中考数学专项复习：二次根式（练习）含答案及解析

第一章数与式

第04讲二次根式

口题型09二次根式的混合运算

模拟基础练口题型10二次根式估值

□题型11与二次根式有关的新定义问题

口题型01二次根式有意义的条件

口题型12与二次根式有关的规律探究

口题型02与二次根式有关的开放性试题

口题型13二次根式的应用

□题型03二次根式的非负性

口题型04二次根式的性质化简重难创新练

口题型05二次根式与数轴

口题型06应用乘法公式求二次根式的值

□题型07最简二次公式的判断真题实战练

口题型08分母有理化

模拟基础练।

□题型01二次根式有意义的条件

1.（2024.全国.模拟预测）在函数y=-力-在不I中，自变量》的取值范围是—

2.（2024.黑龙江绥化•模拟预测）要使代数式右下+7^与有意义，则x的取值范围是（）

A.x>2B.x<2C.x=2D.全体实数

3.（2023•浙江宁波•模拟预测）［a］表示不超过。的最大整数.若实数。满足方程a=+6

，则［a］=

（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2024.江苏南京•模拟预测）整数a满足a?-<a<a2+1成立，则a为（）

A.0B.1C.-1D.1或一1

□题型02与二次根式有关的开放性试题

1.（2024松江区三模）下列机取值中，能满足后在实数范围内有意义的是（）

A.m=-2B.m=2024C.m=-0.2D.m=-1

2.（2024.河北邢台.模拟预测）若质是正整数，则a不可能的值为（）

11

A.zB,-C,2D.8

3.（2024•浙江.模拟预测）若式子焉在实数范围内有意义，则x的值可以是.（写出一个即可）

V1-X

4.（2024.山西大同.模拟预测）请写出一个无理数，使它与旧的积是有理数，这个无理数可以是.（写

出一个即可）

口题型03二次根式的非负性

1.（2024仪征市一模）若|2023-刈+Sn-2024=m,则机—2023?=.

2.（2024・四川广元.三模）先化简，再求值1—必+y;4bz+"号其中“匕满足g—画+=0.

a2-aba-b\72

口题型04二次根式的性质化简

1.（2024.贵州毕节•模拟预测）若7Vt<9,则化简|5——10）2的结果是（）

A.5B.-5C.2t-15D.15-2t

2.（2024•甘肃武威•二模）已知一次函数:y=-mx+几的图象经过第二、三、四象限，则化简J（jn-n）2+VT?

的结果是（）

A.nB.—mC.2m—nD.m—2n

3.（2024・四川乐山•模拟预测）已知△ABC的三边分别为2,%5,化简-6%+9+|%—7|=.

4.（2024•湖南•模拟预测）设4=〃+.+*+/1+.+*+/1+±+0+…+J1++则不

71/7243/y3Z4Z-M2023/2024z

超过2的最大整数为（）

A.2027B.2026C.2025D.2024

□题型05二次根式与数轴

1.（2024.宁夏银川.模拟预测）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则在守+l+|a-1|的化简结果是

（）

a

]I.」I»

-1012

A.2B.2a—1C.0D.1—2a

2.（2024•江苏盐城•三模）a,b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a-b|-病的结果是（）

----1---1----1--->

b0a

A.2a-bB.bC.-bD.—2a+b

3.（2023•山东滨州•二模）若实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后—府+J（a+6尸的

结果是.

ab

-3-2-10123

4.（2024•河北•二模）计算&X声的结果为,这个数落在了数轴上的段.

□题型06应用乘法公式求二次根式的值

1.（2024.河北.模拟预测）老师在复习二次根式的运算时，给出了一道题：计算遮x（百-奁）+&*

（V3-V2）.甲、乙分别给出了不同的解法：

甲：V3x（V3—V2）+V2x（V3—V2）=3—V6+V6—2=1.

22

乙:V3x（V3—V2）+V2x（V3—V2）=（V3+V2）x（V3—V2）=（V3）—（V2）=1.

对于甲、乙的计算过程及结果，下列判断正确的是（）

A.甲和乙都对B.甲对乙错

C.甲错乙对D.甲和乙都错

2.（2024•天津滨海新•模拟预测）计算（有-旧『的结果等于.

3.（2024.山西长治.模拟预测）计算（库-旧）（同+旧）的结果为.

4.（2024江苏苏州•三模）计算：（世-Ip。?飞‘+1『。23的结果是.

口题型07最简二次公式的判断

1.（2024.广东江门•模拟预测）下列二次根式是最简二次根式的是（）

A.V32B.V0?4C.D.V15

2.（2024.河北•模拟预测）若a的倒数是J,则G的值为一.

8

3.（2024.吉林长春.二模）V7与最简二次根式2,2m+1是同类二次根式,则优的值为.

4.（2024.江西九江.三模）在等式“（）3=企”中，括号内应填入的最简根式为.

口题型08分母有理化

1.（2024.江苏南京.二模）计算缥业的结果是_.

V8

2.（2024.广东•模拟预测）先化简，再求值：—7+白+々，其中％=近一1

X2-4X+42-xx-2

3.（2024・湖南岳阳•模拟预测）化简求值：-出产）+1,请你自选x,y的值，其中x为负整数，

y为无理数.

4.（2024•黑龙江哈尔滨•二模）先化简，再求代数式芸+（a+l—六）的值，其中a=2sin60。—2tan45。.

□题型09二次根式的混合运算

1.（2024.甘肃陇南.模拟预测）计算：V2xV3-V12+V2

2.（2024・湖南.模拟预测）计算：（TT—V5）°+2cos30。-V12-|V3-2|-2-1

3.（2024.广东中山.模拟预测）计算：——（2020+sin30°）0-V12+

tan60°-l\3/

4.（2024•浙江杭州•一模）以下是小滨计算g+电-4的解答过程：

解：原式=26'+?-2v5=V6—2V3.

小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.

口题型10二次根式估值

1.（2024.云南昆明.二模）估算02-屈义的结果在（）

A.0和I之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间

2.（2024・重庆•模拟预测）估计（2鱼+4）+专的值为（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

3.（2024.江苏南京.一模）如图，实数机在数轴上对应的点M到原点的距离为5.下列各数中，与血最接近的

是（）

M

m0

A.-4V2B.-3V2C.-2V2D.-V2

4.（2024.云南昆明.模拟预测）如图，估计百x（专-1）的值所对应的点可能落在（）

ABCD

_______III1It>

-5-4-3-2-1012345

A.点4处B.点B处C.点C处D.点。处

□题型11与二次根式有关的新定义问题

1.(2023•山东荷泽•三模)对于实数P,我们规定:用{旃}表示不小于旃的最小整数.例如:{〃}=2,{百}=2,

第一次第二次第三次

现在对72进行如下操作：72-{V72}=9;{%}=33{皆}=2,即对72只需进行3次操作后

变为2.类比上述操作：对36只需进行次操作后变为2

2.(2024•内蒙古乌海.一模)对于任意两个不相等的正实数a,b定义新运算“※，，规定：a※匕=华迹，求

b-a

2米(x-1)中x的取值范围是.

3.(2024乌海二中一模)对于任意的正数a、b,定义运算“*”为计算a*b=［无+噂(口?切计算(5*2)X

IVa-Vb(a<b)

(8*20)的结果为.

4.(2022・重庆.模拟预测)材料一：若。是正整数，。除以3的余数为1,则称。是“三拖一数”.例如：13

是正整数，且13+3=4…1,则13是“三拖一数”.

材料二：对于任意四位正整数p,p的千位数字为八百位数字为b、十位数字为c、个位数材字为d,规定：

F(7p,)=c+d

请根据以上材料，解决下列问题：

(1)判断：124,1838是不是“三拖一数”？并说明理由；

(2)若四位正整数p是“三拖一数”，p的千位数字的2倍与个位数字的和等于9,百位数字与十位数字的和等

于8,"而是有理数，求所有满足条件的p.

□题型12与二次根式有关的规律探究

1.(2023•贵州六盘水•二模)人们把手。0.618这个数叫做黄金比，优选法中的“0.618法”与黄金分割紧密

相关,这种方法经著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广,取得了很大的成果.设a=誓,6=等,

记工=工+、52=贮嘿叱，53=丝翳，…依此规律，则S6的值为()

1ab4a2b2°a3b3°

A.5V5B.25C.6V5D.125

2.(2024•山东泰安.三模)细心观察下面图形，其中，Sn表示图中第九个三角形的面积，认真分析各式：。的=

222222

(V1)+I=2,S1=曰，。禺=I+(V2)=3,S2=芋，0幽=I+(V3)=4,S3=圣若一个

三角形的面积是近，则说明这是第一个三角形.

1

3.（2024•山东临沂•模拟预测）如图，正方形48CD边长为1,以2C为边作第2个正方形4CEF,再以CF为边

作第3个正方形FCGH,…，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（）

2025/l、2024/；—、2025

C.(V2)D.(V2)

4.（2023・湖北黄冈•模拟预测）观察下列等式:

第1个等式：的=-^j==V2—1；

第2个等式：a2=后：Q=V3-V2；

第3个等式：a3==2-V3；

根据以上等式给出的规律，计算：a1+a2+a3+■■■+Gt19=_.

5.（22-23九年级下•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习）如图，直线人与直线G所成的角=30。，过点&作

占B114交直线%于点Bi，OB1=2,以公名为边在△04/1外侧作等边三角形4/1的，再过点的作出⑶？11「

分别交直线人和％于4产2两点，以4B2为边在△。々殳外侧作等边三角形2c2，…按此规律进行下去，

则第2023个等边三角形力2023B2023c2023的周长为.

6.（2024•安徽池州•模拟预测）观察下列等式:

03-2V2=(V2-1)2；(2)5-2V6=(V3-V2)2；@7-2V12=(V4-V3)2；......

请你根据以上规律，解答下列问题：

⑴写出第6个等式：_；第〃个等式：_；

(2)计算：，5-2逐+。-2m+内-4西+J11-2闻.

□题型13二次根式的应用

1.(2024.湖南益阳•模拟预测)小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下

的错误：V2+V3=V5

小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识：

小智的思路：将鱼+,，追两个式子分别平方后再进行比较；

小慧的思路：以VLV3,尤为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断/+旧与遮的大小关

系.

根据小智与小慧的思路，请解答下列问题：

⑴填空：

•••(a+遍)2=,(V5)2=,

••.(V2+V3)H(V5),•'-V2+V3中V5.

(2)如图，以鱼，V3,有为三边构造ATIBC,

①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由；

②根据图形直接写出鱼+我与班的大小关系.

2.(2024•广东肇庆•一模)【发现问题】由Q-bp>0得，a2+b2>2ab；如果两个正数a,力，即a>0,b>0,

则有下面的不等式：a+b>2yjab,当且仅当a=b时取到等号.

【提出问题】若a>0,b>0,利用配方能否求出a+b的最小值呢？

【分析问题】例如：已知久>0,求式子久+3的最小值.

X

解：令。=居b=±,则由a+得x+士之2x♦士=4,当且仅当久=±时，即％=2时，式子有最

XxyXX

小值，最小值为4.

【解决问题】请根据上面材料回答下列问题：

(1)2+32V2V3(用“〈”填空)；当x>0,式子x+工的最小值为；

X

【能力提升】

(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙(墙长20米)，问这个

长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(3)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点。，AZOB、AC。。的面积分另IJ是8和14,求四边形4BCD

面积的最小值.

3.(2023・山东济宁•二模)探究问题：探究手与面的大小关系.

(1)观察猜想：手与我的大小关系是手

(2)计算验证：当a=8,6=8时，卓与A/方的大小关系是等______y[ab-,当a=2,6=6时，巴萨与的大

小关系是y[ab.

(3)推理证明：如图，以AB为直径作半圆。，点C半圆上一动点，过C作CD于点。，设4。=a,BD=b.先

用含a,6的式子表示出线段。C,CD,再写出他们(含a,6的式子)之间存在的大小关系.

(4)实践应用：要制作一个面积为1平方米的矩形，请直接利用探究得出的结论，求矩形周长的最小值.

4.(2023•河南洛阳•二模)阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a>0,6>0时,

有+Vfe)=a—2y[ab+b>0,.>-a+6>24ab,当且仅当a=b时取等号.

请利用上述结论解决以下问题：

(1)当％>0时，久+工的最小值为；当x<0时，x+工的最大值为；

XX

（2）当久＞0时，求y=#+?+16的最小值;

（3）如图，四边形力BCD的对角线AC、B。相交于点。，XAOB、△C。。的面积分别为9和16,求四边形48CD

的最小面积.

重难创新练

1.（2024四川广安・中考真题）已知，直线1:、=日式—日与％轴相交于点儿,以。公为边作等边三角形。2/1，

点名在第一象限内，过点当作x轴的平行线与直线1交于点为，与y轴交于点G，以G4为边作等边三角形

G4B2（点殳在点名的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2&B3,等边三角形C3/I4B4…，则点人2024的

横坐标为.

2.（2023•山东潍坊・中考真题）［材料阅读］

用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+…+勺九+…的值，其中。＜q＜1.

例%+G）2+（丁+…+（丁+…的值.

方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知

）（丁+针+―+（£）"+,,•的结果等于该正方形的面积，

即打针+（丁+…++…=L

方法2：借助函数y=+］和y=x的图象，观察图②可知

1+（1）+G）+…+。+--•的结果等于%,a2,a3,即…等各条竖直线段的长度之和,

即两个函数图象的交点到X轴的距离.因为两个函数图象的交点(1,1)到无轴的距为1,

所以，/0+0

图①

【实践应用】

任务一完善|+(1)2+(|)3+…+(|)U+…的求值过程.

图③

方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知|+针+针+•・•+(1)7••=一・

方法2：借助函数y=|久+|和y=x的图象，观察图④可知

因为两个函数图象的交点的坐标为,

所以，升针+针+-“+电"+-“=-------

任务二参照上面的过程，选择合适的方法，求|+(|)2+(|丫+…+(|)2+…的值.

任务三用方法2,求q+T+口3+…+中+…的值(结果用表示).

【迁移拓展】

长宽之比为当匚：1的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形.

观察图⑤，直接写出(等)2+(亨f+(笞?+…+(与1)"+…的值.

7\

1

1

/1

1

1

1、

1

oX

图④

二、填空题

7.（2024.山东青岛.中考真题）计算：V18+（0-1-2sin45°=.

8.（2021.贵州铜仁.中考真题）计算（何+质）（百-鱼）=；

9.（2022・四川宜宾•中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三

角形三边°、灰。求面积的公式，其求法是：“以小斜幕并大斜塞减中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜幕

乘大斜幕减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为S=

小卜2。2—仔±1升.现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2,则用以上给出的公式求得这

个三角形的面积为.

10.（2022呼伦贝尔市中考真题）己知x,y是实数，且满足丫=＞序方+71^+3则F•后的值是.

11.（2021・湖北鄂州•中考真题）已知实数a、6满足7^二北+仍+3|=0,若关于x的一元二次方程/—5+

b=0的两个实数根分别为修、上，则工+工=.

X

1%2

12.（2021・湖北荆州•中考真题）已知:a=g）-1+（-V3）°,b=（百+夜）（遮一a）,则=

三、解答题

13.（2024・青海・中考真题）计算：V18-tan45°+7T°-|-V2|.

14.（2022.四川遂宁.中考真题）计算：tan3（T+|l—E|+（n——（01+V16.

15.（2023•江苏・中考真题）先化简，再求值：——+（1+工），其中。=有+1.

16.（2023,辽宁盘锦・中考真题）先化简，再求值：+杀］）+Ap其中久=712+一G）•

17.（2024•河北・中考真题）情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心。为顶点的等腰直角三角形后得到的.

该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示.

（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）

操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形.

如图3,嘉嘉沿虚线EF,GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接.根据嘉嘉

的剪拼过程，解答问题：

（2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长.

探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形.

请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁

剪线（线段PQ）的位置，并直接写出BP的长.

第一章数与式

第04讲二次根式

口题型09二次根式的混合运算

模拟基础练口题型10二次根式估值

□题型11与二次根式有关的新定义问题

口题型01二次根式有意义的条件

口题型12与二次根式有关的规律探究

口题型02与二次根式有关的开放性试题

口题型13二次根式的应用

□题型03二次根式的非负性

口题型04二次根式的性质化简重难创新练

口题型05二次根式与数轴

口题型06应用乘法公式求二次根式的值

□题型07最简二次公式的判断真题实战练

口题型08分母有理化

模拟基础练।

□题型01二次根式有意义的条件

1.（2024•全国•模拟预测）在函数y=-力-后G中，自变量》的取值范围是—

【答案】x>一1且久丰2

【分析】根据分式的分母不为零、二次根式的被开方数为非负数求解可得答案.

【解答】解：根据题意，得：％-2力0且％+1》0,

解得x>-1且x丰2,

故答案为：*》—1且％中2.

2.（2024•黑龙江绥化•模拟预测）要使代数式GI+VI=^有意义，则x的取值范围是（）

A.%>2B.x<2C.x=2D.全体实数

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列式计算，即可作答.

【详解】解：要使代数式k^+&"有意义

•,•%—2>0,2—x>0

•,・%=2

故选：C

3.（2023•浙江宁波•模拟预测）［a］表示不超过。的最大整数.若实数。满足方程a=则［a］=

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】本题主要考查二次根式的性质及不等式的解法，熟练掌握二次根式的性质及不等式的解法是解题

的关键；由题意易得a20,l-l>0,a-->0,进而问题可求解.

aa

【详解】解：由。=I1--+可知:a>0,1-i>0,a-->0,

7a7aaa

解得：a>lf

-［a］=1；

故选A.

4.（2024•江苏南京•模拟预测）整数a满足小一6<。v〃+［成立，贝必为（）

A.0B.1C.-1D.1或一1

【答案】B

【分析】本题考查了实数的运算，根据题中的二次根式的运算，有理数的乘方逐项判断即可，熟练掌握运

算法则是解题的关键.

【详解】解：A、当a=0时，a2—=0,a2+1=1,

a2-Va<a<a2+1不成立，不符合题意；

B、当a=l时，a2—=0,a2+1=2,

a2—<a<a24-1成立，符合题意；

C>当a=-1时，历无意义，不符合题意；

D、当a=l时，a2—y/a=0,a2+1=2,M—正<。/十］成立，当。=—1时，G无意义，不符合题

思；

故选：B.

□题型02与二次根式有关的开放性试题

1.（2024松江区三模）下列机取值中，能满足后在实数范围内有意义的是（）

A.m=-2B.m=2024C.m=-0.2D.m=-1

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于零是二次根式有意义的条

件是解题的关键.

根据二次根式有意义的条件：被开方数不小于零，直接解答即可.

【详解】:而在实数范围内有意义，

・•・m>0,

则在四个选项中，只有巾=2024时，标在实数范围内有意义；

故选：B.

2.（2024.河北邢台•模拟预测）若凡是正整数，则。不可能的值为（）

11

A.zB,-C.2D.8

【答案】A

【分析】本题考查二次根式的性质，根据被开方数能开平方的知识点进行解题即可.

【详解】解：A、J32xj=V8=2V2,故不是正整数，符合题意；

B、,32xi=V16=4,故是正整数，不符合题意；

C、V32V2=V64=8,故是正整数，不符合题意；

D、V32x8=V256=16,故是正整数，不符合题意；

故选：A.

3.（2024•浙江.模拟预测）若式子焉在实数范围内有意义，则x的值可以是.（写出一个即可）

Vl-x

【答案】0（答案不唯一）

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件和分式

有意义的条件是解题的关键.

根据二次根式有意义的条件的条件是被开方数大于等于0,分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可.

【详解】解：•••式子春在实数范围内有意义，

Vl-x

•••1—%>0,

解得％<1.

.•.X的值可以是0,

故答案为：0（答案不唯一）.

4.（2024•山西大同•模拟预测）请写出一个无理数，使它与何的积是有理数，这个无理数可以是.（写

出一个即可）

【答案】V3（答案不唯一）

【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的性质，二次根的乘法，熟练掌握二次根式的性质和乘法法

则是解本题的关键.

先化简历，再根据二次根式的乘法法则进行计算后确定这个符合条件的无理数.

【详解】••,仞=3百，3V3XV3=9,

这个无理数可以是百，（答案不唯一）

故答案为：V3（答案不唯一）.

口题型03二次根式的非负性

1.（2024仪征市一模）若|2023-？n|+-2024=m,则m-2023?=.

【答案】2024

【分析】本题考查二次根式有意义，先根据Sn—2024得到m22024,再化简绝对值计算即可.

【详解】解：Vm-2024,

••m>2024,

,•,|2023—m|+Vm-2024=m,

■'-m-2023+7m-2024=m,

-,-y/m-2024=2023,

•••m-2024=20232,

■■.m-20232=2024,

故答案为：2024.

2.（2024・四川广元•三模）先化简，再求值1一年粤工+号，其中a、6满足（a-&『+lb+l=0.

az-aba-bv，72

【答案】乌

【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算分式的除法运算，再计算分式的减法运算,

再利用非负数的性质求解a=&,匕=-|，再代入计算即可.

a2+4ab+4b2a+2b

【详解】解：一

1a2-aba-b

(a+2b¥a—b

—]----------------

a(a-b)a+2b

aa+2b

aa

_2b_

-9

a

••,(a-V2)2+Jb+1=0,

••.a—V2=0,b+-=0,

2

解得：a=V2,b=—I，

原式=一竺2=七=字

v2V22

□题型04二次根式的性质化简

1.(2024.贵州毕节.模拟预测)若7<t<9,则化简|5-t|+J(t-10)2的结果是()

A.5B.-5C.2t-15D.15-2t

【答案】A

【分析】本题主要考查可化解绝对值，求一个数的算术平方根，根据7<t<9化简绝对值，求出，(t—10)2

的算术平方根，然后计算求解即可.

【详解】解:"<t<9,

=t—5+10—t

=5,

故选：A.

2.(2024•甘肃武威二模)已知一次函数:y=-mx+n的图象经过第二、三、四象限,则化简'(仁一中产+标

的结果是()

A.nB.—mC.2m—nD.m—2n

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系，根据题意可得-爪<0,n<0,

再进行化简即可.熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.

【详解】•.•一次函数y=—加式+n的图象经过第二、三、四象限，

m<0,n<0,即m>0,n<0,

—n)2+

=|m—n|+\n\

=m-n—n

=m—2n,

故选：D.

3.（2024・四川乐山•模拟预测）已知△ABC的三边分别为2,%5,化简-6%+9+氏-7|=

【答案】4

【分析】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键.

首先根据三角形的三边的关系求得％的范围，然后根据二次根式的性质进行化简.

【详解】解：・・・2、X、5是三角形的三边,

•，.3<%<7,

%—3>0,x—7<0,

•••原式=—31+—7尸=|x-3|+|x—7|=x—3+(7—%)=4.

故答案为：4.

r

4.(2024•湖南•模拟预测)设/=〃+.+*++.+*+/1++,*,+/1+777777n742则不

7廿247243/y3Z4Z-M2023/2024z

超过a的最大整数为()

A.2027B.2026C.2025D.2024

【答案】D

【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据1++++=(管-^)2把原式的对应项化简，然后计

算求解即可.

【详解】解：对于正整数n,有

11

14--71-21T--(-九--+--1-)-2

/1\221

=(1H—)----F7---7V7

\nJn(n+1)2

=*2二+(八

\nJn\n+1/

总〔

,1,1n+11.,11

w1+运+?^=丁一言=1+5_;^'

,必=J1+]+\+J1+]+++J1+]+丧+,■,+J1+募+高

1+1_1+(1+*+(1+T+…+(1+募一

12.

不超过4的最大整数为2024.

故选：D.

口题型05二次根式与数轴

1.（2024.宁夏银川.模拟预测）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则“^+1+1。-1］的化简结果是

（）

a

-1012

A.2B.2a-1C.0D.1-2a

【答案】A

【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴.先根据数轴分析出a的取值范围，再根据二次根式

的性质进行化简即可.

【详解】解：由数轴知0<a<1,

ci-1V0,

*，•J（—a）2+1+|（1—1|=a+l+l—ci=2.

故选：A.

2.（2024・江苏盐城•三模）a,b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a-m-后的结果是（）

---1--1---1-->

b0a

A.2d-bB.bC.-bD.—2a+b

【答案】c

【分析】本题主要考查了化简绝对值，求一个数的算术平方根，实数与数轴，先根据数轴得到b<0<a,

则a-6>0,据此化简绝对值，求算术平方根即可得到答案.

【详解】解：由题意得，b<0<a,

■■.a—b>0,

—b\—=a—b—a=—b,

故选：C.

3.（2023•山东滨州•二模）若实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后一年+J（a+6尸的

结果是•

a

__I_____i.i____।_____ibii»

-3-2-10123

【答案】一2a-2b

【分析】首先由实数a、b在数轴上的位置，可得a<0<b,|a|>\b\,再根据二次根式的性质化简，即可

求解.

【详解】解：由实数。、6在数轴上的位置，可得a<0<b,|a|>\b\,

a+b<0,

+J(a+b)2

=|a|—|b|+|a+b|

=—a—b—（a+b）

——a—b—a—b

=—2a—2b

故答案为：-2a-2b.

【点睛】本题考查了根据实数在数轴数轴上的位置，化简二次根式，去绝对值符号，整式的加减运算，熟

练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键.

4.（2024.河北.二模）计算/X连的结果为,这个数落在了数轴上的段.

①②③④

01234

【答案】2百④

【分析】本题考查了二次根式的运算与估值，掌握运算方法与估值技巧是解题关键.利用二次根式乘法计

算即可，注意结果为最简二次根式，再利用找相邻两数的平方的方法估值即可.

【详解】解：V2xV6=V12=2A/3,

•.•9<12<16,

・・・3<273<4,

••.2次落在第④段，

故答案为：2V3；④.

口题型06应用乘法公式求二次根式的值

1.（2024・河北•模拟预测）老师在复习二次根式的运算时，给出了一道题：计算百x（W-鱼）+&X

（V3-V2）.甲、乙分别给出了不同的解法：

甲：V3x(V3-V2)+V2x(V3-V2)

=3—V6+V6—2

=1.

乙：V3x(V3-V2)+V2x(V3-V2)

=(V3+V2)x(V3-V2)

=(V3)2-(V2)2

=1.

对于甲、乙的计算过程及结果，下列判断正确的是()

A.甲和乙都对B.甲对乙错

C.甲错乙对D.甲和乙都错

【答案】A

【分析】本题主要考查了乘法分配律的逆用和二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律的

逆用和二次根式的混合运算法则，根据二次根式的混合运算法则和乘法分配律的逆用即可进行解答.

【详解】解：根据题意可得：甲和乙都对，

故选：A.

2.(2024.天津滨海新.模拟预测)计算(代一百『的结果等于.

【答案】8-2V15/-2V15+8

【分析】本题考查了二次根式的乘法.根据完全平方公式计算即可求解.

【详解】解：(迷-百『

=5-2V15+3

=8-2同.

故答案为：8-2V15.

3.(2024.山西长治.模拟预测)计算(VH-同)(VH+g)的结果为.

【答案】2

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，利用平方差公式进行计算即可解答.

【详解】(⑶-vi9)(vn+vi9)

=21—19

=2,

故答案为：2.

4.(2024•江苏苏州•三模)计算：(/一Ip。?7或+1『°23的结果是.

【答案】V2-1/-1+V2

【分析】本题考查了积的乘方逆用，二次根式的乘法运算以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题

的关键.把原式变形为(a—e+1)2°23(鱼—1),逆用积的乘方计算即可.

[详解]解：(a_1)2°24*(a+1)2°23

223

=(V2-以°23X(V2+1)°X(V2-1)

=[(V2-1)X(V2+1)]2°23X(V2-1)

「712023

=[(V2)-l2]x(V2-1)

=I2023x(V2-1)

-1x(V2-1)

=V2—1,

故答案为：V2—1.

口题型07最简二次公式的判断

1.(2024.广东江门•模拟预测)下列二次根式是最简二次根式的是()

A.V32B.VOAC.D.V15

【答案】D

【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行解题即可.

【详解】解：A.V32-4V2,不是最简二次根式；

B.屈=?，不是最简二次根式；

c.11=；值,不是最简二次根式；

D.同是最简二次根式；

故选D.

2.(2024•河北.模拟预测)若“的倒数是J则正的值为一.

【答案】2V2

【分析】本题考查的是倒数的含义，二次根式的化简，先求解a=8,再化简声即可.

【详解】解：:a的倒数是；，

8

'-a=8,

•—yj8—2V2；

故答案为：2位.

3.（2024.吉林长春.二模）位与最简二次根式2,27n+1是同类二次根式,则机的值为.

【答案】3

【分析】本题主要考查了同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式定义可知26+1=7,求出解

即可.

【详解】:近