=%=0,此时方程有两个相等的实数根；

当b<0时，则方程无实数根.

2.配方法（基础）

配方的实质：将方程化为（①c+32="（a/0）的形式，当mN。时，直接用直接开平方法求解.

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

1）移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边；

2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1,将方程两边同时除以二次项系数；

3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为（x+p）2=q的形式；

4）求解：若q》0时，直接用直接开平方法求解.

3.公式法

用公式法解一元二次方程的一般步骤：

1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值（若系数是分数通常将其化为整数，方便计算）；

2）求出廿-4«c的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；

3）如果〃—4ac»0,将a、b、c的值代入求根公式：x-皿;

2a

4）最后求出和々

【补充说明】求根公式的使用条件：。，0且从-4比》0

4.因式分解法

依据：如果两个一次因式的积为0,那么这两个因式中至少一个为0,即若ab=0,则a=0或b=0.

步骤：

1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0;

2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

4）求解.

【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时

除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项，将方程右边化为0.

针对训练

1.（2023・湖北孝感・一模）已知一元二次方程（％-2）（久+3）=0,将其化成二次项系数为正数的一般形式后，

它的常数项是.

2.（2025・云南昆明•一模）若关于x的方程（m+l）x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（）

A.THH-1B.m=1C.m>1D.m#=0

3.（2024・广东深圳・中考真题）已知一元二次方程第2—3%+m=0的一个根为1,则zn=.

4.（2024•山东德州•中考真题）把多项式久2一3刀+4进行配方，结果为（）

2

A.（x-3）2—5B.（%-+—

c卜一3+与D-（x+l）2+；

5.（2024•山东东营・中考真题）用配方法解一元二次方程,一2%-2023=0时，将它转化为（x+a/=6的

形式，则心的值为（）

A.-2024B.2024C.-1D.1

考点二根的判别式

根的判别式的定义：一般地，式子/―4ac叫做一元二次方程以2+6x+c=o（awO）根的判别式，通常用

希腊字母△表示，即A=Z?2—4ac.

根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程。f+加:+。=0（。wO）的根的情况由其系数a,b,

c,即A=Z?2—4ac确定.

—b+，b2—4ac

1）△=〃一4〃0＞（）0方程a/+b%+c=O（〃wO）有两个不相等的实根:x=-----------；

2a

2）△=82一4〃（尸00方程〃%2+法+。=0（〃。0）有两个相等的实根：X1=X2=——;

2a

3）A=Zj2-4acV0o方程ox?+bx+c-0（awO）无实根.

【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实

数根.

【易错易混】

1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c的方程；

2）当A=^—4近=0时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根.

针对训练

1.（2023•吉林•中考真题）一元二次方程/-5x+2=0根的判别式的值是（）

A.33B.23C.17D.V17

2.（2024・吉林长春・中考真题）若抛物线y=x2-x+c（c是常数）与无轴没有交点，贝股的取值范围是.

3.（2023・四川泸州•中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程/-10久+m=。的

两个实数根，且其面积为11,则该菱形的边长为（）

A.V3B.2A/3C.V14D.2V14

4.（2024・上海宝山•一模）一次函数y=-3x-a不经过第三象限，关于x的方程a久？-3久+1=0的解的个

数为.

5.（2024・四川眉山•二模）已知关于x的一元二次方程/一3久=1-3爪有实数根.

（1）求爪的取值范围；

（2）设方程两实数根分别为的、久2,且满足/2+冷2-久1久2415,求小的取值范围.

考点三一元二次方程根与系数的关系

若一元二次方程af+6x+c=0（aW0）的两个根是石,々，则西,々与方程的系数a,b,c之间有如下

关系：x1+x2=—\x1•x2=^

【补充说明】

1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：a/0且/J?-4ac20.

2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如必+。％+2=0,其两根关系为乂1+%2=-「，x1»x2^q.

3）以两个数XI,%为根的一元二次方程（二次项系数为1）是――（%+%2）》+国・々=0.

4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的

值.

针对训练

1.（2024•黑龙江绥化•中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写

错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两

个根是-2和-5.则原来的方程是（）

A.%2+6%+5=0B.x2—7%+10=0

C.x2—5%+2=0D.%2—6%—10=0

2.（2024.四川巴中.中考真题）已知方程/-2%+忆=0的一个根为-2,则方程的另一个根为.

3.（2024・四川眉山・中考真题）已知方程/+%—2=0的两根分别为的，气，则工+工的值为.

X1X2

4.（2023•青海西宁・中考真题）先化简，再求值：（下今―京）+"，其中a，b是方程/+x—6=。的

两个根.

考点四一元二次方程的实际应用

用一元二次方程解决实际问题的步骤：

审：理解并找出实际问题中的等量关系；

设：用代数式表示实际问题中的基础数据；

列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程；

解：求解方程；

验：考虑求出的解是否具有实际意义；

答：实际问题的答案.

一元二次方程的常见问题及数量关系：

常见问题数量关系

变化率问题

/的次.

a(l±x)n=b

的W的支化率Vi19*1

利润问题利润=售价-进价;

利润率=利润/进价X100%

总利润=总售价-总成本=单个利润X总销售量.

循环问题单循环(如握手问题)：jn(n-1)(其中n为人数)

双循环(如写信问题)：n(n-1)(其中n为人数)

面积问题〃II14___己I1A_______!)

■T

JLu—/„—小।———一

£i-图2图3

(a—2x)(b—2x)(a—x)(b—x)

(x为空白部分的宽)(x为阴影部分的宽)

■针对训练•

1.(2024.江苏南通・中考真题)红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg,2023年平均每公顷产8450kg.求

水稻每公顷产量的年平均增长率.设水稻每公顷产量的年平均增长率为x.列方程为()

A.7200(1+x)2=8450B.7200(1+lx)=8450

C.8450(1-x)2=7200D.8450(1-2%)=7200

2.(2024・四川眉山・中考真题)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，

提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平

均增长率为久，则可列方程为()

A.670X(1+2%)=780B.670X(1+%)2=780

C.670X(1+x2)=780D.670X(1+%)=780

3.(2024・四川内江・中考真题)某市2021年底森林覆盖率为64%,为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发

展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均

增长率为“,则符合题意得方程是()

A.0.64(1+x)=0.69B.0.64(1+%)2=0.69

C.0.64（1+2x）=0.69D.0.64（1+2x）2=0,69

4.（2023•浙江衢州•中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均

每人传染了万人，则可得到方程（）

A.x+（1+%）=36B.2（1+x）=36C.1+x+x（l+x）=36D.1+x+x2—36

5.（2023•浙江湖州•中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，

该品牌新能源汽车的销售量逐年递增,2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆.如果设从2020年到2022

年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为无，那么可列出方程是（）

A.20（1+2%）=31.2B.20（1+2x）-20=31.2

C.20（1+久尸=31.2D.20（1+x）2-20=31.2

6.（2021•山西•中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个

数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65,求这个最小数（请用方程知识解答）.

|2021年M<|7月

曰一二三四五六

3

12

建党节

4567S910

11121314151617

181920212：2324

25262728293031

7.（2022•辽宁丹东•中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源.某景区研发一款纪念品，每

件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，

每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

销售单价无（元/件）354045

每天销售数量y（件）908070

（1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元?

（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？

题型精研•考向洞悉

命题点—元二次方程及其解法

A题型01已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值

2

1.（2024・四川凉山•中考真题）若关于x的一元二次方程（a+2）/+x+a-4=0的一个根是x=0,贝必的

值为（）

A.2B.-2C.2或-2D.|

2.（2024•山东烟台・中考真题）若一元二次方程2/—4%—1=0的两根为m,n,则3爪2-4m+层的值

为.

3.（2024・四川南充・中考真题）已知机是方程/+4x-1=0的一个根,贝卜爪+5）（m-1）的值为.

4.（2023•湖南娄底•中考真题）若加是方程一一2%-1=0的根，贝。血2+与=.

＞题型02选用合适的方法解一元二次方程

方法技巧

已知a,b,c分别为二次项系数，一次项系数，常数项.

1）当a=l,b为偶数，cW0时，首选配方法；

2）当b=0时，首选直接开平方法；

3）当c=0时，可选因式分解法或配方法；

4）当a=l,bWO,cWO时，可选配方法或因式分解法；

5）当aWl,bWO,cWO时，可选公式法或因式分解法.

1.（2024•安徽•中考真题）解方程：%2-2%=3

2.（2022•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）解方程：（2x+3）2=（3久+2/

3.（2024.贵州•模拟预测）计算

（1）再_（V3）+（兀+V3）+V27+|V3-2|

（2）从下列方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程

①/-8x-1=0②（无+3）2=（1一2x）2③（2乂+3/—25=0

4.（2024•湖南衡阳•一模）（1）用配方法解方程：%2=2%—1；

（2）用适当的方法解方程：x（2x-1）=4x-2.

＞题型03以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程

1.（2021•浙江嘉兴・中考真题）小敏与小霞两位同学解方程3（久-3）=（x-3）2的过程如下框:

小霞：

小敏：

移项，得3（久一3）——3＞=0,

两边同除以（久-3）,得

提取公因式，得0-3）（3-乂-3）=0.

3=x—3,

则％—3=0或3—%—3=0,

则％=6.

解得%1=3,x2=0.

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“铲；若错误请在框内打“x”，并写出你的解答过程.

2.（2024•贵州黔东南.一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2/+叙-8=0的过程，请认真阅读并

完成相应的任务.

解:移项，得2/+4%=8,……第一步

二次项系数化为1,得产+2刀=4,..…第二步

配方，得。+2）2=8,……第三步

由此可得％+2=±2^/2,......第四步

所以，=-2+2V2,%2=-2-2V2.……第五步

（1）小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；

（2）请你写出正确的解答过程.

3.（2024•浙江舟山•一模）解一元二次方程--2%-3=0时，两位同学的解法如下:

解法一：解法二：

2

%—2%=3a=lfb=—2,c=—3

x(x—2)=3b2—4ac=4-12=—8

%=1或%—2=3炉—4这<o

•••/=1或第2—5•••此方程无实数根.

（1）判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“小；若错误，请在框内打“x”.

（2）请选择合适的方法求解此方程.

4.（2024•江西•一模）课堂上，文U老师展示了一位同学用配方法解/-4应x-4=0的过程，如下:

解:原方程可化为/—4/工=4,第一步

配方，得/一2・“2/+（4/）2=4+（4鱼＞，第二步

即0—4岳）2=36,第三步

直接开平方，得久-4/=±6,第四步

所以X1=4&+6,x2=4-\/2—6.第五步

（1）这位同学的解题过程从第_____步开始出现错误;

（2）请你正确求解该方程.

>题型04配方法的应用

【利用配方法求代数式的最值】求多项式以2+bx+c（a,4c为常数，且。/0）的最

值时，要先把多项式配方成++”的形式.若a>0,则代数式ox?+Zzr+c有最小值；若a<0,则代

数式or?+法+。有最大值.

1.（2022•山东德州•中考真题）已知M=a2-a,N=a—2（a为任意实数），则M—N的值（）

A.小于0B.等于0C.大于0D.无法确定

2.（2023•江苏连云港•中考真题）若卬=5/一4孙+V一2y+8x+3（%,y为实数），则皿的最小值

为.

3.（2024•河北石家庄•一模）（1）发现，比较4机与62+4的大小，填或，，="：

①当?n=3时，4m_m2+4；

②当m=2时，4m_m2+4；

③当?n=-3时，4m_m2+4；

（2）论证，无论机取什么值，判断4机与爪2+4有怎样的大小关系?试说明理由；

（3）拓展，试通过计算比较.7+2与2/+以+6的大小.

4.（2023•江苏扬州•二模）（1）数学活动小组在研究函数y=£+:的图像时提出了下列问题：

①函数y=x+：的自变量x的取值范围是一

②容易发现，当x>0时，y>0；当x<0时，y<0.由此可见，图像在第一象限；

③阅读材料：当光>0时，y=尤+£=（«I+住）-（7%-^）2+2>2.

当«=专时，即x=l时，y有最小值是2.

请仿照上述过程，求出当尤<0时，y的最大值；

（2）当x>0时，求y=/+:+16的最小值;

（3）如图，四边形力BCD的对角线力C,BD相交于点。，XAOB、△COD的面积分别为4和9,求四边形4BCD

面积的最小值.

»题型05以开放性试题的形式考查解一元二次方程

'.,以开放性试题的形式考查直接解一元二次方程，解题时可以根据题目选择不同的方法

解决问题有利于培优策略性思维。

1.（2023•贵州六盘水•一模）（1）小明解分式方程*=1-T的过程如下：

XX

去分母，得2%+3=1-（%一1），…第一步

去括号，得2x+3=1-乂+1,…第二步

移项，得2x+x=1+1—3,...第三步

合并同类项，得3x=-1,…第四步

系数化为1,得x=—：第五步

检验：当x=-1时，X力。，…第六步

是原分式方程的解•…第七步

上述解答过程是从第_步开始出现错误的，请写出正确的解答过程；

（2）在初中阶段，我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，

请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程.

①K2+6%—3=0；②％2—4%=0；③%2—7%=7；④久2—9=0.

2.（2023•贵州黔东南•一模）我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式

分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程.

①/=25；②/+6%=-4；④%2—4%—7=0；@x2+2%=0

命题点二根的判别式

>题型01不解方程，判断一元二次方程根的情况

方法技巧

一元二次方程根的情况与判别式的关系:

1）A=>2—4ac>0o方程以2+法+。=0（。/0）有两个不相等的实根:X=-=-------

2a

2）4二/72-4仅尸00方程1%2+法+。=0（〃。0）有两个相等的实根：X1=X2=——；

2a

3）A=Z?2-4acV0u>方程以2+bx+c=0（a*0）无实根.

1.（2024・上海・中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）

A.x2—6x—0B.x2—9=0

C.x2—6x+6=0D.%2—6%+9=0

2.（2024・四川自贡.中考真题）关于x的一元二次方程J+k久-2=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

3.（2023•四川广安・中考真题）已知a,b,c为常数,点P（a,c）在第四象限,则关于龙的一元二次方程a/+

bx+c=0的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法判定

晚题型02根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围

方法技巧

1）有根4八20；2）有两个不等根6A>0；

3）有两个相等根0;4）无实数根4A<0.

【易错点】根据一元二次方程依2+法+。=。根的情况确定字母参数的值或取值范围时，若二次项系数含

有所求的字母参数，则不要忽略隐含条件a=0,否则这个参数的取值范围会增大，导致解题错误.

1.（2024•山东泰安・中考真题）关于久的一元二次方程2K2-3x+k=0有实数根,则实数k的取值范围是（）

A.fc<—B.fc<—C.kN-D.k<—

8888

2.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）关于x的一元二次方程（爪-2）/+4x+2=0有两个实数根，则m

的取值范围是（）

A.m<4B.m>4C.m2—4且mK2D.mW4且m#2

3.（2024.江苏徐州•中考真题）关于x的方程/+kx+l=0有两个相等的实数根，则左值为

4.（2024•广东广州•中考真题）关于x的方程/-2x+4-血=0有两个不等的实数根.

（1）求爪的取值范围;

1-m2.m-1m-3

（2）化简:

\m-3\2m+1

5.（2024・四川南充・中考真题）已知右，比2是关于光的方程/-2kx+k2-k+l=0的两个不相等的实数根.

（1）求k的取值范围.

（2）若k<5,且k,亚都是整数，求k的值.

>题型03利用根的判别式求代数式的值

1.（2023.广东广州.中考真题）已知关于x的方程/一（2k-2）x+/c2-1=0有两个实数根，则—1尸-

的化简结果是（）

A.-1B.1C.-1-2kD.2k-3

2.（2023•甘肃兰州•中考真题）关于尤的一元二次方程/+法+。=0有两个相等的实数根，则炉—

2（1+2c）=（）

A.-2B.2C.-4D.4

3.（2024・四川雅安•模拟预测）关于尤的一元二次方程a——法+1=0（a40）有两个相等的实数根，则炉-

2（2a—1）的值是（）

A.-4B.4C.2D.-2

4.（2024•安徽六安•模拟预测）已知关于光的一元二次方程——%+工口=。有两个不相等的实数根，设此方

4

程的一个实数根为b,令TH=4炉—4b—5a+4,则（）

A.m>—2B.m>—2C.m<—2D.m<-2

>题型04以开放性试题的形式考查根的判别式

1.（2023•甘肃武威•中考真题）关于%的一元二次方程/+2x+4c=0有两个不相等的实数根，贝肥=

（写出一个满足条件的值）.

2.（2024.江苏南通・中考真题）已知关于尤的一元二次方程产―2x+k=0有两个不相等的实数根.请写出

一个满足题意的女的值：

3.（2023•山东济南・中考真题）关于x的一元二次方程/一4x+2a=。有实数根，贝b的值可以是（写

出一个即可）.

4.（2023•浙江杭州•中考真题）设一元二次方程/+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中厂组力c的值，

使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.

①b=2,c=l；②b=3,c=l；③b=3,c=—l；④b=2,c=2.

注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.

命题点三一元二次方程根与系数的关系

＞题型01不解方程，求方程中参数的值

1.（2024•四川乐山•中考真题）若关于尤的一元二次方程/+2x+p=0两根为/、*2,且己+^=3,则P

的值为（）

22

A.--B.-C.-6D.6

33

2.（2023.湖南岳阳•中考真题）已知关于久的一元二次方程%2+2mx+m2-m+2=0有可个不相等的实数

根，且％1+不+•冷=2,则实数m.

3.（2024.四川内江.中考真题）已知关于％的一元二次方程第2—p%+1=0（p为常数）有两个不相等的实数

根%1和％2・

⑴填空：%1+%2=，%1%2=；

111

Q）求了+7，久1+

XiXoAi

（3）已知西+媛=2p+1,求p的值.

4.（2023•湖北・中考真题）已知关于x的一元二次方程久2—（2m+l）x+m2+m=0.

（1）求证：无论加取何值时，方程都有两个不相等的实数根；

（2）设该方程的两个实数根为〃，b,若（2a+b）（a+2b）=20,求偿的值.

＞题型02不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值

方法技巧

利用根与系数的关系还可以求出关于21、山的代数式的值，涉及到的变形如下:

已知一元二次方程。+fcr+c=O（aw0）的两个根%i，%

①k+X；=（玉+%2）2-2%%2

②L^=X]+X2

X[x2X1X2

③X21X]=X:+x??_（.+々）2-2X]二

X]x2XJ2XjX2

22

④（xrx2）=（xj+x2）-4xtx2

⑤（2（2

|Xj-x21^xrxp=^Xj+xp-4XJX2

22

⑥x,-x?=±J（x1-x9）=iJCx,+xO-4x,x?

1.（2024.四川成都・中考真题）若m,n是一元二次方程/-5x+2=0的两个实数根，则小+0-2）2的值

为.

2.（2024.四川泸州•中考真题）已知的，叼是一元二次方程，一3尤一5=0的两个实数根，则（修一中四+

3X1X2的值是.

3.（2023・湖北鄂州•中考真题）若实数a、b分别满足a?-3a+2=0,/-36+2=0,且a46,贝壮+!=.

4.（2023•内蒙古通辽•中考真题）阅读材料：

材料1：关于x的一元二次方程a%2=0（口。0）的两个实数根久1，冷和系数。，4。有如下关系：

,bc

X1+X2=—~f%i%2=--

材料2：已知一元二次方程/-％-1=0的两个实数根分别为m，n,求租2九+77m2的值.

解：:根，〃是一元二次方程％2一%—1=0的两个实数根，

m+n=1,mn=—1.

贝!）771272+mn2_mn（m4-n）=—1x1=—1.

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

（1）应用：一元二次方程2久2+3%-1=0的两个实数根为久1，%2,则%1+%2=，

=；

（2）类比：已知一元二次方程2-+3%—1=0的两个实数根为机，n,求7712+荏2的值；

（3）提升：已知实数s,f满足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1=0且s力t,求工一工的值.

st

命题点四一元二次方程的实际应用

＞题型01变化率问题

1.（2024.山东淄博.中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市

参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人.

（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；

（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从a公司购买某种套装健身器材.该公司规定:若购买不超过wo套,

每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1000元.已

知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数.

2.（2023・辽宁大连•中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已

知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元,2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020-2022年

买书资金的平均增长率.

3.（2023・湖南郴州•中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，

4月份游客人数为2.5万人.

（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；

（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超迎前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1

日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？

＞题型02几何图形问题

1.（2023•江苏・中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园48CD（如图），生态园一

面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成.生态园的面积能否为40m2?如果能，请求出的长；

如果不能，请说明理由.

墙

AB

生态园

D'---------'C

2.（2023•山东东营・中考真题）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一

个矩形羊圈A8CD,并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）.

A\p

BEFC

（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？

（2）羊圈的面积能达到650n?吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.

3.（2024•陕西西安・模拟预测）有一块矩形铁皮如图所示，长为20m,宽为15m,现打算从该铁皮上裁出两

个完全相同的小矩形，每个小矩形的长为2xm,宽为无m,使得裁完后剩余铁皮（图中阴影部分）的面积为

156m2,请计算裁出的每个小矩形的周长.

＞题型03以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用

1.（2024.黑龙江•模拟预测）2024龙年春晚主题为“龙行矗矗（da）,欣欣家国”，“篇”这个字引发一波热门

关注.据记载，“篇”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行矗疆”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈.某服装店

购进一款印有“疆”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件,

则该款上衣销售量的月平均增长率为（）

A.20%B.22%C.25%D.26%

2.（2024.四川成都.二模）世界羽坛最高水平团体赛成都2024“汤尤杯”将于4月27日至5月5日在成都高

新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”14日下午首次公开亮相.某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物

的进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的

减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套.

（1）若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？

（2）销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润