中考数学专项复习：梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理（含答案及解析）

梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理

叁^模型解密

梯子模型

如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点（如中点）或梯子构成图

形上的点的轨迹模型（图2）,就是所谓的梯子模型。

［考查方向］已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题。

模型」如图所示，线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB=ZAOC=90°AC的中点为P,连接OP、BP、0B,

则当0、P、B三点共线时，此时线段0B最大值。

即已知RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中0B的最值

模型二：如图所示，矩形ABCD的顶点A、B分别在边0M、0N上，当点A在边0M上运动时，点B随之在0N

上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保持不变，AB的中点为P,连接OP、PD、0D,则当0、P、D三

点共线时，此时线段0D取最大值

四边形中对角互补模型

对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与120°的两种对

角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似.

模型一：含90°的全等型

1.如图1,已知/AOB=NDCE=90",0c平分则可以得到如下几个结论：

QCD=CE,②①+施'=、/}%,③夕＞夕」0C.

2

2.如图2,已知/ZO的一边与/。的延长线交于点〃NA0B=NDCE=9G,%平分

如图3,已知///=2F=120。，％平分//四则可得到如下几个结论:

①CD=CE,②0D+0E=0C,③—我4

4

梯形中位线定理

(1)定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线

(2)性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

类型一：梯子模型

【典例1】如图，ZMON=90°,矩形/BCD的顶点/、8分别在边(W、ON上，当8在边ON上运动时，

/随之在(W上运动，矩形/BCD的形状保持不变，其中48=6,BC=2.运动过程中点。到点。的最

大距离是.

【变式1-1］如图，在中，NBAC=9Q°,45=1,NC=4,点/在y轴上，点C在x轴上，则点

工在移动过程中，2。的最大值是.

VAB

0\Cx

【变式1-2】如图，/MEN=90°,矩形/BCD的顶点8,C分别是/MEN两边上的动点，已知8c=10,

CD=5,点、D,E之间距离的最大值是.

MA

ECN

类型二：四边形中对角互补模型

【典例2】在四边形4BCD中，ZS+ZD=180°,对角线/C平分/A4D

D

图1图2图3

（1）如图1,若/。48=120°,且N5=90°,试探究边与对角线/C的数量关系为

（2）如图2,若将（1）中的条件“NB=9Q。”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由；

（3）如图3,若/。48=90°,若/D=3,4B=7,求线段/C的长和四边形4BCD的面积.

【变式2-1】如图，点尸(3"z-l,-2"?+4)在第一象限的角平分线OC上，NPL8P,点/在x轴正半轴上,

点2在y轴正半轴上.

(1)求点P的坐标.

(2)当/4P2绕点尸旋转时，

①。N+O8的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值.

②请求出OA2+OB2的最小值.

【变式2-2】四边形若满足N/+/C=180°,则我们称该四边形为“对角互补四边形”.

(1)四边形/BCD为对角互补四边形，且N8：ZC：/。=2：3：4,则//的度数为

(2)如图1,四边形/BCD为对角互补四边形，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD.

求证：NC平分N3CD.

小云同学是这么做的：延长CO至使得DM=BC,连MW,可证明△/5C也△/DM,得到是

等腰直角三角形，由此证明出NC平分48。，还可以知道C8、CD、C4三者关系为：；

(3)如图2,四边形48CO为对角互补四边形，且满足4840=60°,AB=AD,试证明：

①NC平分/8CO；

②CA=CB+CD；

(4)如图3,四边形48C。为对角互补四边形，且满足N/8C=60°,AD=CD,则A4、BC、BD三者

关系为：•

类型三：梯形中位线定理

【典例3】在梯形4BCD中，AB//CD,AC、AD相交于点。，若/C=5,BD=12,中位线长为」且，AAOB

2

的面积为Si,△<%>£>的面积为S2,则何+厄=-

【变式3-1］如图，在梯形48co中，AB//CD,点、E、尸分别是40、2c的中点，如果42=2,EF=3,那

么CD=.

s

【变式3-2］如图，DE是△4BC的中位线，〃是DE的中点，那么:⑨3=

SAABC

式真题精练

1.如图，△48C为等边三角形，以为边向形外作△N8。，使//。8=120°,再以点C为旋转中心把

△CBD旋转到LCAE,则下列结论:

①。、A、£三点共线；

②DC平分/BDA；

③NE=ABAC-,

®DC=DB+DA.

其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.如图，ZUBC为等边三角形，以48为边向△48C外侧作△48。，使得/ND8=120°,再以点C为旋

转中心把△CAD沿着顺时针旋转至△C4E,则下列结论:

①£（、/、£三点共线；②△CDE为等边三角形；③DC平分/8D4；®DC=DB+DA,其中正确的有（）

B.3个C.2个D.1个

3.如图，正方形/8CD点P是对角线/C上一点，连接8P,过P作尸PQ交CD于■Q,连接80

交NC于G,若AP=H，。为CD中点，则下列结论：

①/PBC=/PQD；②BP=PQ；③/BPC=NBQC；④正方形4BCD的面积是16；

C.2D.1

4.如图，ZMON=90°,矩形N8C。的顶点/、8分别在。河、ON上,当点8在ON上移动时，点/随

之移动，48=2,BC=1,运动过程中，点。到点。的最大距离为.

5.AC=6,BC=3,点A、C分别在x轴、y轴上，当点N在x轴上运动

时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点3到原点的最大距离是.

6.如图，的两直角边。4,。2分别在x轴和y轴上，且点43的坐标分别是（3,0）和（0,4）,

点C是半圆NC8上任意一点，则点。，C的最大距离为

7.边长为2的等边三角形/8C的顶点8分别在x轴正半轴和y轴正半轴

上运动.

(1)当。8=1时，点C的坐标为

顶点/、C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动.

(2)若点。是/C的中点.则点D在运动过程中经过的路径长为

(3)点B到原点。的最大的距离是

9.在学习三角形中位线定理时，小丽发现作以下辅助线能够证明三角形中位线定理.

已知：如图1,在△48C中，点。，E分别是边48,NC的中点，连接。£.

求证：DE//BC,DE^BO

证明：(小丽的辅助线作法)延长到「使EF=DE,连接。C、AF、FC.-

(1)请在图1中画出小丽所说的辅助线，并补全三角形中位线定理的证明过程；

(2)三角形中位线定理应用：如图2,在梯形/BCD中，AD〃BC,点、E,尸分别是CD的中点,

则线段ND,EF,8C之间的数量关系是

图1图2

10.如图，正方形4SCD中，点E,尸分别是边8c上的两个动点，且正方形N8C。的周长是ABE尸

周长的2倍.连接。E,DF分别与对角线ZC交于点"，N.

(1)若/E=2,CF=3,求跖的长;

(2)求证；/EFN+/EMN=180°；

(3)若迎=2,BE=3,求斯的长.

AM

11.定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.

理解：(1)如图1,点B,C在上，NN8C的平分线交于点。，连接ND,CD.

求证：四边形/BCD是等补四边形.

探究：(2)如图2,在等补四边形4BCD中，B4=BC,连接AD,2。是否平分N4DC?请说明理由.

运用：(3)如图3,在等补四边形48CD中，CB=CD,其外角/尸C8的平分线交48的延长线于点E,

48=20,CE=10,求BE的长.

图1图2图3

12.定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.

【问题理解】

如图1,点/、B、C在O。上，/4BC的平分线交OO于点。，连接40、CD.

求证：四边形/BCD是等补四边形；

【拓展探究】

如图2,在等补四边形4BCD中，AB=AD,连接/C,/C是否平分N2CD?请说明理由；

【升华运用】

如图3,在等补四边形488中，AB^AD,其外角NE4。的平分线交CD的延长线于点F.若CD=6,

DF=2,求/尸的长.

13.有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.

(1)如图1,在等邻边互补四边形/BCD中，AD=CD,S.AD//BC,BC=2AD,求的度数；

(2)如图2,四边形/BCD内接于。。，连接。。交NC于点£(不与点。重合)，若£是/C的中点，

求证：四边形N2CD是等邻边互补四边形；

(3)在(2)的条件下，延长。。交3c于点尸，交O。于点G,若祕=源，tan/4BC=2£/C=12,

7

求尸G的长；

(4)如图3,四边形N8CD内接于。。AB=BC,8。为。。的直径，连接NO并延长交BC于点£,交

。。于点尸，连接PC,设tan/84F=x,里=乃求y与x之间的函数关系式.

AE-

14.阅读下面的材料.

材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的

两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位

线平行于两底，并且等于两底和的一半.

如图①，在梯形/BCD中，AD//BC,

■:E、尸是48、CD的中点，

：.EF//AD//BC,EF=LCAD+BC).

2

材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.

如图②：在△4BC中，

是N8的中点，EF//BC,

尸是/C的中点.

请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题.

如图③：在梯形4BCD中，AD//BC,4CLBD于O,E、尸分别为48、CO的中点，/DBC=3G.

(1)求证：EF=AC；

(2)若。。=3如，OC=5,求ACV的长.

①②

③

15.问题提出

Cl)如图1,在△ABC中，BC=6,。是边2c上的一个动点，连接若4D的最小值为4,则三角

形N8C的面积为.

问题探究

(2)如图2,在四边形ABCD中，AB=BC,ZABC=ZADC=9Q°,Z5^Z)+ZC=180°,试说明

12

S四边形ABCD革BD-

问题解决

(3)如图3,四边形ABCD是某学校操场上的一块空地，学校准备在这块空地上举办航模展.其中边

N2和2C是用来展示航模展的历史，且满足N4BC=N4DC=90°,AB=BC,边40和DC用来放置电

子显示屏，播放航模知识讲解，AD+CD=IS,求四边形/BCD的面积.

图1图2图3

梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理

-5模型解密

梯子模型

如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点（如中点）或梯子构成图

形上的点的轨迹模型（图2）,就是所谓的梯子模型。

［考查方向］已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题。

模型一：如图所示，线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB=ZAOC=90°AC的中点为P,连接OP、BP、0B,

则当0、P、B三点共线时，此时线段0B最大值。

即已知RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中0B的最值

模型二：如图所示，矩形ABCD的顶点A、B分别在边0M、0N上，当点A在边0M上运动时，点B随之在0N

上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保持不变，AB的中点为R连接OP、PD、0D,则当0、P、D三

点共线时，此时线段0D取最大值

四边形中对角互补模型

对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与120°的两种对

角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似.

模型一：含90°的全等型

1.如图1,已知//必=/。390°,在平分//如则可以得到如下几个结论：

①CD=CE,②OD+OE=%；2OC,③9S+9:OC.

2.如图2,已知位的一边与/。的延长线交于点〃NAOB=/DCE=9Q°,OC平济/AOB.

如图3,已知//如=2/〃⑫=120。，0c平分//您则可得到如下几个结论:

①CD=CE,②OD+OE=OC,③S+舐旦OC.

4

梯形中位线定理

(1)定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线

(2)性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

类型一：梯子模型

【典例1】如图，/MON=90°,矩形/BCD的顶点/、2分别在边。M、ON上，当8在边ON上运动时,

/随之在31上运动，矩形N8CO的形状保持不变，其中/3=6,BC=2.运动过程中点。到点。的最

大距离是

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图：取线段48的中点连接OE,DE,0D,

,:AB=6,点E是48的中点，NAOB=9Q°,

:.AE=BE=3=OE,

.四边形48CD是矩形，

：.AD=BC=2,NDAB=90°,

二/)£，=VAE2+AD2=^13，

•：ODWOE+DE,

当点。，点E,点。共线时，。。的长度最大.

/.点D到点O的最大距离=。£+。石=3+05，

故答案为：3+413.

【变式1-1］如图，在Rt448C中，NR4c=90°,48=1,/C=4,点/在y轴上，点C在x轴上，则点

A在移动过程中，BO的最大值是.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，取/C的中点初，连接(W,BM.

：.OM=1AC=2,

2

在RtZX/BM中，VZBAM=90°,AB=\,AM=2,

/.BM={]2+22=炳,

,：OBWBM+OM,

.,.05^2+75)

：.0B的最大值为2+V5.

故答案为2+V5-

【变式1-2]如图，NMEN=90°,矩形48CD的顶点3,C分别是/MEN两边上的动点,已知5C=10,

CD=5,点D,E之间距离的最大值是.

【答案】5+572.

【解答】解：：NAffiN=90°,尸是8c中点,

：.EF=^BC=5.

2

当点。，E,尸三点共线时，取等号.

此时尸是BC的中点，

.四边形48co是矩形，

ZBCD=90°,

•••FD=VCF2<D2=VB2+52=5&.

：.ED最大=EF+。尸=5+5&.

故答案为：5+5V2.

类型二：四边形中对角互补模型

【典例2】在四边形N5CO中，Z5+Z£>=180°,对角线/C平分/3/D

D

图1图2图3

（1）如图1,若/。48=120°,且/8=90°,试探究边/。、48与对角线/。的数量关系为—

（2）如图2,若将（1）中的条件“/B=90。”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由;

（3）如图3,若ND4B=90。，若4D=3,AB=7,求线段NC的长和四边形48CD的面积.

【答案】（1）AD+AB=AC；

（2）成立，理由见解答；

（3）/C=5加，四边形48co面积为25.

【解答】解：（1）VZ5+ZD=180°,NB=90°,

：.ZZ）=ZB=90o,

:对角线NC平分

ZDAC=ZBAC,

•：AC=AC,

：.RtAD^C^RtAS^C（AAS）,

:・AD=AB,

VZDAB=120°,

•■•ZDAC=jZDAB=60°，

AZDCA=30°,

AD-j-AC'

•'•AD=AB=yAC'

.\AD+AB=AC.

故答案为：AD+AB=AC,

(2)(1)中结论成立，理由如下:

以。为顶点，力。为一边作NZC£=60°,N4CE的另一边交48延长线于点E,

由(1)可得：/CAB=60°,

VZBAC=60°,

AZAEC=60°,

ZCAB=ZBAC=AAEC,

・•・ZX/CE为等边三角形，

：.AC=AE=CE,

VZD+ZABC=1^0°,NCBE+NABC=18O°,

/D=/CBE,

VZABC+ZD+ZDAC+ZDCB=360°,ZD+ZABC=\SO°,ZDAB=120°,

；./DCB=60°,

ZDCB=ZACE,

：.ZDCB-ZACB=AACE-/ACB,

：./DCA=/BCB,

:・ACAD/ACEB(44S),

：.AD=BE,

•；AC=AE=4B+BE,

：.AC=AD+AB,

(3)过点。作CEL4C交Z2延长线于点E,

•・•对角线/C平分NB/O,ZBAD=90°,

：・/CAE=NDAC=45°,

,JCELAC,

：.ZACE=90°,

—1800-ZACE-ZCAE=45°,

ZE=ZCAE,/E=/DAC,

:・AC=CE,

VZ^C+ZZ)=180°,ZABC+ZCBE=\S0°,

/D=/CBE,

•'.△ADCqAEBC(AAS),

:・AD=BE,

:・AE=AB+BE=AB+AD,

•・・/£)=3,AB=7,

：.AE=10,

在RtZXZCE1中：

AC2+CE2=AE2,

；,AC=CE=5®

••SAACE卷X5血X5料=25，

LADC/LEBC,

••S/^ADC=S/^EBCJ

S四边形ABCD=S/\ADC^-S^ACB=S/\EBC^S/\ACB=SACE=25.

【变式2-1】如图，点尸(3加-1,-2加+4)在第一象限的角平分线OC上，5H点/在x轴正半轴上,

点2在y轴正半轴上.

(1)求点尸的坐标.

(2)当N4PB绕点P旋转时,

①。N+O8的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值.

②请求出。/2+05的最小值.

【答案】(1)P(2,2)；(2)①不变，值为4；②8.

【解答】解：(1)・・•点P(3m-1,-2m+4)在第一象限的角平分线OC上,

3m-1=-2加+4,

・•加=1,

：.P(2,2)；

(2)①不变.

过点P作PM±y轴于M,PN1.OA于N.

*

X

VZPMO=ZPNO=ZMON=90°,PM=PN=2,

四边形0MPN是正方形，

Z.ZMPN=900=AAPB,

：.ZMPB=ZNR4.

，ZMPB=ZNPA

在APMB和APNA中，，PM=PN，

ZPMB=ZPNA

:.丛PMB沿丛PNA(ASA),

：.BM=AN,

OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4,

②连接AB,

VZAOB=90°,

：.OA2+OB2=AB2,

VZBPA=90°,

：.AB2=PA1+PB~=2R42,

：.OA2+OB2=2B42,当以最小时，0/2+082也最小.

根据垂线段最短原理，H最小值为2,

...0/2+082的最小值为8.

【变式2-2】四边形/BCD若满足N/+/C=180°,则我们称该四边形为“对角互补四边形”.

(1)四边形/BCD为对角互补四边形，且N2：ZC：/。=2：3：4,则//的度数为

(2)如图1,四边形49C。为对角互补四边形，ZBAD=ZBCD=9Q°,AB=AD.

求证：NC平分乙BCD.

小云同学是这么做的：延长CO至M使得连可证明△/2C附△/£)跖得到是

等腰直角三角形，由此证明出NC平分/BCD,还可以知道C8、CD、C4三者关系为：；

(3)如图2,四边形4BCD为对角互补四边形，且满足N24D=60°,AB^AD,试证明：

①NC平分/BCD；

@CA^CB+CD-,

(4)如图3,四边形48CD为对角互补四边形，且满足N/8C=60°,AD=CD,贝UA4、BC、8。三者

关系为：•

【答案】(1)CD+BC=MAC；⑵CD+BC=42AC-,(3)①见解析；②见解析；(4)BC+AB=MBD.

【解答】解：(1)..•四边形/3CD为对角互补四边形，

AZB+ZD=180°,

VZB：ZC：Z£>=2：3：4,

/.Z5=180°XA=60°,

3

AZC=90°,

.•.N/=90°,

故答案为：90°；

(2)。；AABC/AADM,

J.AC^AM,BC=DM,

CM是等腰直角三角形，

：.CM=yf2AC,

"：CM=CD+DM,

：.CM=CD+BC=®AC,

故答案为：CD+BC=MAC；

(3)①延长CD至M,使。初=8。，连接

・・・四边形ABCD为对角互补四边形，

・・・N2+N4DC=180°,

・•・AADM=/B,

•；AB=AD,

:.LABC咨LADM(SAS)f

：.AC=AM,/BAC=/DAM,

VZBAD=60°,

：.ZCAM=60°,

•••△4CM是等边三角形，

AZACM=ZM=60°,

/ACB=NM,

：.ZACB=60°,

/ACB=/ACM,

・・・4C平分N5cA

®U：AC=CM,BC=DM,

：.CM=CD+DM=CD+BC,

:・AC=CD+BC；

(4)延长BC至河，使CM=4B,连接QM,

四边形ABCD为对角互补四边形，

AZA+ZBCD=ZBCD+ZDCM=1SO°,

・•・NA=/DCM,

•：AD=CD,

:•△ADB/ACDM(SAS),

:・BD=MD,NADB=NCDM,

VZABC=60°,

ZADC=120°,

AZBDM=120°,

:・/M=/DBM=32°,

过点D作DNLBM交于点N,

・・・N为创/的中点，

:・BM=2MN,

在RtZXDMW中，MN=^-DM=^-BD,

22

:.BM=MBD,

,:BM=BC+CM=BC+AB=MBD,

故答案为：BC+AB=«BD.

图3

图2

类型三：梯形中位线定理

【典例3】在梯形4BCD中，AB//CD,AC、AD相交于点。，若/C=5,BD=12,中位线长为23,AAOB

2

的面积为S1,△<%>£>的面积为S2,则历+圾=.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：悴BE/IAC,

,:AB〃CE,

：.CE=AB,

•••梯形中位线为6.5,

：.AB+CD=\?>,

:.DE=CE+CD=AB+CD=13,

,:BE=AC=5,BD=\2,由勾股定理的逆定理，

得△ADE为直角三角形，即/E3O=/COD=90°,

设SAEBD=S

则出：S=DO2：DB2

Si：S=OB2：BD2

•,・何+厄=立

；S=12X5X-l=30

2

二何+厄=倔・

故本题答案为：V30.

【变式3-1］如图，在梯形/BCD中，AB〃CD,点、E、尸分别是40、2c的中点，如果48=2,EF=3,那

【解答】解：在梯形/BCD中，AB〃CD,点、E、尸分别是N。、8c的中点，

...E尸是梯形ABCD的中位线，

：.EF=1.CAB+CD),

2

:.CD=2EF-AB=6-2=4.

故答案为：4.

【变式3-2］如图，Z)E是△/2C的中位线，〃是DE的中点，那么：皿1MH=

SAABC

【答案】见试题解答内容

【解答】解：连接设DN=X,

是△N8C的中位线，

:.DE=LBC,DE//BC,

2

又,：M是DE中点,

：.DM=1.DE,

2

:.DM=LBC,

4

又,：DM//BC,

J.DN-.BN=DM：BC,

：.DN：BN=1：4

.'.x：（x+」48）=1：4,

2

.'.AB=6x,

：.AN=2x,

S^DMN=-^S/\ADMJ

3

又,**S/\ADM=/\ADE；S/\ADE——S/\ABCy

24

••S/\DMN———*S*Ayi5C•

24

**•SADMN：S/\ABC=1：24.

血L.真题精练

1.如图，△4BC为等边三角形，以AB为边向形外作△/AD,使/402=120°,再以点C为旋转中心把

△C8D旋转到则下列结论：

①。、4、E三点共线；

②DC平分/BDA；

③NE=NBAC；

®DC=DB+DA.

其中正确的有（）

B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【解答】解：如图,

①设Nl=x度，则N2=(60-x)度，/DBC=(x+60)度，故N4=(x+60)度,

N2+N3+N4=60-x+60+x+60=180度,

：.D,A,E三点共线;

故①正确;

②；LBCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△/(?£,

：.CD=CE,ZDCE=60°,

；.△(?£)£为等边三角形,

—60°,

；./BDC=NE=60°,

：.ZCDA=nQ°-60°=60°,

：.DC平分/AD/；

故②正确;

③：/H4C=60°,

ZE=60°,

ZE=ZBAC.

故③正确;

④由旋转可知NE=8。,

又；NZ>/E=[80。,

：.DE^AE+AD.

•.•△CDE为等边三角形,

：.DC=DB+BA.故④正确；

故选：A.

2.如图，ZUBC为等边三角形，以48为边向△48C外侧作△48。，使得/4D8=120°,再以点C为旋

转中心把△CAD沿着顺时针旋转至△C4E,则下列结论：

①£）、/、£三点共线；②△（?/）£为等边三角形；③DC平分N8D4；®DC=DB+DA,其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【解答】解：•••△/8C为等边三角形，

：.N4BC=NB4C=NACB=60°,

VZADB=120°,

；./1+/2=60°,

,/点C为旋转中心把△CAD沿着顺时针旋转至

/.ZACB=60°,即旋转角等于60°,CD=CE,ZCAE=ZCBD=Z1+ZCBA=Z1+6O0,

VZCAE+ZBAC+Z2=Zl+60°+60°+Z2=180°,即ND/E=180°,

:.D、A,E三点共线，所以①正确；

VZDCE^ZACB^60°,CD=CE,

为等边三角形，所以②正确；

:△CDE为等边三角形，

.-.Z4=60°,

.,.Z3=60°,

；.DC平分/BDA,所以③正确；

为等边三角形，

：.CD=DE,

而点C为旋转中心把△C2D沿着顺时针旋转至△C4E,

:.AE=DB,

：.DE=DA+AE=DA+BD,

：.DC=DB+DA,所以④正确.

故选：A.

E

3.如图，正方形/SCO,点尸是对角线ZC上一点，连接BP,过P作。。交CD于0,连接80

交4。于G,若AP=如,0为CD中点，则下列结论:

®ZPBC=ZPQD；②BP=PQ：③/BPC=/BQC；④正方形45cZ）的面积是16；

C.2D.1

【答案】A

•・,四边形4BCZ）是正方形，

AZBCQ=90°,

•；PQ【PB,

：.ZBPQ=90°,

AZBPQ+ZBCQ=\SO°,

:・B、C、Q、尸四点共圆，

:・/PBC=/PQD,/BPC=/BQC,・••①正确；③正确；

过尸作尸MJ_4。于M,PEL4B于E,。于R则及尸、尸三点共线

・・•四边形是正方形,

:・AB=AD=DC=BC,NDAC=NBAC,ZDAB=90°,

AZMAE=ZPEA=ZPMA=90°,PM=PE,

・•・四边形AMPE是正方形，

：.AM=PM=PE=AE,

:AP=®

.•.在RtZUE尸中，由勾股定理得：AE2+PE2=(5/2)2,

解得：AE=AM=PE=PM=1,

设AB=BC=CD=AD=a,

则BE=PF=a-1,

VZBEP=ZPFQ=ZBPQ=90°,

/.ZBPE+ZEBP=90°,NEPB+NFPQ=9Q°,

ZEBP^ZFPQ,

fZEBP=ZFPQ

在△AEP和△尸尸。中，BE=PF，

ZBEP=ZPFQ

:.ABEPmAPFQ(ASA),

：.PE=FQ=\,BP=PQ,.•.②正确；

•\DQ=l+\=2,

•・•。为CD中点,

・・・OC=2Z)0=4,

・•・正方形/BCQ的面积是4X4=16,・••④正确；

故选：A.

4.如图，/MON=90°,矩形45CZ)的顶点4、5分别在。河、ON上,当点5在QN上移动时，点/随

之移动，AB=2,BC=1,运动过程中，点。到点O的最大距离为.

【解答】解：如图，取48的中点连接QD、OE、DE,

VZMON=90°,AB=2,

：.0E=4E=LB=1,

2

：BC=1,四边形48co是矩形，

：.AD=BC=1,

22

'-DE=,\/AD+AE=我'

根据三角形的三边关系，ODWOE+DE,

.•.当过点£时，等号成立，的值最大，最大值为J5+1.

故答案为：V2+1-

5.如图，在△NBC中，ZC=90°,AC=6,BC=3,点A、C分别在x轴、y轴上，当点N在x轴上运动

时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点2到原点的最大距离是.

冰B

qA'x

【答案】3+372.

【解答】解：如图，取CN的中点。，连接OD、BD,

则O£）=C£）=A/4C=AX6=3,

22=3

由勾股定理得，5£>=^3+3V2;

当。、D、8三点共线时点8到原点的距离最大,

所以，点3到原点的最大距离是3+36.

故答案为：3+3V2.

Ax

6.如图，Rd/03的两直角边。4,分别在x轴和y轴上，且点/,3的坐标分别是（3,0）和（0,4）,

点C是半圆ACB上任意一点，则点O,C的最大距离为.

【答案】5.

【解答】解：取48中点D连接OD,CD.

点。是RtAAOB斜边AB的中点，

/.0口号皿，AB2=OA2+OB2,

.".AB=5,

TAB是半圆ACB的直径，

ZACB=90°,

丁点。是RtZUCS斜边48的中点，

；•CD^^AB

当点O、D、C共线时，0c的值最大，OC的最大值为OC=OD+CO=5.

故答案为：5.

7.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形/8C的顶点月，8分别在x轴正半轴和y轴正半轴

上运动.

(1)当0B=l时，点C的坐标为；

【解答】解：(1)如图，如图，取的中点£,连接C£,OE,

y

VZAOB=90°，点E是43的中点，AB=2,

.\OE=BE=AE=\,Z0={研2_0^2=J4-]=«,

：,OB=OE=BE=\,

/\AOB是等边三角形，

：・NOBA=60°,

：.ZBAO=30°,

・・•△48。是等边三角形，

：.AB=AC=2,ZBAC=60°,

：.ZCAO=90°,

...点C坐标为(JE，2),

答案为：(我，2)；

(2)如图，是等边三角形，点E是43的中点，

:.CE1AB,

CE-{AC2-AE2='4-1=V3,

在△OEC中，OE+CE>OC,

当点E在。C上时，OC的最大值为1+我，

故答案为：1+百.

8.如图.△48C中，ZC=90°,AC=2,BC=\,顶点N、C分别在x轴、了轴的正半轴上滑动.

(1)AB=；

(2)若点。是ZC的中点.则点。在运动过程中经过的路径长为;

(3)点8到原点。的最大的距离是.

【答案】(1)通;

（2）―；

2

（3）V2+1.

【解答】解：（1）「△/BC中，ZC=90°,AC=2,BC=\,

AB=VAC2+BC2=^22+12=V5，

故答案为：Vs；

;点。是/c的中点.

:顶点/、C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，

...点。的运动轨迹是以。为圆心，半径为1的在第一象限的圆弧,

/.点D在运动过程中经过的路径长为9°兀*1工,

1802

故答案为：2L；

2

：.O,B,。三点共线时，02最大,

..1

•OD=CD=yXAC=r

BD=VBC24CD2=V12+12=V2，

.••OB=BD-H3D=V2+1；

故答案为：V2+1.

9.在学习三角形中位线定理时，小丽发现作以下辅助线能够证明三角形中位线定理.

已知：如图1,在△ABC中，点、D,E分别是边/C的中点，连接。£.

求证：DE//BC,

证明：(小丽的辅助线作法)延长DE到尸，使EF=DE,连接。C、AF、FC.-

(1)请在图1中画出小丽所说的辅助线，并补全三角形中位线定理的证明过程；

(2)三角形中位线定理应用：如图2,在梯形/BCD中，AD〃BC,点、E,尸分别是CD的中点,

则线段EF,3c之间的数量关系是.

图1图2

【答案】(1)证明见解析；(2)EF=L(AD+BC),理由见解析.

2

【解答】(1)证明：如图1,延长DE到尸，使EF=DE,连接。C、AF、FC,

是4C中点，

：.AE=EC,

四边形ADCF是平行四边形，

J.AD//CF,AD=CF,

•.•。是4D中点，

：.AD=BD,

：.BD=CF,

\'BD//CF,

...四边形DBCF是平行四边形，

J.DE//BC,DF=BC,

,:DE=LDF,

2

:.DE=LBC；

2

(2)解：如图2,线段EF,3c之间的数量关系：EF=\QAD+BC),理由如下:

2

连接AF并延长交BC延长线于G,

；AD〃BC,

：.ZD=ZFCG,ZDAF=ZG,

:尸是。C中点,

：.FD=FC,

:.△4DF妾AGCF(AAS),

：.AF=FG,AD=CG,

；E是AB中点，

；.EF是/XABG的中位线，

:.EF=LBG,

2

'：BG=BC+CG=BC+AD,

：.EF=1.(AD+BC).

2

故答案为：EF=1(AD+BC).

2

10.如图，正方形N8CZ)中，点£,/分别是边48,8C上的两个动点，且正方形N8CD的周长是△8EF

周长的2倍.连接。E,。下分别与对角线/C交于点M,N.

(1)若AE=2,CF=3,求跖的长；

(2)求证；ZEFN+ZEMN=1SO°；

(3)若典=2,BE=3,求EF的长.

【答案】(1)EF=5；

(2)证明见解析；

(3)E尸=2«.

【解答】解：(1):正方形/3CO的周长是ABE尸周长的2倍,

BE+BF+EF=AB+BC,

：.EF=AE+FC,

若4E=2,CF=3,

则跖=2+3=5；

（2）如图，在四的延长线上取点H,使得4H=CF,

在正方形ABCD中，AD=CD,NHAD=NFCD=90°,

'AD=CD

在△4HD和△CKD中，，ZHAD=ZFCD-

AH=CF

△AHD/ACFD(SAS),

Z.ZCDF=ZADH,HD=DF,ZH=ZDFC,

,;EF=AE+CF,

：.EF=AE+AH=EH,

'DH=DF

在△£＞四和△£＞£尸中，＜DE=DE

EH=EF

:ADEgADEF(SSS),

AHDE=AFDE,/H=/EFD,NHED=NFED,

:NCDF+/ADF=ZADH+ZADF=/HDF=9Q°,

ZEDF=ZHDE=45°,

•：NH=NDFC=NDFE,NEMN=NHED+/EAM=45°+ZDEF,

：.ZEFN+ZEMN=ZDFC+450+ZDEF=ZDFE+ZEDF+