中考数学专项复习：几何最值问题4种类型（费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理）含答案及解析

几何最值问题4种类型

（费马点.胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理）

证明过程及结论

与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论

费马点

加权费马点常见题型解读（种）

几5

何

模型解读

最胡不归模型

值

问

两点在圆外

题©-

两点在圆内

4阿氏圆模型

当轨迹为直线时，运用"胡不归模型"求解

种求PA+kPB的最小值问题时------------------------------------------

类---------------------------当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型“求解

型

［条件】瓜豆原理运用满足的三个条件（"一定两动、定角、定比"）；

瓜豆原理结论证明

重难点题型突破

题型01费马点

【基础】费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点.

结论:

1）对于一个各角不超过120。的三角形，费马点是对各边的张角都是120。的点；对于

2）有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

（注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120。）

【解题思路】运用旋转的方法，以AABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短,

得出最短长度.

结论证明过程：

情况一：当^ABC各角不超过120°时，

将AAPB绕着点B逆时针旋转60°得到AAPB

贝IjAAPBVAA'P'B.•.BP=BP'AP=AP'/A'P'B=/APB

而/P，BP=60°贝以PZBP为等边三角形

；./BPP'=/P'BP=/BP'P=60°

VPA+PB+PC=P'A'+PP'+PCWA'C

...当/V、P\P、C四点共线时，PA+PB+PC的最小值为AC

此时NBPC=180°-NBPP'=120°

ZAPB=ZA,P,B=180°-/BP'P=120°

ZAPC=360°-ZAPB-ZBPC=120°

情况二（仅需理解）：当△ABC有一个内角不小于120°时，

延长BA至C'使得AC=AC,做/CAP，=NCAP,

并且使得AP=AP,PC'=PC,则△APCgAAPC

：/BAC》120°

/.ZPAP'=180°-ZBAP-ZC'AP'=180°-ZBAP-ZCAP=1800-/BACW

BC

60°

，等腰三角形PAP，中，APNPP，

PA+PB+PCPP'+PB+POBC^AB+AC（（只有当P、A重合时取等号））

所以，当有一内角大于或等于120。时，所求的P点就是钝角的顶点.

【费马点的作法】（当^ABC各角不超过120°）

作法：1）如图，分另（j以AABC中的AB、AC为边，作等边AADB、等边AAEC

2）连接CD、BE,则AADC经AABE（手拉手模型）

3）记CD、BE交点为P,点P为费马点.

4）以BC为边作等边ABCF,连接AF,必定经过点P,且BE=AF=CD.

【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论

如图所示，以边AB、AC分别向AABC外侧作等边三角形，连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点

图形结论

等腰三角形A①NAPB=NBPC=/APC=120°；

②4ABP与4ACP全等；

③4BCP为等腰三角形；

@AABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P

为费马点时和最小.

等边三角形①AP=BP=CP；

②NAPB=/BPC=/APC=120°；

③ZXABP、AACP>ZXBCP全等；

W④点P是垂心，是AABC各边的高线的交点；

⑤点P是4ABC各边的中线的交点；

⑥点P是内心，是在三角形三个内角的角平分线的

交点;

⑦4ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P

为费马点时和最小.

直角三角形①4ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P

为费马点时和最小；

②NAPB=/BPC=/APC=120°

【进阶】

加权费马点模型概述：前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是1,如果现在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1,那么此类题目就叫做“加权费马点”.

【关键】系数的改变只是影响了旋转角度的改变，依然考的是旋转.

已知：在RtZ\ABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,Z\ABC内部有一点P,连接PA,PB,PC

问题求解图形作法

求PA+PB+PC最D△CAP绕点C顺时针旋转60°得4CDE

小值BD长度即为所求，在RtABCD中有勾股定理可得

BD=VSC2+CD2=V61

B品C

求PA+PB+V2PC△CAP绕点C顺时针旋转90°得4CDE

最小值此时4PCE为等腰直角三角形，即PE=&PC

HlitM5^=PA+PB+V2PC=ED+PB+PE,则当B、P、E、D

四点共线时取得最小值，BD长度即为所求，在RtZiBFD

上C

B6605

八/3中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=V91

求PA+PB+V3PCE△CAP绕点C顺时针旋转120°得4CDE

最小值此时4PCE为等腰三角形且/PCE=120°,即

PE=V3PC,因止匕原式=PA+PB+WPC=ED+PB+PE,贝。当

B、P、E、D四点共线时取得最小值，BD长度即为所求，

22

F!在RtABFD中有勾股定理可得BD=VBF+FD=

760+30V3

求思路：原式=2(PA/PB+遮PC)

22

2PA+PB+V3PC

1)将PC边绕点C旋转60°,然后过点P作PFLCE于

最小值

点F,则PF=^PC;2)泗利用三角形中位线来处理；3)

PA前的系数是1,不需要转化，所以旋转△PCB.

过程：ABCP绕点C顺时针旋转60°得ACDE,然后过

D点P作PFLCE于点F,此时4PCE为等边三角形，即

PF=^PC,过点F作FG〃DE,贝|FG=|PB,则当A、P、

F、G四点共线时取得最小值，AG长度即为所求，在Rt

△ACG中有勾股定理可得AGf/CG+AC?=原式

=2(PA4PB+^PC)=2V34

22

求D过程：AACP绕点C顺时针旋转60°得△CDE,然后过

2PA+4PB+2V3PC点P作PFLCE于点F,此时4PCE为等边三角形，即

最小值PF=?PC,过点F作FG/7DE,则FG=jAP,则当B、P、

F、G四点共线时取得最小值，BG长度即为所求，在Rt

B玲C：△BCG中有勾股定理可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=4

(-PA+PB+^PC)=26

22

备注：若变形后的系数不是特殊值，则可借助位似的相关知识进行求解.

【费马点专项训练】

1.(2022•广东广州•统考一模)如图，在放A42C中，NA4C=90。，4B=/C,点尸是边上一动点，作PDL5C

于点。，线段4D上存在一点。，当。N+Q3+QC的值取得最小值，且/0=2时，则如=.

A

2.（2021・全国•九年级专题练习）如图，已知矩形4BCD,AB=4,2c=6,点M为矩形内一点，点E为2C

边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为.

3.（2021•辽宁丹东•统考中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如

果△A8C是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足N4PB=NBPC=NCP4=

120°.（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）.若AB=AC=由,BC=2遮,P为△ABC的费马

点，贝!|Pa+P8+PC=；若48=2b,BC=2,4。=4,P为△4BC的费马点，则24+PB+

PC=.

4.（2022下•福建三明•八年级统考期中）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮

耶•德・费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称

之为“费马点

如图，点P是△力BC内的一点，将△4PC绕点4逆时针旋转60。到△4P。，则可以构造出等边△2PP，，得AP=

PP',CP=CP',所以24+P8+PC的值转化为。。，+。3+「匕珀勺值，当B,P,P',C四点共线时，线段BC

的长为所求的最小值，即点P为△ABC的“费马点”.

（1）【拓展应用】

如图1,点P是等边△4BC内的一点，连接P4PB,PC,将△P4C绕点2逆时针旋转60。得到

A

①若pa=3,则点P与点P之间的距离是；

②当PH=3,PB=5,PC=4时，求乙的大小；

(2)如图2,点P是△HBC内的一点，且NBAC=90。，AB=6,AC=2后求P2+PB+PC的最小值.

5.(2023・湖北随州•统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条

直线上的三个点，，B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托

里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三

角形的某个顶点)

当△ABC的三个内角均小于120。时，

如图1,将△APC绕，点C顺时针旋转60。得到连接PP，，

由PC=P'C,NPCP，=60。，可知为三角形，故PP，=PC,又=故24+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由可知，当B,P,P',/在同一条直线上时，P2+PB+PC取最小值，如图2,最小值为48,此时

的P点为该三角形的“费马点”，且有N4PC=/-BPC=^APB=；

已知当△ABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若NB4C2120。,

则该三角形的“费马点”为点.

(2)如图4,在△力BC中，三个内角均小于120。，且力C=3,BC=4,乙4cB=30。，已知点尸为△4BC的“费

马点”，求P4+PB+PC的值；

(3)如图5,设村庄/,B,C的连线构成一个三角形，且已知4C=4km,BC=2V3km,zXCB=60°.现欲

建一中转站P沿直线向/，B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站尸到村庄4B,C的铺设成本分别为。

元/km,。元/km,&a元/km,选取合适的尸的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果用

含a的式子表示)

6.(2021上•江苏苏州•八年级苏州工业园区星湾学校校考期中)背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点

尸，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托

里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.如图1,当aaBC三个内角均小于120。时，费马点P在△ABC

内部，当N4PB=^APC=Z.CPB=120。时，则PA+PB+PC取得最小值.

(1)如图2,等边△4BC内有一点尸，若点尸到顶点/、B、C的距离分别为3,4,5,求N4PB的度数，为了

解决本题，我们可以将△4BP绕顶点/旋转到处，此时三aABP这样就可以利用旋转变换,

将三条线段P4PB、PC转化到一个三角形中，从而求出N4PB=；

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下

问题.

⑵如图3,△4BC三个内角均小于120°,在△ABC外侧作等边三角形△力BB，，连接CB',求证：CB'H^ABC

的费马点.

⑶如图4,在中，ZC=90°,AC=1,N4BC=30。，点尸为△ABC的费马点，连接AP、BP、CP,

求P4+PB+PC的值.

(4)如图5,在正方形ABCD中，点£为内部任意一点，连接4E1、BE、CE,且边长=2；求2E+BE+CE的

最小值.

7.(2022•山东德州•统考一模)若一个三角形的最大内角小于120。，则在其内部有一点所对三角形三边的张

角均为120。，此时该点叫做这个三角形的费马点.如图1,当人45。三个内角均小于120。时，费马点尸在

A/48c内部，止匕时N4PB=NBPC=NCP力=120。，P4+PB+PC的值最小.

⑴如图2,等边三角形ABC内有一点P,若点P到顶点/,B,C的距离分别为3,4,5,求N&PB的度数.为

了解决本题，小林利用“转化”思想，将A43尸绕顶点/旋转到△2CP，处，连接PP，，止匕时△2CP'三△A8P,

这样就可以通过旋转变换，将三条线段以，PB,尸C转化到一个三角形中，从而求出N4P8=.

(2)如图3,在图1的基础上延长AP,在射线AP上取点D,E,连接ND使4。=AP,^DAE=Z.PAC,

求证：BE=PA+PB+PC.

(3)如图4,在直角三角形4BC中，Z71BC=90。，乙4cB=30。，AB=1,点尸为直角三角形N2C的费马

点，连接AP,BP,CP,请直接写出24+PB+PC的值.

8.(2021•河南郑州•郑州外国语中学校考模拟预测)阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学

家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题.1643年，在一封写给意大利数学

家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆

利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点48,C,求平面上到这三个点的距离之和最短的点尸的位置.托

里拆利成功地解决了费马的问题.后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点HB,C距离之和最小的

点称为的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点.问题解决：

(1)费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法.如图1,我们可以将△8PC绕点8顺时针

旋转60。得到△8DE,连接PD,可得△8PD为等边三角形，故PD=PB,由旋转可得。£=PC,因

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由_可知，必+P8+PC的最小值与线段_的长度相等；

(2)如图2,在直角三角形/5C内部有一动点P,3C=90。,乙4c8=30。，连接以，PB,PC,若48=2,

求PA+PB+PC的最小值；

(3)如图3,菱形ABCD的边长为4,乙48c=60。，平面内有一动点E,在点£运动过程中，始终有N8EC=90。，

连接4B、DE,在“。£内部是否存在一点P,使得必+PD+PE最小，若存在，请直接写出刃+PD+PE的

最小值；若不存在，请说明理由.

9.(2020•江苏南通・南通市新桥中学校考一模)(1)【操作发现】

如图1,将A4SC绕点/顺时针旋转50。，得到A4DE,连接8。，则乙4AD=度.

(2)【解决问题】

①如图2,在边长为旧的等边三角形4BC内有一点尸，z_APC=90。，ZBPC=12O。，求A4PC的面积.

②如图3,在AIBC中，N/C8=90。，AC=BC,P是A42C内的一点，若尸3=1,我=3,4BPC=135。,

则PC=.

（3）【拓展应用】

如图4是4,B,C三个村子位置的平面图，经测量48=4,5C=3V2,乙18c=75。，尸为A48C内的一个

动点，连接a，PB,PC.求为+P5+PC的最小值.

【加权费马点专项训练】

1.（2021•全国•九年级专题练习）如图，在△2BC中，AACB=30°,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点尸,

连接24、PB、PC.（加权费马点）求：

(1)PA+PB+PC的最小值；

(2)P4+PB+&PC的最小值

(3)PA+PB+百PC的最小值；

(4)2PA+PB+百PC的最小值

(5)+P8PC的最小值；

(6)2P4+4PB+28PC的最小值

(7)4PA+2PB+28PC的最小值;

(8)3P4+4PB+5PC的最小值

题型02胡不归模型

【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家.小伙子

略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他所在求学的地方与家之间布满了砂石，但他

还是义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，

老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿着驿

道走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多远再

通过砂石区域回家呢？这就是流传千百年的“胡不归问题.

如图，A是出发点，B是目的地，直线m是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂石，为了选择合适的

路线，假设通过驿道速度为vl米/秒，通过砂石区域速度为v2米/秒（vl>v2）,小伙子需要在直线m上

选取一点C,再折往至B,求点C在何处时，用时最短（A-C-B）?

由题目可知A、B为定点，点C在直线m上运动，求tAC+tBC的最小值.

t总=tAC+tBC今+£三回+?。因为vl,V2为定值，所以只需求BC+yC的最小值即可，因此需

要在图中构造出长度为的替换线段.因为H>v2,所以设行sma,则在AC外侧作NCAM=a,过点C

作CEJ_AM,则翌=^=sina,所以CE="AC,原问题转化为工（BC+CE）的最小值，显然垂线段最短，即

AC%巧v2

【解题关键】在求形如“PA+KPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+KPB”

型问题转化为“PA+PC”型.（若k>1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）.

【胡不归模型专项训练】

1.（2023上•四川乐山・九年级统考期末）如图，在△ABC中，Z.BAC=90°,=60°,AB=4,若D是BC边

上的动点，则24。+。。的最小值是（）

,1

2.（2022•辽宁鞍山•统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-好+法+3的图像与x轴交于

/、C两点，与x轴交于点C（3,0）,若P是x轴上一动点，点。的坐标为（0,—1）,连接尸D,则/PD+PC的

A.4B.2+2V2C.2V2D.|+|A/2

3.（2022•内蒙古鄂尔多斯•统考中考真题）如图，在A48C中，AB=AC=4,NC48=30。，ADLBC,垂足为

D,尸为线段上的一动点，连接P8、PC.则为+2%的最小值为.

4.（2023・辽宁锦州•统考中考真题）如图，在RCBC中,/.ACB=90°,/.ABC=30°,AC=4,按下列步

骤作图：①在2C和上分另!］截取2D、AE,使4D=4E.②分别以点。和点£为圆心，以大于aDE的长为

半径作弧，两弧在ABAC内交于点③作射线AM交BC于点尸.若点尸是线段4F上的一个动点，连接CP,

则CP+32P的最小值是.

5.（2020•陕西•模拟预测）如图，四边形/BCD是菱形，AB=8,且zABC=60。，M为对角线AD（不含3

点）上任意一点，则审M的最小值为.

B匕1--------------fC

6.（2023•湖南湘西•统考中考真题）如图，。。是等边三角形力BC的外接圆，其半径为4.过点8作BE14C

于点E,点尸为线段BE上一动点（点尸不与8,£重合），贝iJCP+^BP的最小值为.

7.（2023下•全国•九年级专题练习）在平面直角坐标系，4（1,1）,直线1:y=,+l经过8（犯£）,点“在直

线/上运动，求+最小值.

8.（2022・四川成都・四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）抛物线y=a/+b久+百分别交x轴于点

4（1,0）,5（-3,0）,交p轴于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点。，点M为线段OC上的动点，点N为

（1）求抛物线的表达式;

(2)线段MMNC在数量上有何关系，请写出你的理由；

(3)在〃，N移动的过程中，DM+//C是否有最小值，如果有，请写出理由.

9.(2022下•重庆•八年级统考期末)已知，在正方形48co中，点、E,尸分别为/。上的两点，连接班、

CF,并延长交于点G,连接DG,H为CF上一点,,连接AW、DH,^GBH+AGED=90°

GGG

图1图2备用图

(1)如图1,若〃为CF的中点，且4F=2DF,DH=邛,求线段的长；

(2)如图2,若BH=BC,过点8作B/1于点/,求证：BI+^-DG=CG,

(3)如图2,在(1)的条件下，P为线段AD(包含端点/、D)上一动点，连接CP,过点2作BQ1CP于点

Q,将aBCQ沿2C翻折得△BCM,N为直线AB上一动点，连接MN,当48cM面积最大时，直接写出fzN+

MN的最小值.

10.(2021・四川绵阳•统考三模)如图，在平面直角坐标系中，直线＞=3+2与x轴交于点/,与y轴交于

点C.抛物线y=G?+6x+c的对称轴是x=—|且经过/、C两点，与x轴的另一交点为点民

(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；

(2)点P为线段48上的动点，求4P+2PC的最小值；

(3)抛物线上是否存在点跖过点M作垂直x轴于点N,使得以点N,M,N为顶点的三角形与A1BC相

似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

11.（2021•全国•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线"：y=今十8和直线办》=-信

（1）求AIBC的面积；

（2）点E坐标为（5,0）,点尸为直线〃上一个动点，点尸为y轴上一个动点，求当斯+C尸最小时，点尸

的坐标，并求出此时尸尸十尸的最小值.

12.（2019・四川绵阳•统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=a/（a>0）的图象向右平移1

个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点4B（点4在点B的左侧）,04=1,

经过点4的一次函数y=kx+b（k丰0）的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为。，ZUBD的

面积为5.

（1）求抛物线和一次函数的解析式；

（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ZL4CE面积的最大值，并求出此时点E的坐标;

⑶若点P为无轴上任意一点，在（2）的结论下，求+的最小值.

13.(2019・湖南张家界•统考中考真题)已知抛物线y=a/+bx+c(a40)过点4(1,0),B(3,0)两点，与y

轴交于点C,OC=3.

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

⑵过点/作2M1BC,垂足为求证：四边形NO8M为正方形；

⑶点P为抛物线在直线8c下方图形上的一动点，当4PBe面积最大时，求点P的坐标；

(4)若点。为线段OC上的一动点，问：4Q+?QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在,

请说明理由.

题型03阿氏圆模型

【模型由来】已知平面上两点A、B,则所有满足PA=k・PB(kWl)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最

先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”，又称阿波罗尼斯圆.

【模型解读1】如图1所示，。。的半径为r,点A、B都在。0外，P为。。上的动点，已知r=k・OB.连

接PA、PB,则当PA+kPB的值最小时，P点的位置如何确定？

图3

图1图2

思路：如图2,在线段OB上截取0C,使OC=k・r（即"=k=竺）且NBOP=NCOP,则可说明△BPO

OP0B

与△PCO相似，即普=k.故本题求PA+kPB的最小值可以转化为PA+PC的最小值，其中A与C为定点，P

为动点，故当A、P\C三点共线时，PA+kPB的最小值为线段AC的长.

具体步骤：

I：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；

2：计算连接线段OP、OB长度；

3：计算两线段长度的比值OP/OB="k"；

4：在OB上截取一点C,使得OC/OP=OP/OB构建母子型相似：

5：连接AC,与圆0交点为P,即AC线段长为PA+K*PB的最小值.

【模型解读2】如图点4,8在。。上，。41OB,OA=0B=12,点C是。4的中点，。在。B上，0D=10,

点尸是。。上一动点，则2PC+PD的最小值______,的最小值_______.

【详解】解：如图1,延长。/到E,使。连接PE、OP,

.OP_1OC_1.OP_OC_1

为。/中点,>•,--,••,

\'OA=OP,COE2OP2OEOP2

npAp1

：

VZCOP=ZPOEf:.AOCPsAOPE,.—OE=-PE=2

：.PE=2PC,・・・2PC+PD=PE+PE,即当£、P、。三点共线时，2PC+PD有最小值,

最小值为VCE2+。。2=V242+102=26；

如图2,延长03到尸，使OP号，连接尸尸、OP,

:。。=10,OP==OA=\2,

OFOP6

ZDOP=ZPOF,:AODPsAOPF,：.PF=^-PD,

OFPF65

...PC+：PD=PC+PF,即当C、P、尸三点共线时，PC+|PD有最小值,

最小值为VOC2+。尸2=付2+（与）=15.6.

A

【模型总结】

对于阿氏圆而言：当系数k<i的时候，一般情况下，考虑向内构造。

当系数k>i的时候，一般情况下，考虑向外构造。

【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解；

当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.

【阿氏圆模型专项训练】

I.（2021・全国•九年级专题练习）如图，在放入48。中，乙4cB=90。，CB=7,AC=9,以C为圆心、3为

半径作OC,尸为OC上一动点，连接4P、BP,则的最小值为（）

A

c.4+VToD.2V13

2.（2023•陕西咸阳•校考三模）如图，在菱形力BCD中，对角线力C、BD相交于点。，点£、尸分别是。OC

上的两个动点，且即=4,P是爵的中点，连接。P、PC、PD,若2C=12,BD=16,则PC+打。的最小

值为

3.（2022•四川泸州・四川省泸县第一中学校考一模）如图，AB为。。的直径，4B=2,点C与点。在4B的

同侧，S.AD1AB,BCLAB,AD=1,BC=3,点尸是。。上的一动点，则乎PD+PC的最小值为.

4.（2022上•浙江•九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，4（0,4）,B（4,0）,P是第一象限内一动

点，0P=2,连接4P、BP,贝UBP+^aP的最小值是.

5.（2020•江苏常州•统考一模）如图，在。。中，点/、点B在。。上，^AOB=90°,。4=6,点C在。4上,

且。C=24C,点D是。B的中点，点M是劣弧力B上的动点，贝+2DM的最小值为.

6.（2021・全国•九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为O。，P是O。上一动点，则企以

+PB的最小值为.

7.（2021・全国•九年级专题练习）如图，已知正方/BCD的边长为6,圆3的半径为3,点P是圆8上的一

个动点，则P。—的最大值为.

8.（2020•全国•九年级专题练习）如图，在△4BC中，乙B=90°,AB=CB=2,以点3为圆心作圆8与2C相

切，点尸为圆3上任一动点，贝UP4+孝PC的最小值是

9.（2018・甘肃天水•校联考一模）如图，已知正方形ABCD的边长为4,OB的半径为2,点P是OB上的

一个动点，则PD-|PC的最大值为.

【问题呈现】如图1,ZJ05=90°,OA=4,OB=5,点尸在半径为2的O。上，求［AP+8P的最小值.

【问题解决】小明是这样做的：如图2,在0/上取一点C使得OC=1,这样可得案=|=*，又因为

乙COPNPOA,所以可得所以生="=三，得CP=^ap所以工AP+BP=CP+BP.

APOA222

又因为CP+BP"8=43+的,所%4P+BP最小值为一.

【思路点拨】小明通过构造相似形(图3),将14P转化成CP再利用“两点之间线段“最短“求出CP+2P的

最小值.

【尝试应用】如图4,乙103=60。，OA=10,OB=9,点P是半径为6的。。上一动点，求4P+|BP的最小

值.

【能力提升】如图5,乙1BC=12O。，BA=BC=8,点。为平面内一点且3CD,连接/D,则A4AD面积

的最大值为一

11.(2022•广东惠州•统考一模)如图1,抛物线y=a/+bx—4与％轴交于2、8两点，与y轴交于点C,其

中点4的坐标为(-1,0),抛物线的对称轴是直线x=|.

图1图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形力BPC的面积为16,若存在，求出点P的

坐标若不存在，请说明理由；

(3)如图2,过点B作BF1BC交抛物线的对称轴于点F,以点C为圆心，2为半径作OC,点Q为。C上的一个

动点，求乎BQ+FQ的最小值.

12.(2021・全国•九年级专题练习)如图，RtAABC,乙4c3=90。，AC=BC=2,以C为顶点的正方形CDE尸

(C、D、E、尸四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C自由转动，且CD=&,连接/RBD

(1)求证：ABDCmLAFC

(2)当正方形COM有顶点在线段45上时，直接写出3。+争4。的值；

(3)直接写出正方形CDEF旋转过程中，3。+亨40的最小值.

13.(2017下•江苏盐城•九年级阶段练习)如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a丰0)与x轴交于点力(4,0),

与y轴交于点3,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点£作x轴的垂线交直线N8于点N,交抛物

线于点尸，过点P作尸ML48于点

(2)设△PMN的周长为G，A4EN的周长为。2,若急■求加的值.

(3)如图2,在(2)的条件下，将线段绕点。逆时针旋转得到。所，旋转角为a(0。<a<90°),连接E2、

E'B,求E'2的最小值.

14.(2021・全国•九年级专题练习)如图1,在RTA48c中，乙4cB=90。，C2=4,C4=6,圆C的半径为2,

点P为圆上一动点，连接/尸，BP,求:

①4P+|BP,

@2AP+BP,

@^AP+BP,

@AP+3BP的最小值.

15.（2021上•江苏宿迁•九年级校考期末）问题提出：如图①，在RtZsABC中，NC=90°,CB=4,C4=6,

OC的半径为2,P为圆上一动点，连接AP、BP,求4P+匏P的最小值.

（1）尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图①,连接CP,在CB上取一点D,使CD=1,

C=S=?又乙PCD=LBCP,所以△PCDYBCP.所暇若=1

所以PD=：PB,所以4P+^BP=4P+PD.

请你完成余下的思考，并直接写出答案：4P+?BP的最小值为.

（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求三4P+BP的最小值;

（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，乙COD=90°,0C=6,0A=3,OB=5,P是⑵上一点,

求2P2+PB的最小值.

16.（2019•山东•统考中考真题）如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A,

C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为B

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC

面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2,若P点是半径为2的OB上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+^PA的值

最小，请求出这个最小值，并说明理由.

题型04瓜豆原理

【模型介绍】在几何双动点问题中，当两个动点与定点满足一定条件时，这两动点的运动规律会出现“种

线得线、种圆得圆”的关联性，这种关联性，形象地用中国一句俗语“种瓜得瓜、种豆得豆”来形容，取

名为“瓜豆原理”.

【条件】瓜豆原理运用满足的三个条件（“一定两动、定角、定比”）；

①有一个定点、两个动点，且一个动点（从动点）因另一个动点（主动点）的运动而随之运动；

②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角；

③两个动点到定点的距离的比值是定值.

【模型一】如图，点0是定点，点A、B是动点，NAOB=a且詈=屋如果A点的运动轨迹是直线，那么

B点的运动轨迹也是直线.

证明过程：如下图，假设此时点A运动到点A，，点B运动到点B，,且满足/A，OB=a,^=fc

所以/AOA，=NBOB\—=—,=k因此△AOA's^BOB'.,./OAA，=/OBB1—,=k

OAOAAA

...点B在运动过程中，BB，与OB，的夹角始终保持不变，且夹角与/O