轴对称中的最值模型问题（将军饮马）重难点题型专训（8大题型+29道拓展培优）（解析版）-2024-2025学年人教版八年级数学上册

轴对称中的最值模型问题（将军饮马等）

重难点题型专训（8大题型+29道拓展培优）

©题型目录

题型一将军饮马之线段和最值

题型二将军饮马之线段差最值

题型三将军饮马之两定一动最值

题型四三点共线最大值

题型五双对称关系求周长最小值

题型六两定两动型最值

题型七两动一定最值

题型八费马点最值问题

&知识梳理

将军饮马中最短路径问题四大模型

一两定点在直线的异侧

问题1作法图形原理

'A

A

连接与直线的交点两点之间，线段最短，此

.LAB,1------------E------------/

B

P即为所求。时PA+PB的和最小。

在直线1上找一点P,使得B

PA+PB的和最小。

二两定点在直线的同侧

问题2：将军饮马作法图形原理

4

.B作B关于直线1的对称点A化折为直；

B

----------------------------1

C,连AC,与直线1的交------/两点之间，线段最短，此

在直线1上找一点P,使得

点P即为所求。C时PA+PB的和AC最小。

PA+PB的和最小。

三两动点一定点问题

问题3：两个动点作法图形原理

4

/A

作P关于0A的对称PH/

2

o-------«点P1,作P关于0B两点之间，线段最短，此

的对称点P2,连接/3B时PC+PD+CD的和最小。

点P在锐角ZAOB的内部，在0A

P1P2o

边上找一点C,在0B0

边上找一点D,，使得

*P2

PC+PD+CD的和最小。

四造桥选址问题

问题4：造桥选址作法图形原理

A

Mm

A

将点A乡向下平移MN的

Mm两点之间，线段最短，此

n长度得A1，连&B,交n

NA；时AM+MN+BN的最小值为

B于点N,过N作NM_Lm

N\口AjB+MNo

直线m〃n,在m,n上分别于M。B

求点M、N,使MN_Lm,MN±

n,且AM+MN+BN的和最小。

注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练.

勾股定理公式：a2+b2=c2

箧经典例题

_。【经典例题一将军饮马之线段和最值】

【例1】如图，在中，AB=AC,分别以点48为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于

E、F,画直线£尸，。为2C的中点，刊为直线跖上任意一点，若8c=5,A4BC的面积为15,贝U2M+A®

【答案】B

【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，三线合一定理，两点之间

线段最短等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质.如图，连接㈤/,AD.利用三角形的面积公式求

出再根据两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可.

AD,BC,

S^ABC=5,BC.AD=15,BC=5,

由作图可知：斯垂直平分线段

：.MA=MB,

:.MB+MD=AM+MD>AD=6,

：.BM+DM的最小值为6,

故选：B.

X变式训练

1.如图，在RtZ\/3C中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=\Q,“。平分ZA4C,若P、0分别是4D

和/C上的动点，则PC+P。的最小值是（）

A.1.2B.2.4C.4.8D.9.6

【答案】C

【分析】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键.作点。关于血

的对称点E,连接则PE=P。，从而可得PC+PQ=PC+PE,先根据两点之间线段最短可得当

点C,P,E共线时，PC+PE的值最小，最小值为CE,再根据轴对称的性质可得点E在边48上，然后根据

垂线段最短可得当CE1/8时，CE的值最小，最后利用三角形的面积公式求解即可得.

【详解】解：如图，作点。关于期的对称点E,连接CE,尸E,

.-.PC+PQ=PC+PE,

由两点之间线段最短可知，当点CRE共线时，尸C+PE的值最小，最小值为CE,

•••3平分N8/C,

•••点E在边43上，

由垂线段最短可知，当CE1/2时，CE的值最小，

则此时SOM=，4氏。£=j/。2。，BP-xlOC£=-x6x8,

2222

解得CE=4.8,

即尸C+P。的最小值是4.8,

故选：c.

2.如图，在△Z8C中，AB=AC=\O,BC=12,AD=8,M是一历1C的角平分线，若E,尸分别是40

和/C上的动点，贝UEC+E尸的最小值是.

,林4▼48

【答案】y

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短，作产关

于M的对称点尸'，由对称性可知，点尸'在48上，当C尸」4B时-，EC+E尸的最小值为C尸'，再利用面积

法求出CF'的长即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解:作尸关于ND的对称点尸'，

•••必是/R4c的平分线，

*点尸'在48上,

•••EF=EF',

.•.当CF'_LAB时，EC+EF的最小值为CF',

AB=AC,4D是—A4C的平分线，

ADJ.BC,

.-.S,„=LBCXAD=LABXCF,

AABLR22

.-.12x8=10xCF,

.-.CF'=^,

48

.•・七。+斯的最小值为彳，

48

故答案为：—.

3.唐朝著名诗人李顽的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐

含着一个有趣的数学问题.如图1,诗中将士在观望烽火之后从山脚下的/点出发，走到河边饮马后再到8

点宿营.请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题.

B

B'

图I图3

(1)如图2,作点8关于直线/的对称点8',连接2二与直线/交于点C,点C就是所求的位置.

理由：如图3,在直线/上另取不同于点C的任一点C',连接NC',BC,B'C,

因为点8、3,关于直线/对称，点C、C'在直线/上,

所以C8=_,CB

所以4C+CB=4C+C8'=_,

在△4C时中,依据

可得AB'<4C'+C'3',

所以NC+C8</C'+C®,

即HC+CB最小.

(2)迁移应用：如图4,ZUBC是等边三角形，N是N3的中点，40是8C边上的中线，4D=6,M是40

上的一个动点，连接W、MN,则3M+MN的最小值是一

【答案】(1)见解析

(2)6

【分析】(1)根据轴对称的性质得到CB=CQ,C'B=C'B',然后利用三角形的任意两边之和大于第三边求

解即可；

(2)连接MC,NC,根据题意得到当点N,M,C三点共线时，2M+MV有最小值，即NC的长度，然后

根等边三角形的性质求解即可.

【详解】(1)解：理由：如图3,在直线/上另取不同于点C的任一点C',连接NC,B'C,

因为点8、3,关于直线/对称，点C、C'在直线/上，

所以C3=C3',CB=CB',

所以/C+CB=/C+C8'=/B',

在△/CW中，依据三角形的任意两边之和大于第三边

可得48'</C'+C'8',

所以4C+C3</U+C®,

即NC+CB最小.

故答案为：CB',CB',AB',三角形的任意两边之和大于第三边；

(2)解：如图所示，连接MC,NC,

・・・△4BC是等边三角形，40是2c边上的中线，

••.40垂直平分8C,

BM=CM,

：.BM+MN=CM+MN>NC,

二当点N,M,C三点共线时，5M+MN有最小值，即NC的长度，

•••40=6,N是的中点，△4BC是等边三角形，

NC=AD=6,

.•.8"+MN的最小值为6.

【点睛】本题主要考查的是轴对称图形的性质以及两点之间线段最短，三角形三边关系,等边三角形的性

质等知识，正确掌握两点之间，线段最短是解题的关键.

_。【经典例题二将军饮马之线段差最值】

【例2】如图，在△4BC中，AB=CB,AB=100°.延长线段8c至点。，使CD=BC,过点。作射线

DP，点£为射线。尸上的动点，分别过点A,。作直线EC的垂线放，DN.当的值最大

时，//CE的度数为.

【答案】130。/130度

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质.如图，过点3

作直线/于点证明=推出W与他重合时，的值最大，此时|NX-QN|=43,

画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果.

【详解】解：如图，过点8作3"直线/于点

•••。"，直线/,直线/,

ZDNC=ZBHC,

ZDCN=ZBCH,BC=CD,

:.ACDN知CBH（ASA）,

BH=DN,

：.\AM-DN\=\AM-BH\,

•.•力〃与奶重合时，MM-BW的值最大,

.,.当DN与QP重合，ZAf与重合时，叫叫的值

•/Z^BC=100°,

/.4cBM=180°-100°=80°,

vAMLCE,

/.ZAMC=90°f

Z5CM=90°-80°=10°,

又;AB=BC,

ZACB=(180°-100°)4-2=40°,

/ACE=180°-NACB-/BCM=180°-40°-10°=130°,

故答案为：130。.

「变式训练

1.如图，AB//DP,E为DP上一动点,23=C5=CZ),过A作/N1EC交直线EC于N,过。作DMJ.EC

交直线EC于点AT,若々=114。，当/N-DM的值最大时，则44CE=.

【分析】当DWr与DP重合，4N与重合时，MN-OM的值最大，此时MN-Z>M=48，画出相应的图形,

根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果.

【详解】解：当。M与。尸重合，/N与48重合时，⑷VRM的值最大，此时⑷

Pi

'A

£(A/)////

D

N

■■■AABC=1140,

.•ZCDE=18O°-114°=66°,

.­.zMCD=90°-66°=24°,

又・；AB=BC,

.-.AACB=(180°-114°)+2=33°,

山CE=180°ZC3-NDCM=180°-33°-24°=123°,

故答案为：123。.

【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画

出相应图形是解决问题的关键.

2.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点.已知△ZBC

的顶点均在格点上.

⑴画出格点三角形ABC关于直线DE对称的；

(2)AH8'C的面积是

(3)在直线上找出点P,使|P/-PC|最大，并求出最大值为一.(保留作图痕迹)

【答案】(1)见解析

⑵5

(3)见解析，回

【分析】本题考查作图-轴对称变换，线段最短，勾股定理;

(1)根据轴对称的性质作图即可.

(2)利用割补法求三角形的面积即可.

(3)延长ZC,交直线DE于点P,则点P即为所求.利用勾股定理求出/C的长，即可得出答案.

【详解】(1)解：如图所示，AHB'C'即为所求；

11133

(2)A/'8'C'的面积是一x(l+3)x4——x3xl——xlx3=8---------=5

2''2222

(3)如图所示，延长ZC,交直线QE于点P,

D

E

止匕时|P/-PC|=/C,为最大值，

则点尸即为所求.

由勾股定理得，AC=V32+l2=Vio>

二最大值为JiU.

故答案为：Vio.

3.如图，已知△ABC的三个顶点在格点上.

(1)画出△4月G，使它与△NBC关于直线"N对称;

⑵在直线MN上画出点。，使ZBDM=ZCDN.

(3)在直线上画出点尸，使|P4-PC|最大.

【答案】(1)见详解

(2)见详解

(3)见详解

【分析】(1)分别作点/、B、C关于直线MV的对称点4、用、G；顺次连接4、4、。所得的三角形

即为所求.

(2)连接3G交直线"N于点。即可作答；

(3)延长ZC交直线于点P即可作答；

【详解】(1)如图，

即用G为所求;

(2)如图，

证明：根据对称性可知ZC\DN=ZCDN,

根据对顶角相等可得：NCQN=NBDM,

即有=

(3)如图，

点尸即为所求.

证明：如图，当点尸在耳处时，根据三角形三边的关系可知：\PA-PC\<AC.

当点/、C、P在三点共线时，此时有：PA-PC=AC；

综上有：|PN-PC|W/C,当且仅当点/、C、尸在三点共线时取等号，

即点尸满足要求.

【点睛】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，对顶角相等，三角形三边的关系等知识，掌握轴对称

图形的性质，是解答本题的关键.

一。【经典例题三将军饮马之两定一动最值】

【例3】小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区/,3提供牛奶，要使4,2两小区到送奶站的距

离之和最小，则送奶站C的位置应该在（）.

居民区4/

B、〃居民区8

街^—

居民区3居民区/

二D.\号民区8

街道-

【答案】c

【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题.会作对称点

是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用.另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：

三角形的两边之和大于第三边.先作点A关于街道的对称点H,再根据三角形的两边之和大于第三边，得

出+再进行边的等量代换，即可作答.

【详解】解：如图：作点A关于街道的对称点连接力'3交街道所在直线于点C,

...A,C=AC,

・•.AC+BC=A'B,

在街道上任取除点。以外的一点C,连接HC,BC,AC,

/.AC'+BC'=AC+BC,

在△，（区中，两边之和大于第三边，

A'C'+BC'>AB,

/.AC+BC>AC+BC,

.••点。到两小区送奶站距离之和最小.

区变式训练

【变式4-1］（2023春•黑龙江齐齐哈尔・八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的4处牧马,

而他正位于他的小屋8的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事

情所走的最短路程是多少？

小河

北

牧童3

I

I十东

I

I

n

♦8小屋

【答案】17km

【分析】如图（见详解），将小河看成直线MM由题意先作/关于MN的对称点4,连接4B,构建直角三

角形，贝U4B就是最短路线；在中，AA'DB=90°,BD=8km,A'D=AD+A'A,利用勾股定理

即可求出4B.

【详解】如图，做出点/关于小河MN的对称点4,连接4B交血W于点尸，则4B就是牧童要完成这件事情

所走的最短路程长度.

由题意知：4。=4+4+7=15km,BD=8km,ND=90。,

在中，由勾股定理求得4B=>JA'D2+BD2=17km,

则他要完成这件事情所走的最短路程是17km.

【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键.

【变式4-2］（2023春•全国•八年级专题练习）如图，正A45C的边长为2,过点2的直线/L43,且A42C

与关于直线1对称，D为线段8C上一动点，则AD+CD的最小值是.

【答案】4

【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到乙45。=乙4/0=60。，A'B=AB=BC=2,证明△CAD三

BD,得到CD=4。，推出当A、D、4三点共线时，4D+CD最小，止匕时4D+CZ>=45+/5=4.

【详解】解：如图，连接4D,

・・,正A45C的边长为2,A45C与关于直线/对称，

：.^ABC=/,A'BC'=60°,AB=AB=BC=2,

.・ZCBC'=6。。,

:.乙CBC=LA'BC,

,：BD=BD,

:MBD合XNBD,

：.CD=A'D,

：-AD+CD=A'D+CD,

・•・当4、D、4三点共线时，4Q+CD最小,止匕时4D+CD=45+45=4,

故答案为：4.

【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确

掌握全等三角形的判定是解题的关键.

【变式4-3](2023•江苏•八年级假期作业)如图，在△4BC中，AB=AC.^BAC=120。,4B边的垂直平分线DE

交于点D,若力E=3,

⑴求BC的长;

(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为

【答案】⑴9

⑵9

【分析】(1)根据垂直平分线的性质可证△2BE为等腰三角形，由角度可证△2CE为30。直角三角形，再由

线段之间的关系即可求出BC的长；

(2)根据将军饮马原理即可得出P4+PC的最小值为BC的长度.

【详解】(1)解：•••4B=aC,ABAC=120°

=NC=1(180°-NB4C)=30°

••・4B边的垂直平分线交力B于点D,

；.BE=AE=3,

：.Z.BAE=2LB=30°

：./.CAE=ABAC-乙BAE=120°-30°=90°

在中，ZC=30°

・•.CE=2AE=6

：.BC=BE+CE=3+6=9

(2)解：如图，

取点4关于直线DE的对称点，即点B；连接B,C两点，与直线DE交于点P(E),

vPA=PB

・•.PA+PC=PB+PC

根据两点之间线段最短

则BC即为PA+PC的最小值，最小值为9

【点睛】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分

利用是解题关键.

_。【经典例题四三点共线最大值】

【例5】如图，在△回(?中，AB=AC,AC的垂直平分线交力C于点N,交4B于点跖AB=12cm,△BMC

的周长是20cm,若点P在直线MN上，贝iJPA—PB的最大值为.

A

【答案】8cm

【分析】根据垂直平分线的性质得到M4=MC,再利用三角形两边之差小于第三边解答即可.

【详解】解：；MN垂直平分4C,

•••MA=MC,

又,**C&BMC=BM+MC+BC-20cm,BM+MA—AB-12cm,

BC=20-12=8cm,

在MN上取点P,连接尸4、PB、PC,

•­•MN垂直平分AC,

PA=PC,

•••PA-PB=PC-PB,

^.APBC^PC-PB<BC,

当P、B、C共线时，即P运动到与P重合时，（PC—PB）有最大值，

止匕时PC—PB=BC=8cm.

故答案为：8cm.

【点睛】本题考查了线段之差的最大值，熟练运用三角形边角关系与垂直平分线的性质是解题的关键.

区变式训练

1.如图，AC,3。在的同侧，AC=2,BD=8,=10,M为48的中点，若/CW=120。，则CD

的最大值为（）

D

【答案】B

【分析】作点A关于CM的对称点H,点3关于的/的对称点?，连接C4'、MA'、MB'、A'B',B'D,由

对称的性质得=MB=MB',B'D=BD=8,A'C=AC=2,再由“有一个角为60。的等腰三角形是

等边三角形."可判定AHMB'为等边三角形，由等边三角形的性质得/'C+/2'+3'D=NC+/M+8D,由

CD<CA'+A'B'+B'D,即可求解.

【详解】解：如图，作点A关于。W的对称点H,点5关于ZMZ的对称点?，连接C4'、MA'、MB'、

B'D=BD=8,

A'C=AC=2,

■■M为4?的中点，

：.MA=MB,

：.MA'=MB',

■：ZCMD=\20°,

ZAMC+NDMB=60°,

NCMA'+NDMB'=60°,

:.ZA'MB'=n00-60°=60°,

为等边三角形，

:.A'B'=MA

=-AB=5,

2

A'C+A'B'+B'D

=AC+AM+BD

=2+5+8=15

■：CD<CA'+A'B'+B'D,

，8的最大值为15,

故选：B.

【点睛】本题考查了对称在几何变换中的应用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等，根据题

意构建等边三角形来转移线段是解题的关键.

2.如图，△4BC为等腰直角三角形，44cB=90。也在ZUBC的内部，ZACM=4ZBCM,尸为射线CM

上一点，当1力-28|最大时，/C3P的度数是.

【答案】117。/117度

【分析】作点/关于直线CM的对称点H,连接H8并延长交C"于点尸，交于点D,则点尸就是使

目的值最大的点，同=/方，连接©C,根据题意得出/BCN=18o,NNCM=72。，再由等角

的余角相等及三角形内角和定理求解即可.

【详解】解:如图，作点N关于直线CW的对称点H,连接H8并延长交CW于点尸，交48于点。，则点

P就是使|尸/-2目的值最大的点，-尸4=42,连接©C,

・・•△/8C为等腰直角三角形，

:./CAB=ZABC=45°,ZACB=90°,

•••/ACM=4/BCM

/BCM+/ACM=5ZBCM=90°,

ABCM=18。,/ACM=72°,

•：AC=AC,

:.AC=BC,NCA'A=NCAA'，

•・•ACAA!+zS4CM=180°-90°=90°，ZPCB+ZACM=90°

・•.NCAA'=ZPCB=18。=ZCArA,

.・.24G4'=180。一18。-18。=144°，

Z5C4r=144°-90°=54°,

•.•A'C=BC,

1800-54°

：.ACBA!=―—―=63°,

2

.•.ZCSP=180o-63o=117°,

故答案为：117。.

【点睛】题目主要考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及等角的余角相等，理解题

意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.

3.如图，方格图中每个小正方形的边长为1,点/、B、C、M、N都在格点上.

⑴画出关于直线对称的△44G.

⑵若以N点为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0,5）,则AABC关于x轴对称MB2c2，写出点4,G

的坐标.

⑶在直线AW上找点尸使|心-尸4|最大，在图形上画出点尸的位置，并直接写出|必-尸/|的最大值.

【答案】(1)见解析

⑵4(-5,-3),C2(-1,-2)

(3)画图见解析，3

【分析】(1)先画出A、B、c对应点4、4、G的位置，然后顺次连接4、耳、G即可；

(2)根据点B的坐标，建立坐标系，然后求出A、C的坐标，再根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐

标互为相反数进行求解即可；

(3)如图所示，连接《尸，BP,"，由轴对称的性质得到工尸=4尸，由三角形三边的关系可知，

PB-PAX<AXB,故当同、B、P三点共线，点尸与点耳重合时，依-尸4的值最大，最大为4凡据此求解

即可.

【详解】(1)解：如图所示，△44G即为所求；

(2)解：如图所示，建立平面直角坐标系，

点/的坐标为(-5,3)，点C的坐标为(-1，2),

•••LABC与“BS关于x轴对称，

...点4的坐标为(-5,-3)，点C2的坐标为(-1,-2)；

（3）解：如图所示，连接工尸，BP,A.P,

A与4关于直线MN对称，

AP=4P,

：.\PB-P^\=\PB-PA\,

由三角形三边的关系可知，PB-PA^A.B,

二当4、B、P三点共线，点尸与点［重合时，P2-P4的值最大，最大为4B,

••」网一/,最大小=3.

【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，坐标与图形变化——轴对称，写出坐标系中点的坐标，三角形三

边关系的应用等等，灵活运用所学知识是解题的关键.

_。【经典例题五双对称关系求周长最小值】

【例5】如图，在五边形ABCDE中，ZBAE=120°,ZB=ZE=90°,AB=BC,AE=DE,在BC、DE±

分别找到一点M、N,使得AMW的周长最小，则乙"W+//NM的度数为（）

C.120°D.130°

【答案】C

【分析】根据要使A/儿W的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，/关于和即

的对称点/,A',即可得出4'+Z/=NttM=60。，进而得出4ACV+N4Ml/=2（4'+Z/）即可得出答案.

【详解】解：作/关于8c和瓦）的对称点/,A',连接/,/,交BC千M,交即于N,则/即为

120°,

N/+4=NHAA'=60°,

*.*ZA'=ZMAA,//=ZNAE,

且乙4'+NM44'=ZAMN,Zjf+ANAE=ZANM,

/.//+NMA/+ZNAE+4=ZAMN+ZANM=2(4+4)=2x60。=120。，

故选：C.

【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识,

根据已知得出M,N的位置是解题关键.

X变式训练

1.如图，在四边形48co中，ZJ=NC=9O。，48=32。，在边5c上分别找一点E,尸使△DE尸的周

长最小，此时㈤)E=()

C.114°D.116°

【答案】D

【分析】如图，作点。关于A4的对称点P,点。关于BC的对称点0,连接尸0,交4B于E,交BC于

F',则点方,尸即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案.

【详解】解：如图，作点。关于A4的对称点尸，点。关于3c的对称点0,连接PQ,交4B于E',交BC

于尸，则点尸即为所求.

P、

O

,•,四边形/BCD中，ZJ=ZC=90°,48=32。，

山DC=180。-32°,

由轴对称知，4ADE'=KP,乙CDF'=KQ,

在△P。。中，"+40=180。-乙4。。

=180°-(180°-32°)

=32°,

；.4ADE'+乙CDF'=4尸+40=32°,

:/EDF=UDC-"DE=乙CDF)

=180°-32°-32°

=116°.

故选：D.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短线路问题求法以及四边形的内角和定理等

知识，根据已知得出£尸的位置是解题的关键.

2.如图，在△48C中，AB=AC=1Qcm,BC=9cm,48的垂直平分线交于点交AC于点、N,在

直线及W上存在一点P,使P、B、C三点构成的△心(7的周长最小，则△尸3C的周长最小值为.

【答案】19cm

【分析】如图所示，连接的，根据线段垂直平分线的性质得到=则当4P、C三点共线时，"+PC

有最小值，最小值为ZC的长，据此求解即可.

【详解】解：如图所示，连接⑷

•・•/3的垂直平分线交于点交NC于点N,点尸在直线上，

AP=BP,

.•.△尸3。的周长=尸2+尸。+8。=尸/+2。+8。，

.•・当融+PC最小时，尸3+PC最小，即此时△心（7的周长最小，

二当4P、C三点共线时，R4+PC有最小值，最小值为ZC的长，

；.4PBC的周长最小值=AC+BC=19cm,

故答案为：19cm.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键：线段垂直平

分线上的点到线段两端的距离相等.

3.在草原上有两条交叉且笔直的公路CM、OB,在两条公路之间的点尸处有一个草场，如图，

N/03=30。，。尸=6.5.现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N,若存在M、N使得APAW

【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题.作出轴对称图形，熟练掌握轴对称性质，等边三角形

的判定和性质，是解决问题的关键.

作点P关于直线。/的对称点C,作点P关于直线08的对称点。，连接CD,分别交。/、OB于M、N,得

至bPMN,其周长的最小值等于CD长，由轴对称性质证明OC=OD=6.5,ZCOD=60°,得到△COD是

等边三角形，即得8=6.5.

【详解】如图，作点尸关于直线。/的对称点C,作点P关于直线02的对称点。，连接。，分别交。/、

03于点M、N,

贝！1cM=PM,DN=PN,

：.xPMN的周长的最小值为PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD,

OC=OP=6.5,OD=OP=6.5,

OC=OD=6.5,

•••NAOC=NAOP,ZBOD=ZBOP,ZAOP+ZBOP=ZAOB=30°,

ZCOD=ZCOP+ZDOP=2(ZAOP+/BOP)=60°,

.•.△C。。是等边三角形，

CD=OC=6.5,

.•.△PAW的周长的最小值为6.5.

故答案为：6.5.

D

&【经典例题六两定两动型最值】

【例6】几何模型：条件：如图1,/、2是直线/同旁的两个定点.

问题：在直线/上确定一点P,使P2+PB的值最小.

解法：作点/关于直线/的对称点4,连接4B,贝U4B与直线/的交点即为P,且P4+PB的最小值为线段

4B的长.

BB

（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；

（2）应用：①如图2,已知乙4OB=30。，其内部有一点p,0P=12,在乙40B的两边分别有C、。两点（不

同于点0）,使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值；

②如图3,NAOB=20。，点M、N分别在边04、0B上,且。M=0N=2,点尸，。分别在。B、0A±,则

MP+PQ+QN的最小值是.

【答案】（1）见解析

⑵①⑵②2

【分析】（1）根据模型作出图形;

（2）①分别作P关于。4、0B的对称点M、N,连接MN,交。4、。8于C、D,则△PCD的周长最小，进而

根据轴对称的性质推出AMON为等边三角形，进一步得出结果；②作点M关于。B的对称点M一点N关于04

的对称点N，，连接MW，交。B于P,交。4于Q,连接PM、NQ,此时MP+PQ+QN的值最小，最小值为

进而推出△为等边三角形，进一步得出结果.

【详解】（1）解：如图1,

作法：（I）作P关于。4的对称点M,

(II)作点P关于。8的对称点N,

(III)连接MN,分别交。2于点C,交。B于。，

则△PCD的周长最小，

连接OM、ON,

•二点M和点P关于。4对称，

•••OM=OP=12,ZMOC=ZPOC,

同理可得，ON=OP=12,乙POD=LNOD,

：.OM=ON,

乙MOC+NPOC+乙POD+乙NOD=2乙POC+2乙POD=2gPOC+APOD)=2AAOB=60°,

・•.△MON为等边三角形，

：.MN=12,

PCD的周长=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；

②如图3,

作法：(I)作点M关于。B的对称点M一点N关于04的对称点N-

(II)连接MM交。B于P,交。4于Q,

(III)连接PM、NQ,

OM=OM'=2ON=ON'=2PM=PM'QN=QN',

MP+PQ+QN=PM'+PQ+QN'=M'N',

此时MP+PQ+QN的值最小，最小值为MM,

OM=OM',ON=ON',MM'1OB,NN'1OA,

AM'OB=AAOB=20°,4N'OA=AAOB=20°,

•••AM'ON'=60°,

・•.△MOM为等边三角形，

M'N'=OM'=2,即MP+PQ+QN的值最小为2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮

马”等模型.

X变式训练

1、如图，在四边形/BCD中，4BAD=4B=LD=90。,40=48=4,E是40中点，M是边2C上的一个动

点，N是边CD上的一个动点，则NM+MN+EN的最小值是.

【分析】作N点关于8c的对称点小，连接作E点关于DC的对称点©,连接©N,因此4M+MN+

EN=A1M+MN+E1N,所以最小值为心电，用勾股定理算出即可.

【详解】解：如图，作/点关于2c的对称点小，连接作E点关于DC的对称点出,连接©N,

SB=乙0=90。，点N和点出关于8C对称，点£和点©关于DC对称,

.-.AM=AIM,EN=EM

.-.AM+MN+EN=&M+MN+E1N>A1E1,

■.AM+MN+EN的最小值是&Ei,

"AD=AB=4,£是4D中点，

：.AB=A^B-4,ED=E1D=2,

：.AAx=8,AE^=6,

・"40=90°,

.-.AxE1=V62+82=10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了线段和的最值问题，勾股定理、轴对称性质，作出辅助线是本题的关键.

2、如图，在等边△ABC中，AC=12,4。是8C边上的中线，点尸是4。上一点，且4P=5.如果点M、N

分别是力B和力。上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为.

【答案】13

【分析】作点尸关于4B的对称点P,连接CP,交4D于点N，，交力B于点M，，连接PM,BN',连接力P,根

1

据等边三角形的性质得出4C=4B,Z.BAC=60°,根据三线合一得出4。1BC,^CAD=^BAD=-

X60°=30°,证明4D垂直平分8C,得出BN，=CN\根据轴对称的性质得出4P，=2P=5,PM'=P'M',

/-P'AB=/.DAB=30°,证明△ACP，为直角三角形，得出P£=，4P2+"2=13,根据「眩+M'N'+BN'=

P'M'+M'N'+CN'=P'C,由两点之间线段最短，得出当点M在此处，点N在N，处时，PM+MN+NB最小,

且最小值为P'C的长度，即最小值为5.

【详解】解：作点尸关于4B的对称点P,连接CP,交4D于点N"交48于点连接PM，，BN',连接4P,

如图所示：

・・•△48C为等边三角形，

:.AC=AB,NB4c=60。，

・MD是BC边上的中线，

1

:.AD1BC,/.CAD=^BAD=x60。=30°,

.•.4。垂直平分BC,

.-.BN'=CN',

•••点尸关于A8的对称点为P,

：.AP'=AP=5,PM'=P'M',/.P'AB=乙DAB=30°,

：.^P'AC=60°+30°=90°,

••.△ACP，为直角三角形，

2

■■P'C=VXP'2+AC=13,

.-.PM'+M'N'+BN'=P'M'+M'N'+CN'=P'C,

•••两点之间线段最短，

.•・当点〃在M处，点N在M处时，PM+MN+NB最小,且最小值为PC的长度，即最小值为5.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解题的

关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质.

一。【经典例题七两动一定最值】

【例7】如图，在锐角三角形/8C中，AB=6,△ABC的面积为18,BD平分4BC,若£、尸分别是8。、

BC上的动点，贝UCE+EF的最小值为.

【答案】6

【分析】过点C作CP1AB于点尸，交BD于点、E,过点E作EF1BC于尸，则CP即为CE+EF的最小值，再

根据三角形的面积公式求出CP的长，即为CE+EF的最小值.

【详解】解：过点C作CP1AB于点P,交BD于点、E,过点K作EF1BC于R

•••BD平分"BC,PE1AB,EF1BC,

：.PE=EF,

.-.CP=CE+PE=CE+EF的最小值.

•.•△力BC的面积为18,AB=6,

.■,­|x6xCP=18,

.'.CP——6.

即CE+EF的最小值为6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CE+EF的最小值为转化为CP,题目具有一定的代表

性，是一道比较好的题目.

区变式训练

1、如图所示，在等边△ABC中，点。、E、尸分别在边BC、AB,4c上，则线段DE+DF的最小值是（）

A

B.线段EF的长度

C.BC边的长度D.以上都不对

【答案】A

【分析】作AD1BC于点。，当DE14B、DF14C时，线段OE+DF有最小值，根据等边三角形的性质可得

DE+DF=AD,进而得结论.

【详解】解：如图，作2D18C于点。，当DE148、DF12C时，线段DE+DF有最小值,

.-.ABAC=60°,

•：AD1BC,

.-.^BAD=^CAD=30°,

：..DE=^AD,DF=^AD,

；.DE+DF=AD,

.••线段DE+DF的最小值是BC边上高的长.

故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质.

2、如图，在△ABC中，^ABC=90°,BC=8,AC=10,点尸、0分别是边BC、4C上的动点，则4P+PQ

的最小值等于（）

48

A.4C.5D.T

【答案】D

【分析】由勾股定理可得ZB=6,作N关于BC的对称点4,过点4作4Q14C,交2C于点Q,交BC于点P,

根据对称可得：AP+PQ=A'P+PQ>A'Q，得到当4,P,Q三点共线时，力P+PQ最小，再根据垂线段最短,

得到4Q14C时，4Q最小,据此求解即可.

【详解】解:在△ABC中，AABC=90°,BC=8,AC=10,

■■.AB=7AC2一BC2=6

作/关于BC的对称点4,过点4作4Q14C,交4C于点Q,交BC于点P,

■：AP+PQ=A'P+PQ>A'Q,

当4,P,Q三点共线时，AP+PQ最小,

・•・垂线段最短，

.♦.4Q1AC时，4Q最小，

连接4C,

关于BC对称,

：.A'B=AB=6,

.-.AA'=12,

■,■A'Q1AC,ABIBC

■■SAACA,=-BC=/c•A'Q,即：|xl2x8=|xl0x^Q