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文档简介
几何最值问题4种类型
(费马点.胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理)
证明过程及结论
与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论
费马点
加权费马点常见题型解读(种)
几5
何
模型解读
最胡不归模型
值
问
两点在圆外
题©-
两点在圆内
4阿氏圆模型
当轨迹为直线时,运用"胡不归模型"求解
种求PA+kPB的最小值问题时------------------------------------------
类---------------------------当轨迹为圆形时,运用“阿氏圆模型“求解
型
[条件】瓜豆原理运用满足的三个条件("一定两动、定角、定比");
瓜豆原理结论证明
重难点题型突破
题型01费马点
【基础】费马点概念:三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点,称为费马点.
结论:
1)对于一个各角不超过120。的三角形,费马点是对各边的张角都是120。的点;对于
2)有一个角超过120°的三角形,费马点就是这个内角的顶点.
(注意:通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120。)
【解题思路】运用旋转的方法,以AABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形,根据两点之间线段最短,
得出最短长度.
结论证明过程:
情况一:当^ABC各角不超过120°时,
将AAPB绕着点B逆时针旋转60°得到AAPB
贝IjAAPBVAA'P'B.•.BP=BP'AP=AP'/A'P'B=/APB
而/P,BP=60°贝以PZBP为等边三角形
;./BPP'=/P'BP=/BP'P=60°
VPA+PB+PC=P'A'+PP'+PCWA'C
...当/V、P\P、C四点共线时,PA+PB+PC的最小值为AC
此时NBPC=180°-NBPP'=120°
ZAPB=ZA,P,B=180°-/BP'P=120°
ZAPC=360°-ZAPB-ZBPC=120°
情况二(仅需理解):当△ABC有一个内角不小于120°时,
延长BA至C'使得AC=AC,做/CAP,=NCAP,
并且使得AP=AP,PC'=PC,则△APCgAAPC
:/BAC》120°
/.ZPAP'=180°-ZBAP-ZC'AP'=180°-ZBAP-ZCAP=1800-/BACW
BC
60°
,等腰三角形PAP,中,APNPP,
PA+PB+PCPP'+PB+POBC^AB+AC((只有当P、A重合时取等号))
所以,当有一内角大于或等于120。时,所求的P点就是钝角的顶点.
【费马点的作法】(当^ABC各角不超过120°)
作法:1)如图,分另(j以AABC中的AB、AC为边,作等边AADB、等边AAEC
2)连接CD、BE,则AADC经AABE(手拉手模型)
3)记CD、BE交点为P,点P为费马点.
4)以BC为边作等边ABCF,连接AF,必定经过点P,且BE=AF=CD.
【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论
如图所示,以边AB、AC分别向AABC外侧作等边三角形,连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点
图形结论
等腰三角形A①NAPB=NBPC=/APC=120°;
②4ABP与4ACP全等;
③4BCP为等腰三角形;
@AABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P
为费马点时和最小.
等边三角形①AP=BP=CP;
②NAPB=/BPC=/APC=120°;
③ZXABP、AACP>ZXBCP全等;
W④点P是垂心,是AABC各边的高线的交点;
⑤点P是4ABC各边的中线的交点;
⑥点P是内心,是在三角形三个内角的角平分线的
交点;
⑦4ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P
为费马点时和最小.
直角三角形①4ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P
为费马点时和最小;
②NAPB=/BPC=/APC=120°
【进阶】
加权费马点模型概述:前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是1,如果现在求
mPA+nPB+xPC最小值,前面系数不是1,那么此类题目就叫做“加权费马点”.
【关键】系数的改变只是影响了旋转角度的改变,依然考的是旋转.
已知:在RtZ\ABC中,ZACB=30°,BC=6,AC=5,Z\ABC内部有一点P,连接PA,PB,PC
问题求解图形作法
求PA+PB+PC最D△CAP绕点C顺时针旋转60°得4CDE
小值BD长度即为所求,在RtABCD中有勾股定理可得
BD=VSC2+CD2=V61
B品C
求PA+PB+V2PC△CAP绕点C顺时针旋转90°得4CDE
最小值此时4PCE为等腰直角三角形,即PE=&PC
HlitM5^=PA+PB+V2PC=ED+PB+PE,则当B、P、E、D
四点共线时取得最小值,BD长度即为所求,在RtZiBFD
上C
B6605
八/3中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=V91
求PA+PB+V3PCE△CAP绕点C顺时针旋转120°得4CDE
最小值此时4PCE为等腰三角形且/PCE=120°,即
PE=V3PC,因止匕原式=PA+PB+WPC=ED+PB+PE,贝。当
B、P、E、D四点共线时取得最小值,BD长度即为所求,
22
F!在RtABFD中有勾股定理可得BD=VBF+FD=
760+30V3
求思路:原式=2(PA/PB+遮PC)
22
2PA+PB+V3PC
1)将PC边绕点C旋转60°,然后过点P作PFLCE于
最小值
点F,则PF=^PC;2)泗利用三角形中位线来处理;3)
PA前的系数是1,不需要转化,所以旋转△PCB.
过程:ABCP绕点C顺时针旋转60°得ACDE,然后过
D点P作PFLCE于点F,此时4PCE为等边三角形,即
PF=^PC,过点F作FG〃DE,贝|FG=|PB,则当A、P、
F、G四点共线时取得最小值,AG长度即为所求,在Rt
△ACG中有勾股定理可得AGf/CG+AC?=原式
=2(PA4PB+^PC)=2V34
22
求D过程:AACP绕点C顺时针旋转60°得△CDE,然后过
2PA+4PB+2V3PC点P作PFLCE于点F,此时4PCE为等边三角形,即
最小值PF=?PC,过点F作FG/7DE,则FG=jAP,则当B、P、
F、G四点共线时取得最小值,BG长度即为所求,在Rt
B玲C:△BCG中有勾股定理可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=4
(-PA+PB+^PC)=26
22
备注:若变形后的系数不是特殊值,则可借助位似的相关知识进行求解.
【费马点专项训练】
1.(2022•广东广州•统考一模)如图,在放A42C中,NA4C=90。,4B=/C,点尸是边上一动点,作PDL5C
于点。,线段4D上存在一点。,当。N+Q3+QC的值取得最小值,且/0=2时,则如=.
A
2.(2021・全国•九年级专题练习)如图,已知矩形4BCD,AB=4,2c=6,点M为矩形内一点,点E为2C
边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为.
3.(2021•辽宁丹东•统考中考真题)已知:到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如
果△A8C是锐角(或直角)三角形,则其费马点P是三角形内一点,且满足N4PB=NBPC=NCP4=
120°.(例如:等边三角形的费马点是其三条高的交点).若AB=AC=由,BC=2遮,P为△ABC的费马
点,贝!|Pa+P8+PC=;若48=2b,BC=2,4。=4,P为△4BC的费马点,则24+PB+
PC=.
4.(2022下•福建三明•八年级统考期中)【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮
耶•德・费马,提出一个问题:求作三角形内的一个点,使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称
之为“费马点
如图,点P是△力BC内的一点,将△4PC绕点4逆时针旋转60。到△4P。,则可以构造出等边△2PP,,得AP=
PP',CP=CP',所以24+P8+PC的值转化为。。,+。3+「匕珀勺值,当B,P,P',C四点共线时,线段BC
的长为所求的最小值,即点P为△ABC的“费马点”.
(1)【拓展应用】
如图1,点P是等边△4BC内的一点,连接P4PB,PC,将△P4C绕点2逆时针旋转60。得到
A
①若pa=3,则点P与点P之间的距离是;
②当PH=3,PB=5,PC=4时,求乙的大小;
(2)如图2,点P是△HBC内的一点,且NBAC=90。,AB=6,AC=2后求P2+PB+PC的最小值.
5.(2023・湖北随州•统考中考真题)1643年,法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题:给定不在同一条
直线上的三个点,,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置,意大利数学家和物理学家托
里拆利给出了分析和证明,该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”,该问题也被称为“将军巡营”问题.
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程:(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,
②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空,③处填写角度数,④处填写该三
角形的某个顶点)
当△ABC的三个内角均小于120。时,
如图1,将△APC绕,点C顺时针旋转60。得到连接PP,,
由PC=P'C,NPCP,=60。,可知为三角形,故PP,=PC,又=故24+PB+PC=
PA'+PB+PP'>A'B,
由可知,当B,P,P',/在同一条直线上时,P2+PB+PC取最小值,如图2,最小值为48,此时
的P点为该三角形的“费马点”,且有N4PC=/-BPC=^APB=;
已知当△ABC有一个内角大于或等于120。时,“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若NB4C2120。,
则该三角形的“费马点”为点.
(2)如图4,在△力BC中,三个内角均小于120。,且力C=3,BC=4,乙4cB=30。,已知点尸为△4BC的“费
马点”,求P4+PB+PC的值;
(3)如图5,设村庄/,B,C的连线构成一个三角形,且已知4C=4km,BC=2V3km,zXCB=60°.现欲
建一中转站P沿直线向/,B,C三个村庄铺设电缆,已知由中转站尸到村庄4B,C的铺设成本分别为。
元/km,。元/km,&a元/km,选取合适的尸的位置,可以使总的铺设成本最低为元.(结果用
含a的式子表示)
6.(2021上•江苏苏州•八年级苏州工业园区星湾学校校考期中)背景资料:在已知△ABC所在平面上求一点
尸,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托
里拆利提出的,所求的点被人们称为“费马点”.如图1,当aaBC三个内角均小于120。时,费马点P在△ABC
内部,当N4PB=^APC=Z.CPB=120。时,则PA+PB+PC取得最小值.
(1)如图2,等边△4BC内有一点尸,若点尸到顶点/、B、C的距离分别为3,4,5,求N4PB的度数,为了
解决本题,我们可以将△4BP绕顶点/旋转到处,此时三aABP这样就可以利用旋转变换,
将三条线段P4PB、PC转化到一个三角形中,从而求出N4PB=;
知识生成:怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢?为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三
角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点,则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下
问题.
⑵如图3,△4BC三个内角均小于120°,在△ABC外侧作等边三角形△力BB,,连接CB',求证:CB'H^ABC
的费马点.
⑶如图4,在中,ZC=90°,AC=1,N4BC=30。,点尸为△ABC的费马点,连接AP、BP、CP,
求P4+PB+PC的值.
(4)如图5,在正方形ABCD中,点£为内部任意一点,连接4E1、BE、CE,且边长=2;求2E+BE+CE的
最小值.
7.(2022•山东德州•统考一模)若一个三角形的最大内角小于120。,则在其内部有一点所对三角形三边的张
角均为120。,此时该点叫做这个三角形的费马点.如图1,当人45。三个内角均小于120。时,费马点尸在
A/48c内部,止匕时N4PB=NBPC=NCP力=120。,P4+PB+PC的值最小.
⑴如图2,等边三角形ABC内有一点P,若点P到顶点/,B,C的距离分别为3,4,5,求N&PB的度数.为
了解决本题,小林利用“转化”思想,将A43尸绕顶点/旋转到△2CP,处,连接PP,,止匕时△2CP'三△A8P,
这样就可以通过旋转变换,将三条线段以,PB,尸C转化到一个三角形中,从而求出N4P8=.
(2)如图3,在图1的基础上延长AP,在射线AP上取点D,E,连接ND使4。=AP,^DAE=Z.PAC,
求证:BE=PA+PB+PC.
(3)如图4,在直角三角形4BC中,Z71BC=90。,乙4cB=30。,AB=1,点尸为直角三角形N2C的费马
点,连接AP,BP,CP,请直接写出24+PB+PC的值.
8.(2021•河南郑州•郑州外国语中学校考模拟预测)阅读材料:平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学
家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题.1643年,在一封写给意大利数学
家和物理学家托里拆利的私人信件中,费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题,请求托里拆
利帮忙解答:给定不在一条直线上的三个点48,C,求平面上到这三个点的距离之和最短的点尸的位置.托
里拆利成功地解决了费马的问题.后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点HB,C距离之和最小的
点称为的费马-托里拆利点,也简称为费马点或托里拆利点.问题解决:
(1)费马问题有多种不同的解法,最简单快捷的还是几何解法.如图1,我们可以将△8PC绕点8顺时针
旋转60。得到△8DE,连接PD,可得△8PD为等边三角形,故PD=PB,由旋转可得。£=PC,因
PA+PB+PC=PA+PD+DE,由_可知,必+P8+PC的最小值与线段_的长度相等;
(2)如图2,在直角三角形/5C内部有一动点P,3C=90。,乙4c8=30。,连接以,PB,PC,若48=2,
求PA+PB+PC的最小值;
(3)如图3,菱形ABCD的边长为4,乙48c=60。,平面内有一动点E,在点£运动过程中,始终有N8EC=90。,
连接4B、DE,在“。£内部是否存在一点P,使得必+PD+PE最小,若存在,请直接写出刃+PD+PE的
最小值;若不存在,请说明理由.
9.(2020•江苏南通・南通市新桥中学校考一模)(1)【操作发现】
如图1,将A4SC绕点/顺时针旋转50。,得到A4DE,连接8。,则乙4AD=度.
(2)【解决问题】
①如图2,在边长为旧的等边三角形4BC内有一点尸,z_APC=90。,ZBPC=12O。,求A4PC的面积.
②如图3,在AIBC中,N/C8=90。,AC=BC,P是A42C内的一点,若尸3=1,我=3,4BPC=135。,
则PC=.
(3)【拓展应用】
如图4是4,B,C三个村子位置的平面图,经测量48=4,5C=3V2,乙18c=75。,尸为A48C内的一个
动点,连接a,PB,PC.求为+P5+PC的最小值.
【加权费马点专项训练】
1.(2021•全国•九年级专题练习)如图,在△2BC中,AACB=30°,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点尸,
连接24、PB、PC.(加权费马点)求:
(1)PA+PB+PC的最小值;
(2)P4+PB+&PC的最小值
(3)PA+PB+百PC的最小值;
(4)2PA+PB+百PC的最小值
(5)+P8PC的最小值;
(6)2P4+4PB+28PC的最小值
(7)4PA+2PB+28PC的最小值;
(8)3P4+4PB+5PC的最小值
题型02胡不归模型
【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即决定回家.小伙子
略懂数学常识,考虑到“两点之间线段最短”的知识,虽然他所在求学的地方与家之间布满了砂石,但他
还是义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,
老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?…”之后的岁月,小伙子不断的反思:如果我当时先沿着驿
道走一段距离,再通过砂石区域回家,是否能见到父亲最后一面呢?如果可以,他应该沿着驿道走多远再
通过砂石区域回家呢?这就是流传千百年的“胡不归问题.
如图,A是出发点,B是目的地,直线m是一条驿道,而驿道靠目的地一侧全是砂石,为了选择合适的
路线,假设通过驿道速度为vl米/秒,通过砂石区域速度为v2米/秒(vl>v2),小伙子需要在直线m上
选取一点C,再折往至B,求点C在何处时,用时最短(A-C-B)?
由题目可知A、B为定点,点C在直线m上运动,求tAC+tBC的最小值.
t总=tAC+tBC今+£三回+?。因为vl,V2为定值,所以只需求BC+yC的最小值即可,因此需
要在图中构造出长度为的替换线段.因为H>v2,所以设行sma,则在AC外侧作NCAM=a,过点C
作CEJ_AM,则翌=^=sina,所以CE="AC,原问题转化为工(BC+CE)的最小值,显然垂线段最短,即
AC%巧v2
【解题关键】在求形如“PA+KPB”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将“PA+KPB”
型问题转化为“PA+PC”型.(若k>1,则提取系数,转化为小于1的形式解决即可).
【胡不归模型专项训练】
1.(2023上•四川乐山・九年级统考期末)如图,在△ABC中,Z.BAC=90°,=60°,AB=4,若D是BC边
上的动点,则24。+。。的最小值是()
,1
2.(2022•辽宁鞍山•统考二模)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-好+法+3的图像与x轴交于
/、C两点,与x轴交于点C(3,0),若P是x轴上一动点,点。的坐标为(0,—1),连接尸D,则/PD+PC的
A.4B.2+2V2C.2V2D.|+|A/2
3.(2022•内蒙古鄂尔多斯•统考中考真题)如图,在A48C中,AB=AC=4,NC48=30。,ADLBC,垂足为
D,尸为线段上的一动点,连接P8、PC.则为+2%的最小值为.
4.(2023・辽宁锦州•统考中考真题)如图,在RCBC中,/.ACB=90°,/.ABC=30°,AC=4,按下列步
骤作图:①在2C和上分另!]截取2D、AE,使4D=4E.②分别以点。和点£为圆心,以大于aDE的长为
半径作弧,两弧在ABAC内交于点③作射线AM交BC于点尸.若点尸是线段4F上的一个动点,连接CP,
则CP+32P的最小值是.
5.(2020•陕西•模拟预测)如图,四边形/BCD是菱形,AB=8,且zABC=60。,M为对角线AD(不含3
点)上任意一点,则审M的最小值为.
B匕1--------------fC
6.(2023•湖南湘西•统考中考真题)如图,。。是等边三角形力BC的外接圆,其半径为4.过点8作BE14C
于点E,点尸为线段BE上一动点(点尸不与8,£重合),贝iJCP+^BP的最小值为.
7.(2023下•全国•九年级专题练习)在平面直角坐标系,4(1,1),直线1:y=,+l经过8(犯£),点“在直
线/上运动,求+最小值.
8.(2022・四川成都・四川省成都市七中育才学校校考模拟预测)抛物线y=a/+b久+百分别交x轴于点
4(1,0),5(-3,0),交p轴于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点。,点M为线段OC上的动点,点N为
(1)求抛物线的表达式;
(2)线段MMNC在数量上有何关系,请写出你的理由;
(3)在〃,N移动的过程中,DM+//C是否有最小值,如果有,请写出理由.
9.(2022下•重庆•八年级统考期末)已知,在正方形48co中,点、E,尸分别为/。上的两点,连接班、
CF,并延长交于点G,连接DG,H为CF上一点,,连接AW、DH,^GBH+AGED=90°
GGG
图1图2备用图
(1)如图1,若〃为CF的中点,且4F=2DF,DH=邛,求线段的长;
(2)如图2,若BH=BC,过点8作B/1于点/,求证:BI+^-DG=CG,
(3)如图2,在(1)的条件下,P为线段AD(包含端点/、D)上一动点,连接CP,过点2作BQ1CP于点
Q,将aBCQ沿2C翻折得△BCM,N为直线AB上一动点,连接MN,当48cM面积最大时,直接写出fzN+
MN的最小值.
10.(2021・四川绵阳•统考三模)如图,在平面直角坐标系中,直线>=3+2与x轴交于点/,与y轴交于
点C.抛物线y=G?+6x+c的对称轴是x=—|且经过/、C两点,与x轴的另一交点为点民
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;
(2)点P为线段48上的动点,求4P+2PC的最小值;
(3)抛物线上是否存在点跖过点M作垂直x轴于点N,使得以点N,M,N为顶点的三角形与A1BC相
似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
11.(2021•全国•九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,直线":y=今十8和直线办》=-信
(1)求AIBC的面积;
(2)点E坐标为(5,0),点尸为直线〃上一个动点,点尸为y轴上一个动点,求当斯+C尸最小时,点尸
的坐标,并求出此时尸尸十尸的最小值.
12.(2019・四川绵阳•统考中考真题)在平面直角坐标系中,将二次函数y=a/(a>0)的图象向右平移1
个单位,再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与x轴交于点4B(点4在点B的左侧),04=1,
经过点4的一次函数y=kx+b(k丰0)的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为。,ZUBD的
面积为5.
(1)求抛物线和一次函数的解析式;
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方,求ZL4CE面积的最大值,并求出此时点E的坐标;
⑶若点P为无轴上任意一点,在(2)的结论下,求+的最小值.
13.(2019・湖南张家界•统考中考真题)已知抛物线y=a/+bx+c(a40)过点4(1,0),B(3,0)两点,与y
轴交于点C,OC=3.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
⑵过点/作2M1BC,垂足为求证:四边形NO8M为正方形;
⑶点P为抛物线在直线8c下方图形上的一动点,当4PBe面积最大时,求点P的坐标;
(4)若点。为线段OC上的一动点,问:4Q+?QC是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,
请说明理由.
题型03阿氏圆模型
【模型由来】已知平面上两点A、B,则所有满足PA=k・PB(kWl)的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最
先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”,又称阿波罗尼斯圆.
【模型解读1】如图1所示,。。的半径为r,点A、B都在。0外,P为。。上的动点,已知r=k・OB.连
接PA、PB,则当PA+kPB的值最小时,P点的位置如何确定?
图3
图1图2
思路:如图2,在线段OB上截取0C,使OC=k・r(即"=k=竺)且NBOP=NCOP,则可说明△BPO
OP0B
与△PCO相似,即普=k.故本题求PA+kPB的最小值可以转化为PA+PC的最小值,其中A与C为定点,P
为动点,故当A、P\C三点共线时,PA+kPB的最小值为线段AC的长.
具体步骤:
I:连接动点至圆心0(将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接),即连接OP、OB;
2:计算连接线段OP、OB长度;
3:计算两线段长度的比值OP/OB="k";
4:在OB上截取一点C,使得OC/OP=OP/OB构建母子型相似:
5:连接AC,与圆0交点为P,即AC线段长为PA+K*PB的最小值.
【模型解读2】如图点4,8在。。上,。41OB,OA=0B=12,点C是。4的中点,。在。B上,0D=10,
点尸是。。上一动点,则2PC+PD的最小值______,的最小值_______.
【详解】解:如图1,延长。/到E,使。连接PE、OP,
.OP_1OC_1.OP_OC_1
为。/中点,>•,--,••,
\'OA=OP,COE2OP2OEOP2
npAp1
:
VZCOP=ZPOEf:.AOCPsAOPE,.—OE=-PE=2
:.PE=2PC,・・・2PC+PD=PE+PE,即当£、P、。三点共线时,2PC+PD有最小值,
最小值为VCE2+。。2=V242+102=26;
如图2,延长03到尸,使OP号,连接尸尸、OP,
:。。=10,OP==OA=\2,
OFOP6
ZDOP=ZPOF,:AODPsAOPF,:.PF=^-PD,
OFPF65
...PC+:PD=PC+PF,即当C、P、尸三点共线时,PC+|PD有最小值,
最小值为VOC2+。尸2=付2+(与)=15.6.
A
【模型总结】
对于阿氏圆而言:当系数k<i的时候,一般情况下,考虑向内构造。
当系数k>i的时候,一般情况下,考虑向外构造。
【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时,当轨迹为直线时,运用“胡不归模型”求解;
当轨迹为圆形时,运用“阿氏圆模型”求解.
【阿氏圆模型专项训练】
I.(2021・全国•九年级专题练习)如图,在放入48。中,乙4cB=90。,CB=7,AC=9,以C为圆心、3为
半径作OC,尸为OC上一动点,连接4P、BP,则的最小值为()
A
c.4+VToD.2V13
2.(2023•陕西咸阳•校考三模)如图,在菱形力BCD中,对角线力C、BD相交于点。,点£、尸分别是。OC
上的两个动点,且即=4,P是爵的中点,连接。P、PC、PD,若2C=12,BD=16,则PC+打。的最小
值为
3.(2022•四川泸州・四川省泸县第一中学校考一模)如图,AB为。。的直径,4B=2,点C与点。在4B的
同侧,S.AD1AB,BCLAB,AD=1,BC=3,点尸是。。上的一动点,则乎PD+PC的最小值为.
4.(2022上•浙江•九年级专题练习)如图所示的平面直角坐标系中,4(0,4),B(4,0),P是第一象限内一动
点,0P=2,连接4P、BP,贝UBP+^aP的最小值是.
5.(2020•江苏常州•统考一模)如图,在。。中,点/、点B在。。上,^AOB=90°,。4=6,点C在。4上,
且。C=24C,点D是。B的中点,点M是劣弧力B上的动点,贝+2DM的最小值为.
6.(2021・全国•九年级专题练习)如图,边长为4的正方形,内切圆记为O。,P是O。上一动点,则企以
+PB的最小值为.
7.(2021・全国•九年级专题练习)如图,已知正方/BCD的边长为6,圆3的半径为3,点P是圆8上的一
个动点,则P。—的最大值为.
8.(2020•全国•九年级专题练习)如图,在△4BC中,乙B=90°,AB=CB=2,以点3为圆心作圆8与2C相
切,点尸为圆3上任一动点,贝UP4+孝PC的最小值是
9.(2018・甘肃天水•校联考一模)如图,已知正方形ABCD的边长为4,OB的半径为2,点P是OB上的
一个动点,则PD-|PC的最大值为.
【问题呈现】如图1,ZJ05=90°,OA=4,OB=5,点尸在半径为2的O。上,求[AP+8P的最小值.
【问题解决】小明是这样做的:如图2,在0/上取一点C使得OC=1,这样可得案=|=*,又因为
乙COPNPOA,所以可得所以生="=三,得CP=^ap所以工AP+BP=CP+BP.
APOA222
又因为CP+BP"8=43+的,所%4P+BP最小值为一.
【思路点拨】小明通过构造相似形(图3),将14P转化成CP再利用“两点之间线段“最短“求出CP+2P的
最小值.
【尝试应用】如图4,乙103=60。,OA=10,OB=9,点P是半径为6的。。上一动点,求4P+|BP的最小
值.
【能力提升】如图5,乙1BC=12O。,BA=BC=8,点。为平面内一点且3CD,连接/D,则A4AD面积
的最大值为一
11.(2022•广东惠州•统考一模)如图1,抛物线y=a/+bx—4与%轴交于2、8两点,与y轴交于点C,其
中点4的坐标为(-1,0),抛物线的对称轴是直线x=|.
图1图2
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点,是否存在点P使四边形力BPC的面积为16,若存在,求出点P的
坐标若不存在,请说明理由;
(3)如图2,过点B作BF1BC交抛物线的对称轴于点F,以点C为圆心,2为半径作OC,点Q为。C上的一个
动点,求乎BQ+FQ的最小值.
12.(2021・全国•九年级专题练习)如图,RtAABC,乙4c3=90。,AC=BC=2,以C为顶点的正方形CDE尸
(C、D、E、尸四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C自由转动,且CD=&,连接/RBD
(1)求证:ABDCmLAFC
(2)当正方形COM有顶点在线段45上时,直接写出3。+争4。的值;
(3)直接写出正方形CDEF旋转过程中,3。+亨40的最小值.
13.(2017下•江苏盐城•九年级阶段练习)如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a丰0)与x轴交于点力(4,0),
与y轴交于点3,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点£作x轴的垂线交直线N8于点N,交抛物
线于点尸,过点P作尸ML48于点
(2)设△PMN的周长为G,A4EN的周长为。2,若急■求加的值.
(3)如图2,在(2)的条件下,将线段绕点。逆时针旋转得到。所,旋转角为a(0。<a<90°),连接E2、
E'B,求E'2的最小值.
14.(2021・全国•九年级专题练习)如图1,在RTA48c中,乙4cB=90。,C2=4,C4=6,圆C的半径为2,
点P为圆上一动点,连接/尸,BP,求:
①4P+|BP,
@2AP+BP,
@^AP+BP,
@AP+3BP的最小值.
15.(2021上•江苏宿迁•九年级校考期末)问题提出:如图①,在RtZsABC中,NC=90°,CB=4,C4=6,
OC的半径为2,P为圆上一动点,连接AP、BP,求4P+匏P的最小值.
(1)尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图①,连接CP,在CB上取一点D,使CD=1,
C=S=?又乙PCD=LBCP,所以△PCDYBCP.所暇若=1
所以PD=:PB,所以4P+^BP=4P+PD.
请你完成余下的思考,并直接写出答案:4P+?BP的最小值为.
(2)自主探索:在“问题提出”的条件不变的前提下,求三4P+BP的最小值;
(3)拓展延伸:如图②,已知在扇形COD中,乙COD=90°,0C=6,0A=3,OB=5,P是⑵上一点,
求2P2+PB的最小值.
16.(2019•山东•统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,直线y=-5x+5与x轴,y轴分别交于A,
C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为B
(1)求抛物线解析式及B点坐标;
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC
面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积;
(3)如图2,若P点是半径为2的OB上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位置时,PC+^PA的值
最小,请求出这个最小值,并说明理由.
题型04瓜豆原理
【模型介绍】在几何双动点问题中,当两个动点与定点满足一定条件时,这两动点的运动规律会出现“种
线得线、种圆得圆”的关联性,这种关联性,形象地用中国一句俗语“种瓜得瓜、种豆得豆”来形容,取
名为“瓜豆原理”.
【条件】瓜豆原理运用满足的三个条件(“一定两动、定角、定比”);
①有一个定点、两个动点,且一个动点(从动点)因另一个动点(主动点)的运动而随之运动;
②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角;
③两个动点到定点的距离的比值是定值.
【模型一】如图,点0是定点,点A、B是动点,NAOB=a且詈=屋如果A点的运动轨迹是直线,那么
B点的运动轨迹也是直线.
证明过程:如下图,假设此时点A运动到点A,,点B运动到点B,,且满足/A,OB=a,^=fc
所以/AOA,=NBOB\—=—,=k因此△AOA's^BOB'.,./OAA,=/OBB1—,=k
OAOAAA
...点B在运动过程中,BB,与OB,的夹角始终保持不变,且夹角与/O
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